4.4函数的单调性与凹凸性

01.函数单调性的判别法02.曲线的凹凸性和拐点03.内容小结第四节函数的单调性与凹凸性中国古代宫殿的飞檐以其独特的曲线特征而闻名，并且曲线在檐口处的切线基本水平，确保了水流以平抛的抛物线方式离开屋面.这种设计美观实用.曲线的设计是为了让雨水在重力作用下，以最快的速度从屋顶滑落，从而防止积水和渗漏，并且能够把雨水排到最远.飞檐的曲线经过数学拟合，发现其接近摆线（也称为最速降线）.港珠澳大桥是全球最长的跨海大桥之一，创造了多个世界之最.其曲线型设计考虑了工程技术可行性，环境保护及其用户体验等多个因素的需求，体现了现代桥梁建筑设计中科学与美学相结合的理念.、函数单调性的判定法如果函数

在区间上单调递增，则如果函数

在区间上单调递增，则函数的单调性与导数的符号密切相关能否用导数的符号判别函数的单调性呢?第四节函数的单调性与凹凸性

拉格朗日中值定理建立了函数与导数之间的关系，我们用中值定理来进行讨论．设函数

在上连续，在内可导，，应用拉格朗日中值定理，得到：由，如果在内,则.于是，因此函数在上单调递增.

类似地，如果在

内，于是，因此函数在上单调递减.第四节函数的单调性与凹凸性定理1（函数单调性的判别法）设函数

在上连续，在内可导，

(1)如果在

内，则函数在上单调增加.

(2)如果在

内，则函数在上单调减少.注

(1)如果在

内，且等号仅在有限多个点处成立，则在上单调增加（减少）.(2)把定理1中的闭区间换成其他有限或无限区间，结论也成立．第四节函数的单调性与凹凸性例4-31判断函数

在上的单调性．解因为

在上连续.在内，且只在

处为零，所以由判别法可知，函数

在上单调

增加.第四节函数的单调性与凹凸性

例4-32

讨论函数

的单调性.解函数

的定义域为，且.当

时，.因此函数在

单调递增.当

时，.因此函数在

单调递减.是函数

的增减区间的分界点，而在该点处.第四节函数的单调性与凹凸性例4-33

讨论函数

的单调性.解

函数

的定义域为，且.当时，，因此函数在上单调减少.当时，，因此函数在上单调增加.

是函数

的增减区间的分界点，而在该点处导数不存在．

.第四节函数的单调性与凹凸性注：如果函数在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外导数存在，那么

的点及不存在的点有可能是增减区间的分界点.我们可以按照下面的步骤来确定函数

的单调区间：①

求出函数

的定义域.②

求

，找出驻点和

不存在的连续点，这些点将定义域分成若干区间；③

列表讨论在每个区间上

的符号，然后确定函数

在这些区间上的的单调性.第四节函数的单调性与凹凸性例4-34

确定函数

的单调区间.解

函数的定义域为.令，得，函数

的单调递增区间为和单调递减区间为.第四节函数的单调性与凹凸性例4-35讨论函数

的单调性.解

函数

的定义域为.且仅在时，因此

在内单调减少.注:并不是所有导数为零的点都是增减区间的分界点.第四节函数的单调性与凹凸性例4-36

证明对任何实数,.证令.，，且.当时，，单调递增，有，即.当时，，单调递减，有，即.当时，.因此对任何实数,有.第四节函数的单调性与凹凸性例4-37

证明当时，.证令.，.

，当时，，故单调递增，有

.在内，由得：单调递增，从而因此，当时，.第四节函数的单调性与凹凸性二、曲线的凹凸性与拐点函数的单调性反映在图形上，就是曲线的上升或下降，但是不能准确地描述函数的形态.和虽然它们都是上升的，但是弯曲方向不一样.第四节函数的单调性与凹凸性从几何上看，在给定的曲线弧上任取两点，若连接这两点间的弦总位于这两点间弧的上方，反之，若连接这两点间的弦总位于这两点间的弧的下方，则称该弧为凸弧.则称该弧为凹弧.第四节函数的单调性与凹凸性定义1设

在区间上连续，如果对

上任意两点

，恒有那么称

在

上的图形是(向上)凹的(或凹弧);如果恒有那么称

在

上的图形是(向上)凸的(或凸弧).如果函数可导，可以利用函数的一阶导数判断函数的增减性，那么如何判断函数的凹凸性呢？第四节函数的单调性与凹凸性递增，递减，第四节函数的单调性与凹凸性定理2设

在上连续，在

内具有一阶和二阶导数，那么(1)若在

内，则在上的图形是凹的；(2)若在

内，则在上的图形是凸的；证对于情形（1），设和为上任意两点，且，记，并记，则，由拉格朗日中值公式，得第四节函数的单调性与凹凸性其中

，，两式相减，即得对

在区间上再利用拉格朗日中值公式，得：其中.按情形（1）假设，故有:第四节函数的单调性与凹凸性即因此

所以

在上的图形是凹的.类似可证明情形(2)．注：把上述凹凸性判定定理中的闭区间换成其他区间(包括无穷区间)，结论也成立.第四节函数的单调性与凹凸性例4-38

判断曲线

的凹凸性.解因为，

所以函数

在定义域内，曲线是凹的.第四节函数的单调性与凹凸性例4-39

判断曲线

的凹凸性.解因为，当时，，所以曲线在

内为凸弧.当时，，所以曲线在

内为凹弧.注意到点

是曲线凹弧和凸弧的分界点，且在

处，.第四节函数的单调性与凹凸性例4-40判断曲线的凹凸性.解函数在内连续.在内，，曲线在内是凹的.在内，，曲线在内是凸的.点是曲线凹弧和凸弧的分界点.在处，不存在.第四节函数的单调性与凹凸性定义2连续曲线上凹弧和凸弧的分界点称为该曲线的拐点.注：（1）拐点

用坐标

来表示.（2）要寻找拐点，只要找出

符号发生变化的分界点即可.（3）如果在区间内具有二阶导数，点是拐点，那么有.第四节函数的单调性与凹凸性判别曲线的凹凸性与拐点的一般步骤如下：

①确定函数的定义域；②求,并找出定义域内

或不存在的连续点；③对于②中求出的每个点

，检查

在左右两侧邻近的符号.当两侧的符号相反时，点是拐点.当两侧的符号相同时，点不是拐点.第四节函数的单调性与凹凸性例4-41

求曲线

的拐点及凹、凸的区间.

解

函数

的定义域为.令，得.凹拐点凸拐点凹，第四节函数的单调性与凹凸性因此，曲线

的拐点为，.凹区间为

和凸区间为.第四节函数的单调性与凹凸性例4-42求曲线

的拐点.解

函数

的定义域为，令，得.当

时，，曲线是凸的.当

时，，曲线是凸的.因此点

是曲线的拐点.第四节函数的单调性与凹凸性例4-43某科技公司推出智能空气净化器，在不同市场推广阶段，生产成本

（单位：万元）与月销量

（单位：台）的关系因生产规模和技术成熟度变化而不同,经过市场调研，得到以下两个阶段的函数模型：阶段Ⅰ:初期试销阶段:阶段Ⅱ：规模推广阶段：比较这两个阶段的成本情况，判断何时企业应扩大生产规模以降低成本.第四节函数的单调性与凹凸性解

阶段Ⅰ.因，所以