机电系统计算机控制 全套课件 第1-5章 绪论、Z变换-数字控制器的直接设计方法

什么是计算机控制技术？计算机控制技术是一门以电子技术、自动控制技术、计算机应用技术为基础，以计算机控制技术为核心，综合可编程控制技术、单片机技术、计算机网络技术，从而实现生产技术的精密化、生产设备的信息化、生产过程的自动化及机电控制系统的最佳化的专门学科。由此可见，计算机控制技术是一门交叉学科。什么是计算机控制系统？比较而言：模拟自动控制系统——亦称连续控制系统以经典控制理论为基础缺点：在控制规律的实现、系统的优化、可靠性等方面不能满足更高的要求。计算机控制系统

——亦称数字控制系统、离散控制系统。

以现代控制理论为基础计算机控制系统通俗的讲就是：由各种计算机参与完成对工业设备的自动控制的系统。这是一个典型的计算机控制系统模拟信号(Analog/'ænəlɒɡ/Signal)数字信号(DigitalSignal)变送器是将非电信号转换为电压信号（或电流信号）可控硅是一种功率放大器与《控制工程基础》课程的相关性。控制工程基础经典控制理论为基础模拟控制系统连续系统

L氏变换

计算机控制技术现代控制理论为基础数字控制系统离散系统

Z变换

在控制规律的实现、系统的优化、可靠性等方面越来越不能满足更高的要求。经典控制理论与现代控制理论的主要区别在于它们的应用范围、数学工具、研究方法和系统描述方式。以下是两种控制理论的具体区别：应用范围：经典控制理论主要适用于单输入单输出的线性定常系统，而现代控制理论则适用于更广泛的系统，包括线性和非线性、定常和时变、单变量和多变量、连续和离散系统。数学工具：经典控制理论主要依赖于传递函数作为其数学模型，而现代控制理论则使用矩阵和向量空间理论作为其数学基础。研究方法：经典控制理论采用频域方法，如拉普拉斯变换和傅里叶变换，而现代控制理论则采用时域方法，如动态规划和最优控制。系统描述方式：经典控制理论侧重于系统的外部描述，即输入-输出特性，而现代控制理论不仅关注系统的输入-输出关系，还研究系统内部各个状态变量的动态。控制策略：经典控制理论的控制策略主要包括反馈控制和PID控制，而现代控制理论则可以提供更优的控制策略，如极点配置、状态反馈和输出反馈，并能实现最优控制。第1章绪论本章主要内容：

⊙计算机控制系统概述；

计算机控制系统的一般概念、系统组成、系统分类、系统特点；

⊙信号的采样与恢复；

采样过程、采样定理、信号恢复；

⊙微型计算机控制系统的发展趋势；引言

计算机控制系统：是以计算机为核心部件的过程控制系统和运动控制系统。举例：

电机液控1-远程监控计算机；2-打印机；3-工业控制计算机；4-远程控制计算机；5-下位机；6-液压机主机；7操作手（夹具）引言

计算机控制系统：是以计算机为核心部件的过程控制系统和运动控制系统。举例：

1.1计算机控制系统概述

1.1.1基本概念和组成一、自动控制系统的分类自动控制系统根据不同的控制要求，一般分成闭环控制系统(图1-1a所示)与开环控制系统(图1-1b所示)两种结构形式;计算机控制系统原理组成—用控制计算机代替图1-1的控制器，如图1-2所示；（1）闭环控制系统

闭环控制系统--闭环控制系统中，测量变送器对被控对象进行检测，把被控量如温度、压力等物理量转换成电信号再反馈到控制器中，控制器将此测量值与给定值进行比较形成偏差输入，并按照一定的控制规律产生相应的控制信号驱动执行器工作，执行器产生的操纵变量使被控对象的被控量跟踪趋近给定值，从而实现自动控制稳定生产的目的。这种信号传递形成了闭合回路，所以称此为按偏差（误差）进行控制的闭环反馈控制系统。euqy控制器执行器被控对象测量变送器偏差给定值控制作用操纵变量被控量

测量值r+_zf干扰图1-1(a)闭环控制系统

开环控制系统--不同于闭环系统，它不需要被控对象的测量反馈信号，控制器直接根据给定值驱动执行器去控制被控对象，所以这种信号的传递是单方向的。开环控制系统不能自动消除被控量与给定值之间的偏差，其控制性能不如闭环系统。应用特点：要求精度不高，系统简单，容易实现。

uqy控制器执行器被控对象给定值控制作用操纵变量被控量r图1-1(b)开环控制系统（2）开环控制系统（3）计算机闭环控制系统原理组成

计算机闭环控制系统的原理组成--是把图1-1中的控制器用控制计算机即微型计算机及A/D（模/数）转换接口与D/A（数/模）转换接口代替，由于计算机采用的是数字信号传递，而一次仪表多采用模拟信号传递，因此需要有A/D转换器将模拟量转换为数字量作为其输入信号，以及D/A转换器将数字量转换为模拟量作为其输出信号。

图1-2计算机控制系统原理图

二、计算机在计算机控制系统中的作用：

主要有三个方面：①信息处理。对于复杂的控制系统，输入信号和根据控制规律的要求实现的输出偏差信号的计算工作量很大，采用模拟解算装置不能满足精度要求，因而需要采用计算机进行处理；②保持良好的动态特性。用计算机的软件程序实现对控制系统的校正以保证控制系统具有所要求的动态特性；③可实现高级控制功能。由于计算机具有快速完成复杂的工程计算的能力，因而可以实现对系统的最优控制、自适应控制等高级控制功能及多功能计算调节。三、计算机控制系统控制过程的步骤可以归结为以下三个步骤：①实时数据采集对被控参数的瞬时值进行检测并输入。②实时决策对采集到的表征被控参数的状态量进行分析，并按已定的控制规律，决定进一步的控制过程。③实时控制根据决策，适时地对控制机构发出控制信号。上述过程不断重复，使整个系统能够按照一定的动态品质指标进行工作，并且对被控参数和设备本身出现的异常状态及时监督并作出迅速处理。几个重要概念联机或在线：生产过程设备运行状态直接与计算机连接的方式，信号同步，称为“联机”方式或“在线”方式；脱机或离线:生产过程设备不直接受计算机控制，而是通过中间记录介质，靠人进行联系并作相应操作的方式，称为“脱机”方式或“离线”方式；实时：所谓“实时”是指信号的输入、计算和输出都要在一定的时间范围内完成，亦即计算机对输入信息以足够快的速度进行处理，并在一定的时间内作出反应或进行控制，超出这个时间，就失去了控制的时机，控制也就失去了意义。举例：炼钢炉的炉温控制；火炮的控制系统一个在线的系统不一定是一个实时的系统，但一个实时的系统一定是一个在线的系统。小型的3D打印机，离线控制。大型的3D打印机，实时控制（在线控制）。计算机控制系统的组成

计算机控制系统由计算机、外部设备、操作台、输入通道、输出通道、检测装置、执行机构、被控对象以及相应的软件组成，如图1.3所示。

外部设备操作台输入通道检测装置输出通道执行机构计算机被控对象图1.3计算机控制系统的组成打印机显示终端磁盘驱动器软件计算机实时时钟操作台接口接口接口接口D\AA\D多路开关反多路开关开关量输入开关量输出执行机构生产对象通用外部设备主机及操作台外部通道接口检测及变送控制对象传感器变送器图1.4计算机控制系统原理图1.2计算机控制系统的分类

1.2.1数据采集系统（DAS）数据采集系统(DataAcquisitionSystem)--是计算机应用于生产过程控制最早、也是最基本的一种类型，如图1-5所示。生产过程中被控对象的大量参数经测量变送仪表发送和A/D通道或DI通道巡回采集后送入计算机，由计算机对这些数据进行分析和处理，并按操作要求进行屏幕显示、制表打印和越限报警。

泵马达可靠性试验台船用液压马达测试试验台

操作指导控制系统--是基于数据采集系统的一种开环结构，如图1-6所示。计算机根据采集到的数据以及工艺要求进行最优化计算，计算出的最优操作条件，并不直接输出控制被控对象，而是显示或打印出来，操作人员据此去改变各个控制器的给定值或操作执行器，以达到操作指导的作用。它相当于模拟仪表控制系统的手动与半自动工作状态。OGC系统的优点是结构简单，控制灵活和安全。缺点是要由人工操作，速度受到限制，不能同时控制多个回路。

1.2.2计算机操作指导控制系统(OGC)图1.6计算机操作指导控制系统组成框图返回本节显示终端打印机计算机工业对象A/D转换器采样器测量元件调节器1.2.3直接数字控制系统（DDC）返回本节外部设备操作台A/D转换检测装置保持器执行机构计算机被控对象图1.7直接数字控制系统D/A转换1.2.4监督计算机系统（SCC）

直接数字控制中的给定值不能随时修改，无法使生产过程最优.监督计算机系统（SupervisoryComputerControl）简称SCC系统。SCC系统有两种不同的结构形式。一种是SCC+模拟调节器，另一种是SCC+DDC控制系统。（1）SCC+模拟控制器控制系统该系统原理图，如图1.8所示。图1.8SCC+模拟调节器控制系统原理图

A/D转换检测装置模拟控制器执行机构SCC计算机被控对象D/A转换保持器

图1.9SCC+DDC控制系统原理图A/D转换检测装置DDC计算机执行机构SCC计算机被控对象D/A转换保持器（2）SCC+DDC控制系统1.2.5计算机分级控制系统各级计算机的功能如图1-9所示。装置控制级（DDC级）车间监督级（SCC级）工厂集中控制级（MIS）企业管理级（MIS）图1.10计算机分级控制系统返回本节1.2.6现场总线控制系统现场总线控制系统(FieldbusControlSystem，FCS)是新一代分布式控制系统结构。它将“操作站——控制站——现场仪表”的结构模式改变为“工作站——现场总线智能仪表”二级结构模式。

图1.11现场总线控制系统1.2.7工业以太网控制系统工业以太网的工作原理是在相关仪器的底部安装传感设备，来检测仪器在运行过程中的周边环境数据、工艺数据、工作状态数据等重要数据，再利用能够使用的通信网络协议传输到工业以太网上。图1.12工业以太网控制系统1.2.8嵌入式控制系统嵌入式控制系统是计算机、控制、通信、半导体、微电子和传感器等技术与具体应用对象相结合的专用计算机控制系统。图1.12嵌入式控制系统1.2.9

计算机控制系统的特点

(1)运算速度快，精度高。可实现复杂的控制规律(2)成本小，性能价格比高。(3)软件功能丰富，编程方便和硬件体积小(4)可靠性高。(5)可维护性强。(6)技术更新快、信息综合性强、操作便利。1.3.1计算机控制系统的发展概况从集中控制走向分布式、网络化与嵌入式智能控制1965年前实验阶段自动检测、数据处理

监督控制、直接数字控制60年代后期工业小型机专用于工业生产过程控制

控制系统仍以集中型为主20世纪70年代分布式控制微型计算机出现

集中控制转向分布式控制70年代末—80年代初CIMS兴起从机械制造开始

推动离散型生产自动化阶段概括实验阶段：以计算机自动检测、数据处理、监督控制和直接数字控制为主要突破。实用普及阶段：小型计算机进入生产过程控制，应用快速发展，但系统形态仍偏集中。分级/分布式阶段：微型计算机推动控制系统分散化，企业管理与制造自动化逐步融合。1/21、计算机控制技术发展历程现场总线、单片机/DSP与嵌入式系统共同推动工业控制网络化80年代中期：现场总线计算机控制、通信和电子技术结合，形成继集中式与分布式之后的新一代控制系统。单片机与嵌入式系统微处理器、I/O、A/D、D/A、串口、RAM/ROM等集成到VLSI，推动面向I/O的微控制器发展。DSP产品发展面向实时信号处理，向高速、高精度、低功耗方向演进，并进入消费、医疗、通信等领域。90年代：嵌入式系统加速成熟需求牵引：分布控制、柔性制造、数字化通信和信息家电推动嵌入式系统快速发展。典型应用：掌上电脑、手持PC、机顶盒、汽车小型电脑等应用逐步成熟。工业连接：智能现场设备、嵌入式控制器、测控仪表和传感器接入现场总线、工业以太网，并进一步连接互联网。集中控制→分布式控制→现场总线/工业以太网→嵌入式与智能联网控制2、计算机控制理论发展过程采样理论推动现代控制理论逐步向离散化、智能化方向发展采样定理离散化基础差分方程离散模型Z变换离散分析状态空间现代控制最优/随机控制性能优化代数系统理论结构分析系统辨识

自适应控制智能控制发展关系：采样定理奠定离散控制基础→差分方程与Z变换形成分析工具→状态空间理论推动现代控制发展→最优控制、自适应控制进一步实现智能化与高性能控制。离散化→数学建模→系统分析→现代控制→智能控制(1)采样定理

计算机控制系统是利用离散的信号进行控制运算，这就带来一个问题：采用离散信号能否实施有效的控制，或者连续信号所含的信息能否由离散信号表示，或者离散信号能否一定能代表原来的连续信号。例如：有两个不同的连续信号f1(t)和f2(t)，假设选择采样周期都为T，如图1.15所示，从图中可以看出，f1(t)和f2(t)具有相同的采样信号f*(t)，这说明f*(t)未必能完全反映或近似的反映连续信号。

tf(t)f*(t)f2(t)f1(t)0T2T3T

…

…图1.15两个不同的连续信号的采样过程香农(Shannon)采样定理

一个连续时间信号f(t)，设其频带宽度是有限的，其最高频率为ωmax(或fmax)，如果在等间隔点上对该信号f(t)进行连续采样，为了使采样后的离散信号f*(t)能包含原信号f(t)的全部信息量。则采样角频率只有满足下面的关系：ωs≥2ωmax每个周期至少采样两次，采样后的离散信号f*(t)才能够无失真地复现f(t)。否则不能从f*(t)中恢复f(t)。其中，ωmax是最高角频率，ωs是采样角频率。它与采样频率fs、采样周期T的关系为：(2)差分方程采样系统理论的早期发展，与特殊控制系统的分析密切相关。奥尔登伯格和萨托里厄斯在1948年研究了落弓式检流计的特性，推动了采样系统理论的发展。核心思想：在离散时间系统中，用差分方程代替连续系统中的微分方程。连续系统

微分方程采样离散系统

差分方程分析稳定性

判据(3)Z变换法为离散时间序列建立类似拉普拉斯变换的分析工具由于拉普拉斯变换已成功应用于连续时间系统，人们自然希望为采样系统建立类似的变换理论。后来拉格尼兹和扎德将其定义为Z变换。连续信号

f(t)采样离散序列

f(kT)Z变换代数表达

F(z)意义：把离散序列转化为复变量函数，便于研究采样系统的稳定性、响应和控制器设计。(4)状态空间理论用状态变量统一描述系统内部运动规律状态空间理论的建立来自多位数学家的共同努力，如莱夫谢兹、庞特里亚金、贝尔曼等。卡尔曼将状态空间法系统地应用于控制理论，建立了许多重要概念。基本表达形式：输入

u(k)状态方程

x(k+1)输出方程

y(k)输出特点：适合处理多输入多输出系统，并为现代控制理论奠定基础。(5)最优控制与随机控制把控制设计问题形式化为“性能最优”问题20世纪50年代后期，贝尔曼与庞特里亚金等人证明：许多控制设计问题都可以转化为最优化问题。20世纪60年代初，随机控制理论进一步发展，引出了线性二次型高斯（LQG）理论。控制目标随机扰动跟踪更准确

能量更节省噪声与不确定性

影响控制效果最优/随机

控制器核心：在约束和扰动存在时，寻找使性能指标J最小的控制规律。(6)代数系统理论用多项式方法加深对线性系统的理解代数系统理论有助于从结构化、代数化的角度理解线性系统，并可应用多项式方法解决控制中的特殊问题。典型思路：把系统问题转化为多项式或矩阵多项式问题。线性系统传递函数多项式方法控制设计作用：为系统可控性、可观性、稳定性和控制器综合提供代数工具。(7)系统辨识与自适应控制让控制系统根据数据和对象变化自动调整奥斯特隆姆和威顿马克等人在系统辨识与自适应控制方面做出了重要贡献。尤其是奥斯特隆姆提出的自校正调节器，是理论联系实际的突出例子。基本过程：采集输入输出数据→辨识模型参数→在线调整控制器。给定值

r(k)自适应

控制器被控对象

Plant输出

y(k)系统辨识

估计模型参数1．推广应用成熟的先进技术2．研究发展先进智能控制系统3．工业4.0和《中国制造2025》发展要求4．自动化设备发展趋势1.3.2计算机控制技术发展趋势返回本章首页1．推广应用成熟的先进技术PLC与传统的继电器控制相比，具有如下一些特点：（1）抗干扰能力强（2）适应性好（3）编程直观、简单（4）功能完善，接口功能强返回本节（1）普及应用可编程序控制器(PLC)可编程控制器或PLC，是计算机技术与继电逻辑控制概念相结合的产物，其低端为常规继电逻辑控制的替代装置，而高端为一种高性能的工业控制计算机。它主要由CPU、存储器、输入组件、输出组件、电源及编程器等组成，基本都是模块化。还有辅助器件：数据采集模块、IO接口模块、通讯模块。（2）广泛使用智能调节器核心特点•信号输入：可接受4～20mA标准电流信号•通信接口：配置RS-232或RS-422/485接口•组网方式：与上位机连接成主从式测控网络•主要作用：实现现场数据采集、参数设定与集中

监控智能调节器示意典型连接关系4～20mARS-232/RS-422/485现场信号传感器/变送器智能调节器测量·运算·调节上位机集中监控/管理（3）采用新型的DCS和FCS发展重点•技术基础：工业以太网、现场总线等网络通信技术•控制结构：发展新型DCS与FCS，增强分布式协同•控制策略：融合先进控制算法，提高控制质量与可靠性•发展方向：面向低成本综合自动化系统•系统目标：支撑CIMS、CIPS、CPS等系统集成DCS与现场设备网络结构示意发展逻辑网络通信基础工业以太网/现场总线→DCS/FCS分布式与现场控制结构→先进控制策略优化、智能与协同控制→综合自动化CIMS/CIPS/CPS返回本节2.先进智能控制系统的发展思路先进智能控制系统面向复杂、不确定对象模糊控制

适应非线性鲁棒控制

抗模型误差专家控制

适应非线性预测控制多输入、多输出神经网络控制高不确定性、非线性复杂对象→智能策略→多方法融合→更高控制质量3.工业4.0和《中国制造2025》发展要求时代背景：以智能制造为主导的第四次工业革命。技术机遇：互联网+、移动互联网、3D打印、云计算、大数据、物联网、智能机器人等快速发展。核心支撑：CPS集成计算、通信与控制，连接信息进程与物理进程。研究方向：智能感知与互联、智能调控与优化、工业大数据、系统安全与防护。典型形态：CPS+工业以太网/物联网+感知+智能机器人。感知互联智能目标：低成本、综合化、智能化的现代制造控制系统4.自动化设备发展趋势技术基础：电子技术、计算机技术和网络技术快速发展。设备趋势：仪器仪表不断向高智能化、小型化方向升级。网络形态：实现仪器网络化、网络仪器与远程计算机控制。传输方式：控制网络向有线和无线相结合的方向发展。应用结果：工业现场数据可通过无线方式传输与共享。未来方向：计算机网络技术+无线传输技术+智能传感器技术→网络智能传感器目标：实现工业现场数据的无线传输、远程监控与高效共享本章到此结束，谢谢！本节课的学习目的（1）掌握Z变换的定义，会用Z变换定义求解常用函数的Z变换；（2）掌握Z变换的性质和定理，会应用其求解复杂函数的Z变换；（3）理解Z反变换的定义。重点：Z变换的定义、性质及其应用。采样过程(Sample)：连续信号经采样开关转换为离散时间信号的过程。在数控系统中，是连续偏差信号e(t)经采样开关转换为离散时间信号e*(t)的过程。信号重构(Signalreconstruction)：离散时间信号转换为连续信号的过程。在数控系统中，是离散时间信号u*(t)经保持器转换为连续控制信号u(t)的过程。2.2.1信号的采样与保持2.2.1信号的采样与保持2.2.2采样定理及意义采样过程2.2.3保持器核心问题：把离散信号恢复为连续信号计算机控制系统需将采样后的离散信号x*(t)恢复为连续信号x(t)。理想恢复依赖低通滤波器滤除高频分量，但物理实现困难。工程中通常用接近理想滤波器特性的保持器来替代。离散采样→保持处理→连续控制量图示：采样保持电路结构及保持前后信号对比零阶保持器：把采样值保持到下一采样时刻工作方式在t∈(kT,(k+1)T)内，输出始终保持为x(kT)。两个采样点之间输出不为零，形成阶梯形信号x_h(t)。保持后信号相当于带有约T/2的平均滞后。信号对比零阶保持器的本质：“采样值保持不变，直到下一次采样”零阶保持器的数学模型输出信号的时间域描述拉普拉斯变换形式传递函数关键结论：零阶保持器可看作一个低通性质的保持环节频率特性：低通作用与相位滞后频率特性表达式工程启示：采样周期T应尽量合理取小，以减小保持滞后。图示：零阶保持器幅频特性与相频特性幅频特性随频率升高逐渐减小。它具有低通滤波作用，但不是理想低通滤波器。通过保持器后会产生相位滞后，采样周期越大，滞后越明显。滞后会影响闭环系统稳定性零阶保持器的工程实现思路：用无源网络近似实现零阶保持器展开式取级数前两项取级数前三项对应电路近似RC无源网络近似RLC无源网络近似近似阶数越高，特性越接近零阶保持器，但电路结构也更复杂。2.3.1Z变换定义与常用函数Z变换

线性连续系统线性离散系统微分方程——————差分方程

※L氏变换法——————Z变换法S传递函数——————Z传递函数S平面——————Z平面回忆：

Laplace变换的定义如果有一个以时间t为自变量的函数f(t)，它的定义域是t＞0，那么拉氏变换就是如下运算式：式中引入积分算子（超越函数），其中s为复数，。一个函数可以进行拉氏变换的充分条件是：（1）在t＜0时，f(t)＝0；（2）在t≥0时的任一有限区间内，f(t)是分段连续的；（3）如果已知象函数F(s)，则拉氏变换的反变换为:式中,c为实数，并且大于F(s)任意奇异点的实数部分。为了工程应用方便，常把F(s)和f(t)的对应关系编成表格——拉氏变换表。序号原函数f(t)(t>0)象函数F(s)=L[f(t)]11(单位阶跃函数)1s2

(t)(单位脉冲函数)13K(常数)Ks4t

(单位斜坡函数)1s2典型常见函数拉氏变换表序号原函数f(t)(t>0)象函数F(s)=L[f(t)]5tn(n=1,2,…)n!sn+16e

-at1s+a7tn

e

-at(n=1,2,…)n!(s+a)n+181

T1Ts

+1tTe典型常见函数拉氏变换表序号原函数f(t)(t>0)象函数F(s)=L[f(t)]9sin

t

s2+

210cos

tss2+

211e

-atsin

t

(s+a)2+

212e

-atcos

ts+a(s+a)2+

2应用拉氏变换法解微分方程的步骤如下：(1)对线性微分方程进行拉氏变换，使时域的微分方程变换为复数域s的代数变换方程；方程中的初始值应取系统t=0+时的对应值。(2)求解代数变换方程，得到输出变量在复数域s的象函数表达式。(3)将s域的输出象函数表达式展成部分分式。(4)对部分分式进行拉氏反变换(可查拉氏变换表)，即得微分方程在时域的全解。例题求输入为单位阶跃电压时的时域解。设电容C上的初始电压为uc(0)＝u0。解:对网络微分方程式进行拉氏变换，得RC无源网络动态微分方程式为知道S变换后，再了解Z变换是如何定义的？Z变换的思想来源于连续系统。线性连续系统的动态及稳态性能，可以用拉氏变换方法分析。与此类似，想利用Z变换分析线性离散系统的性能。Z变换是从拉氏变换引申出来的一种变换方法，是采样函数拉氏变换的变形。因此，Z变换又称采样拉氏变换，是研究离散系统的重要工具。如何从拉氏变换引申出来Z变换呢？Z变换的定义Z变换的定义Z变换的方法求取离散时间函数的Z变换有多种方法，常用的有两种。（1）级数求和法将离散时间函数写成展开式的形式（2）部分分式法（3）留数计算法拉氏或Z变换思想的体会：

物理系统—？—数学模型

（举例）连续系统：微分方程——L氏变换——G(s)

（暂态特性、稳态特性）

离散系统：差分方程——Z变换——G(z)

（暂态特性、稳态特性）

变换目的：把微分方程或差分方程变换为代数方程求解。

线性连续系统线性离散系统微分方程——————差分方程

※L氏变换法——————Z变换法S传递函数——————Z传递函数S平面——————Z平面

离散系统Z变换分析用到几个数学概念：1、级数展开及求和（级数展开的意义）；2、常用数列求和；3、复平面与复数方程。2.3.2Z变换的性质和定理1.线性定理2.滞后定理证明：则有：证明：3.超前定理证明：4.终值定理则：若定义：5.卷积和定理证明：5.卷积和定理证明：若有：则：6.求和定理证明：所以：7.初值定理证明：8.位移定理证明：所以：9.微分定理第三节Unit3Z反变换2.3.3Z变换1.长除法2.部分分式法基本思想已知Z变换：把反变换问题转化为：求各极点处的留数之和。式中：Res[·]为函数在极点处的留数；zₘ为极点；m为极点数。极点计算公式（1）单重极点：（2）r阶重极点：3.留数法例题2-9已知：求f(k)或f(t)。求解思路1.极点z=1，且为二重极点（r=2）；2.代入重极点留数公式；3.得到离散序列并对应到连续时间。计算结论本章到此结束，谢谢！本课主要内容•线性定常离散系统的差分方程及求解•Z传递函数•教学目的：（1）差分方程的基本概念；（2）了解线性离散系统的数学描述方法—线性常系数差分方程描述；（3）会用Z变换的定义及性质求解差分方程；（4）掌握Z传递函数的定义和性质，会用开环以及闭环系统的Z传递函数分析系统。•本课重点：（1）差分方程的求解；（2）Z传递函数的定义和性质；（3）Z传递函数的求法。•本课难点：Z传递函数的性质及连续环节的离散化。•本课关键：对照连续系统的相应定义来理解离散系统。

物理系统：连续系统——离散系统

时域数学模型：微分方程——差分方程

模型简化变换：L氏变换法——Z变换法

变换映射关系：S平面——Z平面

对应传递函数：S传递函数——Z传递函数Unit2.4Z变换理论的应用1．差分概念：设函数，当自变量依次取遍非负整数时，相应的函数值排成一列将之简记为称为函数点的差分，记做即一阶差分的差分叫做二阶差分，即类似可以定义高阶差分，ｋ阶差分为116117

差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化规律。通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系，从而建立差分方程。

差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分方程。通过求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的

特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性等），从而把握这个离散变量的变化过程的规律，进一步再结合其它分析，得到原问题的解。

３.差分方程的解含有未知函数的差分或未知函数几个不同时期值的方程称为差分方程．出现在差分方程中未知函数下标的最大差，称为差分方程的阶．如下方程都是二阶方程．２.差分方程如果一个函数代入差分方程，使方程两边恒等，则称此函数为差分方程的解．若在差分方程的解中，含有相互独立的任意常数的个数与该方程的阶数相同，则称这个解为差分方程的通解．118例1．汉诺塔问题:n个大小不同的圆盘依其半径大小套在桩A上，大的在下，小的在上。现要将其n个盘移动到空桩B或C上，但要求依次只能移动一个盘且移动过程中，始终保持大盘在下，小盘在上。移动过程中桩A也可以利用。设移动n个盘的次数为,试建立关于的差分方程。ABC４．离散系统差分方程建模举例119120解：先将A上的n-1个盘按题设要求移到C上，这需要移动次，再A盘上最大盘移动到B上，这需要移动一次，最后将C盘上的n-1个盘按要求移动到B上,这需要移动次，于是得差分方程：ABC121例2．裴波那契（Fibonacci)数列设第一月初有雌雄各一的一对小兔。假定两个月后为成兔，同时第三个月开始每月初产雌雄各一的一对小兔，新增小兔也按此规律繁殖。设第n月末共有对兔子，拭建立关于的差分方程。122解因第ｎ月末的兔子包括两部分，一部分为上月留下的，另一部分为当月新生的，由题设知，当月生的的小兔等于前月末的兔数，所以称为裴波那契（Fibonacci)数列123差分方程模型在现实生活离散系统有着非常广泛的实际背景。在经济、金融、保险领域、生物种群的数量结构规律分析、疾病和病虫害的控制与防治、遗传规律的研究等许许多多的方面都有着非常重要的作用。再如经济学中的商品数量与价格关系模型、减肥计划中的节食与运动关系模型等，可以这样讲，只要牵涉到关于变量的规律、性质，就可以适当地用差分方程模型来表现与分析求解。

差分方程模型在连续系统有着广泛的应用。实际上，连续变量可以用离散变量来近似和逼近，从而微分方程模型就可以近似于某个差分方程模型。为何把微分方程模型化为差分方程模型？Unit2.5线性定常离散系统的差分方程及求解LinearDifferenceEquationanditsSolution2-4-1用Z变换求解差分方程(变换法)用Z变换求解差分方程的步骤：（1）对差分方程作Z变换；（2）利用已知初始条件代入Z变换式，求出Y(z)表达式；（3）对Y(z)求Z反变换，求出差分方程的解:y(kT)=Z-1[Y(z)]1取Z反变换得2第五节Unit5Z传递函数TheDiscretez-TransferFunction2-5-1Z传递函数的定义（1）传递函数（线性连续系统）定义：在初始静止（t=0时输入量r(t)和输出量y(t)以及它们的各级导数均为零）的条件下，一个环节（或系统）的输出量的拉氏变换和输入量的拉氏变换之比为该环节（或系统）的传递函数。在连续系统中传递函数反映了环节的物理特性，仅取决于描述系统的微分方程。2-5-1Z传递函数的定义（2）传递函数（线性离散系统）定义：在初始静止(k=0时，输入序列与输出序列均为零）的条件下，一个环节(或系统）的输出脉冲序列的Z变换Y(z)跟输入脉冲序列的Z变换R(z)之比。

意义：反映了环节的物理特性，仅取决于描述线性离散系统的差分方程。2-5-1Z传递函数的定义（3）Z传递函数的推导：设n阶定常离散系统的差分方程为：在零初始条件下，取Z变换在零初始条件下离散系统的输出与输入序列的Z变换之比。2-5-2Z传递函数与脉冲响应函数的关系称为系统的脉冲过渡函数或脉冲响应函数1.脉冲响应函数定义系统的输出对于离散系统情况：环节（或系统）的Z传递函数G(z)等于单位脉冲响应g(kT)的Z变换。系统的输出2-5-3Z传递函数的求法

1.已知控制系统传递函数G(s)，求Z传函。(1)用拉氏反变换求脉冲过渡函数

g(t)=L-1[G(s)](2)将g(t)按采样周期T离散化，得g(kT)(3)应用定义求出Z传递函数，即2.已知差分方程，求Z传函。3.已知系统的传递函数G(s)，求Z传函。

（部分分式法）注意：(1)G(z)不能由G(s)简单地令s=z代换得到。(2)G(s)是g(t)的拉氏变换，G(z)是g(t)的Z变换。(3)G(s)只与连续环节本身有关；G(z)除与连续环节本身有关外，还要包括采样开关的作用。为了讨论方便，将上述过程简记为2-5-4开环Z传递函数传递函数和Z传递函数的比较：（1）定义形式上相似；（2）结构图的简化变换有差异：a）传递函数对应的输入输出是模拟量，Z传递函数对应的输入与输出是脉冲序列。b）Z传递函数存在同步开关，其位置决定Z传递函数的表达形式。2-5-4开环Z传递函数一、串联环节的Z传递函数：结构有两种情况：一种：两个串联环节之间没有采样开关存在，即串联环节之间的信号是连续时间信号，如图4所示。注意：输出Y(z)与输入U(z)之间总的Z传递函数并不等于两个环节Z传递函数之积。方法：先求两个连续环节的传递函数，即上式对应的Z传递函数为

表示先将串联环节传递函数G1(s)与G2(s)相乘后，再求Z变换的过程。另一种：两个环节之间有同步采样开关存在，如图5所示。方法：两个串联环节之间有采样开关，可由Z传递函数的定义直接求出。

串联环节总的Z传递函数为结论：

n个环节串联构成的系统，若各串联环节之间有同步采样开关，总的Z传递函数等于各个串联环节Z传递函数之积，即

如果在串联环节之间没有采样开关，需要将这些串联环节看成一个整体，求出其传递函数，然后再根据G(s)求G(z)。二、并联环节的Z传递函数：

对于两个环节并联的离散系统，输入采样开关设在总的输入端，其效果相当于在每一个环节的输入端分别设置一个采样开关，如图6所示。

根据图6可知，总的Z传递函数等于两个环节Z传递函数之和，即2-5-5闭环Z传递函数设两个定义：闭环Z传递函数闭环误差Z传递函数2-5-5闭环Z传递函数规律：(1)分子部分与主通道上各个环节有关;(2)分母部分与闭环回路中各个环节有关;(3)采样开关的位置对分子、分母部分都有影响。推导步骤：

(1)在主通道上建立Y(z)与中间变量E(z)的关系;(2)在闭环回路中建立中间变量E(z)与R(z)或R(s)的关系;(3)消去中间变量E(z)，建立Y(z)与R(z)或R(s)的关系。例9：

设离散系统如图9所示，求该系统的闭环

误差Z传递函数及闭环Z传递函数。2-5-6Z传递函数的物理可实现性“物理可实现”概念:系统的输出只能产生于输入信号作用于系统之后。设G(z)的一般表达式为：假定m≥0，n≥0，则其对应的差分方程为由上式知，k时刻的输出y(k)不依赖于k时刻之后的输入，只取决于k时刻以及k时刻之前的输入和k时刻之前的输出。G(z)是物理可实现的（无条件实现）。若设G(z)的一般表达式为(m≥0，n≥0)如果n≥m，则G(z)是物理可实现的（有条件实现）。如果n<m，则G(z)是物理不可实现的（k时刻的输出y(k)就要依赖于k时刻之后的输入）。2-5-7在扰动作用下的线性离散系统线性离散系统除了参考输入外，通常还存在扰动作用，如图11所示。迭加原理:系统的输出响应y(t)应为参考输入r(t)和扰动作用f(t)分别单独作用所引起响应的迭加。1．不存在扰动时2．只存在扰动时，等效的方框图如图12所示。3．系统总的输出响应

根据线性系统的迭加原理:系统在两种输入作用时系统总的输出响应为本章到此结束，谢谢！第三章计算机控制系统特性分析

AnalysisoftheDiscreteSystem本课主要内容

·离散系统的稳定性分析·离散系统的动态响应分析·离散系统的稳态误差分析本课引入（2）系统稳定的充要条件•学习目的：（1）了解S平面、W平面与Z平面的映射关系；（2）掌握离散系统的稳定性分析方法，会应用Routh准则对离散系统进行稳定性分析；（3）对照连续系统，会对离散系统进行动态响应分析；（4）掌握离散系统稳态误差的计算方法。•本课重点：

线性离散系统的稳定性分析（Routh判据）。3.1离散系统离散系统是输入和输出信号均为离散信号的物理系统本节主线：采样控制系统→数字控制系统→等效关系→特点与分类离散系统与连续系统既有本质差异，也具有相似的分析框架。Z变换使连续系统中的许多概念和方法能够推广到离散系统。3.1.1采样控制系统：信号采样与恢复采样：把连续信号转变为脉冲序列，得到离散模拟信号。采样周期T、采样频率fs=1/T、采样角频率ωs=2π/T。恢复：保持器把脉冲序列复现为连续信号，常用零阶保持器形成阶梯信号。保持器可减少高频分量对连续部分的影响，改善控制质量。3.1.2数字控制系统以数字计算机作为控制器，在每个采样周期内完成采样编码、控制运算和输出转换。基本环节：A/D转换器、数字控制器D(z)、D/A转换器、被控对象和测量元件。A/D与D/A是数字控制系统连接连续对象的关键桥梁。运行顺序：连续信号→A/D→数字运算→D/A→连续对象基本组成A/D转换：采样+量化采样：每隔T秒对连续信号e(t)取一次样。量化：按最小量化单位q把采样值编码为二进制整数倍。结果：数字信号e(kT)在时间和幅值上都离散。图3-3A/D转换过程本质：把连续幅值转化为计算机可处理的离散数字量。D/A转换：解码+保持复现解码：将u(kT)转换为离散模拟信号u*(t)。复现：通过保持器将离散模拟信号复现为连续模拟信号u(t)。结果：控制量可重新作用于连续被控对象，常表现为阶梯信号。图3-4D/A转换过程本质：把数字控制结果恢复为可驱动对象的模拟控制信号。3.1.3计算机控制系统与采样控制系统的关系当A/D字长足够、量化单位q足够小时，量化误差可忽略。若采样编码近似为瞬时完成，可用理想采样开关等效A/D。D/A转换器可用保持器等效。因此，计算机控制系统可等效为采样控制系统，统称为离散系统。本质：把数字控制结果恢复为可驱动对象的模拟控制信号。3.1.4离散控制系统的特点相较连续系统，离散控制系统可能因采样点间信息丢失和保持器延迟而降低部分性能；但数字化带来的优势更突出。软件实现控制规律由软件实现，修改和调整更方便，控制更灵活。抗干扰强数字信号传递可有效抑制噪声，提高系统抗干扰能力。控制精度高可采用高灵敏度控制元件，提高控制精度。经济性好一台计算机可分时控制多个系统，提高设备利用率。3.1.5离散系统的分类与本章重点离散系统可抽象为输入序列到输出序列的数学变换：y(k)=T[x(k)]线性离散系统：满足比例叠加定理。时不变离散系统：输入到输出的变换关系不随时间变化。线性时不变离散系统：同时满足线性与时不变条件。核心思路：把连续系统分析方法迁移到Z平面，建立离散系统的统一分析框架。3.2采样控制系统稳定性分析稳定性是控制系统能够正常工作的前提，也是分析和设计系统时首先要考虑的问题。·计算机控制系统稳定性分析，本质上是离散系统稳定性分析。·稳定的含义：在有界输入作用下，系统输出也保持有界。·连续系统在s平面分析；离散系统在z平面分析。·线性定常系统稳定时，其方程解应收敛且有界。核心问题：如何由z平面的极点位置判断离散系统是否稳定。3.2.1z变换与拉普拉斯变换对比拉普拉斯变换用于连续系统，Z变换用于离散系统。Z变换对应采样序列，而非原连续函数。拉普拉斯变换Z变换对象：连续信号x(t)存在条件：绝对积分收敛对象：采样序列x(k)常用定义：双边与单边Z变换工程中常用单边Z变换；若X(z)为有理函数，收敛域与零极点分布密切相关。Z变换的收敛域与极点示例例：对序列进行Z变换，观察其收敛条件与极点位置。当|z|=r>|a|时，级数收敛。因此：零点z=0，极点z=a，收敛域为|z|>|a|。稳定性判据：若离散系统所有极点均在单位圆内，则系统稳定；若存在极点在单位圆外或单位圆上，则系统不稳定或临界。3.2.2s平面和Z平面映射关系图1S平面与Z平面的映射关系3.2.3线性离散系统的稳定性条件例1：某离散系统的闭环Z传递函数为试判断系统的稳定性。解：W(z)的极点为：z1=-0.237，z2=-1.556由于|z2|=1.556＞1，故该系统是不稳定的。例2：设线性离散系统的特征方程为解：由特征方程可得特征根为特征根全部在Z平面上以原点为圆心的单位圆内，所以系统稳定。

S平面：Routh稳定性准则用来判断复变量代数方程的根是否位于S平面的左半面。Z平面：Routh稳定性准则用来判断复变量代数方程的根是否位于Z平面的单位圆内。3.2.4Routh稳定性准则在离散系统的应用Z-W变换：Z平面上以原点为圆心的单位圆周映射到W平面上为虚轴；Z平面上单位圆内的各点映射到W平面上为左半平面上各点；Z平面上单位圆外的各点映射到W平面上为右半平面上各点。W变换：将Z特征方程变成W特征方程。系统的Z特征方程为经过Z-W变换，可得到W代数方程对上式施用Routh判据便可判断系统的稳定性:

即：W特征方程的根是否在W平面的左半面。劳斯判据的要点：(1)特征方程：若系数的符号不相同，则系统不稳定。若系数符号相同，建立劳斯行列表。(2)建立劳斯行列表：(3)若劳斯行列表第一列各元素均为正，则所有特征根均分布在左半平面，系统稳定。(4)若劳斯行列表第一列出现负数，表明系统不稳定。第一列元素符号变化的次数，表示右半平面上特征根的个数。建立劳斯行列式

劳斯行列式的第一列各元素均为正，由劳斯判据可知系统稳定。讨论：（1）显然，当k≥17.3时，该系统是不稳定的。但对于二阶连续系统，k为任何值时都是稳定的。说明k对离散系统的稳定性是有影响的。（2）采样周期T对系统的稳定性亦有影响：T↓→稳定性↑对于本例，若T=0.1s，可以得到0＜k＜40.5。（3）对于计算机控制系统，缩短采样周期就意味着增加计算机的运算时间，且当采样周期减小到一定程度后，对改善动态性能无多大意义，所以应该适当选取采样周期。3.3计算机控制系统的动态响应分析单位阶跃响应图7线性离散系统的单位阶跃响应单位脉冲响应单极点：3.3.1Z平面上几点分布与单位脉冲响应的关系结论：(1)极点在单位圆外的正实轴上，对应的暂态响应分量y(kT)单调发散。(2)极点在单位圆与正实轴的交点，对应的暂态响应y(kT)是等幅的。(3)极点在单位圆内的正实轴上，对应的暂态响应y(kT)单调衰减。(4)极点在单位圆内的负实轴上，对应的暂态响应y(kT)是以2T为周期正负交替的衰减振荡。(5)极点在单位圆与负实轴的交点，对应的暂态响应y(kT)是以2T为周期正负交替的等幅振荡。(6)极点在单位圆外的负实轴上，对应的暂态响应y(kT)是以2T为周期正负交替的发散振荡。例7：某离散系统如图9所示，分析该系统的过渡过程。设系统的输入是单位阶跃函数。3.3.2用脉冲传递函数分析离散系统的动态特性从上述数据可以看出，系统在单位阶跃函数作用下的过渡过程具有衰减振荡的形式，故系统是稳定。其超调量约为40%，且峰值出现在第3、4拍之间，约经过12个采样周期过渡过程结束，如图10曲线a所示。该二阶离散系统仍是稳定的，其超调量约为21%，峰值产生在第3拍，调整时间为5拍，如图10曲线b所示。可见无保持器比有保持器的系统的动态性能好，这是因为保持器有滞后功能所致。(3)现将图中保持器去掉，设K=5，T=τ=1，则由上面数据可以看出，当K=5，T=τ=1时，没有保持器的二阶系统是不稳定的，且是正负交替的发散式振荡较剧烈。习题9的推广基本方法利用Z变换的终值定理，求取误差采样的离散系统在采样瞬时的终值误差。图中：G(s)为连续部分的传递函数，e(t)为系统连续误差信号，e*(t)为系统采样误差信号。3.4采样控制系统的稳态误差分析条件：离散系统是稳定的。讨论：线性定常离散系统的稳态误差，不但与系统本身的结构和参数有关，而且与输入序列的形式及幅值有关，除此之外，还与采样周期的选取有关。3.4.1Z变换终值定理法求稳态误差1．单位阶跃输入时的稳态误差对于单位阶跃输入r(t)=1(t)时，3.4.2Z变换终值定理法求稳态误差在离散系统中，也可以把开环脉冲传递函数G(z)具有z=1的极点数v作为划分离散系统型别的标准，把G(z)中v=0,1,2,…的系统，称为0型，Ⅰ型和Ⅱ系统等。在单位阶跃函数作用下，0型离散系统在采样瞬时存在位置误差；Ⅰ型或Ⅰ型以上的离散系统，在采样瞬时没有位置误差。2．单位速度输入时的稳态误差对于单位速度输入r(t)=t时在单位速度函数作用下，0型离散系统在采样瞬时稳态误差无穷大，Ⅰ型离散系统在采样瞬时存在速度误差；Ⅱ型或Ⅱ型以上的离散系统，在采样瞬时不存在稳态误差。3．单位加速度输入时的稳态误差0型及Ⅰ型系统Ka=0；Ⅱ型系统的Ka为常值，Ⅲ型及Ⅲ型以上系统Ka=∞。因而，0型和I型离散系统不能承受单位加速度函数作用，Ⅱ型离散系统在单位加速度信号作用下存在加速度误差，只有Ⅲ型或Ⅲ型以上的离散系统，在采样瞬时不存在稳态误差。例8：对于图11所示的离散系统，设求该系统在三种典型信号的作用下的稳态误差。解：(1)单位阶跃函数输入时结论：对于同一线性离散系统，当输入形式改变时，系统的稳态误差也随之改变。练笔－解法2：根据稳态误差定义求解。第四章数字控制器的模拟设计方法

引言

自动化控制系统的核心是控制器。控制器的任务是按照一定的控制规律，产生满足工艺要求的控制信号，以输出驱动执行器，达到自动控制的目的。在传统的模拟控制系统中，控制器的控制规律或控制作用是由仪表或电子装置的硬件电路完成的，而在计算机控制系统中，除了计算机装置以外，更主要的体现在软件算法上，即数字控制器的设计上。

本章主要知识点:

数字控制器的连续化设计步骤

数字PID控制算法

数字PID的改进

数字PID的参数整定

一、数字控制器的连续化设计步骤

基本设计思想设计假想连续控制器D(s)离散化连续控制器D(z)离散算法的计算机实现与校验

连续化设计的基本思想

把整个控制系统看成是模拟系统，利用模拟系统的理论和方法进行分析和设计，得到模拟控制器后再通过某种近似，将模拟控制器离散化为数字控制器，并由计算机来实现。

D(s)

设计假想连续控制器1.原则上可采用连续控制系统中各种设计方法来设计连续系统控制器

控制器实际上是系统的一种校正装置。系统借助校正装置改变实际系统最终输出性能。

控制器的连接方式（校正方式）有：串联校正、反馈校正、前馈校正和复合校正。

控制器的控制规律（D(s)表达式）：可用频率法、根轨迹法、零极点匹配法等方法进行分析综合得到，工程上常采用已知结构的PID控制算法。D(s)2.零阶保持器的处理方法

采用连续化设计方法，用数字控制器去近似连续控制器，要有相当短的采样周期。采样周期足够小时，可忽略保持器。

连续控制器的离散化

根据连续控制器的传递函数，离散化方法有：1.双线性变换法：其中：2.后向差分法：其中,利用级数展开写成以下形式：3.前向差分法：

其中：4.零极点匹配法：注意：四种D(s)离散化方法不同，得到的数字控制规律D(z)在形式上也相同，但产生的作用效果相当或相近。

离散算法的计算机实现

设计性能校验：常采用数字仿真方法验证其各项性能指标是否满足要求。4.1数字PID控制算法

根据偏差的比例(P)、积分(I)、微分(D)进行控制(简称PID控制)，是控制系统中应用最为广泛的一种控制规律。PID调节器之所以经久不衰，主要有以下优点：

1.技术成熟，通用性强

2.原理简单，易被人们熟悉和掌握

3.不需要建立控制器数学模型

4.控制效果好，P、I、D三个参数的优化配置，兼顾了动态过程的现在、过去与将来的信息，使动态过程快速、平稳和准确；

1．模拟PID调节器

对应的模拟PID调节器的传递函数为PID控制规律以微分方程形式表示为：KP为比例增益，KP与比例带δ成倒数关系即KP=1/δTi为积分时间，Td为微分时间u(t)为控制量，e(t)为偏差e(t)u(t)y(t)r(t)图4.2模拟PID控制系统G(s)KPTIsKPKPTDs

比例控制的作用：能迅速反映误差，从而减少误差，但比例控制不能最终消除稳态误差。比例控制的加强，会引起系统的不稳定。

积分控制的作用：按误差累加进行控制，积分作用能最终消除稳态误差，同时带来系统延时，动态响应变慢，而且积分太强会引起系统超调加大，甚至出现震荡。

微分控制的作用：按误差变化趋势进行控制，微分作用可以减少超调量，克服振荡，提高系统稳定性。同时提高响应速度，改善动态性能。2.数字PID控制器

由于计算机控制是一种采样控制，它只能根据采样时刻的偏差值计算控制量。在计算机控制系统中，PID控制规律的实现必须用数值逼近的方法。当采样周期相当短时，用求和代替积分、用后向差分代替微分，使模拟PID离散化变为差分方程。这样就得到两种算式：

(1)数字PID位置型控制算法(微分方程推导)(2)数字PID增量型控制算法(传递函数推导)u*(t)e*(t)y(t)Tr(t)e(t)图4.3离散PID控制系统D(z)TZOHG0(s)G(z)PID（1）.数字PID位置型控制算法一般连续形式（模拟形式）：有微分方程和传递函数两种形式离散等效：在微分方程中，以求和替代积分，向后差分替代微分得到位置算式其中：（2）.数字PID增量型控制算法根据控制器的传递函数，利用后向差分法离散化化成差分方程形式

理想PID的增量差分形式（递推算式）其中（4—33）（3）数字PID控制算法实现方式比较

控制系统中：①如执行机构采用调节阀，则控制量对应阀门的开度，表征了执行机构的位置，此时控制器应采用数字PID位置式控制算法；②如执行机构采用步进电机，每个采样周期，控制器输出的控制量，是相对于上次控制量的增加，此时控制器应采用数字PID增量式控制算法；增量式控制算法的优点：(1)增量算法不需要做累加，控制量增量的确定仅与最近几次误差采样值有关，计算误差或计算精度问题，对控制量的计算影响较小。而位置算法要用到过去的误差的累加值，容易产生大的累加误差。(2)增量式算法得出的是控制量的增量，例如阀门控制中、只输出阀门开度的变化部分，误动作影响小，必要时通过逻辑判断限制或禁止本次输出，不会严重影响系统的工作。而位置算法的输出是控制量的全量输出，误动作影响大。(3)采用增量算法，易于实现手动到自动的无冲击切换。（4）数字PID控制算法流程

图4.4位置型控制算式的递推算法：利用增量型控制算法，也可得出位置型控制算法：

u(k)=u(k-1)+Δu(k)=u(k-1)+q0e(k)+q1e(k-1)+q2e(k-2)下面通过实例说明数字PID的控制效果例1对于图4.3所示的离散系统，已知输入为单位阶跃信号，试分析该系统。解：

4.2数字PID控制器的设计4.2.1PID调节器参数对控制系统性能的影响(1)设D(z)=Kp，即考虑比例控制

图4.5为Kp取不同值时的输出波形。y(t)t10y(t)t(a)Kp=0.5(b)Kp=110y(t)ty(t)t(c)Kp=2(d)Kp=4101010(e)Kp=8图4.5Kp取不同值时的波形y(t)t由终值定理：当Kp=0.5时，稳态误差为0.283。当Kp=1时，稳态误差为0.165。当Kp=2时，稳态误差为0.09。当Kp=4时，稳态误差为0.047。当Kp=8时，稳态误差为0.024。

由此可见，当Kp加大时，可使系统动作灵敏，速度加快，在系统稳定的情况下，系统的稳态误差将减小，却不能完全消除系统的稳态误差。Kp偏大时，系统振荡次数增多，调节时间加长。Kp太大时，系统会趋于不稳定。而如果Kp太小时，又会使系统动作缓慢。

(2)设

，即PI控制，设Kp=1图4.6为KI取不同值时的输出波形。

y(t)ty(t)ty(t)t10y(t)t(a)KI=0.01(b)KI=0.1(c)KI=0.2(d)KI=0.4图4.6KI取不同值时的波形101010系统的输出稳态值为：系统的稳态误差为0。

由此可见，积分作用能消除稳态误差，提高控制精度，系统引入积分作用通常使系统的稳定性下降，KI太大时系统将不稳定；KI偏大时系统的振荡次数较多；KI偏小时积分作用对系统的影响减少；当KI大小比较合适时系统过渡过程比较理想。

(3)设，即PID控制，并设KP=1、KI=0.1图4.7为KD取不同值时的输出波形。

y(t)ty(t)ty(t)t10y(t)t(a)KD=0.5(b)KD=1.5(c)KD=3(d)KD=10图4.7KD取不同值时的波形1010104.3数字PID控制器的改进

（1）积分项的改进（2）微分项的改进（3）时间最优+PID控制（4）带死区的PID控制算法4.3.1防积分饱和的方法积分分离变速积分抗积分饱和梯形积分消除积分不灵敏区积分的作用？消除静态误差，提高稳态精度

积分分离算法现象：一般PID,当有较大的扰动或大幅度改变设定值时，由于短时间内出现大的偏差，加上系统本身具有的惯性和滞后，在积分的作用下，将引起系统过量的超调和长时间的波动。积分的主要作用：在控制的后期消除稳态偏差

普通分离算法：大偏差时不积分

当时，采用PID控制当时，采用PD控制

积分分离值的确定原则图9-3不同积分分离值下的系统响应曲线

变速积分算法0BA+B-B-A-Be(k)tPID变速积分变速积分PDPD

抗积分饱和算法现象：由于控制输出与被控量不是一一对应的，控制输出可能达到限幅值，持续的积分作用可能使输出进一步超限，此时系统处于开环状态，当需要控制量返回正常值时，无法及时“回头”，使控制品质变差。

实际控制系统都会受到执行元件的饱和非线性的约束，系统执行机构所能提供的最大控制变量是有限的，即|u(t)|≤u0，u0为限制值，这相当于在系统中串联了一个饱和非线性