正方形的性质 课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

第一章

特殊平行四边形4

正方形的性质与判定

第1课时

正方形的性质

知识关联探究与应用 课堂小结与检测1.探索并证明正方形的性质定理，了解它与菱形、矩形之间的关系。2.会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题，进一步发展几何直观和推理能力。3.体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想。学习目标1.图形中的平行四边形都是什么图形?知识关联2.你还记得正方形定义吗?有一组邻边相等，并且一个角是直角的平行四边形叫作正方形。一个角是直角平行四边形距形一组邻边相等一个角是直角一组邻边相等菱形正方形知识回顾

【探究】正方形的性质【思考·交流】

(1)正方形是菱形吗?正方形是矩形吗?(2)你认为正方形有哪些特殊的性质?与同伴进行交流.探究与应用正方形是特殊的平行四边形它具有矩形与菱形的所有性质。正方形是特殊的菱形正方形是特殊的矩形边角对角线对边平行且相等对角相等对角线互相平分四条边相等对角线互相垂直四个角都是直角对角线相等正方形的性质你能证明吗？

【探究】正方形的性质探究与应用

【探究】

正方形的性质

已知:如图,在正方形ABCD中,∠BAD=90°,AB=AD,对角线AC,BD相交于点O.

求证:

(1)∠ABC=∠BCD=∠ADC=∠BAD=90°,AB=AD=CD=BC,

(2)AC=BD,AC⊥BD,OA=OC,OB=OD.证明：

(1)∵四边形ABCD是正方形，∠B=90°，∴AD//BC，AB//DC，∠D=∠B=90°，∴∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°，∴∠A=∠C=90°，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°。∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CD，AD=BC，又∵AB=BC，∴AB=BC=CD=DA。探究与应用

【探究】

正方形的性质

已知:如图,在正方形ABCD中,∠BAD=90°,AB=AD,对角线AC,BD相交于点O.

求证:

(1)∠ABC=∠BCD=∠ADC=∠BAD=90°,AB=AD=CD=BC,

(2)AC=BD,AC⊥BD,OA=OC,OB=OD.证明：

(2)∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OC，OB=OD，又∵AB=BC，∠ABC=90°，∴BO⊥AC，∠BAC=∠BCA=45°，∴AC⊥BD，∠AOB=90°。∴∠OBA=90°-∠OAB=90°-45°=45°，∴∠OBA=∠BAC，∴OA=OB，∵AC=2AO，BD=2BO，∴AC=BD。定理1：正方形的四个角都是直角，四条边相等。几何语言：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，

AB=BC=CD=AD。定理2：正方形的对角线相等且互相垂直平分。几何语言：∵四边形ABCD是正方形，∴AC=BD，AC⊥BD，

OA=OB=OC=OD。ABCDOABCD

【探究】

正方形的性质正方形的其他性质：1.正方形的面积=边长的平方=对角线长乘积的一半;2.正方形的每条对角线平分一组对角;3.正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。ABCDO

【探究】

正方形的性质想一想正方形有几条对称轴？正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形.正方形有4条对称轴.

【探究】

正方形的性质

【理解应用】探究与应用

例

如图,在正方形ABCD中,E是边CD上的一点,F是BC延长线上的一点,且CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系?请说明理由.

解:BE=DF,且BE⊥DF.理由如下:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴BC=DC,∠BCE=90°(正方形的四条边相等,四个角都是直角).∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°.∴∠BCE=∠DCF.又∵CE=CF,∴△BCE≌△DCF.∴BE=DF.(2)延长BE,交DF于点M(如图).∵△BCE≌△DCF,∴∠CBE=∠CDF.∵∠DCF=90°,∴∠CDF+∠F=90°.∴∠CBE+∠F=90.∴∠BMF=180°－（∠CBE+∠F）=180°－90°=90°.∴BE⊥DF.

【理解应用】探究与应用

变式1.如图,在正方形ABCD中,E是边AB的中点,F是边BC的中点,连接CE,DF,CE与DF交于点O.

求证:(1)CE=DF;(2)CE⊥DF.

这是正方形中的“十字”结构，是基本图形

【理解应用】探究与应用

变式2.如图,在正方形ABCD中,延长BC到点F,连接DF,过点B作BG⊥DF于点G,交CD于点E.

求证:CE=CF.

探究与应用

【探究】

正方形的性质【尝试·交流】

如图,四边形ABCD是正方形.(1)请在图中画一个菱形,使菱形的两个顶点分别与点A,C重合,并与同伴交流你的思考过程.ABCDO连接正方形的对角线AC、BD。

作对角线AC的垂直平分线，在AC

中取点E，F，使OE=OF

。顺次连接A、E、C、F四点，四边形AECF即为所求菱形。

探究与应用

【探究】

正方形的性质【尝试·交流】

如图,四边形ABCD是正方形.

(2)请在图中画一个矩形EFGH,使矩形的四个顶点E,F,G,H依次在正方形ABCD的边AB,BC,CD,AD上,并与同伴交流你的思考过程.

ABCD在正方形的边AB

上任取一点E（不与端点重合）。

在边BC

上取点F，边CD

上取点G，边DA

上取点H，使得AE=BF=CG=DH。顺次连接E、F、G、H四点，四边形EFGH即为所求菱形。探究与应用

【拓展提升】

如图,已知四边形ABCD是正方形,对角线AC与BD相交于点O,MN∥AB,且分别与OA,OB相交于点M,N.求证:(1)BM=CN;(2)BM⊥CN.

（2）由△ABM≌△BCN得，∠ABM=∠BCN，又∵∠ABM+∠CBM=90°，∴∠BCN+∠CBM=90°，∴CN⊥BM．(1)的证明还有其他方法吗？

【小结】