菱形的性质与判定第2课时课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

1.2菱形的性质与判定北师版九年级上册第一章特殊平行四边形第2课时

菱形的判定复习导入动手操作，两人一组，将课前准备好的平行四边形剪成菱形。说一说，你这么操作的依据是什么？测量折叠重合平行四边形一组邻边相等菱形【单击图片播放视频】几何语言：菱形的判定方法∵四边形ABCD

是平行四边形，AB=BC∴四边形ABCD是菱形有一组邻边相等的平行四边形是菱形。ABDC根据菱形的定义，有一组邻边相等的平行四边形是菱形。除此之外，你认为还有什么条件可以判断一个平行四边形是菱形？先想一想，再与同伴交流。探究新知(1)由菱形的性质定理可知，如果一个四边形是菱形，那么它的四条边相等。反过来，四条边相等的四边形一定是菱形吗？为什么？与同伴进行交流。猜想：四边相等的四边形是菱形思考·交流已知：如图，在四边形ABCD

中，AB=BC=CD=DA，求证：四边形ABCD

是菱形。证明：∵AB=CD，BC=DA，∴四边形ABCD

是平行四边形，又∵AB=BC，∴四边形ABCD

是菱形。ABDC定理四边相等的四边形是菱形.∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC=CD=DA，∴四边形ABCD是菱形。几何语言：逆命题：如果一个四边形是平行四边形，它的对角线互相垂直，那么这个平行四边形是菱形。(2)菱形的对角线具有怎样的性质？写出它的逆命题，这个逆命题成立吗？为什么？与同伴进行交流。思考·交流ABCD性质：菱形的对角线互相垂直猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.已知：如图，在□ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AC⊥BD。求证：□ABCD是菱形证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC。又∵AC⊥BD，∴BD是线段AC的垂直平分线。∴BA=BC。∴四边形ABCD是菱形(菱形定义)。定理对角线互相垂直的平行四边形是菱形.∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形。几何语言：(1)如图，已知线段a，请用尺规作菱形ABCD，使它的对角线AC=a。如图，利用尺规作出线段AC=a，分别以A，C

为圆心，以大于AC

为半径作弧，两弧交于B、D，依次连接A，B，C，D。尝试·交流a(2)满足(1)中条件的菱形唯一吗？如果不唯一，那么你认为添加怎样的条件，就可以使作出的菱形是唯一的？与同伴进行交流。尝试·交流答：不唯一。因为在垂直平分线上取点B、D时，只要OB=OD，无论OB取多长，都能构成菱形，所以这样的菱形有无数个。给定另一条对角线的长度给定菱形的边长给定菱形的一个内角例2

已知：如图，在□ABCD中，对角线AC与BD

相交于点O，AB=，OA=2，OB=1。求证：□ABCD是菱形。证明：在△AOB

中，∵AB=，OA=2，OB=1，∴AB2=AO2+OB2。∴△AOB是直角三角形，∠AOB是直角。∴AC⊥BD。∴□ABCD是菱形（对角线垂直的平行四边形是菱形）。课堂小结四边形四边相等菱形平行四边形对角线互相垂直有一组邻边相等菱形菱形

1.如图,把等腰三角形ABC沿底边BC翻折,得到△DBC,那么四边形ABDC(

C

)A.是中心对称图形,不是轴对称图形B.是轴对称图形,不是中心对称图形C.既是中心对称图形,又是轴对称图形D.既不是轴对称图形,也不是中心对称图形C

——课堂练习——

2.新考向

探究题如图,在∠AOB中,以点O为圆心,任意长为半径作弧,交射线OA于点C,交射线OB于点D,再分别以点C,D为圆心,OC的长为半径作弧,两弧在∠AOB的内部交于点E,作射线OE,连接CE,DE.

四边形OCED的形状为

菱形

.若OC＝10,OE＝16,则C,D两点之间的距离为

12

.菱形

12

解:∵

AB＝AC,AD是边BC上的中线,∴

AD垂直平分BC,BD＝CD.

∴

BE＝CE,BF＝CF.

∵

CF∥BE,∴

∠BED＝∠CFD,∠EBD＝∠FCD.

∵

BD＝CD,∴

△EBD≌△FCD.

∴

BE＝CF.

∴

BE＝BF＝CF＝CE.

∴

四边形BECF是菱形3.如图,在△ABC中,AB＝AC,AD是边BC上的中线,点E在DA的延长线上,连接BE,过点C作CF∥BE,交AD的延长线于点F,连接BF,CE.

求证:四边形BECF是菱形.(第3题)4.下列平行四边形中,不能判定是菱形的为(

C

)

C5.(易错题)如图,在四边形ABCD中,AD＝BC,AC⊥BD于点O.

有下列条件:①

AB∥CD;②

AB⊥BC;③

AD∥BC;④

∠ABC＝∠ADC.

添加一个条件使四边形ABCD成为菱形,则可以是(

C

)A.①B.②C.③D.④C6.[2025龙东地区]如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,请添加一个条件:

答案不唯一,如AC⊥BD

,使▱ABCD为菱形.答案不唯一,如AC⊥BD

(第7题)7.教材变式题

如图,在▱ABCD中,E,F是对角线BD上的点,且DE＝BF,连接AE,CF.

(1)求证:∠1＝∠2.(2)连接CE,AF.

请添加一个与线段有关的条件,使四边形AECF是菱形,并说明理由.解:(2)答案不唯一,如当AD＝CD时,四边形AECF是菱形

理由:连接AC.

∵

四边形ABCD是平行四边形,且AD＝CD,∴

四边形ABCD是菱形.∴

AC⊥BD.

由(1),得△ADE≌△CBF,∴

AE＝CF,∠1＝∠2.∴180°－∠1＝180°－∠2,即∠AEF＝∠CFE.

∴

AE∥CF.

∴

四边形AECF是平行四边形.∵

AC⊥BD,即AC⊥EF,∴

四边形AECF是菱形.(第7题)

8.如图,在△ABC中,D是BC的中点,点E,F分别在线段AD及其延长线上,且DE＝DF.

添加下列条件能使四边形BECF为菱形的是(

D

)A.

BE⊥CEB.

BF∥CEC.

BE＝CFD.

AB＝ACD9.如图,在▱ABCD中,AC与BD交于点O,E是边AB上的中点,连接OE,OE＝2.5,AC＝8,BD＝6.有下列结论:①

△ABD是等边三角形;②

▱ABCD的周长是20;③

▱ABCD的边BC上的高是4.8;④

▱ABCD是菱形;⑤

▱ABCD的面积是48.其中,正确的是

②③④

(填序号).②③④

10.如图,在▱ABCD和▱BFDE中,∠A＝∠F,AD与BE交于点M,BC与DF交于点N.

(1)求证:四边形BNDM是平行四边形.解:(1)∵

四边形ABCD和四边形BFDE都是平行四边形,∴

BC∥AD,BE∥DF.

∴

四边形BNDM是平行四边形(第10题)(2)当AB与BF满足什么数量关系时,四边形BNDM是菱形?请说明理由.解:(2)当AB＝BF时,四边形BNDM是菱形

理由:

∵

易得∠A＋∠ABC＝180°,∠EBF＋∠F＝180°,∠A＝∠F,∴

∠ABC＝∠EBF.

∴

∠ABC－∠EBC＝∠EBF－∠EBC,即∠ABM＝∠FBN.

在△ABM和△FBN中,∠ABM＝∠FBN,AB＝FB,∠A＝∠F,∴

△ABM≌△FBN.

∴

BM＝BN.

又∵

四边形BNDM是平行四边形,∴

四边形BNDM是菱形.(第10题)

(第11题)11.[2025大庆]如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,对角线AC与BD相交于点O,点B,D关于对角线AC所在直线对称.(1)求证:四边形ABCD是菱形.(2)过点D作BC的垂线,交BC的延长线于点E.

若CE＝3,AD＝5,求线段OC的长.

(第11题)

12.如图,在等腰三角形ABC中,AB＝AC,AD是∠BAC的平分线,P是AD上任意一点,过点P作EF∥AB,分别交BC,AC于点E,F,作PM∥AC,交AB于点M,连接MF.

(1)求证:四边形PFAM为菱形.解:(1)∵

EF∥AB,PM∥AC,∴