裂项相消高考题及答案

裂项相消高考题及答案考试时间：120分钟 总分：150分 年级/班级：高三/理科班

试标题是:“裂项相消高考题及答案”

一、选择题

1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_1=1，a_n+1=S_n+n，则数列{a_n}的通项公式为

A.a_n=2n-1

B.a_n=n(n-1)/2

C.a_n=2^n-1

D.a_n=n^2-1

2.若数列{b_n}满足b_1=2，b_n+1=b_n+2/(b_n+1)，则b_3的值为

A.3

B.4

C.5

D.6

3.已知数列{c_n}的前n项和为S_n，且满足c_1=1，c_n+1=S_n/(n+1)，则数列{c_n}是

A.等差数列

B.等比数列

C.摄动数列

D.调和数列

4.若数列{d_n}的前n项和为S_n，且满足d_1=1，d_n+1=S_n/(n+1)，则数列{d_n}的通项公式为

A.d_n=n

B.d_n=n(n-1)/2

C.d_n=2^n-1

D.d_n=n^2-1

5.已知数列{e_n}满足e_1=1，e_n+1=e_n+1/(e_n+1)，则数列{e_n}的前5项和为

A.5

B.6

C.7

D.8

6.若数列{f_n}的前n项和为S_n，且满足f_1=1，f_n+1=S_n/(n+1)，则数列{f_n}是

A.等差数列

B.等比数列

C.摄动数列

D.调和数列

7.已知数列{g_n}的前n项和为S_n，且满足g_1=1，g_n+1=S_n/(n+1)，则数列{g_n}的通项公式为

A.g_n=n

B.g_n=n(n-1)/2

C.g_n=2^n-1

D.g_n=n^2-1

8.若数列{h_n}满足h_1=1，h_n+1=h_n+1/(h_n+1)，则数列{h_n}的前5项和为

A.5

B.6

C.7

D.8

9.已知数列{i_n}的前n项和为S_n，且满足i_1=1，i_n+1=S_n/(n+1)，则数列{i_n}是

A.等差数列

B.等比数列

C.摄动数列

D.调和数列

10.已知数列{j_n}的前n项和为S_n，且满足j_1=1，j_n+1=S_n/(n+1)，则数列{j_n}的通项公式为

A.j_n=n

B.j_n=n(n-1)/2

C.j_n=2^n-1

D.j_n=n^2-1

二、填空题

1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_1=1，a_n+1=S_n+n，则数列{a_n}的前5项和为

2.若数列{b_n}满足b_1=2，b_n+1=b_n+2/(b_n+1)，则数列{b_n}的前3项和为

3.已知数列{c_n}的前n项和为S_n，且满足c_1=1，c_n+1=S_n/(n+1)，则数列{c_n}的前4项和为

4.若数列{d_n}的前n项和为S_n，且满足d_1=1，d_n+1=S_n/(n+1)，则数列{d_n}的前6项和为

5.已知数列{e_n}满足e_1=1，e_n+1=e_n+1/(e_n+1)，则数列{e_n}的前5项和为

6.若数列{f_n}的前n项和为S_n，且满足f_1=1，f_n+1=S_n/(n+1)，则数列{f_n}的前7项和为

7.已知数列{g_n}的前n项和为S_n，且满足g_1=1，g_n+1=S_n/(n+1)，则数列{g_n}的前8项和为

8.若数列{h_n}满足h_1=1，h_n+1=h_n+1/(h_n+1)，则数列{h_n}的前7项和为

9.已知数列{i_n}的前n项和为S_n，且满足i_1=1，i_n+1=S_n/(n+1)，则数列{i_n}的前9项和为

10.已知数列{j_n}的前n项和为S_n，且满足j_1=1，j_n+1=S_n/(n+1)，则数列{j_n}的前10项和为

三、多选题

1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_1=1，a_n+1=S_n+n，则数列{a_n}的性质包括

A.等差数列

B.等比数列

C.摄动数列

D.调和数列

2.若数列{b_n}满足b_1=2，b_n+1=b_n+2/(b_n+1)，则数列{b_n}的性质包括

A.等差数列

B.等比数列

C.摄动数列

D.调和数列

3.已知数列{c_n}的前n项和为S_n，且满足c_1=1，c_n+1=S_n/(n+1)，则数列{c_n}的性质包括

A.等差数列

B.等比数列

C.摄动数列

D.调和数列

4.若数列{d_n}的前n项和为S_n，且满足d_1=1，d_n+1=S_n/(n+1)，则数列{d_n}的性质包括

A.等差数列

B.等比数列

C.摄动数列

D.调和数列

5.已知数列{e_n}满足e_1=1，e_n+1=e_n+1/(e_n+1)，则数列{e_n}的性质包括

A.等差数列

B.等比数列

C.摄动数列

D.调和数列

6.若数列{f_n}的前n项和为S_n，且满足f_1=1，f_n+1=S_n/(n+1)，则数列{f_n}的性质包括

A.等差数列

B.等比数列

C.摄动数列

D.调和数列

7.已知数列{g_n}的前n项和为S_n，且满足g_1=1，g_n+1=S_n/(n+1)，则数列{g_n}的性质包括

A.等差数列

B.等比数列

C.摄动数列

D.调和数列

8.若数列{h_n}满足h_1=1，h_n+1=h_n+1/(h_n+1)，则数列{h_n}的性质包括

A.等差数列

B.等比数列

C.摄动数列

D.调和数列

9.已知数列{i_n}的前n项和为S_n，且满足i_1=1，i_n+1=S_n/(n+1)，则数列{i_n}的性质包括

A.等差数列

B.等比数列

C.摄动数列

D.调和数列

10.已知数列{j_n}的前n项和为S_n，且满足j_1=1，j_n+1=S_n/(n+1)，则数列{j_n}的性质包括

A.等差数列

B.等比数列

C.摄动数列

D.调和数列

四、判断题

1.数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_n+1=S_n+n，则数列{a_n}是等差数列。

2.数列{b_n}满足b_1=2，b_n+1=b_n+2/(b_n+1)，则数列{b_n}是等比数列。

3.数列{c_n}的前n项和为S_n，若c_n+1=S_n/(n+1)，则数列{c_n}是等差数列。

4.数列{d_n}的前n项和为S_n，若d_n+1=S_n/(n+1)，则数列{d_n}是等比数列。

5.数列{e_n}满足e_1=1，e_n+1=e_n+1/(e_n+1)，则数列{e_n}是调和数列。

6.数列{f_n}的前n项和为S_n，若f_n+1=S_n/(n+1)，则数列{f_n}是等差数列。

7.数列{g_n}的前n项和为S_n，若g_n+1=S_n/(n+1)，则数列{g_n}是等比数列。

8.数列{h_n}满足h_1=1，h_n+1=h_n+1/(h_n+1)，则数列{h_n}是调和数列。

9.数列{i_n}的前n项和为S_n，若i_n+1=S_n/(n+1)，则数列{i_n}是等差数列。

10.数列{j_n}的前n项和为S_n，若j_n+1=S_n/(n+1)，则数列{j_n}是等比数列。

五、问答题

1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_1=1，a_n+1=S_n+n，求证数列{a_n}是等差数列。

2.若数列{b_n}满足b_1=2，b_n+1=b_n+2/(b_n+1)，求证数列{b_n}不是等比数列。

3.设数列{c_n}的前n项和为S_n，且满足c_1=1，c_n+1=S_n/(n+1)，求证数列{c_n}是调和数列。

试卷答案

一、选择题答案及解析

1.A

解析：由a_1=1，a_n+1=S_n+n，得a_2=S_1+1=1+1=2。对于n≥2，有a_n=S_{n-1}+n。将两式相减，得a_n-a_{n-1}=S_n-S_{n-1}+n-(S_{n-1}+n-1)=a_n-1，即a_n-a_{n-1}=1。因此，数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列。

2.B

解析：由b_1=2，b_n+1=b_n+2/(b_n+1)，得b_2=b_1+2/(b_1+1)=2+2/3=8/3。对于n≥2，有b_n=b_{n-1}+2/(b_{n-1}+1)。将b_n+1=b_n+2/(b_n+1)变形为b_n(b_n+1)=b_{n-1}(b_{n-1}+1)+2，即b_n^2+b_n=b_{n-1}^2+b_{n-1}+2。观察前几项，b_1=2，b_2=8/3，b_3=4。可以发现b_n=(n+1)/2。验证：b_1=2=(1+1)/2，b_2=8/3=(2+1)/2，b_3=4=(3+1)/2。因此，b_3=4。

3.D

解析：由c_1=1，c_n+1=S_n/(n+1)，得c_2=S_1/(1+1)=1/2。对于n≥2，有c_n=S_{n-1}/n。将两式相减，得c_n-c_{n-1}=S_{n-1}/n-S_{n-1}/(n-1)=-S_{n-1}/n(n-1)。由于c_2=1/2，c_1=1，c_2-c_1=-1/2，符合上述公式。因此，数列{c_n}是调和数列。

4.A

解析：由d_1=1，d_n+1=S_n/(n+1)，得d_2=S_1/(1+1)=1/2。对于n≥2，有d_n=S_{n-1}/n。将两式相减，得d_n-d_{n-1}=S_{n-1}/n-S_{n-1}/(n-1)=-S_{n-1}/n(n-1)。由于d_2=1/2，d_1=1，d_2-d_1=-1/2，符合上述公式。因此，数列{d_n}是等差数列。

5.C

解析：由e_1=1，e_n+1=e_n+1/(e_n+1)，得e_2=e_1+1/(e_1+1)=1+1/2=3/2。对于n≥2，有e_n=e_{n-1}+1/(e_{n-1}+1)。将e_n+1=e_n+1/(e_n+1)变形为e_n(e_n+1)=e_{n-1}(e_{n-1}+1)+1，即e_n^2+e_n=e_{n-1}^2+e_{n-1}+1。观察前几项，e_1=1，e_2=3/2，e_3=5/3。可以发现e_n=(2^n-1)/(2^n-2)。因此，e_3=5/3。

6.A

解析：由f_1=1，f_n+1=S_n/(n+1)，得f_2=S_1/(1+1)=1/2。对于n≥2，有f_n=S_{n-1}/n。将两式相减，得f_n-f_{n-1}=S_{n-1}/n-S_{n-1}/(n-1)=-S_{n-1}/n(n-1)。由于f_2=1/2，f_1=1，f_2-f_1=-1/2，符合上述公式。因此，数列{f_n}是等差数列。

7.A

解析：由g_1=1，g_n+1=S_n/(n+1)，得g_2=S_1/(1+1)=1/2。对于n≥2，有g_n=S_{n-1}/n。将两式相减，得g_n-g_{n-1}=S_{n-1}/n-S_{n-1}/(n-1)=-S_{n-1}/n(n-1)。由于g_2=1/2，g_1=1，g_2-g_1=-1/2，符合上述公式。因此，数列{g_n}是等差数列。

8.C

解析：由h_1=1，h_n+1=h_n+1/(h_n+1)，得h_2=h_1+1/(h_1+1)=1+1/2=3/2。对于n≥2，有h_n=h_{n-1}+1/(h_{n-1}+1)。将h_n+1=h_n+1/(h_n+1)变形为h_n(h_n+1)=h_{n-1}(h_{n-1}+1)+1，即h_n^2+h_n=h_{n-1}^2+h_{n-1}+1。观察前几项，h_1=1，h_2=3/2，h_3=5/3。可以发现h_n=(2^n-1)/(2^n-2)。因此，h_3=5/3。

9.A

解析：由i_1=1，i_n+1=S_n/(n+1)，得i_2=S_1/(1+1)=1/2。对于n≥2，有i_n=S_{n-1}/n。将两式相减，得i_n-i_{n-1}=S_{n-1}/n-S_{n-1}/(n-1)=-S_{n-1}/n(n-1)。由于i_2=1/2，i_1=1，i_2-i_1=-1/2，符合上述公式。因此，数列{i_n}是等差数列。

10.A

解析：由j_1=1，j_n+1=S_n/(n+1)，得j_2=S_1/(1+1)=1/2。对于n≥2，有j_n=S_{n-1}/n。将两式相减，得j_n-j_{n-1}=S_{n-1}/n-S_{n-1}/(n-1)=-S_{n-1}/n(n-1)。由于j_2=1/2，j_1=1，j_2-j_1=-1/2，符合上述公式。因此，数列{j_n}是等差数列。

二、填空题答案及解析

1.10

解析：由a_1=1，a_n+1=S_n+n，得a_2=S_1+1=1+1=2。对于n≥2，有a_n=S_{n-1}+n。将两式相减，得a_n-a_{n-1}=S_n-S_{n-1}+n-(S_{n-1}+n-1)=a_n-1，即a_n-a_{n-1}=1。因此，数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列。S_5=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=1+2+3+4+5=15。

2.10

解析：由b_1=2，b_n+1=b_n+2/(b_n+1)，得b_2=b_1+2/(b_1+1)=2+2/3=8/3。对于n≥2，有b_n=b_{n-1}+2/(b_{n-1}+1)。将b_n+1=b_n+2/(b_n+1)变形为b_n(b_n+1)=b_{n-1}(b_{n-1}+1)+2，即b_n^2+b_n=b_{n-1}^2+b_{n-1}+2。观察前几项，b_1=2，b_2=8/3，b_3=4。可以发现b_n=(n+1)/2。S_3=b_1+b_2+b_3=2+8/3+4=10。

3.8

解析：由c_1=1，c_n+1=S_n/(n+1)，得c_2=S_1/(1+1)=1/2。对于n≥2，有c_n=S_{n-1}/n。将两式相减，得c_n-c_{n-1}=S_{n-1}/n-S_{n-1}/(n-1)=-S_{n-1}/n(n-1)。由于c_2=1/2，c_1=1，c_2-c_1=-1/2，符合上述公式。因此，数列{c_n}是调和数列。S_4=c_1+c_2+c_3+c_4=1+1/2+1/3+1/4=25/12。

4.21

解析：由d_1=1，d_n+1=S_n/(n+1)，得d_2=S_1/(1+1)=1/2。对于n≥2，有d_n=S_{n-1}/n。将两式相减，得d_n-d_{n-1}=S_{n-1}/n-S_{n-1}/(n-1)=-S_{n-1}/n(n-1)。由于d_2=1/2，d_1=1，d_2-d_1=-1/2，符合上述公式。因此，数列{d_n}是等差数列。S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=1+2+3+4+5+6=21。

5.8

解析：由e_1=1，e_n+1=e_n+1/(e_n+1)，得e_2=e_1+1/(e_1+1)=1+1/2=3/2。对于n≥2，有e_n=e_{n-1}+1/(e_{n-1}+1)。将e_n+1=e_n+1/(e_n+1)变形为e_n(e_n+1)=e_{n-1}(e_{n-1}+1)+1，即e_n^2+e_n=e_{n-1}^2+e_{n-1}+1。观察前几项，e_1=1，e_2=3/2，e_3=5/3。可以发现e_n=(2^n-1)/(2^n-2)。S_5=e_1+e_2+e_3+e_4+e_5=1+3/2+5/3+7/4+9/5=8。

6.28

解析：由f_1=1，f_n+1=S_n/(n+1)，得f_2=S_1/(1+1)=1/2。对于n≥2，有f_n=S_{n-1}/n。将两式相减，得f_n-f_{n-1}=S_{n-1}/n-S_{n-1}/(n-1)=-S_{n-1}/n(n-1)。由于f_2=1/2，f_1=1，f_2-f_1=-1/2，符合上述公式。因此，数列{f_n}是等差数列。S_7=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7=1+2+3+4+5+6+7=28。

7.36

解析：由g_1=1，g_n+1=S_n/(n+1)，得g_2=S_1/(1+1)=1/2。对于n≥2，有g_n=S_{n-1}/n。将两式相减，得g_n-g_{n-1}=S_{n-1}/n-S_{n-1}/(n-1)=-S_{n-1}/n(n-1)。由于g_2=1/2，g_1=1，g_2-g_1=-1/2，符合上述公式。因此，数列{g_n}是等差数列。S_8=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7+a_8=1+2+3+4+5+6+7+8=36。

8.24

解析：由h_1=1，h_n+1=h_n+1/(h_n+1)，得h_2=h_1+1/(h_1+1)=1+1/2=3/2。对于n≥2，有h_n=h_{n-1}+1/(h_{n-1}+1)。将h_n+1=h_n+1/(h_n+1)变形为h_n(h_n+1)=h_{n-1}(h_{n-1}+1)+1，即h_n^2+h_n=h_{n-1}^2+h_{n-1}+1。观察前几项，h_1=1，h_2=3/2，h_3=5/3。可以发现h_n=(2^n-1)/(2^n-2)。S_7=e_1+e_2+e_3+e_4+e_5+e_6+e_7=1+3/2+5/3+7/4+9/5+11/6+13/7=24。

9.45

解析：由i_1=1，i_n+1=S_n/(n+1)，得i_2=S_1/(1+1)=1/2。对于n≥2，有i_n=S_{n-1}/n。将两式相减，得i_n-i_{n-1}=S_{n-1}/n-S_{n-1}/(n-1)=-S_{n-1}/n(n-1)。由于i_2=1/2，i_1=1，i_2-i_1=-1/2，符合上述公式。因此，数列{i_n}是等差数列。S_9=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7+a_8+a_9=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45。

10.55

解析：由j_1=1，j_n+1=S_n/(n+1)，得j_2=S_1/(1+1)=1/2。对于n≥2，有j_n=S_{n-1}/n。将两式相减，得j_n-j_{n-1}=S_{n-1}/n-S_{n-1}/(n-1)=-S_{n-1}/n(n-1)。由于j_2=1/2，j_1=1，j_2-j_1=-1/2，符合上述公式。因此，数列{j_n}是等差数列。S_10=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7+a_8+a_9+a_{10}=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55。

四、判断题答案及解析

1.√

解析：由a_1=1，a_n+1=S_n+n，得a_2=S_1+1=1+1=2。对于n≥2，有a_n=S_{n-1}+n。将两式相减，得a_n-a_{n-1}=S_n-S_{n-1}+n-(S_{n-1}+n-1)=a_n-1，即a_n-a_{n-1}=1。因此，数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列。

2.×

解析：由b_1=2，b_n+1=b_n+2/(b_n+1)，得b_2=b_1+2/(b_1+1)=2+2/3=8/3。对于n≥2，有b_n=b_{n-1}+2/(b_{n-1}+1)。将b_n+1=b_n+2/(b_n+1)变形为b_n(b_n+1)=b_{n-1}(b_{n-1}+1)+2，即b_n^2+b_n=b_{n-1}^2+b_{n-1}+2。观察前几项，b_1=2，b_2=8/3，b_3=4。可以发现b_n=(n+1)/2。因此，数列{b_n}不是等比数列。

3.×

解析：由c_1=1，c_n+1=S_n/(n+1)，得c_2=S_1/(1+1)=1/2。对于n≥2，有c_n=S_{n-1}/n。将两式相减，得c_n-c_{n-1}=S_{n-1}/n-S_{n-1}/(n-1)=-S_{n-1}/n(n-1)。由于c_2=1/2，c_1=1，c_2-c_1=-1/2，符合上述公式。因此，数列{c_n}是调和数列。

4.×

解析：由d_1=1，d_n+1=S_n/(n+1)，得d_2=S_1/(1+1)=1/2。对于n≥2，有d_n=S_{n-1}/n。将两式相减，得d_n-d_{n-1}=S_{n-1}/n-S_{n-1}/(n-1)=-S_{n-1}/n(n-1)。由于d_2=1/2，d_1=1，d_2-d_1=-1/2，符合上述公式。因此，数列{d_n}是等差数列。

5.×

解析：由e_1=1，e_n+1=e_n+1/(e_n+1)，得e_2=e_1+1/(e_1+1)=1+1/2=3/2。对于n≥2，有e_n=e_{n-1}+1/(e_{n-1}+1)。将e_n+1=e_n+1/(e_n+1)变形为e_n(e_n+1)=e_{n-1}(e_{n-1}+1)+1，即e_n^2+e_n=e_{n-1}^2+e_{n-1}+1。观察前几项，e_1=1，e_2=3/2，e_3=5/3。可以发现e_n=(2^n-1)/(2^n-2)。因此，数列{e_n}不是调和数列。

6.√

解析：由f_1=1，f_n+1=S_n/(n+1)，得f_2=S_1/(1+1)=1/2。对于n≥2，有f_n=S_{n-1}/n。将两式相减，得f_n-f_{n-1}=S_{n-1}/n-S_{n-1}/(n-1)=-S_{n-1}/n(n-1)。由于f_2=1/2，f_1=1，f_2-f_1=-1/2，符合上述公式。因此，数列{f_n}是等差数列。

7.×

解析：由g_1=1，g_n+1=S_n/(n+1)，得g_2=S_1/(1+1)=1/2。对于n≥2，有g_n=S_{n-1}/n。将两式相减，得g_n-g_{n-1}=S_{n-1}/n-S_{n-1}/(n-1)=-S_{n-1}/n(n-1)。由于g_2=1/2，g_1=1，g_2-g_1=-1/2，符合上述公式。因此，数列{g_n}是等差数列。

8.×

解析：由h_1=1，h_n+1=h_n+1/(h_n+1)，得h_2=h_1+1/(h_1+1)=1+1/2=3/2。对于n≥2，有h_n=h_{n-1}+1/(h_{n-1}+1)。将h_n+1=h_n+1/(h_n+1)变形为h_n(h_n+1)=h_{n-1}(h_{n-1}+1)+1，即h_n^2+h_n=h_{n-1}^2+h_{