小学五年级数学《因数和倍数的认识》单元起始课教学设计

小学五年级数学《因数和倍数的认识》单元起始课教学设计一、教材与学情深度融合分析【基础·核心概念奠基】“因数和倍数的认识”是人教版五年级下册第二单元《因数与倍数》的开启课，也是学生首次从“运算”视角转向“关系”视角研究整数的性质。这部分内容属于数论初步，是后续学习公因数、公倍数、约分、通分以及分数四则运算的理论基石。教材编排摒弃了以往依赖整除概念进行文字定义的抽象路径，转而引导学生通过对整数乘除法算式的观察与分类，直接抽象出因数与倍数的概念。这种编排体现了从具体到一般、从感性到理性的认知规律，旨在让学生在丰富的算式中感悟“相互依存”的数与数之间的关系。教学内容的呈现遵循“概念建构—方法探究—性质发现”的逻辑链条，通过“社团分组”等生活情境引发数学思考，借助“找18的因数”和“找2的倍数”等探究活动，让学生在操作中体会有序思考的重要性，初步感知一个数因数的有限性与倍数的无限性。【难点·易错深度归因】五年级学生已具备整数乘除法的扎实基础，能熟练进行四则运算，这为理解因数与倍数提供了有力的经验支撑。然而，本课概念具有高度的抽象性和严密的逻辑性，学生的认知将面临三重挑战。其一，概念的“相互依存性”是对学生既有认知的巨大冲击。此前学生认识的数都是孤立的、静态的（如“12是一个数”），而因数和倍数则描述的是两个数之间的一种特定关系，必须说清“谁是谁的因数，谁是谁的倍数”，不能单独称某数是因数或倍数。其二，生活语言与数学概念的混淆。日常用语中“因素”“原因”等词汇，以及乘法算式中的“乘数（因数）”称谓，都会对学生产生负迁移，导致学生在初学时张冠李戴。其三，思维的系统性缺失。【难点】学生在无序地寻找一个数的因数时，极易出现遗漏或重复，这反映出学生尚未形成“有序思考”的思维习惯，需要教师通过策略性引导，帮助学生建立“一对一对找”或“从小到大地找”的数学模型。【核心素养聚焦】本课教学着力于培育学生的“数感”与“逻辑推理”素养。在概念建构中，学生经历从具体算式中抽象出共性规律的过程，发展了数学抽象能力。在探究因数与倍数性质时，通过观察、比较、归纳，初步感悟从特殊到一般的推理过程。在解决“如何找全因数”这一核心问题时，学生将在试错与优化中体验“有序思考”的严谨性，这正是逻辑推理素养在小学阶段的具体体现。二、教学目标层级设定【基础·知识技能】理解因数和倍数的意义，能结合具体算式描述谁是谁的因数，谁是谁的倍数，体会两者相互依存的关系。掌握找一个数的因数和倍数的方法，能熟练地找出100以内某个自然数的所有因数及10以内某个自然数的倍数。【重要·过程方法】经历观察、分类、归纳、对比等数学活动，在“找因数”和“找倍数”的过程中，感悟有序思考的数学策略，能初步运用列举法和集合法表示探究结果。通过操作与讨论，初步感知一个数因数个数有限、倍数个数无限的基本性质。【核心·情感态度】在探究数与数之间内在联系的过程中，感受数学的严谨与秩序美，激发学习兴趣。通过小组合作与游戏活动，培养乐于思考、勇于表达、善于倾听的学习品质，形成初步的辩证思维意识。【高频考点·学科思维】能准确辨析因数和倍数（如“因为12÷5=2.4，所以12是5的倍数”这种错误判断）；能有序、不重不漏地写出一个数的所有因数；能根据因数和倍数的意义解决简单的实际生活问题（如排队、分组）。三、教学重难点精准定位【教学重点】建立因数和倍数的概念，理解两者之间的相互依存关系；掌握找一个数的因数和倍数的基本方法。【教学难点】理解因数和倍数的相互依存性（即关系性）；掌握有序、不重复、不遗漏地找出一个数全部因数的方法。四、教学准备与资源整合1.课件：整合教材情境图，动态演示除法算式分类过程，以及因数和倍数的关系图示。2.学具：12个小正方形卡片（用于课前预热，数形结合启蒙）；学习任务单（含“找因数记录表”和“倍数发现表”）。3.板书设计：预设核心概念区、方法探究区、性质归纳区，板书力求结构化、生成化。五、教学实施过程（核心环节，逐层深入）【环节一】创设情境，算式分类中初建概念（一）情境引入，唤醒经验上课伊始，课件呈现学校社团招募的情境：“学校书法社团招募了12名新成员，如果把这些同学分成人数相等的小组进行训练，可以怎么分？你能用除法算式表示你的分组方案吗？”学生根据生活经验，会自然地想到每2人一组、每3人一组、每4人一组等情况，并列出相应的除法算式：12÷2=6，12÷3=4，12÷4=3，12÷6=2，12÷1=12，12÷12=1。教师将这些算式有序地排列在黑板左侧。（二）算式对比，揭示本质课件再呈现另一组算式：19÷5=3.8，2÷3≈0.666……，7÷2=3.5，26÷8=3.25。教师引导学生观察并对比黑板上的两组算式：“请你仔细观察这两组除法算式，它们在计算结果上有什么不同的地方？”学生通过观察、比较，会敏锐地发现第一组算式的商都是整数，而且没有余数（或者说余数为0）；而第二组算式的商不是整数，有的是小数，除不尽。在学生充分感知的基础上，教师顺势揭示：【重要】在整数除法中，如果商是整数且没有余数（或者说余数为0），我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。（三）结合实例，初步表达教师以“12÷2=6”为例，规范数学语言表达：“在这个算式中，商6和除数2都是整数，没有余数。因此，12是2的倍数，12也是6的倍数；2和6都是12的因数。”随后，让学生仿照教师的表述，同桌之间互相说一说“12÷3=4”“12÷1=12”等算式中各数之间的关系。学生在反复的语言实践中，初步建立因数和倍数的概念表象。（四）质疑辨析，深化概念教师抛出核心问题：【难点】刚才我们一直在说“12是2的倍数，2是12的因数”。如果单独拿出来看，2可以叫因数吗？12可以叫倍数吗？为什么？”一石激起千层浪，学生陷入沉思。教师引导学生结合算式讨论，最终达成共识：因数与倍数不能单独存在，它们是表示两个数之间的一种关系。就像我们不能单独叫一个人“儿子”，因为“儿子”是相对于“爸爸”或“妈妈”而言的。这种“相互依存”的关系，是本课概念的核心，必须让学生反复体悟，直至内化于心。【环节二】深化理解，在辨析中完善认知（一）乘法的视角，概念的扩展教师出示乘法算式：3×6=18。提问：“你能根据这个乘法算式，说一说谁是谁的因数，谁是谁的倍数吗？”学生根据乘除法的互逆关系，能很快说出“18是3和6的倍数，3和6是18的因数”。教师进一步追问：“既然乘法算式也能找到因数和倍数，那么‘18÷3=6’这个算式呢？”由此引导学生明确：无论是根据乘法还是除法，只要符合“商是整数且无余数”（或乘积为整数），就能确定因数与倍数关系。（二）明确范围，严谨定义教师出示几个易混算式让学生辨析：1.5×4=6，6÷1.5=4。提问：“在这个算式中，6是1.5和4的倍数吗？1.5是6的因数吗？”学生直觉上觉得“像”，但又隐约感觉不对。教师适时介入讲解：【基础】为了方便，我们在研究因数和倍数时，所说的数一般指的是自然数（不包括0）。因为0除以任何非0自然数都得0，商是整数但没有余数，如果考虑0，就会让很多数都成为0的因数，这会使数论的研究变得复杂。所以，我们通常约定，在本单元的学习中，我们研究的数都是指非0的自然数。（三）分层练习，巩固表达出示一组数：4、5、20、36、9。要求学生从中任选两个数，用今天学习的知识说一句话。学生可能会说“20是4的倍数”“4是20的因数”“36是9的倍数”等等。通过这个开放性的表达练习，既巩固了对概念的理解，又培养了学生从多角度观察数的意识。【环节三】操作探究，有序寻找一个数的因数（一）问题驱动，初次尝试教师承接情境：“刚才我们帮12个同学找到了分组方案，也就是找到了12的所有因数。现在老师把人数增加到18人，音乐社团有18名同学，要分成人数相等的小组，可以怎样分？请你在练习本上试着找出18的所有因数。”【重要】学生独立尝试，教师巡视，收集有代表性的作品。（二）暴露思维，对比优化展示学生作品。典型作品一：凌乱无序，有遗漏，如只写出1、2、3、6、18。典型作品二：按一定顺序但方法单一，如用除法依次试：18÷1=18，18÷2=9，18÷3=6，18÷4不行，18÷5不行……直到18÷18=1。典型作品三：采用“配对”的方式，想乘法：1×18=18，2×9=18，3×6=18。教师引导学生对比这三种方法：“你觉得哪种方法找得又对又快，而且保证不遗漏？为什么？”通过讨论，学生逐渐感悟到：利用乘法算式，从1开始，一对一对地找（如1和18，2和9，3和6），当两个因数越来越接近直到相等或相邻时，就找全了。这种方法最有序，最能保证不重不漏。（三）规范表达，掌握方法教师结合板书画图，示范用列举法和集合法表示18的因数。列举法：18的因数有：1，2，3，6，9，18。集合法：画一个椭圆，上面标上“18的因数”，里面按从小到大写上1，2，3，6，9，18。教师强调书写格式，并要求学生在记录时也要养成从小到大、有序排列的习惯。（四）即时练习，内化方法让学生用学会的有序方法，独立寻找24和16的因数。学生独立完成后，同桌互相检查是否找全，是否有重复。通过练习，进一步巩固“一对一对找”的思维模型。（五）观察发现，归纳特征教师引导：“请同学们观察18、24、16的因数，你发现一个数的因数有什么共同的特点？”学生在小组内讨论交流，逐步归纳出：【基础】一个数的因数个数是有限的；其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。【环节四】迁移类推，自主探索一个数的倍数（一）方法迁移，自主尝试教师过渡：“同学们已经学会了有序地找一个数的因数，那找一个数的倍数又该怎样找呢？你能找出2的倍数有哪些吗？”让学生根据对倍数概念的理解，独立尝试找2的倍数。学生可能会出现不同的表示方法，有的写出2、4、6、8、10……有的写出2、4、6……并在后面加上省略号。（二）交流汇报，明晰方法让学生汇报找2的倍数的过程。学生可能会说：“我用2乘1得2，2乘2得4，2乘3得6，2乘4得8……这样一直乘下去，得到的数都是2的倍数。”教师肯定这种用乘法算式依次乘1、2、3……的方法，并追问：“这样能写完吗？为什么？”学生意识到自然数是无限的，所以2的倍数也是无限的，需要用省略号来表示。（三）对比差异，深化理解引导学生对比找一个数的因数和找一个数的倍数的异同：【重要】相同点：都要从1开始，有序地思考。不同点：找因数是一对一对地找，当找到的两个因数重复或相邻时就停止，因数的个数是有限的；找倍数是依次乘1、2、3……一直找下去，倍数的个数是无限的，没有最大的倍数，只有最小的倍数是它本身。（四）分层练习，巩固提升找3的倍数和5的倍数，并用集合图表示。进一步强化“最小倍数是它本身”“没有最大倍数”等性质。【环节五】游戏激趣，在活动中深化性质【热点·游戏化学习】利用学生的学号牌，开展“猜猜我是谁”的游戏。第一轮：请学号是8的因数的同学起立。（学号1、2、4、8的学生起立）请学号是8的倍数的同学起立。（学号8、16、24……可能只有8号）教师提问：“为什么8号同学两次都要起立？”引导学生发现：8既是8的因数（最小的因数是1，最大的因数是它本身），也是8的倍数（最小的倍数是它本身）。一个数既是它本身的因数，也是它本身的倍数。第二轮：请学号是9的倍数的同学起立。（学号9、18、27……起立）教师引导学生观察起立的同学人数，提问：“一个数的倍数是无限的，为什么我们班起立的同学只有这几个？”学生恍然大悟：因为我们班的人数有限，只在150号范围内，所以只能看到有限的倍数。第三轮：请你设计一个口令，让全班同学都起立。学生积极思考，可能会说“学号是1的倍数”，因为1是任何非0自然数的因数，任何非0自然数都是1的倍数。全班起立，在欢笑声中，学生对“1”的特殊性有了更深的感悟。【环节六】分层练习，在应用中拓展思维（一）基础练习——概念辨析判断下列说法是否正确，并说明理由。（1）因为8÷4=2，所以8是倍数，4是因数。（×，相互依存关系表达错误）（2）24是3的倍数，也是4的倍数。（√）（3）一个数的倍数一定比它的因数大。（×，可能相等，如它本身）（二）综合练习——开放探究用48个小正方形拼成一个长方形，有多少种不同的拼法？（引导学生将问题转化为找48的因数）（三）拓展练习——猜数游戏它是一个小于30的自然数，它是6的倍数，它也是8的因数。猜猜它是谁？（引导学生分析：这个数既是6的倍数，又是8的因数，且小于30。8的因数有1、2、4、8，其中是6的倍数的只有不存在，8不是6的倍数，2、4也不是。调整思路：也可能是6的倍数有6、12、18、24，其中哪些数是8的因数？24不是8的因数。此题设计为矛盾，引发学生思考“可能无解”，进而修改条件为“它是8的倍数，也是6的因数”，则答案为24。旨在培养学生思维的灵活性。）六、板书设计（结构呈现）左侧：概念区因数与倍数（相互依存，非0自然数）12÷2=6