小学数学五年级上册《探索数的因数：概念、方法与策略》教学设计

小学数学五年级上册《探索数的因数：概念、方法与策略》教学设计

一、设计理念与理论依据

本教案以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为根本遵循，深刻践行以核心素养为导向的课程育人理念。教学设计超越传统“技能传授”的局限，致力于构建一个以学生思维发展为核心、以深度理解与迁移应用为目标的探究性学习场域。其理论根基融合了建构主义学习理论、深度学习理论以及问题解决教学法。

建构主义视角下，学生对于“因数”这一数学概念的理解，并非通过教师的单向灌输获得，而是基于已有的“乘法”、“除法”、“长方形面积”等认知图式，在解决“拼长方形”、“分组”等真实数学问题的活动中，主动建构意义、建立联系。因此，本设计精心创设序列化的问题情境，引导学生在“做数学”的过程中，自主发现、归纳、抽象出因数的本质属性及其寻找方法。

深度学习要求学习内容的结构化、学习过程的探究化以及学习目标的素养化。本设计将“找因数”置于“倍数与因数”大单元知识结构中，注重与前后知识（如倍数、质数与合数、最大公因数等）的贯通，强调“有序思考”、“不重不漏”等数学思想方法的渗透，并引导学生从具体操作上升到方法策略，最终形成可迁移的数学思维能力（如推理意识、模型意识、应用意识）。

二、教材分析与学情研判

（一）教材纵向贯通分析

“因数与倍数”是“数与代数”领域的重要内容，承前启后，地位关键。在北师大版教材体系中，学生在二年级已熟识乘法与除法的意义，三年级学习了长方形面积公式，四年级掌握了除数是两位数的除法，这些均为本课学习奠定了坚实的知识与技能基础。本课“找因数”是“倍数与因数”单元的第二节，紧随“认识倍数与因数”之后。它既是对因数概念的具体化与操作化理解，又是后续学习“质数与合数”、“找最大公因数”、“约分”等知识的必备技能和认知前提。教材通过“拼长方形”这一直观模型引入，旨在将抽象的因数概念与直观的几何形象相关联，体现了数形结合的思想。理解并掌握找一个数的全部因数的方法，特别是掌握有序思考的策略，是本课的教学核心。

（二）学生认知起点与可能障碍分析

五年级学生具备一定的观察、操作、归纳和合作学习的能力。他们的具体形象思维仍占主导，但抽象逻辑思维正处于快速发展期。

认知起点：

1.能够熟练进行表内乘法和多位数乘除法计算。

2.理解乘除法算式中各部分的名称及相互关系（乘数×乘数=积，被除数÷除数=商）。

3.具备长方形面积计算和图形拼摆的初步经验。

4.在上一课时中，已初步建立“因数”与“倍数”的概念，知道它们表达的是两个自然数之间的一种关系。

潜在认知障碍与迷思概念：

1.方法单一化：可能局限于用除法算式寻找因数，对乘法算式的运用不熟练，或忽视“1”和“本身”这两个必然因数。

2.有序性缺失：找因数时思维无序，容易导致遗漏或重复，尚未形成“从1开始，成对寻找”的策略意识。

3.理解表面化：将“找因数”仅仅视为一种计算程序，未能深刻体会因数作为“可整除关系”的体现，以及因数个数与数本身特点之间的内在联系（为“质数与合数”学习埋下伏笔）。

4.几何与算术联系薄弱：在“拼长方形”活动中，可能只关注拼出的图形种类，未能主动将长方形的“长”、“宽”数据与乘法算式、因数建立有效连接。

三、核心素养指向与教学目标

（一）核心素养具体表现

1.数感与符号意识：在寻找因数的过程中，增强对自然数之间整除关系的感知；能用规范的数学算式（乘、除法）表达这种关系，体会数学表达的简洁与准确。

2.推理意识：在观察、比较不同数的因数特点与寻找过程后，能归纳概括出找因数的一般方法，并能根据数的特征（如平方数）对其因数特点进行合理推测。

3.模型意识：经历“实际问题（拼长方形）→数学算式（乘除法）→因数概念”的抽象过程，初步感知数学模型（“面积=长×宽”模型与因数概念的关联）的建立与应用。

4.应用意识：理解因数在解决实际问题（如均分物品、设计长方形方案）中的价值，能自觉运用因数知识解释或解决简单实际问题。

5.有序思考的习惯：在探索活动中，体会思维有序的重要性，养成严谨、缜密的数学思维品质。

（二）分层教学目标

【知识与技能目标】

1.在“用小正方形拼长方形”的活动中，体会一个数的因数与长方形长、宽之间的对应关系，深化对因数概念的理解。

2.探索并掌握找一个数的全部因数的方法，能做到不重复、不遗漏，特别是掌握“从1开始，一对一对地找”的有序思考策略。

3.能熟练找出一个自然数（通常在100以内）的全部因数，并能用集合图等方式进行表示。

【过程与方法目标】

1.经历“动手操作→观察记录→算式表征→归纳方法”的完整探究过程，发展观察能力、动手操作能力、归纳概括能力和数学表达能力。

2.在独立探索、小组交流、对比反思中，体验解决问题策略的多样性，优化解决问题的策略。

【情感态度与价值观目标】

1.在探究活动中获得成功的体验，增强学好数学的自信心。

2.感受数学与现实生活的联系，体会数学的严谨性和规律性之美。

3.在合作学习中学会倾听、质疑与交流，培养团队协作精神。

四、教学重难点及突破策略

教学重点：探索并掌握找一个数的全部因数的方法。

教学难点：理解并自觉运用有序思考的方法寻找因数，做到不重不漏；理解因数个数有限性与数本身特征的联系。

突破策略：

1.化抽象为直观，借助几何模型：充分利用“拼长方形”的学具操作活动，将抽象的“找因数”问题转化为直观的“找不同长、宽的长方形”问题，帮助学生建立因数的几何表象，理解“一对因数”对应“一种长方形拼法”。

2.暴露思维过程，对比优化方法：鼓励学生用不同的方法（摆图形、列乘法算式、列除法算式）寻找因数，并展示多种（有序的和无序的）记录结果。通过全班对比、辨析，凸显“有序思考”在确保“不重不漏”上的优越性，使思维策略从“自发”走向“自觉”。

3.设置认知冲突，引发深度思考：在找出一些数的因数后，引导学生观察、比较这些因数的特点，提出诸如“一个数的因数最小是几？最大是几？”、“因数的个数有什么规律吗？”等问题，将学习从“如何找”引向“为何这样找”、“找到了有什么特点”，触及数学本质，为后续学习做好铺垫。

4.设计层次练习，促进方法内化：练习设计从直观操作到抽象计算，从基础巩固到综合应用，从模仿到变式，让学生在多层次、多角度的应用中不断强化有序寻找因数的方法，并体会其在解决实际问题中的作用。

五、教学准备

教师准备：

1.多媒体课件：包含情境动画、探究活动指引、习题演示、课堂总结图表等。

2.示范用大正方形磁贴（或卡片）若干。

3.设计并印制《课堂探究学习单》。

4.准备实物投影仪，用于展示学生作品。

学生准备（每组）：

1.足够数量的边长为1厘米的小正方形纸片（或塑料方块）（例如，每组至少30个）。

2.练习本、笔。

3.提前复习“因数与倍数”的概念。

六、教学过程实施（两课时，共计80分钟）

第一课时：因数概念的深化与寻找方法的探索

（一）情境导入，激活经验（预计时间：8分钟）

教师活动：

1.呈现情境：“学校美术社团准备用一批同样大小的正方形画布，拼成一个大的长方形宣传展板。如果老师手头有12块这样的正方形画布，可以拼成哪些不同形状的长方形展板呢？”

2.结合课件动画，演示“拼”的过程，明确问题：把12个全等的小正方形全部用上，拼成一个长方形（包括正方形），可以怎么拼？

3.提问：“‘不同形状’指的是什么不同？”引导学生关注长方形的长和宽。

4.分发《课堂探究学习单》第一部分，明确任务：请同学们先用手中的小正方形纸片摆一摆，将你能想到的拼法记录下来；然后尝试不用摆，用数学算式来表示你的拼法。

学生活动：

1.观看情境，理解问题。

2.以小组为单位，动手操作，用12个小正方形拼摆不同的长方形。

3.在《学习单》上记录拼法：画出长方形示意图（或描述长和宽），并写出对应的乘法算式。

设计意图：

从贴近学生生活的实际问题引入，赋予数学探究以现实意义。动手操作符合五年级学生的认知特点，能迅速吸引注意力，激活其关于长方形和乘法的已有经验。将“拼长方形”与“写算式”结合，为后续连接几何与算术搭建桥梁。

（二）合作探究，建立联系（预计时间：15分钟）

教师活动：

1.巡视指导，关注学生的拼摆情况（是否找全？记录是否清晰？）。有意识地寻找用不同策略记录的学生作品（如无序记录的、有序记录的；只画图的、结合算式的）。

2.邀请几组学生利用实物投影展示他们的拼法和记录。

3.关键性提问引导：

1.4.“这几种拼法，对应的长方形长和宽分别是多少？”

2.5.“每个拼法对应的乘法算式是怎样的？”（根据学生回答，板书：1×12=12，2×6=12，3×4=12）

3.6.“为什么4×3=12和3×4=12对应的长方形被认为是同一种形状？”（强调长、宽顺序交换，形状相同，为“有序思考”做铺垫）。

4.7.“观察这些乘法算式，它们都和哪个数有关？（12）算式中的乘数与积12有什么关系？”（引导学生回顾：乘数都是12的因数，积是12的倍数）。

5.8.“那么，通过拼长方形，我们实际上找到了12的哪些因数？”（根据算式，引导学生说出：1，12，2，6，3，4）。

学生活动：

1.展示并说明本组的发现。

2.倾听其他组的汇报，对比不同的记录方式。

3.在教师引导下，将“长、宽”与“乘数”对应，将“拼法种类”与“因数对”对应，清晰地认识到：有几种拼法，12就有几对因数。

设计意图：

此环节是数形结合思想落地的关键。通过展示、交流与追问，帮助学生主动建立“几何模型（长方形）”、“算术运算（乘法）”与“数学概念（因数）”三者之间的内在联系。明确“一种拼法对应一对因数”，将寻找因数的问题初步模型化。

（三）方法迁移，抽象归纳（预计时间：12分钟）

教师活动：

1.提出新任务：“如果不摆小正方形，你能找出16的全部因数吗？把你想的过程和方法写下来。”

2.给予学生独立思考和书写的时间。

3.收集具有代表性的方法进行展示：

1.4.方法A（乘法）：想（）×（）=16，从1开始尝试，1×16=16，2×8=16，4×4=16。所以因数是1，16，2，8，4。

2.5.方法B（除法）：想16÷（）=（），商是整数且没有余数。16÷1=16，16÷2=8，16÷4=4，16÷8=2，16÷16=1。所以因数是1，2，4，8，16。

3.6.方法C（无序列举）：可能先想到4×4=16，然后想到2×8，最后想到1×16，记录顺序为4，2，8，1，16。

7.组织讨论：

1.8.“这三种方法，思路有什么不同？你更喜欢哪一种？为什么？”

2.9.“方法A和方法B在寻找因数的顺序上有什么共同特点？”（引导学生发现都是从最小的因数1开始，按顺序尝试）。

3.10.“比较记录结果，哪种方法的记录方式更容易检查是否找全？”（对比有序记录与无序记录）。

4.11.“在方法A中，找到‘4×4=16’后，为什么不需要再往下找‘5’了？”（引发思考：当两个因数相同或接近时，意味着找因数的工作已完成大半）。

5.12.“你能用一句话总结一下，怎样找一个数的因数才能不重复、不遗漏吗？”

学生活动：

1.尝试独立寻找16的因数。

2.观察、比较不同的方法，参与讨论，发表见解。

3.在教师引导下，归纳概括找因数的方法要点：通常从1开始，一对一对地找，直到两个因数相等或接近为止。

设计意图：

从具体操作（摆12）过渡到抽象思考（找16），实现思维层次的提升。通过对比不同方法，突出“有序思考”这一核心策略的优越性。追问“为什么找到4就不找5了”，旨在引导学生发现寻找的“边界”，初步感知因数的有限性，使方法更具一般性和可操作性。

（四）巩固内化，初步应用（预计时间：5分钟）

教师活动：

1.布置《学习单》上的即时练习1：

1.2.找出下列各数的全部因数，并用你喜欢的方式（算式、列举）表示过程。

（1）9（2）24（3）1

3.巡视，重点关注学困生是否能运用有序策略。

4.快速核对答案，重点讨论特殊数“1”：“1的因数有哪些？它有什么特别之处？”

学生活动：

独立完成练习，并与同桌交流方法。

设计意图：

即时练习旨在巩固刚归纳的方法。选择9（平方数）、24（因数较多）、1（特殊数）具有代表性，能检验学生对方法的掌握程度，并自然引出对因数特性的初步观察。

第二课时：策略优化、特性探索与综合应用

（一）回顾导入，聚焦策略（预计时间：5分钟）

教师活动：

1.简要回顾上节课探索的“找因数”的方法。

2.提问：“在找因数的过程中，怎样才能确保又快又全？”强化“有序思考，成对寻找”的策略。

3.揭示本课时的学习重点：进一步熟练方法，探索因数的奥秘，并解决实际问题。

学生活动：

回忆并复述找因数的关键方法。

设计意图：

温故知新，快速聚焦本课核心，明确学习方向。

（二）深度探究，发现规律（预计时间：15分钟）

教师活动：

1.组织小组合作探究任务：

1.2.请为小组内的每个成员分配一个不同的数：2，3，5，7，11，15，18，20，24，36。

2.3.要求：①独立找出所分配数的全部因数。②将数和它的因数填入小组共享的记录表中。③观察全组的记录表，你们有什么发现？可以围绕以下问题思考：

a.一个数的最小因数是几？最大因数是几？

b.一个数的因数的个数是无限的还是有限的？

c.观察这些数因数的个数，你能试着将它们分分类吗？

4.巡视各组，参与讨论，给予点拨。

5.组织全班汇报交流：

1.6.各小组分享关于“最小因数”、“最大因数”、“个数有限”的共识。

2.7.聚焦“因数个数分类”：引导学生观察像2、3、5、7、11这样的数（只有1和它本身两个因数），以及像15、18、20、24、36这样的数（因数个数超过两个）。

3.8.教师揭示数学概念：一个数只有1和它本身两个因数，这样的数叫质数（或素数）；一个数除了1和它本身以外还有别的因数，这样的数叫合数。强调“1”既不是质数，也不是合数。

4.9.引导发现：找因数时，当我们找到的乘数开始重复或超过另一个乘数时，就找全了。这也印证了因数的个数是有限的。

学生活动：

1.独立完成分配的任务。

2.在小组内交流结果，合作完成观察记录表，并进行初步的发现和讨论。

3.参与全班汇报，倾听其他小组的发现，理解质数与合数的初步概念。

设计意图：

此环节是本节课的升华点。通过小组合作探究一组有代表性的数，引导学生从“找”的活动中跳出来，站在更高的角度“观察”和“分析”因数的整体特性。学生自己发现关于因数的最小值、最大值、有限性等规律，并自然引出“质数”与“合数”概念的雏形，实现了知识的自然生长和单元内容的有机整合，培养了数据分析观念和归纳推理能力。

（三）分层练习，拓展提升（预计时间：15分钟）

教师活动：

设计多层次练习，逐步推进。

1.基础巩固层（全员过关）：

1.2.写出下面各数的全部因数。

28，32，45，17，48，1

2.3.判断：①一个数的因数一定比这个数小。（）②12的因数有6个，24的因数有8个，所以一个数越大，它的因数个数就越多。（）

4.综合应用层（灵活运用）：

1.5.生活问题：把30个苹果平均分给若干个小朋友，正好分完。可以分给几个小朋友？（每人多于1个）有几种分法？

2.6.几何问题：一个长方形的面积是24平方厘米，它的长和宽都是整厘米数。这样的长方形有多少种？长和宽分别是多少？（与导入情境呼应）

7.思维挑战层（拓展延伸）：

1.8.“因数擂台”游戏：①在1-50中，找出因数个数最多的数。②猜数游戏：我的最小因数是1，最大因数是它本身，它是（所有自然数）。我的最小因数是1，最大因数是10，我是（）。我的因数的个数是3个，我是（）。

2.9.探索：什么样的数（平方数）的因数个数是奇数？

学生活动：

根据自身情况，完成相应层次的练习。鼓励完成基础层后挑战更高层次。

设计意图：

分层练习满足不同学生的需求，确保全体学生掌握基础，同时为学有余力的学生提供发展空间。基础题巩固技能；应用题将因数知识与实际问题、几何问题结合，体现数学价值；挑战题激发学生探索兴趣，培养思维的深刻性和灵活性。

（四）全课总结，反思建构（预计时间：5分钟）

教师活动：

1.引导学生从知识、方法、思想三个层面进行总结。

1.2.知识：我学会了找一个数的全部因数，知道了一个数因数的特点（最小是1，最大是它本身，个数有限），还初步认识了质数和合数。

2.3.方法：找因数要从1开始，一对一对有序地找，这样能不重复、不遗漏。

3.4.思想：数形结合（拼长方形）、有序思考、归纳推理。

5.提问：“回顾整个学习过程，从拼长方形开始，到找因数，再到发现规律，你有什么感悟？”

6.布置课后探究性作业（见下文“作业设计”）。

学生活动：

自主回顾，梳理收获，在全班分享。

设计意图：

引导学生进行系统性反思，将零散的知识点、方法、体验整合成结构化的认知网络，促进元认知能力的发展。

七、板书设计（演进式）

主板书区：

探索数的因数

一、拼长方形（数形结合）

12个小正方形→拼法：长×宽

1×12=12

2×6=12

3×4=12

↓

12的因数有：1，2，3，4，6，12。

二、找因数的方法（有序思考）

1.乘法：想（）×（）=这个数，从1试起。

例：找16的因数

1×16=16

2×8=16

4×4=16→停止

因数：1，2，4，8，16。

2.除法：这个数÷（）=（）（整数）。

关键：从1开始，成对记录。

三、因数的特点（观察发现）

1.最小：1。

2.最大：它本身。

3.个数：有限的。

4.按个数初步分类：质数（2个因数）、合数（2个以上）、1（既不是质数也不是合数）。

副板书区：（用于展示学生典型方法、练习答案或课堂生成的关键问题）

八、作业设计

（一）基础性作业（必做）

1.完成课本对应练习页的题目。

2.找出下面各数的全部因数，并记录寻找过程：25，30，19，42。

3.判断下列说法是否正确，并说明理由：

（1）8的因数有1,2,4,8，所以8的因数一共有4个。（）

（2）一个数的最大因数和最小倍数都是它自己。（）

（3）因为36÷6=6，所以6是因数，36是倍数。（）

（二）实践探究性作业（选做，鼓励完成）

1.“我的因数名片”：选择一个你喜欢的数字（50以内），为它制作一张创意名片。名片上需包括：这个数本身、它的全部因数、它是质数还是合数、关于这个数因数的有趣发现或一句“自我介绍”。

2.小调查：生活中哪些地方用到了“因数”的知识？（如包装、分组、排版设计等）请举出1-2个例子，并简要说明。

3.挑战题：一个长方形的周长是20厘米，它的面积是24平方厘米。这个长方形的长和宽分别是多少厘米？（提示：先利用周长求出长与宽的和）

九、教学反思与差异化指导建议

（一）预设与生成应对

1.预设生成一：学生在拼长方形时，可能先拼出长边很长的长方形（如1×12）。

1.2.应对：这是正常思维起点。教师应肯定，并引导：“除了这种细长的，还能拼成更‘方’一些的吗？”推动思维发散。

3.预设生成二：在归纳方法时，学生可能过于强调除法或乘法一种方法。

1.4.应对：肯定其方法的正确性，同时通过实例展示另一种方法的等效性，并指出乘法思维有时更快捷（特别是对