七年级数学上册专题提分精练代数式规律类：图形变化类（解析版）

专题14代数式规律类：图形变化类

1.探索规律，观察图中由※组成的图案和算式，解答问题

1+3=4=22

1+3+5=9=32

1+3+5+7=16=42

1+3+5+7+9=25=52

(1)请猜想1+3+5+7+9+…+19=100

(2)请猜想1+3+5+7+9+...+(2〃-1)=

【解答】解：(1)由1+3=4=2?,

1+3+5=9=32,

1+3+5+7=16=4"

1+3+5+7+9=25=5?,

•.•1+3+5+7+9+…+19共有10个数，

二.1十3十5+7十9+...+19=1（）2=ioo.

故答案为：100;

（2）由（1）得，1+3+5+7+9+…+（2〃-1）=,/.

故答案为：

2.如图所示，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形

纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分⑧是部分②面积的一半，依此类推...

（1）根据图形填写下表；

©②③

面积1——

一5一

（2）阴影部分的面积是多少？

1

（3）猜想:①一+—+—+…

2482"

②当〃=10时，请用两种方法计算：（…+击的值（结果用分数表示）.

【解答】解：⑴观察图形可知：部分①的面积为：

部分②的面积吗V

部分③的面积为

238

故答案为：!，!，；

248

(2)阴影部分的面积是』=上

2664

111

(3)①由(1)知:-+-+-+

2482"2"

故答案为一蒋

②当〃=10时,

1

方法一：由①知:—+；十:十…十次的值为:1弓；

2

1111111

方法二：原式=1—+----1-------------ta=1•

22448292'0

3.用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律搜放:

第1个第2个第3个第4个

(1)第5个图形有多少颗黑色棋子？

(2)第几个图形有2019颗黑色棋子？说明理由.

【解答】解：(1)观察图形发现：

第•个图形有2x3=6个棋子，

第二个图形有3x3=9个棋子，

第三个图形有4x3=12个棋子，

第“个图形有(3〃+3)个棋子；

所以第5个图形有3x5+3=18个棋子；

(2)当3〃+3=2019时，

解得：〃二672,

所以第672个图形有2019颗黑色棋子.

4.《庄子•天下》：“一尺之趣，日取其半，万世不竭.”意思是说：一尺长的木棍，每天截

掉一半，永远也截不完.我国智慧的古代入在两千多年前就有了数学极限思想，今天我们运

用此数学思想研究下列问题.

【规律探索】

(1)如图1所示的是边长为1的正方形，将它剪掉一半，则S阴捌=1-；=_1_；

如图2,在图I的基础上，将阴影部分再裁剪掉一半，则S阴5=1-g-g)2=——；

同种操作,如图3,稀膨3=1-3一(》2一€)3二一；

如图4'，见影4=1一3-(3『一(3)3-(耳)4=；

若同种地操作〃次，则S阴.=1一;一(J?一(J'一一一(；)"=一；

【规律归纳】

(2)直接写出1Hr+...4^的化简结果：；

22-2'26---

【规律应用】

22

1/、21111

22244212

图形编号①②③•••♦♦♦

图中棋子的总数36—••••••

第50个图形中棋子为颗围棋;

（2）小雨同学如果继续摆放下去，那么第〃个图案就要用一颗围棋；

（3）如果小雨同学手上刚好有90颗围棋子，那么他按照这种规律从第①个图案摆放下去，

是否可以摆放成完整的图案后刚好9（）颗围棋子一颗不剩？如果可以，那么刚好摆放完成几

个完整的图案？如果不行，那么最多可以摆放多少个完整图案，还剩余几颗围根子？（只答

结果，不说明理由）

【解答】解：根据图形的规律可知:

第①个图案中用了1+2=3颗围板；

第②个图案中用了1+2+3=6颗围棋；

第③个图案中用门+2+3+4=10颗围棋；

第“个图案中用了1+2+3+…+。+1）=5+1：〃+2）颗围棋.

故答案为：

（1）在第②个图案中用了6颗围棋，在第③个图案中用了10颗围棋，在第50个图案中,

用了1326颗围棋,

（2）小雨同学如果继续摆放下去，那么第“个图案就要用（〃+及"+2）颗围棋.

2

（3）不可以，刚好摆放完成6个完整图案，还剩下7个棋子.

7.下面是用形状和大小都相同的黑色棋了•搜成的图形，观察规律完成下列问题：

（1）填写下表：

图形序号（个）1234•••

棋子的颗数4710•••

（2）照这样方式下去，写出摆第“个图形的棋子数为_3〃+1

（3）你知道第153个图形需要几颗棋子吗？

第1个图形第2个图形第3个图形

【解答】解：第一个图需棋子3+1=4；

第二个图需棋子3x2+l=7：

第三个图需棋子3x3+1=10；

第“个图需棋子3〃+1枚.

（1）填表如下：

图形序号（个）1234•••

棋子的颗数471013•••

（2）照这样方式下去，写出摆第”个图形的棋子数为%+1.

(3)当〃=153时，3x153+1=460；

8.观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律:

①1=口；皿1+3=22;③1+3+5=34④___________j®

（1）在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式；

（2）通过猜想写出与第〃个点阵相对应的等式.

【解答】解：(1)④：1+3+5+7=42；⑤1+3+5+7+9=52；

（2）|+3+5+7+...+（2〃-1）=〃2（〃j的整数）.

9.下列图形按一定规律挂列，观察并回答：

第一个图形第二个园形第三个图形

（1）依照此规律，第四个图形共有*13个,第六个图形共有*个:

（2）第〃个图形中有★个；

（3）根据（2）中的结论，第儿个图形中有2014个支?

【解答】解：（1）观察发现，第1个图形五角星的个数是，1+3=4,

第2个图形五角星的个数是，l+3x2=7,

第3个图形五角星的个数是，1+3x3=10,

第4个图形五角星的个数是，1+3x4=13,

第6个图形五角星的个数是，1+3x6=19,

（2）笫〃个图形五角星的个数是，1+3x72=3/7+1,

(3)3z?+1=2014

解得〃=671.

第671个图形中有2014个★.

故答案为：13；19；3/14-1.

10.一张方桌周围可坐8人，试探索把桌子按下图排放时周围可坐人数的变化规律.

（1）当排3张方桌时，周围可坐16人;

（2）当排〃张方桌时，周围可坐人；

（3）现有52人坐这种排列的桌子，每人只坐一个座位，至少要排一张桌子.

【解答】解：（1）根据分析得：有3桌时可坐的人数为：8+2x4=16（人）；

（2）根据分析得：有〃桌时可坐的人数为：8+4x（/2-|）=4n+4（人）；

（3）由以上数据可得规律：4〃+4..52,

解得：X..12,

现有52人坐这种排列的桌子，每人只坐一个座位，至少要排12张桌子.

故答案为：16,4〃+4,12.

11.探索规律：用棋子按下面的方式摆出正方形.

（1）（2）（3）

（1）按图示规律填写下表：

图形编号(1)(2)(3)(4)

棋子个数4———

（2）按照这种方式摆下去，摆第1（）个正方形需要多少个子？

（3）按照这种方式摆下去，1000个棋子能摆多少个正方形？

【解答】解：（1）图（1）棋子个数为4；

图（2）棋子个数为2x4=8；

图（3）棋子个数为3x4=12；

图(4)棋子个数为4x4=16：

图(5)棋子个数为5x4=20；

图(6)棋子个数为6x4=24：

第“个正方形需要棋子数为4〃：

(2)当〃=10时，4/7=40：

故第10个正方形需要40个棋子;

(3)当4〃=1000时，n=250,

故1000个棋子能摆250个正方形.

12.为庆祝“六.一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒按图所示的规律摆“金鱼”的比

赛.(】条金色)(2条金色)(3条金色)

(1)小明只搭了4条金鱼，则他用了26根火柴棒:

(2)小颖把老师分给她的50根火柴棒全部用完，则她搭了多少条金鱼？

【解答】解：(1)・・・①中火柴棒有(2+6)根,②中有(2+6x2)根，③中有(2+6x3)根，

.•,按照上面的规律，摆〃个“金鱼”需用火柴棒的根数为(2+6〃)根，

当〃=4时，需要金鱼(2+6x4)=26根;

(2)根据题意得到：2+6«=50

解得：〃=8,

所以小颖共搭了8条金鱼.

13.如图所示，小王玩游戏：一张纸片，第一次将其撕成四小片，手中共有4张纸片，以后

每次都将其中一片撕成更小的四片.如此进行下去，当小王撕到第〃次时，手张共有S张

纸片.根上述情况：

(I)当小王撕到第2次时，手中共有几张纸片？第3次呢？

(2)用含”的代数式表示S；

(3)当小王撕到第几次时，他手中共有70张小纸片？

【解答】解：(1)从图中可以看出，当小千.撕了1次时，手中有4张纸=3x1+1；

当小王撕了2次时，手中有7张纸=3x2+1；

可以发现：小王撕了几次后，他手中纸的张数等于3与几的乘积加【.

所以，当小王撕了3次时，手中有3x3+1=10张纸.

答：当小王撕了3次时，手中有10张纸：

(2)由题目中的“每次都将其中一片撕成更小的四片”，

可知：小王每撕一次，比上一次多增加3张小纸片.

:.s=4+3(//-1)=3,2+1;

(3)当s=70时,有3九+1=70,〃=23.即小王撕纸23次.

(1)按图示规律填空:

图形标号①②③④•••

三角形个数1234・••

火柴棒根数357—・♦♦

(2)按照这种方式搭下去，搭出1()个这样的三角形需要根火柴棒,

搭出“个这样的三角形需要根火柴棒.

【解答】解：搭一个三角形需3根火柴,

搭2个三角形中间少用根，需要5根火柴棒,

搭3个三角形中间少用2根,需要7根火柴棒,

搭4个三角形中间少用3根,需要9根火柴棒,

搭5个三角形中间少用5根,需要13根火柴棒;

搭〃个三角形中间少用(〃-1)根,需要[3〃-(〃-1)]=2〃+1根火柴棒;

(1)填表如下:

③

图形标号©②④••♦

三角形个数1234•••

火柴棒根数3579•♦•

(2)按照这种方式搭下去，搭出10个这样的三角形需要2x10+1=21根火柴

棒，搭出1个这样的三角形需要2〃+1根火柴棒.

故答案为：7,9；21,2/1+1.

15.如图，用白萝卜等材料做一个正方体，并把正方体表面涂上颜色.

(1)如图①，正方体有8个顶点:有条棱：有个面；

(2)如图②，杷正方体的楂三等分，然后沿等分线杷正方体切开，得到27个小正方体.观

察其中三面被涂色的有个，两面涂色的有个；一面涂色的有个；各面

都没有涂色的有个.

(3)猜想：如果把正方体的棱四等分，然后沿等分线把正方体切开，得到64个小正方体.观

察其中三面被涂成红色有个；两面被涂成红色有个；一面被涂成红色有有

个；各面都没有涂色的有个.

【解答】解：(1)如图①，正方体有8个顶点；有12条棱；有6个面；

(2)如图②，把正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开，得到27个小正方体.观

察其中三面被涂色的有8个，两面涂色的有12个；一面涂色的有6个；各面都没有涂

色的有1个.

(3)猜想：如果把正方体的棱四等分，然后沿等分线把正方体切开，得到64个小正方体.观

察其中三面被涂成红色有8个；两面被涂成红色有24个；一面被涂成红色有有24个；

各面都没有涂色的有8个.

故答案为：(1)8,12,6；(2)8,12,6,1；(3)8,24,24,8.

16.如图是一个形如正六边形的点阵，它的中心是一个点，算第一层，第二层每边有两个点，

第三层每边有三个点，...，依此类推.

(1)填写下表：

层数1234•••

该层对应的点数161218・・•

所有层的总点数17——•••

(2)写山第八层所对应的点数(〃..2);

(3)写出〃层的正六边形点阵的总点数(〃..2)；

(4)如果点阵中所有层的总点数为331,请求出它共有几层?

(2)第一层上的点数为1；

第二层上的点数为6=1x6：

第三层上的点数为6+6=2x6；

第四层上的点数为6+6+6=3x6；

•••;

第“层上的点数为S—l)x6=6〃-6.

(3)第二层开始，每增加一层就增加六个点，即”层六边形点阵的总点数为，

14-1x6+2x6+3x6+...+(//-1)x6.

=1+6(1+2+34-4+...+(«-1)],

77(77-1)

=l+6x------,

2

=1+.

第"层六边形的点阵的总点数为:I+3〃(〃-1)=3n2—3/14-1.

(4)令3〃'—3〃+1=331

解得：/?=-10(舍去)或〃=11

答：共有11层.

17.观察图回答问题：

图中的圆被线段隔开分成了四层，则第一层有1个圆，第二层有3个圆，第三层有5个圆

(1)如继续画下去，第五层有9个圆,第〃层应画个圆；

(2)某一层上有99个圆，则这是在第层；

(3)前三层共有个圆；前十层共有个圆;

(4)请推算，这种图前〃层共有多少个圆？

①②③④

O

O

O

O

【解答】解:根据题意得:

(1)第三层有5个圆，第四层有7个圆；

，5层应该9个圆，

每一层都比其前一层多2个圆，

二笫”层有(2〃一1)个圆；

(2)2〃-1=99

解得：〃=50.

故50层有99个圆；

(3)前三层共有9个圆；前十层共有100个圆；

(4)1+3=4=22；1+3+5=9=32；1+3+5+7=16=42；

则“层的圆的个数和是1+3+5+…+2〃-1=〃2；

故答案为：(1)9,2/1-1：(2)50；(3)9,100.

18.火柴棒按图中所示的方法搭图形.

AA7AAA7V

①②③④

(1)填写下表

三角形个数12345

火柴棒根数

(2)搭〃个这样的三角形需要多少根火柴棒?

【解答】解：(I)3、5、7、9、11；

(2)由图形得到：

第一个图形要火柴1+2=3根；

第二个图形要火柴1