数学（文）二轮复习版讲义专题四第二讲大题考法概率与统计

第二讲大题考法——概率与统计

题型(一)

主要考查随机事件的概率、古典概型、频率

概率与用样本估计总体的交汇问题

分布直方田、茎叶图等的应用.

［典例感悟］

［典例1］(2018.全国卷I)某家庭记录了未使用节水龙头5()天的口用水量数据(单位：

和使用了节水龙头50大的口用水量数据，得到频数分布表如下：

未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表

使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表

(1)在下图中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图；

(2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35nf的概率；

(3)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？(一年按365天计算，同一组中的

数据以这组数据所在区间中点的值作代表)

［审题定向］

(一)定知识

主要考查频数分布表、频率分布直方图、用顺率估计概丝、根据频数分布表求平均数.

(二淀能力

1.考查数据分析：由频数分布表中的数据作出频率分布直方图，由频数分布表、频率分布直

方图中的数据得平均数、频率估算求解.

2.考查数学运算：频率的计算，平均数的计算.

(三淀思路

第⑴问计算各组频率作图：

根据使用节水龙头后的频数分布表，计算各组的频率，结合每组的组距，计算频率与组距的

比值作为频率分布直方图的纵坐标，画出频率分布直方图：

第Q)问用频率估计概率：

利用样本中日用水量小于0.35n?的频率估计日用水量小于0.35n?的概率,其中［0.3,035)的

频率为［0.3,0.4)的频率的去

第(3)问求平均数：

先求出1天的节水量的平均数，再乘365,1天的平均节水量是指未使用节水龙头的50天的日

用水量平均数减去使用节水龙头后50天的日用水量平均数.

［解］(1)频率分布直方图如图所示.

(2)根据频率分布直方图知，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35m3X0.l+

IXX0.1+2X0.05=0.48,因此该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35n?的概率的估

计值为0.48.

(3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为

Ti==xXXXXXXX5)=048.

JU

该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为

T2=.XXXXXXX5)=035.

估计使用节水花头后,一年可节省水(0.48—0.35)XS65=47.45(n?).

［典例2］(2017•全国卷III)某超市计划按月订购•种酸奶，每天进货量相同，进货成本

每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根

据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：C)有关.如果最高气温不低于25,需

求量为500瓶；如果最高气温位于区间［20,25),需求量为300瓶；如果最高气温低于20,

需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，

得下面的频数分布表：

最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)

天数216362574

以最高气温位于各区诃的频率估计最高气温位于该区间的概率.

(I)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；

(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为m(单位：元).当六月份这种酸奶一天的进货量

为450瓶时，写出丫的所有可能值，并估计丫大于零的概率.

［审题定向I

(一淀知识

主要考查频数分布表、用样本频率估计概率.

(二)定能力

1.考查数据分析：通过频数分布表中的数据，分析每个气温区间频率求概率.

2.考查数学运算：频率的计算.

(三淀思路

第(I)问用频率估计概率：

理解不超过300瓶的含义，最高气温在25以下的三个区间均满足，选对区间，用频率估计

概率即可；

第(2)问分段计算，用频率估计概率：

由于最高气温影响需求量，超过需求量的部分降价处理，从而影响利泗，分段计算即可.

［解］(I)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25,由表格数

据知，最高气温低于25的频率为2+.：36=06,

所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.

(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25,则F=6X450-4X450

=900;

若最高气温位于区间［20,25),

则y=6X300+2(450-300)-4X450=30()：

若最高气温低于20,

则丫=6X200+2(450-200)-4X450=-100.

所以丫的所有可能值为900,300,-100.

Y大于零当且仅当最高气温不低于20,由表格数据知，最高气温不低于20的频率为

36+2芥7+4=08因此丫大于零的概率的估计值为0.8.

［类题通法］

解决概率与用样本估计总体交汇问题的方法

［对点训练］

(2019届疥三•广州五校联考)某市为庆祝北京夺得2022年冬奥会举办权，围绕“全民健

身促健康、同心共筑中国梦”主题开展全民健身活动.组织方从参加活动的群众中随机抽取

120名群众,按他们的年龄分组:第I组［20,30),第2组［30,40),第3组［40,50),第4组［50,60),

第5组［60.70］,得到的频率分布更方图如图所示.

⑴若电视台记者要从抽取的群众中选一人进行采访，估计被采访人恰好在第1组或第4

组的概率；

(2)已知第1组群众中男性有3名,组织方要从第1组中随机抽取2名群众组成志愿者

服务队，求至少有1名女性群众的概率.

解：(1)设第1组［20,30)的频率为力，则由题意可知，

力=I-(0.035+0.0304-0.020+0.010)X10=0.05.

X10=0.25.

・•・估计被采访人恰好在第1组或第4组的概率为0.25.

X120=6.

・••第1组中共有6名群众，其中女性群众共3名.

记第1组中的3名男性群众分别为A,B,C3名女性群众分别为X,>>,z,

从第I组中随机抽取2名群众组成志愿者服务队包含(A,B),(A,C),(A,x),(A,y)f

(A,z),(B,O,(B,x),(B,y),(B,z),(C,x),(C,y),(C,z),(x,y)f(x,z),(yfz)f

共15个基本事件.

至少有一名女性群众包含(A,x),(A,y),(A,z),(Bfx)f(Bfy),(B,z),(C,x),(C,

y),(C,z),(x,y)t(x,2),(y,z),共12个基本事件.

・•・从第1组中随机抽取2名群众组成志愿者服务队，至少有1名女性群众的概率P=E

=4

=予

题型（二）回归分析与概率、统计的交汇问题主要考查统计图表的数据分析、线性回归

方程的求解与应用.

［典例感悟］

［典例1］（2018•全国卷II）下图是某地区2（）00年至2016年环境基础设施投资额y（单位：

亿元）的折线图.

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了），与时间变量t的两个线性回

归模型.根据2000年至2。16年的数据（时间变量/的值依次为1,2,…，17）建立模型①：%;

根据2010年至2016年的数据（时间变量/的值依次为12…，7）建立模型②：yt.

（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；

（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由.

［审题定向］

（一淀知识

主要考查折线图、发性回归分析及其应用.

（二淀能力

1.考查数据分析：折线图中数据分布情况的影响.

2.考查数学运算：预测值的求解.

（三淀思路

第（1）问代入求值：

将变量的值分别代人求解即可；

第⑵问利用给出模型进行分析：

可以根据回归直线情况进行分析，也可以根据估计值进行分析.

［解］（1）利用模型①，可得该地区2018年的环境皋础设施投资额的预测值为?X19=

226.1（亿元）.利用模型②，可得该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为fx9=

256.5（亿元）.

（2）利用模型②得到的预测值更可靠.

理由如下：

（i）从折线图可以看匕，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线w上下，

这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额

的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数

据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈

线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线哇模型%可以较好地描述2010年以

后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠.

（ii）从计算结果看，相对■于2016今的环境基础设施投资颔220亿元，由模型①得到的

预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理,说明利用

模型②得到的预测值更可靠.

（以上给出了2种理由，答出其中任意一种或其他合理理由均可得分）

[典例2]（2016・全国卷川）下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理最（单位：

亿吨）的折线图.

（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与/的关系，请用相关系数加以说明；

（2）建立），关于/的回归方程（系数精确到0.01）,预测2016年我国生活垃圾无害化处理

量.

77—

参考数据：»尸9.32,>"=40.17,、/S（Je—J）2=0.55,市=2.646.

尸।产1Y尸1

X（方-i）（y-y）

参考公式：相关系数r=—,1^=,回归方程£=£+%中斜率和截距

A/Z（6—t）2ZO,/->,）:

\j产I尸I

£（力-7）3-7）

的最小二乘估计公式分别为£=----------------,a=^-b7.

£（。一7）2

［审题定向］

(—淀知识

主要考查折线图、回归模型的拟合关系的判定与回归方程求法及其应用.

(二淀能力

1.考查数据分析：对折线图中的数据、参考数据作出分析.

2.考查数学运算：相关系数的求解、回归方程的求解.

(三淀思路

第(1)问利用相关系数计算分析：

利用折线图中的数据和参考数据计算相关系数，后进行判断；

第(2)问利用最小二乘法求解：

利用公式求1、2得出回归方程，然后利用方程进行估计.

［解］(1)由折线图中的数据和附注中的参考数据得

t=4,£(/,-t)2=28,"/£y)2=0.55,

LlYLI

7__7_7

ZQL，)(y-y)=D.LiEy；

J=Ii=li=l

=40.17-4X9.32=2.89,

Ar^,X2X2.646)=^0.99.

因为y与/的相关系数近似为0.99,说明y与/的线性相关程度相当大，从而可以用线

性回归模型拟合y与/的关系.

(2)由7=,7)=1.331及(1)得

7__

Z3-t)8-y)

A尸1

b=----;-----------=,28)"0.103.

E(ti-t)2

i=l

a=y—bt—X400.92.

所以y关于/的回归方程为名.

将2016年对应的t=9代入回归方程得fx9=1.82.

所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨.

［类题通法］

破解回归分析问题的关键

2＞通一〃x-y

(1)会依据表格及公亍---------，2=亍一］7求线性回归方程中的参数的值，注

》?一〃x2

i=l

意不要代错公式；

(2)已知变量的某个值去预测相应预报变量时，只需把该值代入回归方程£=源+2中.

［对点训练］

(2018•成都模拟)某医疗科研项目组对5只实验小白鼠体内的A,8两项指标数据进行收

集和分析，得到的数据如下表：

1号2号3号4号5号

指标

小白鼠小白鼠小白鼠小白鼠小白鼠

A57698

B22344

(1)若通过数据分析，得知A项指标数据与8项指标数据具有线性相关关系.试根据上

表，求B项指标数据)，关于A项指标数据x的线性回归方程£=源+々；

(2)现要从这5只小白鼠中随机抽取3只，求其中至少有一只的B项指标数据高于3的

概率.

n____

2孙一〃xy

Af=lA_A_

参考公式：b=-------------------------，a=y-bx.

iycT-n~x2

5____

〉"•一5xy

——55_A,=l1A

解：(1)由题意，可得x=7,y=3,£^戌=110，£t=255,b==2'***a=

iT

一A—A1A11

y~bx,.,•〃=-g.，所求线性回归方程为5.

(2)设I号至5号小白鼠依次为山，“2,S,出，心，则在这5只小白鼠中随机抽取3

只的抽取情况有a\aiayt。阕2。4,aia2a5,auuu,aiaws,a\ci4Cis,sss,02ayas,sa"/5,4304a5,

共10种.随机抽取的3只小白鼠中至少有一只的8项指标数据高于3的情况有0423,。口2。5,

a\a3,(14,alabels,。2。3〃4,。2的〃5,a2aM5,。3。4的，共9种..二从这5只小白鼠中随机

a

抽取3只，其中至少有一只的A项指标数据高于3的概率为而.

题型(三)

主要考查抽样方法、随机事件、古典概型、

独立性检验与概率、统计的交汇问题

频率分布直方图或茎叶图的应用以及K2的计

算与应用.

［典例感悟］

I典例I］(2018•全国卷III)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某

项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随

机分成两组，每组20人.第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式.根

据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：

(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由.

(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m,并将完成生产任务所需时间超过m

和不超过机的工人数填入下面的列联表：

超过m不超过m

第一种生产方式

第二种生产方式

(3)根据(2)中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？

附.K2=------皿逅------，

(a+b)(c+d\(a+c)(b+d)

P(K-^k)

k

［审题定向I

(一淀知识

主要考查茎叶图及应用、中位数、2X2列联表、《2的值.

(二淀能力

1.考查数据分析♦：由茎叶图中的数据提取后进行分析；由片的值进行分析.

2.考杳数学运算：K2的求解..

(三淀思路

第(1)问观察、比较、判断：

观察茎叶图，通过比较中位数、平均数等统计数据作出结论；

第(2)问利用中位数定义，2X2列联表定义求解：

根据中位数的定义求中位数，并完成2X2列联表；

第(3)问计算K?的值：

计算出K2的值并与临界值表比较，进而得出结论.

［解］(1)第二种生产方式的效率更高.

理由如下：

(i)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间

至少80min,用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79min.

因此第二种生产方式的效率更高.

(ii)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5

min,用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5min.因此第二种生产

方式的效率更高.

(iii)由茎叶图可知：月第一种生产方式的工人完成生产任务所需平均时间高于80min;

用第二种生产方式的工人完成生产任务所需平均时间低于80min.因此第二种生产方式的效

率更高.

(iv)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最

多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7

上的最多，关于茎7大致呈对称分布.又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布

的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完

成生产任务所需的时间更少.因此第二种生产方式的效率更高.

(以上给出了4种理由，答出其中任意一种或其他合理理由均可得分)

由茎叶图知"［=

(2)"81=8()

列联表如下:

超过m不超过m

第一种生产方式155

第二种生产方式515

(3)因为片=缥涂琮察=10>6.635,所以有99%的把握认为两种生产方式的效

率有差异.

[典例2](2017•全国卷II)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,

收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg),其频率分布直方图如

下：

⑴记4表示事件“旧养殖法的箱产量低于5()kg”，估计A的概率；

⑵填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关:

箱产量<50kg箱产量250kg

旧养殖法

新养殖法

⑶根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较.

附：

P(K?》k)

k

力c)2

K2=

(a+b)(c+cl)(a+c)(b+dY

I审题定向I

(一淀知识

主要考查用频率估计概率、独立性检脸的应用、用样本估计总体.

(二淀能力

1.考查数据分析：由频率分布直方图中的数据、片的值进行分析.

2.考查数学运算：频率的计算、片的计算、中值数估计值.

(三淀思路

第(1)问利用频率估计概率：

根据频率估计概率；

第(2)问计算K?的值：

根据独立性检验的步骤求解：

第(3)问利用平均值(中位数)比较：

观察频率分布直方图得出平均值(或中位数)的取值区间，再进行比较.

［解］(1)旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为

(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)X5=0.62.

因此，事件A的稷率估计值为0.62.

(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表

箱产量V50kg箱产量250kg

旧养殖法6238

新养殖法3466

根据表中数据及照的计算公式得，

,200X(62X66—34X38产

K=I00X100X96X104%5.705.

由于•15.705>6.635,故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.

(3)箱产量的频率分布直方图表明：新养殖法的箱产量平均值(或中位数)在50kg到55kg

之间，旧养殖法的箱产量平均值(或中位数)在45kg到50kg之间，且新养殖法的箱产量分

布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高，因此，可以认为新养殖法的箱产量较高且

稳定，从而新养殖法优于旧养殖法.

［类题通法］

解决独立性检验与概率综合问题的3步骤

(I)分析数据：根据条件中提供的数据准确分析数据.

(2)准确计算：对频率的计算或K2的计算确保计算准确.

(3)作出结论；用频率估计概率或根据烂的观测值与临界值进行对比时，注意问题的结

论回答准确.

[对点训练]

（2018•西安八校联考）某工厂有25周岁以上（含25周岁）的工人300名，25周岁以下的工

人200名.为了研究工人的日平均生产件数是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中

抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄“25周岁以上（含

25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组人的,60）,

160,70）,（70,80）,（80,90）,[90,100],分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.

（1）根据“25周岁以上（含25周岁）组”的频率分布直方图，求25周岁以上（含25周岁）

组工人日平均生产件数的中位数的估计值（四舍五入保留整数）；

⑵从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周

岁以下组”工人的概率；

（3）规定口平均生产件数不少于80的工人为生产能手，请你根据已知条件完成2X2列

联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？

生产能手非生产能手合计

25周岁以上

（含25周岁）组

25周岁以下组

合计

〃(〃"一A)?

(a+3)(c+d\(a+c)(Z?+,/)'

P(心Nko)

解：采用分层抽样，“25周岁以上（含25周岁）组”应抽取工人100XQH；I=60（名），

200

“25周岁以下组”应抽取工人100乂300+000=4（）（名）.

（1）由“25周岁以上（含25周岁）组”的频率分布直方图可知，其中位数为70+10X,0.35）

=70+宁54（件）.综上，2s周岁以上（含25周岁）组工人日平均生产件数的中位数的估计

值为73.

（2）由顺率分布直方图可知，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上（含

25周岁）的工人共有60XX10=3（名），设其分别为W）,"小〃?3；25周岁以下的工人共有

40XX10=2（名），设其分别为〃“2,则所有基本事件为（如，w2）,（/Mi,〃“），（〃，，ni）,（mi,

〃2）,（W2,W3）,（叱，〃1）,（〃%〃2）,（〃?3,〃1）,。〃3,〃2）,（小，〃2）,共10个.记''至少抽到

一名'25周岁以下组'的工人”为事件A,事件A包含的基本事件共7个.

7

故P(A)=而

⑶由频率分布直方图可知，25周岁以上(含25周岁)的生产能手共有60X［(0.02+

0.005)x10］=15(名),25周岁以下的生产能手共有40X［(0.0325+0.005)x10］=15(名)，则2X2

列联表如下.

生产能手非生产能手合计

25周岁以上

154560

(含25周岁)组

25周岁以下组152540

合计3070100

100X(15X25-15X45)225一

60X40X30X70=T5"L786<2.706.

综上，没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”.

［解题通法点拨I

［循流程思维——入题快］

概率问题的求解关键是辨别它的概率模型，只要找到模型，问题便迎刃而解.而概率模

型的提取往往需要经过观察、分析、归纳、判断等复杂的辨析思维过程，常常因题设条件埋

解不准，某个概念认识不清而误入歧途.另外，还需弄清楚概率模型中等可能事件、互斥事

件、对立事件等事件间的关系，注意放回和不放回试验的区别，合理划分复合事件.

［按流程解题——快又准］

［典例］(2016•全国卷II)某险种的基本保费为〃(单位：元)，继续购买该险种的投保人称

为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：

上年度出险次数0123425

保费aaaaala

随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表:

出险次数01234N5

频数605030302010

(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；

(2)记3为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，

求P»)的估计值;

(3)求续保人本年度平均保费的估计值.

［解题示范］

(I)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.❶

由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为更需2=0.55,

故P(A)的估计值为0.55.❷

(2)事件3发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4❸

30+30

由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为，“；=0.3,故P(B)的估计

^值ZWwa/w为a^A^^tfW0Waz.az3aZa«9

❶辨析：判断事件A包括试脸发生的情况为：一年内出险次数小于2,即出险次数为0

和1两种情况

❷辨型：该问题为求逋机事件的概率，利用互斥事件的关系求解

❸辨析：判断事件B所包含的基本事件

❹辨型：随机事件的概率，并代入公式求解

(3)由所给数据得

保费aaaaala

频率

调查的200名续保人的平均保费为aX0.30+aX0.25+aX0.15+aX0.15+aX0.10+

2^X0.05=1.1925a.

因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.1925a.

［思维升华］往往与实际问题相结合，要注意理解实际问题的意义，使之和相应的概率

计算对应起来，只有这样才能有效地解决问题.

［应用体验I

(2019届届三•湖北七市(州)联考)某校举行运动会，其中三级跳远的成绩在(四舍五入，

精确到)以上的进入决赛，把所得数据进行整理后，分成6组，画出频率分布直方图的一部

分(如图)，已知从左到右前5个小组的频率分别为004,0.10。14,0.28030,第6小组的频数

是7.

(1)求进入决赛的人数；

(2)经过多次测试发现，甲的成绩均匀分布在8〜1()米之间，乙的成绩均匀分布在9.5〜

之间，现甲、乙各跳一次，求甲比乙跳得远的概率.

7

解：(1)第6小组的频率为1-(0.04+0.104-0.14+0.28+0.30)=0.14,则总人数为万万=

50.易知第4,5,6组的学生均进入决赛，人数为(0.28+0.30+0.14)均50=36,即进入决赛的人

数为36.

(2)设甲、乙各跳一次的成绩分别为工,)，米，则｛8WXWW)W10.5,

作出不等式组表示的平面区域如图中长方膨ABCO所示，

设事件4表示“甲比乙跳得远”，则.>)，，满足的区域如图中阴影部分所示.

2X2X21

由几何概型得P(A)=",=

即甲比乙跳得远的概率为七

［课时跟踪检测］

A卷——大题保分练

1.(2018・石家庄模拟)某学校为了解高三学生数学学科的复习效果，现从高三学生第一

学期期中考试的成绩中随机抽取50名学生的数学成绩(单位:分),按［90,100),［100,110),

［14(),150］分成6组，制成如图所示的频率分布直方图.

(1)求机的值及这50名学生数学成绩的平均数不；

(2)该学校为制订下阶段的复习计划，现需从成绩在：130,140)内的学生中任选3名作为

代表进行座谈，若已知成绩在［130,140)内的学生中男女比例为2：1,求至少有1名女生参

加座谈的概率.

解：(1)由题知，(0.004+0.012+0.024+0.04+0.()12+〃?)X10=1,解得w=0.008.7=

95XXI0+I05XX10+II5XXI0+125XX10+135XX10+145XX10=121.8(分).

X10X50=6(>&),由题可知这6名学生中男生有4名，女生有2名，记男生分别为A,

B,C,D,女生分别为“，h,则从6名学生中选出3名的所有可能情况为ABC,ABD,ABa,

ABb,ACD,ACa,ACb,ADa,ADh,BCD,BCa,BCb,BDa,BDb,CDa,CDb,Aab,

Bab,Cab,Dab,共20种，其中不含女生的情况为ABC,ABD,ACD,BCD,共4种.记

44

“至少有1名女生.参加座谈”为事件A,则PW~1—20~5,

2.(2018•广东韶关期末)某商店为了更好地规划某种商品的进货量，从某•年的销售数

据中，随机抽取了8组数据作为研究对象，如下表所示。为该商品的进货量，)，为销售天数):

/吨234568911

W天12334568

(1)根据上表数据在如图所示的网格中绘制散点图：

(2)根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程;=源+2

(3)根据(2)中的计算结果，若该商店准备一次性进货24吨，预测需要销售的天数.

£孙一〃x•y

参考公式和数据：b=-..........,a=y-bx；

一〃x2

88

=356,才到=241.

i=li=l

解：(1)数点图如图所示.

—1—1

(2)依题意，得入=耳乂(2+3+4+5+6+8+9+11)=6,y=gX(l+2+3+3+4+5+6

+8)=4,

88

又为v?=356,为为力=241,

r-lr-1

8____

»通-8x-y

ALI

所以“=------------

£3—812

1=1

241-8X6X449

=356-8X62=681

A/49-H

”=4—前X6=一京

A49]]

故线性回归方程为y=4广一茄.

A4911

(3)由(2)知，当x=24时，y=.X24一五七17,

故若该商店一次性进货24吨，则预计需要销售17天.

3.(2018.长足质检)为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研，

力争有效地改良玉米品种，为农民提供技术支援.现对已选出的一组玉米的茎高进行统计，

获得茎叶图如图(单位：厘米)，设茎高大于或等于180厘米的玉米为高茎玉米，否则为矮茎

玉米.

(1)列出2义2列联表，并判断是否可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为抗倒

伏与玉米矮茎有关？

(2)为了改良玉米品种，现采用分层抽样的方法从抗倒伏的玉米中抽出5株，再从这5

株玉米中选取2株进行杂交试验，求选取的植株均为媵茎的概率是多少？

附：

尸(群2公)

解：(1)根据统计数据得2X2列联表如下:

抗倒伏易倒伏总计

矮茎15419

高茎101626

总计252045

5

由于K2的观测值k=4:C'],：!°)-=7.287>6.635,因此可以在犯错误的概率不

19X20XZJXZU

超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关.

(2)按照分层抽样的方法抽到的高茎玉米有2株，设为A,B,抽到的矮茎玉米有3株，

设为a,b,c,从这5株玉米中取出2株的取法有AB,Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Be,ab,ac,

be,共10种，其中均为独茎的选取方法有。儿研，be，共3种，因此选取的植株均为矮茎

3

的概率是而.

4.在某大学的自主招生考试中，所有选报某类志愿的考生全部参加了“数学与逻辑”

和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A,B,C,D,E五个等级.某考场考生的两

科考试成绩的数据统计如图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩等级为B的考生有10人.

(1)若等级A,B,C,D,E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生的

“数学与逻辑”科目的平均分；

(2)求该考场考生的“阅读与表达”科目成绩等级为A的考生人数；

(3)如果参加本次考试的考生中，恰有2人的两科成绩等级均为A,在至少有一科成绩

等级为A的考生中，随机抽取2人进行访谈，求所抽取的2人的两科成绩等级均为A的概

率.

解：(1)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人，所以该考场有考生

10・0.25=40(人).“数学与逻辑”“数学与逻辑”科目的平均分为[lx(40x0.2)+2x(40x().l)

+3x(40x0.375)+4x(40x025)+5x(40x0.075)]X0=2.9(分).

(2)依题意知该考场考生的“阅读与表达”科目成绩等级为A的人数为40X(1—0.375—

0.375-0.15-0.025)=40X0.075=3.

(3)因为两科考试中，共有6人的成绩等级为A,又恰有2人的两科成绩等级均为A,

所以还有2人只有一个科目的成绩为A.设这4人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成

绩等级都是A的学生，在至少一科成绩等级为A的4位考生中，随机抽取2人进行访谈包

合的技本事件有｛甲.乙｝,｛甲.两｝、(甲，丁｝,f乙.丙｝,(乙,丁)，｛丙，丁),共6个.

其中所抽取的2人的两科成绩等级均为A的事件为｛甲，乙｝,所以所抽取的2人的两科成

绩等级均为A的概率为'.

B卷——深化提能练

1.为了研究现代学生心理喜好，某班主任对全班50人除夕夜收看央视春节联欢晚会时

间进行问卷调查，得到了如下数据：

收看时间(小时)[0,1)11,2)[2,3)[3,4]

总人数8121614

将收看时间在［2,4］（单位：小时）内的学生评价为“喜欢看”，收看时间在［0,2）（单位：小

时）内的学生评价为“不喜欢看”.

⑴请将下面的列联表补充完整:

喜欢看不喜欢看总计

男生

女生1525

总计

（2）是否有99.9%的把握认为喜欢看该节目与性别有关？说明你的理由；

（3）对50人按是否喜欢看该节目利用分层抽样的方法抽取5人，再从5人中随机拍取2

人，求恰好2人都喜欢看该节目的概率.

附:

P（Y2心）

ko

K2=其中〃=a+b+c+d.

(a+%)(c+J)(a+c)3+〃)'

解：（1）填表如下:

喜欢看不喜欢看总计

男生20525

女生101525

总计3()205()

,50(20X15-10X5)2

(2)/=；八乂%)乂八乂八’=8.333v10.828,

JU人ZU人ZD八£3

故没有99.9%的把握认为喜欢看该节目与性别有关.

⑶分层抽样比例为古，故抽取的5人中喜欢看该节目的有3人，记为力，。；不喜欢

看该节目的有2人，记为从5人中随机抽取2人，基本事件有a/;,be,am,an,

加?，bn,cm,cntinn,共10种，2人都喜欢看该节目的事件有ac,be,共3种，所以

3

恰好2人都喜欢看该节目的概率为P=而.

2.为了调查某大学大一学生的公共课《思想道德修养与法律基础》的成绩情况，随机

抽查〃个大一学生该科的成绩，由于特殊原因，制成的茎叶图（图①）和频率分布直方图（图②）

都受到不同程度的破坏，可见部分如图所示，据此解答如下问题.

⑴求n的值;

（2）计算频率分布直方图中［80,90）所对应的矩形的高:

(3)若要从成绩在［80/00］之间的试卷中任取两份分析大一学生的答题情况，求在抽取的

试卷中至少有一份试卷成绩在［90/00］之间的概率.

2

解：(1)由题意知［X10,解得〃=25.

4

⑵因为成绩在［80,90)之间的频数为25-21=4,所对应的矩形的高为『_"=0.016.

ZjAIu

(3)成绩在［80,90)之间的有4人,分别记为A,B,C,。：成绩在［90,100］之间的有2人,

分别记为0,/从6人中抽取2人的基本事件为：(A,B},{A,C),团，D},{A,c］,(人，

fl,{B,C},{B,D},{B,e},{B,f}t{C,D}f{C,e}t{C,/},{D,e}t{D,f},{et

f}t