数学竞赛中的代数式求值经典问题

数学竞赛中的代数式求值经典问题

题型一、代数式恒等变形

1.若abc=l,则丁上一+——+---的值是（）

ab+a+\bc+b+\ca+c+1

A.1.B.0.C.-1.I）.-2.

解析：abc=l,则a,b,c均不为0.

ab+a+1bc+b+lca+c+1

acbbe

=----------1------------1-----------

1+ac+cbc+b+11+bc+b

abcbbe

=---------+----------H-----------

b+l+bcbc+b+11+bc+b

14-b+bc

b+14-bc

选A.

2.若x3+y3=1000,且x2y-xy2=-496,则(x3-y3)+(4xy2-2x2y)-2(xy2-y3)=.

解析：由于x3+y3=10D0,且x2y-xy2=-496,因此要把«3-丫3)+(4*丫2-2乂2丫)-26丫2-丫3)

分组、凑项表示为含x3+y3及x2y-xy2的形式，以便代入求值，为此有

(x-y3)+(4xy2-2x2y)-2(xy2-y3)=x：＜+y:l+2xy2-2x2y=(x，+y')-2(x2y-xy^)=1000-2(-496)=199

3.若m+n-p=O,则的值等于.

解析：，

+□-Z11、/I1、11、

提水:〃?(-----)+〃(------)-/?(z一+—)

npmpmn

_tnm+nnnp

npmpinn

=")+")一”)

nnmmpp

=-3

4.若x-y=2,x2+y2=4,则xl992+yl992的值是()

A.4B.19922C.21992D.41992

解析：由x-y=2①

平方得x?-2xy+y2=4②

又已知x?+y2=4③

③-②得2xy=0=xy=0.

所以x,y中至少有一个为0,但x2+y2=4.因此，x,y中只能有一个为0,另一个为2或-2.

无论哪种情况，都有

x1992+y1992=01992+(±2)1992=21992,选C.

5.在等式y=ax2+bx+c中，当x=l时，y=-2,当x=T时，y=20,则ab+bc+9b2=__.

解析：以x=l,y=-2代入y=a2+bx+c得a+b+c=-2①

以x=T,y=20代入y=ax2+bx+c得a-b+c=20②

①-②,2b=-22,所以b=Tl.因此a+c=9.于是

ab+bc+9b2=b(a+c)+9b2=(-11)X(9)+9X112=990.

6已知a+b=­3,a2b+ab2=—30,则a2-ab+b2+ll=50.

7.已知=-2,则=2；=0.

8.如果m—=—3,那么m3—=.

解析:，提示：

9.三个互不相等的有理数，既可表示为1,a+b,a的形式，又可表示为0,,b,的形式，则

a1992+b1993=.

解析：由于三个互不相等的有理数，既可表示为1,/

定，a+b与a中有一个为0,々与力中有一个为1,

a

但若a=0,会使没意义，所以。声0,只能是

a

b

以+8=0=4=一儿又。声。0一=-1,由于0,

a

5为两两不相等的有理数，在2=7的情况

aa

下，只能是b=l.于是a=T.

所以，al992+b1993=(-l)1992+(1)1993=1+1=2.

10.如图6,D点在RtzXABC的直角边上BC上，且BC=2,DC=3,若AB=m,AD=n,那么

m2-n2=.

解析：勾股定理：m2=BC2+AC2=52+AC2n2=DC2+AC2=32+AC2可得：m2-n2=16

11.已知ax+hy=7,ax2+hy2=49,axR+hyR=lRR,ax4+hy4=406,试求

1995(x+y)+6xy-(a+b)的值.

分析：已知ax+by=7,ax2+by2=49,ax3+by3=133,ax4+by4=406.形式很对称，很容易

诱使你将ax+by=7两边平方，再减去ax2+by2=49,…想利用乘法公式算出xy,但一试发

现此路不通.由于受所作某些训练题型模式的影响，很多同学仍企图走此路，以致最后

陷入死胡同.事实上，ax+by平方后必出现a2x2与b2y2,而ax2+by2中，a,b都不是平方,

这一特点已经表明利用乘法公式去消项的方法很难走通.应及时转向，通过一项一项表

示，往一起凑这个最基本的方式去做.

解：显然

ax2=49-by2,by2=49~ax2

ax3=49x-bxy2,by3=49y-ax2y

相加得

133=ax^+by^=49(x+y)-xy(ax+by)

BP

49(x+y)-7xy=133

7(x+y)-xy=19①

同理ax3=133-by3,by3=133-ax3

ax4=133x-bxy3,by4=133y-ax3y

相加得

406=ax4+by4=133(x+y)-xy(ax2+by2)

即133(x+y)-49xy=406

19(x+y)-7xy=58②

由①、②联立，设x+y=u,xy=v

得7u-v=19

19u-7V=58,解得u=2.5,v=-l.5

即x+y=2.5,xy=-1.5

由ax=7-by,by=7-ax

得ax2=7x-bxy,by2=7y-axy

相加得49=ax2+by2=7(x+y)-xy(a+b)

所以1.5(a+b)=49-7X2.5

Ja+b=21

此时即可求得

,17

1995(x+y)+6xy-—(a+b)

2

=1995x(2.5)+6x(-1.5)-

=4987.5-9-178.5=4800

说明：本题虽然所用知识单元块均在初一学过，但解此题需要考生有较强的应变能力与观

察综合能力，并且计算也要很细心，因此本题属于对学生数学素质综合检查的题目.本题

改编自下面的问题“已知ax+by=8,ax2+by2=22,ax3+by3=62,ax4+by4=178,试求

1995(x+y)+6xy之值”.有兴趣的读者不防解一解看.答案是10011.再想一想，满足题设

条件的a与b两数之和a+b等于多少？你能独立地求出a+b之值吗？(答a+b=3)

题型二、多项式的带余除法

1.设m2+m-l=0,贝Ijm3+2m2+1997=.

解析：原式=m3+m2—m+m2+m—1+1998

=m(m24-m—1)+(m2+m—1)+1998

=(m2+m-l)(m+1)+1998

由于m2+m—l=0,・,・原式=1998.

2.如果x2+x—l=0,则x3+2x2+3=4.

3.若r2+3r-1=0,贝Ijr+sr+5x+1X=20

4.如果，那么18o

5.已知，则=。

6.若是的一个因式，则的值是150

题型三、多项式展开式

1.若，则=-4

2.如果，那么=1；=365

解析：杨辉三角:1

2-11次

4-412次

8-126-13次

64-192240-16060-1216次

所以：一式=1T2+60T60+240T92十64=1

二式=1+60+240+64=365

体型四、裂项求和法

1.方程+++…+=2008的解是x=2009

2.方程的解是1005

题型五、比例性质

1.已知，且，则=

2.三个有理数a,b,c满足a:b:c=2:3:5,且,则a+b+c=

解析：设a=2k,b=3k,c=5k代入可得k=，所以a+b+c=10k二.

3.已知x.(l时,3ax5(2bx3(cx2(2=10,其中a:b:c=2:3:6,那么.…。

4.如果==,那么=

5.已知非负实数满足，记，求W的最大值与最小值.

Y—12—V7—3

设^—=—^=^^=攵,贝卜=2攵+1,丫=一3攵+2,2=4女+3.(3分)

解析：234

因为x,y,z均为非负实数。

2Z+120,

所以-3A+220,

4Z+320

解得.•—,i4女苦2（5分）

于是；14/=3x+4y+5z

=3（2&+1）-4（3女-2）4-5（4女+3）

=14攵+26（5分）

I?

所以一一X14+26414k+26W-x14+26,（7分）

23

即

所以TV的最小值是19,最大值是35（10分）

题型六、含绝对值的最值问题

1.有理数a,b,c,d使也丝1=-1,则@+曲+四+W1的最大值是

abedabed

助处13.由哨1-7,知，a,b,c,"中负数

解析：abed

为奇数个.若a,瓦c,d中一个负三个正，

9+学+目+与=2.若a,b,c,d中三个负

二个士"g+7+--2.所以，

叫glL号的;大值是2.

abed

2.若，则的最大值是4；

3.当.x（.|（.x（.|的值最小时，.x（.|（.x（.|（.x（.|的值最大...，最小...。

解析：当

x-3

的值最小时,2WxW3,又因为1不在2和3之间,所以可令x=2,则

x-2

+

x-3

xT

=0

令x=3,则

xT

+

xT

xT

二T

所以，所求最大值为0,最小值为T

4.若a、b、c都是正整数，且a+b+c=55,a—bc=-8,则abc的最大值为2009,最

小值为713.

31.十进制的自然数可以写成2的方某的降暴的多项式，如：

即十进制的数19对应二过制的数10011.按照上述规贝L,十进制的数413对应二进制的数

是110011101

32.如果a,b,c都是质数,且b(c=13,c2(a2=72,则a(b(c….

解析：由b+c=13,

c

2

2

=72得,b,c中

至少有一个2,分析可知,b=2,则c=13f=ll,

a

2

=121^72=49,a=7,所求a+b+c=20

33.在下图所示的每个小方格中都填入一个整数:

□I□II□□|2|口m

A4-V+Z

并且任意三个相邻格子中所填数之和都等于5,则一:—

xyz

解析：容易断定与x相邻的两个数分别为9与2,即

9X2

因为9叮吵=5,则x=6,依任意二个相邻格子中所填数之和都等于5,分别确定出每个

格子中所填之数如下：

9-629-629-629-629-629-6

z9X2V

断定y=-6,z=9.所以

x+y+z_(-6)4-(-6)4-9_-3_1

xyz=(-6)(-6)•9=3^="108

34.a,b,c是三个不同的自然数，两两互质.已知它们任意两个之和都能被第三个整除.

则a3+b3+c3=______.

解析：不妨设〉》+

2ac,--a-<2,

由已知，也£应为正整数，所以只能竺£=i,

aa

于是3+c=/由于这三个数中任两个之和

可被第三个整除，应有ba+c.

b|[(b+c)+c]即b|(b+2c)=>b|2c又

由于b、c互质，.,.bp,又3>c,

・・・b22,但b|2,只能是b=2.

于是c=l,a=3.因此a3+b3+c3=33+23+13=27+8+l=36.

35.若a,b,c,d为整数，(a2+b2)(c2+d2)=1993,则a2+b2+c2+d2=.

解析：由于1993是质数，a2+b2,c2+d2是1993的约数，只能a2+b2=l,c2+d2=1993,或

a2+b2=1993,c2+d2=l,所以a2+b2+c2+d2=l+1993=1994.

36.若a,b,c,d为非负整数.且(a2+b2)(c2+d2)=199工则a+b+c+d二.

解析：因为1993是质数，a2+b2与c2+d2都是正整数，所以a2+b2与c2+d2分别取值1与

1993(参见第一试填空第7题解答).为确定起见；，不妨设a2+b2=l,c2+d2=1993.

(1)a2+h2=1.推知a=0,h=l或a=l,h=0,因此a+h=l一

(2)c2+d2=1993.

若cW31,d<31,则c2+d2W2X312=2X961=l922Vl993.所以c,d中至少有一个大于

31.又由于442=1936V1993,故设c为c,d中较大的一个，则32WcW44.

我们依次取c=44,43,42,41,33,32试算如下：

C44434241403938

2

C1936184917641681160015211444

1993-c257144229312393472549

C3731535343332

2

C136912961225115610891024

1993-c2624697768837904969

其中1933-c2的结果中，只有144=122为完全平方数，即432+122=1993,所以c=43,

d=12或c=12,d=43.因此.c+d=55.

所以a+b+c+d=l+55=66.

37.已知p、q均为质数，并且存在两个正整数叫n,使得p=m+n,q=mn,则的值为___.

解析：:q是质数，q=mXn,

所以m,n只能一个为1,另一个为q.

此时p=m+n=l+q,而p又是质数，只能p=3,q=2.

即m,n一个是1,另一个是2.

手曰pp+qq33+2227+431

T7Emn+nm=12+21=3=T'

3&自然数m,n是两个不同的质数,m+n+mn的最小值是p,则〃

P~

解析：m、n都是质数,要m+n+mn取最小值,

只能m、n取2与3,所以p=2+3+2X3=ll.

39.五位数538盯能被3,7和11整除，则*2-丫2=.

解析：由于五位数能被3,7和11整除，可知3X7X11=231整除.

试除知231X230=53130

231x231=53361

231x232=53592

231x233=53823

231x234=54054

可见x=2,y=3.x2-y=4-9=5.

40.三个不同的质数,a,b,c满足ab''c+a=200,则a+b+c=.

解析：易知a(bbc+1)=2000=24X53.

若a=5,则b"c+l=400,

Abbc=399=3x133=3x7x19

无论c=3,7或19都不能求得质数b,故aW5.

只能取a=2,此时b%+l=1000,

・・・bbc=999=3x37,则b=3,c=37,

因此,a+b+c=2+3+37=42.

41.设为大于。的整数,且,(1)如果的最大公约数为15,则(2)如果的最小公倍数为45,则

解析：:m、n为大于0的整数，且3m+2n=225,若(m,n)=15,则3m=3X15=45,2n=2义

90=180,

:.m=15,n=90

A(l)m+n=15+90=105.

⑵若[m,n]=45,则m+n=45+45=90.

42.5位数是某个自然数的平方，则3X+7Y=29

43.a和都是正整数，则2=4

44.正整数m和n有大于1的最大公约数，且满足m3+n=371,则mn=196。

45、已知/都是整数，且//

0或1O

46.若/是能被3整除的五位数，贝I」/的可能取值有3个；这样的五位数中能被9

整除的是94599o

47.两个正整数x和y的最大公约数是4,最小公倍数是20,则一6641。

48.n是自然数，如果n+20和n-21都是完全平方数，则n等于421.

49.2m+2006+2m(m是正整数)的末位数字是.

解析：0,提示：的末位数字是2,的末位数字是4,的末位数字是5