广西壮族自治区桂林市2025-2026学年高一下学期非毕业年级日常考试题库卷数学试题（含解析）

数学（考试用时120分钟，满分150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数（）A. B. C. D.2.若扇形的圆心角为，半径为3，则此扇形的弧长为（）A. B. C. D.3.已知向量，若，则实数（）A. B. C.2 D.44.已知圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，则圆锥的体积为（）A. B. C. D.5.若，，，则（）A. B. C. D.6.已知直线a，b，c，下列命题中正确的是（）A.若，则 B.若，则a，b，c共面C.若，则 D.若a，b异面，b，c异面，则a，c异面7.若，则的值为（）A. B.4 C. D.28.日月双塔是桂林的标志性建筑之一，也是游客的日常打卡地．为测量日塔的高度，某中学研究学习小组选取A，B两处作为测量点，O为日塔底部中心点，且与A，B共水平面，测得的距离为8m，，，在B处测得日塔顶端C的仰角为，则测量的日塔的高度约为（）（参考数据：，）A.36m B.41m C.45m D.48m二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数，下列说法正确的是（）A.z的实部为1 B.z的虚部为C. D.复数z在复平面内对应的点位于第二象限10.如图，在直三棱柱中，．P，Q分别为，的中点，下列说法正确的是（）A.平面 B.C.平面 D.平面11.如图是函数的部分图象，则（）A.B.先将函数的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象．C.当时，函数的图象与函数的图象恰有7个交点D.将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图象，若函数在上单调递增，则正数t的取值范围是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.复数的共轭复数是____．13.已知向量，满足，，，则________.14.如图，以正四面体的四个顶点为球心，棱长为半径作四个球，它们的公共部分形成的几何体叫做“勒洛四面体”．若正四面体的棱长为4，则过A，B，C三点的“勒洛四面体”截面面积是________．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知向量，，，且．（1）求t的值；（2）求的值．16.在平面直角坐标系中，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，且角的终边经过点．（1）求，；（2）若为第四象限角，且，求．17.已知的内角，，的对边分别为，，，且，，的面积为．（1）求A；（2）若，M为中点．（ⅰ）求的周长；（ⅱ）求边的中线的长．18.如图，平面四边形是边长为3的正方形，平面，，且．（1）证明：平面平面；（2）证明：平面；（3）线段上是否存在点M，使得平面平面，且满足平面，若存在，试确定点M的位置；若不存在，请说明理由．19.已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求；（2）若，点D，P满足：，，．（ⅰ）求的取值范围；（ⅱ）求的最小值，并求当最小时的值．

数学（考试用时120分钟，满分150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据复数的乘法运算化简即可.解答过程：.故选：D2.若扇形的圆心角为，半径为3，则此扇形的弧长为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：扇形的弧长.3.已知向量，若，则实数（）A. B. C.2 D.4答案：B解析：解答过程：由向量平行的坐标表示，结合题意得，解得.4.已知圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，则圆锥的体积为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先根据轴截面是边长为2的等边三角形求出圆锥的底面半径和高，再代入圆锥体积公式计算结果．解答过程：设圆锥的底面半径为，母线长为，高为，所以，所以圆锥的体积．5.若，，，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用正切函数的性质化简三个三角式，再结合正切函数在上的单调性比较大小.解答过程：，，，因为在上单调递增，且，因此，所以.6.已知直线a，b，c，下列命题中正确的是（）A.若，则 B.若，则a，b，c共面C.若，则 D.若a，b异面，b，c异面，则a，c异面答案：C解析：思路：A.由直线与直线的位置关系判断；B.举例判断；C.由一条直线垂直于平行线中的一条则垂直另一条判断；D.举例判断.解答过程：A.若，则，a与b相交或异面，故错误；B.若，a，b，c不一定在同一平面内，如在正方体中，，,但不共面，故错误；C.由一条直线垂直于平行线中的一条则垂直另一条，故正确；D.若a，b异面，b，c异面，则a，c不一定异面，如在正方体中，与异面，与异面，但，故错误；故选：C7.若，则的值为（）A. B.4 C. D.2答案：D解析：思路：根据同角三角函数基本关系计算.解答过程：8.日月双塔是桂林的标志性建筑之一，也是游客的日常打卡地．为测量日塔的高度，某中学研究学习小组选取A，B两处作为测量点，O为日塔底部中心点，且与A，B共水平面，测得的距离为8m，，，在B处测得日塔顶端C的仰角为，则测量的日塔的高度约为（）（参考数据：，）A.36m B.41m C.45m D.48m答案：B解析：思路：在中，利用正弦定理可得，在中，利用两角和差的正切公式求，即可得结果.解答过程：在中，，，，则，由正弦定理可得，则，在中，，，则，可得，所以测量的日塔的高度约为.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数，下列说法正确的是（）A.z的实部为1 B.z的虚部为C. D.复数z在复平面内对应的点位于第二象限答案：AC解析：解答过程：选项A：，所以的实部为1，故选项A正确；选项B：，所以的虚部为-2，故选项B错误；选项C：，所以，故选项C正确；选项D：，所以复数在复平面内对应的点位于第四象限，故选项D错误.10.如图，在直三棱柱中，．P，Q分别为，的中点，下列说法正确的是（）A.平面 B.C.平面 D.平面答案：ACD解析：思路：用平面的基本性质判断A；取的中点，连接，通过证明四边形为平行四边形得到，从而判断B、C；利用线面垂直的判定定理和性质定理判断D.解答过程：选项A：因为，平面，所以平面。又平面，所以平面，故A正确；选项B：取的中点，连接。因为为的中点，为的中点，所以且.又为的中点，在直三棱柱中且，所以且.所以且，即四边形为平行四边形，所以.因为与相交，所以与不平行，故B错误；选项C：由选项B可知，又平面，平面，所以平面，故C正确；选项D：因为，为的中点，所以.在直三棱柱中，平面，平面，所以.又，平面，所以平面.因为，所以平面，故D正确.11.如图是函数的部分图象，则（）A.B.先将函数的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象．C.当时，函数的图象与函数的图象恰有7个交点D.将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图象，若函数在上单调递增，则正数t的取值范围是答案：ABD解析：思路：根据题意，求得，结合选项，利用正弦型函数的图象与性质，以及三角函数的图象变换和三角恒等变换的公式，逐项求解，即可得到答案.解答过程：由函数的图象，可得，且函数的最小正周期满足，即，则，所以，又由，即，可得，解得，因为，所以，则，对于A，，所以A正确；对于B，将函数的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍，可得，再将向右平移个单位，可得，因故B正确；对于C，当时，函数的图象与函数的图象的交点个数，即方程的根的个数，即的根的个数，即的根的个数，由方程，可得或即或，且，①对于，由，解得，则；②对于，由，解得，则；综上，方程在上共有8个根，即当时，函数与的图象恰有8个交点，故C错误；对于D，将图象上所有点的横坐标变为原来的倍，可得，令，因为，可得，其中因为函数在上单调递增，则满足且，由不等式，可得，解得；又由不等式，可得，可得，综上可得，，即正数t的取值范围是，所以D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.复数的共轭复数是____．答案：解析：解答过程：复数的共轭复数是．13.已知向量，满足，，，则________.答案：1解析：解答过程：.14.如图，以正四面体的四个顶点为球心，棱长为半径作四个球，它们的公共部分形成的几何体叫做“勒洛四面体”．若正四面体的棱长为4，则过A，B，C三点的“勒洛四面体”截面面积是________．答案：解析：思路：由题可得满足题意的截面由一个等边三角形结合三个全等弓形构成，据此可得答案..解答过程：由题可得满足题意的截面如下图所示，由一个等边三角形结合三个全等弓形构成.由题可得“勒洛四面体”的内接正四边形为，因其边长为4，则截面中的等边三角形边长为4，面积为，弓形面积为，则截面面积为.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知向量，，，且．（1）求t的值；（2）求的值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据，得，从而解出的值.（2）求出的坐标，再利用模的计算公式求解.（1）因为，所以，即，解得.（2）因为，所以，所以，所以.16.在平面直角坐标系中，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，且角的终边经过点．（1）求，；（2）若为第四象限角，且，求．答案：（1），.（2）解析：（1）因为角的终边经过点，则，可得，，所以，.（2）若为第四象限角，且，则，所以.17.已知的内角，，的对边分别为，，，且，，的面积为．（1）求A；（2）若，M为中点．（ⅰ）求的周长；（ⅱ）求边的中线的长．答案：（1）（2）（ⅰ）；（ⅱ）解析：思路：（1）借助正弦定理与面积公式计算可得，再利用三角形内角和及诱导公式可求出的范围，即可得解；（2）（ⅰ）借助余弦定理计算即可得；（ⅱ）借助向量线性运算及数量积公式计算即可得.（1）由，故，，则，故，即，由，故，故，故；（2）（ⅰ）由余弦定理可得，即，解得，则，则的周长为；（ⅱ），则，，故，故.18.如图，平面四边形是边长为3的正方形，平面，，且．（1）证明：平面平面；（2）证明：平面；（3）线段上是否存在点M，使得平面平面，且满足平面，若存在，试确定点M的位置；若不存在，请说明理由．答案：（1）证明：因为四边形是正方形，所以，又因为平面，平面，所以平面，因为，且平面，平面，所以平面，又因为，且平面，所以平面平面.（2）证明：因为四边形是正方形，可得，又因为平面，且平面，所以，因为，且平面，所以平面.（3）存在，点是上靠近点的三等分点，即.解析：思路：（1）根据题意，分别证得平面和平面，结合面面平行的判定定理，即可证得平面平面；（2）根据题意，分别证得和，结合线面垂直的判定定理，即可证得平面.（3）假设线段上存在点满足题意，由线面平行的性质，证得和，得到，进而得到答案.（1）略（2）略（3）解：存在，点是上靠近点的三等分点，即,理由如下：假设线段上存在点满足题意，因为平面平面，平面，平面，所以，又因为平面平面，平面，平面，所以，所以，即点是上靠近点的三等分点，即.19.已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求；（2）若，点D，P满足：，，．（ⅰ）求的取值范围；（ⅱ）求的最小值，并求当最小时的值．答案：（1）（2）（ⅰ）；（ⅱ）取到最小值为，此时的值解析：思路：（1）运用正余弦定理化简等式，得到关于的余弦公式，求解即可；（2）（ⅰ）由条件可得，根据，分析取临界状态时的取值，从而得到的取值范围；（ⅱ）建立直角坐标系，运