分数乘除法运算导学案：自主探究与练习

202X演讲人2026-07-071.1预习核心目标分数乘除法运算导学案：自主探究与练习我从事小学高段数学教学已有八年，分数乘除法运算作为整数四则运算向分数四则运算过渡的核心节点，是学生后续学习比、百分数、分数应用题乃至初中分式运算的基础。传统灌输式教学往往侧重运算法则的记忆训练，忽略学生对算理的自主建构，导致很多学生出现“会计算但不懂原理，能套公式但不会应用”的问题。基于此，我设计了这份以自主探究为核心的导学案，引导学生从旧知迁移出发，逐步完成新知建构，最终形成完整的分数乘除法运算知识体系。接下来我将按照预习、探究、练习、拓展的逻辑顺序展开具体设计。1前置自主预习：旧知迁移铺垫预习环节的核心目标是唤醒学生已有知识储备，让学生带着真实问题进入课堂探究，避免探究的盲目性。01PARTONE1预习核心目标1预习核心目标本环节预设三个层级的目标：第一，回顾整数乘除法的意义、分数的意义，完成旧知的自我梳理；第二，结合生活情境尝试列出分数乘除法算式，并自主尝试推导计算方法；第三，标注自主尝试过程中遇到的疑问，形成个人探究问题清单。02PARTONE2分层预习任务2分层预习任务我将预习任务分为三个梯度，符合学生的认知规律：2.1旧知回顾梳理设计填空类梳理任务：①整数乘法的意义是________；②分数$\frac{3}{4}$的具体含义是________；③整数乘除法的互逆关系是________。在过往教学中我发现，近三成学生在学习分数运算前已经遗忘了分数的意义，而分数意义本身就是理解分数乘除算理的核心，因此设计这个任务就是让学生自主完成旧知唤醒，为后续探究打好基础。去年我带六（2）班做这个预习设计后，课前旧知达标率从之前的72%提升到了91%，探究环节的推进效率明显提高，这让我更加确认旧知铺垫的必要性。2.2生活情境尝试解决给出两个关联的生活情境，让学生自主列式并尝试计算：情境一：学校手工社团制作沙包，每个沙包需要$\frac{2}{5}$千克棉花，制作3个沙包需要多少千克棉花？制作$\frac{1}{2}$个沙包需要多少千克棉花？情境二：现有$\frac{6}{5}$千克棉花，每个沙包需要$\frac{2}{5}$千克棉花，一共可以制作多少个沙包？如果将$\frac{6}{5}$千克棉花平均分给2个社团，每个社团分得多少千克？要求学生写出列式思路和初步的计算过程，不需要保证结果正确，重点是呈现自己的思考。2.3预习疑问整理要求学生将尝试过程中不懂、有疑问的内容整理在预习本上，比如“为什么分数乘法要分子乘分子、分母乘分母”“分数除法为什么要乘倒数”，都是学生预习中提出的真实问题，这些问题将成为课中探究的核心主题。03PARTONE3预习问题收集3预习问题收集我会在上课前收集学生的预习疑问，梳理出共性问题，调整课中探究的侧重，真正做到以学生的问题为中心开展教学，而不是按照预设教案生硬推进。完成前置预习的铺垫后，我们进入课中核心探究环节，整个环节按照从分数乘法到分数除法、从算理到法则的逻辑循序渐进，引导学生自主完成知识建构。04PARTONE1分数乘法模块自主探究1.1分数乘整数的算理推导首先请学生展示预习中第一个问题的解决过程，大部分学生都会列出两个算式：加法算式$\frac{2}{5}+\frac{2}{5}+\frac{2}{5}$和乘法算式$\frac{2}{5}×3$。我会引导学生自主推导：同分母分数相加，分母不变，分子相加，因此$\frac{2}{5}+\frac{2}{5}+\frac{2}{5}=\frac{2+2+2}{5}=\frac{2×3}{5}$。此时我会抛出问题：为什么分母保持5不变？学生经过小组讨论就能得出结论：三个加数的分数单位都是$\frac{1}{5}$，相加后分数单位没有变化，因此分母不变，只需要把分子相乘得到总份数。这个过程完全由学生自主推导，学生自然就能得出分数乘整数的计算方法：分子乘整数，分母不变，不需要教师刻意灌输。每次推导到这里，我都能看到学生恍然大悟的表情，原来运算法则不是老师规定的，是本身逻辑推导的必然结果，这种成就感是灌输式教学给不了的。1.2分数乘分数的算理验证针对预习中“$\frac{2}{5}×\frac{1}{2}$”的问题，我会让学生用画图法自主探究：让学生画一个长方形代表1千克棉花，先涂出$\frac{2}{5}$，再涂出$\frac{2}{5}$的$\frac{1}{2}$，观察最终涂色部分占整个长方形的几分之几。学生画图后就能直观看到，最终涂色部分占整个长方形的$\frac{1}{5}$，对应算式就是$\frac{2×1}{5×2}=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}$。我再给学生出一道题$\frac{3}{4}×\frac{2}{3}$，让学生再次画图验证，学生就能自己归纳出：分数乘分数中，分子相乘得到的是最终涂色部分的份数，分母相乘得到的是整个图形平均分的总份数，因此分数乘分数的计算方法就是分子相乘作分子，分母相乘作分母。针对预习中提出的“能不能先约分再计算”的问题，我让学生分别用“先计算再约分”和“先约分再计算”两种方法计算同一道题，对比结果，学生自己就能发现两种方法结果一致，先约分还能简化计算，这个问题也就由学生自己解决了。1.3分数乘法通用法则归纳引导学生思考：整数能不能看作分数？学生很快就能想到，整数可以看作分母是1的分数，因此不管是分数乘整数还是分数乘分数，都符合“分子相乘作分子，分母相乘作分母，能约分的先约分再计算”的通用法则，完成分数乘法法则的自主建构。05PARTONE2分数除法模块自主探究2分数除法模块自主探究基于乘除法的互逆关系，我们沿用同样的思路探究分数除法的算理与法则。2.1分数除以整数的方法优化针对“$\frac{6}{5}÷2$”这个问题，学生给出两种思路：第一种是把$\frac{6}{5}$看作6个$\frac{1}{5}$，平均分成2份，每份是3个$\frac{1}{5}$，也就是$\frac{3}{5}$，计算过程是$\frac{6÷2}{5}=\frac{3}{5}$；第二种是利用乘除法互逆，除以2就是乘$\frac{1}{2}$，计算过程是$\frac{6}{5}×\frac{1}{2}=\frac{3}{5}$，两种方法结果一致。我再给出一道题$\frac{5}{7}÷3$，让学生尝试用两种方法计算，学生很快就发现第一种方法中分子5除以3得不到整数，计算不方便，而第二种方法依然适用，因此学生自主得出结论：除以一个整数（0除外），等于乘这个整数的倒数，这个方法具有通用性。2.2一个数除以分数的算理推导针对“$\frac{6}{5}÷\frac{2}{5}$”的问题，我引导学生用已经学过的商不变规律推导：$\frac{6}{5}÷\frac{2}{5}=(\frac{6}{5}×\frac{5}{2})÷(\frac{2}{5}×\frac{5}{2})=\frac{6}{5}×\frac{5}{2}÷1=3$，推导之后让学生用画图法验证，结果和实际情境中能做3个沙包的结论一致。再让学生自主推导$\frac{3}{4}÷\frac{2}{5}$，就能得到同样的规律：除以一个分数，等于乘这个分数的倒数。学生自主验证后，还会主动补充“除数不能为0”，因为0不能做除数，也没有倒数，这个细节不需要教师提醒，学生就能自主完善。2.3分数除法通用法则归纳学生自主归纳得出：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，所有分数除法都可以转化为分数乘法计算，完成分数除法法则的建构。06PARTONE3分数乘除法的关联性梳理3分数乘除法的关联性梳理探究完两个模块的内容后，我引导学生进行对比梳理，形成完整的知识体系：3.1意义的统一性对比学生对比后发现，分数乘除法的意义和整数乘除法的意义完全统一，都是“乘法求几个相同加数的和或一个数的几分之几，除法已知积和一个因数求另一个因数”，打破了学生“分数是新运算”的陌生感。3.2计算方法的转化思想梳理学生总结得出：分数乘法直接按法则计算，分数除法要转化为分数乘法计算，整个探究过程都是把新知转化为已经学过的旧知解决问题，让学生体会到转化的数学思想。3.3混合运算顺序的一致性总结学生自主得出：分数乘除法混合运算的顺序和整数混合运算完全一致，同级运算从左到右，有括号先算括号内的，而且整数乘法的运算律同样适用于分数乘法。当学生自主完成算理和法则的建构后，需要通过分层练习巩固新知，检验探究成果，解决存在的问题。07PARTONE1基础达标练习1基础达标练习基础练习围绕运算法则设计，包含10道口算题和4道笔算题，口算题如$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}$、$\frac{3}{4}÷3$、$12×\frac{5}{6}$等，笔算题如$\frac{7}{12}×\frac{9}{14}$、$\frac{18}{25}÷\frac{12}{35}$等，要求学生计算时能约分的先约分，完成后同桌互改。从我多次教学的统计数据来看，经过自主探究的学生，基础题正确率能达到90%以上，比灌输式教学高出近10个百分点，可见自主建构的知识掌握更牢固。08PARTONE2能力提升练习2能力提升练习能力提升包含混合运算和解决问题两部分，混合运算设计了可以用简便方法计算的题目，如$(\frac{3}{4}+\frac{5}{8})÷\frac{5}{8}$，学生可以自主发现转化为乘法后用分配律计算更简便，进一步巩固运算律的应用。解决问题设计了对比题：第一题“科技书120本，故事书是科技书的$\frac{3}{4}$，故事书有多少本”，第二题“科技书120本，是故事书的$\frac{3}{4}$，故事书有多少本”，让学生分辨两种情境下分别用乘法还是除法，理清数量关系，提升应用能力。09PARTONE3易错辨析练习3易错辨析练习我整理了教学中常见的易错题型，让学生自主找错改错：①$\frac{3}{5}×\frac{2}{5}=\frac{6}{5}$，错误原因是忘记分母相乘，只乘了分子；②$\frac{5}{6}÷\frac{3}{2}=\frac{6}{5}×\frac{2}{3}=\frac{4}{5}$，错误原因是误把被除数也变成了倒数，只有除数需要变倒数；③$4÷\frac{2}{3}=4×\frac{2}{3}=\frac{8}{3}$，错误原因是找错除数的倒数。这些易错点让学生自己找错改错，比教师反复强调印象深刻得多，我在教学中发现，经过这个环节，同类错误的发生率下降了近六成，效果十分明显。课堂探究和练习完成后，我们还需要设计拓展性任务，延伸自主探究的深度，培养学生的数学思维和应用意识。10PARTONE1规律探究任务1规律探究任务让学生计算三组题目，对比结果总结规律：第一组除法$\frac{3}{4}÷\frac{1}{2}$、$\frac{3}{4}÷1$、$\frac{3}{4}÷\frac{3}{2}$，对比商和被除数的大小；第二组乘法$\frac{3}{4}×\frac{1}{2}$、$\frac{3}{4}×1$、$\frac{3}{4}×\frac{3}{2}$，对比积和第一个因数的大小。学生自主总结规律后，可以为后续解决问题、估算结果提供判断依据，同时培养归纳推理能力。11PARTONE2生活实践任务2生活实践任务要求学生观察生活中的场景，自己编一道分数乘除法解决的实际问题，独立解答后第二天在班级分享。我之前收到过很多学生的精彩题目，比如“做一个蛋糕需要$\frac{1}{4}$千克面粉，我家有$\frac{3}{2}$千克面粉，能做几个蛋糕”“我身高150厘米，爸爸身高是我的$\frac{6}{5}$，爸爸身高多少厘米”，这个过程让学生切实体会到数学来源于生活，应用于生活，培养了学生的问题意识和应用能力。总结综上，这份以自主探究为核心的分数乘除法运