椭圆经典练习题两套

椭圆经典练习题两套椭圆作为解析几何中的重要曲线，其概念与性质的掌握对于进一步学习高等数学及解决实际问题均具有重要意义。以下两套练习题，旨在帮助读者巩固椭圆的核心知识，提升解题能力。第一套侧重于基础概念与标准方程的应用，第二套则更注重综合性质及与其他知识的结合，希望能对您的学习有所助益。第一套练习题：基础巩固与标准方程本套练习题旨在夯实椭圆的基本概念，包括定义、标准方程、焦点、离心率等，并训练运用这些知识解决简单问题的能力。练习题一已知一动点到两定点的距离之和为常数，且该常数大于两定点间的距离。若两定点之间的距离为6，动点到两定点距离之和为10，试求该动点的轨迹方程。解答思路：由椭圆的定义可知，该动点的轨迹为椭圆。两定点为椭圆的焦点，设为F₁、F₂。根据题意，2a=10（a为长半轴长），2c=6（c为半焦距），故a=5，c=3。由椭圆中a、b、c的关系：a²=b²+c²，可得b²=a²-c²=25-9=16，即b=4。若以两焦点F₁、F₂所在直线为x轴，线段F₁F₂的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则椭圆的标准方程为x²/a²+y²/b²=1。代入a、b的值，可得轨迹方程为x²/25+y²/16=1。练习题二椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，其长轴长是短轴长的两倍，且椭圆经过点(2,1)。求此椭圆的标准方程及离心率。解答思路：设椭圆的标准方程为x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)。由题意，长轴长是短轴长的两倍，即2a=2*(2b)，化简得a=2b。因为椭圆经过点(2,1)，将该点坐标代入椭圆方程可得：2²/a²+1²/b²=1，即4/a²+1/b²=1。将a=2b代入上式，得4/(4b²)+1/b²=1，即1/b²+1/b²=1，解得b²=2，从而a²=(2b)²=8。故椭圆的标准方程为x²/8+y²/2=1。离心率e=c/a，其中c=√(a²-b²)=√(8-2)=√6，所以e=√6/√8=√3/2。练习题三已知椭圆的一个焦点坐标为(3,0)，离心率为3/5，求该椭圆的标准方程。若椭圆的焦点在y轴上，方程又将如何变化？解答思路：当焦点在x轴上时，设椭圆标准方程为x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)。已知一个焦点为(3,0)，故c=3。离心率e=c/a=3/5，可得a=c/e=3/(3/5)=5。进而b²=a²-c²=25-9=16。所以椭圆标准方程为x²/25+y²/16=1。若焦点在y轴上，则椭圆标准方程为y²/a²+x²/b²=1(a>b>0)。此时，c仍为3，a仍为5，b²仍为16。故方程变为y²/25+x²/16=1。练习题四椭圆x²/16+y²/9=1的两焦点为F₁、F₂，P为椭圆上一点。若PF₁的中点在y轴上，求|PF₁|与|PF₂|的比值。解答思路：由椭圆方程x²/16+y²/9=1可知，a²=16，b²=9，故a=4，c=√(a²-b²)=√(16-9)=√7。因此，焦点F₁(-√7,0)，F₂(√7,0)。设P点坐标为(x,y)，PF₁的中点坐标为((x-√7)/2,y/2)。因为该中点在y轴上，所以其横坐标为0，即(x-√7)/2=0，解得x=√7。将x=√7代入椭圆方程，得(√7)²/16+y²/9=1，即7/16+y²/9=1，解得y²=9*(1-7/16)=9*(9/16)=81/16，故|y|=9/4。所以P点坐标为(√7,±9/4)。计算|PF₂|：因为F₂(√7,0)，所以|PF₂|=|y-0|=9/4（因P点纵坐标的绝对值为9/4，横坐标与F₂相同）。根据椭圆定义，|PF₁|+|PF₂|=2a=8，故|PF₁|=8-|PF₂|=8-9/4=23/4。因此，|PF₁|/|PF₂|=(23/4)/(9/4)=23/9。练习题五求过点(1,1)且与椭圆x²/4+y²/3=1有相同焦点的椭圆的标准方程。解答思路：已知椭圆x²/4+y²/3=1，其焦点在x轴上，c²=a²-b²=4-3=1，故焦点坐标为(±1,0)。所求椭圆与已知椭圆有相同焦点，因此可设所求椭圆方程为x²/A²+y²/B²=1(A>B>0)，且c=1，即A²-B²=1。又因为所求椭圆过点(1,1)，将该点代入方程得1²/A²+1²/B²=1，即1/A²+1/B²=1。联立方程组：1)A²-B²=12)1/A²+1/B²=1由方程1)得A²=B²+1，代入方程2)：1/(B²+1)+1/B²=1。通分整理：[B²+(B²+1)]/[B²(B²+1)]=1，即(2B²+1)=B²(B²+1)。展开得：B⁴+B²-2B²-1=B⁴-B²-1=0。令t=B²(t>0)，则方程变为t²-t-1=0。解得t=[1±√(1+4)]/2=[1±√5]/2。因t>0，故t=[1+√5]/2。则A²=B²+1=[1+√5]/2+1=[3+√5]/2。所以所求椭圆的标准方程为x²/([3+√5]/2)+y²/([1+√5]/2)=1。为使形式更简洁，可分子分母同乘2：2x²/(3+√5)+2y²/(1+√5)=1。通常还可以对分母进行有理化，但此形式已满足标准方程要求。第二套练习题：综合应用与性质探究本套练习题将进一步考察椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系、最值问题等，需要读者综合运用所学知识进行分析与求解。练习题一设椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=√3/2。已知点P(0,3/2)到这个椭圆上的点的最远距离为√7，求这个椭圆的方程。解答思路：设椭圆方程为x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)。离心率e=c/a=√3/2，故c=(√3/2)a。由a²=b²+c²，可得b²=a²-c²=a²-(3/4)a²=a²/4，即b=a/2。因此，椭圆方程可写为x²/a²+4y²/a²=1，即x²+4y²=a²。设椭圆上任意一点Q的坐标为(x,y)，则点P(0,3/2)到Q点的距离的平方为：PQ将x²=a²-4y²代入上式，得|PQ|²=a²-4y²+(y-3/2)²=a²-4y²+y²-3y+9/4=a²-3y²-3y+9/4。这是一个关于y的二次函数，其定义域为y∈[-b,b]=[-a/2,a/2]。函数f(y)=-3y²-3y+(a²+9/4)，其对称轴为y=-(-3)/(2*(-3))=3/(-6)=-1/2。接下来讨论对称轴与定义域的位置关系，以确定最大值的位置：1.若对称轴y=-1/2在定义域[-a/2,a/2]内，即-a/2≤-1/2≤a/2。由于a>0，后一个不等式恒成立，前一个不等式即a≥1。此时，函数f(y)的最大值在端点或顶点处取得。函数开口向下，顶点处y=-1/2，f(-1/2)=-3*(-1/2)²-3*(-1/2)+a²+9/4=-3*(1/4)+3/2+a²+9/4=(-3/4+6/4+9/4)+a²=12/4+a²=3+a²。若此顶点值为最大值，则|PQ|²_max=3+a²=(√7)²=7，解得a²=4，即a=2。此时b=a/2=1。定义域为y∈[-1,1]，对称轴y=-1/2在定义域内，符合条件。此时需验证端点值是否可能更大：f(1)=-3*(1)^2-3*(1)+4+9/4=-3-3+4+2.25=0.25<7；f(-1)=-3*(-1)^2-3*(-1)+4+9/4=-3+3+4+2.25=6.25<7。故顶点处取得最大值，符合题意。2.若a<1，则对称轴y=-1/2<-a/2，函数f(y)在[-a/2,a/2]上单调递减，最大值在y=-a/2处取得。f(-a/2)=-3*(a²/4)-3*(-a/2)+a²+9/4=(1-3/4)a²+(3a)/2+9/4=a²/4+(3a)/2+9/4=(a²+6a+9)/4=(a+3)²/4。令其等于7，即(a+3)²/4=7，(a+3)²=28，a+3=√28=2√7≈5.29，a≈2.29，与a<1矛盾，故舍去。综上，a²=4，b²=1，椭圆方程为x²/4+y²=1。练习题二已知椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的离心率为√2/2，且过点(1,√2/2)。(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l过椭圆C的右焦点F，且与椭圆C交于A、B两点，若线段AB的中点M在直线y=1/2x上，求直线l的方程。解答思路：(1)由离心率e=c/a=√2/2，得c=(√2/2)a。又a²=b²+c²，故b²=a²-c²=a²-(a²/2)=a²/2，即b=a/√2。椭圆方程可写为x²/a²+2y²/a²=1，即x²+2y²=a²。椭圆过点(1,√2/2)，代入方程得1²+2*(√2/2)²=a²，即1+2*(1/2)=a²，1+1=a²，故a²=2，b²=1。椭圆C的方程为x²/2+y²=1。(2)由(1)知，c=√(a²-b²)=√(2-1)=1，故右焦点F的坐标为(1,0)。当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1。代入椭圆方程得1/2+y²=1，y²=1/2，y=±√2/2。此时AB中点M的坐标为(1,0)，显然不在直线y=(1/2)x上（0≠1/2*1），故舍去。当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，则直线l的方程为y=k(x-1)。联立方程组：y=k(x-1)x²/2+y²=1将y代入椭圆方程，得x²/2+[k(x-1)]²=1，即x²/2+k²(x²-2x+1)=1。整理得：(1/2+k²)x²-2k²x+(k²-1)=0。设A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，M(x₀,y₀)。则x₁+x₂=(2k²)/(1/2+k²)=4k²/(1+2k²)，x₀=(x₁+x₂)/2=2k²/(1+2k²)。y₀=k(x₀-1)=k(2k²/(1+2k²)-1)=k((2k²-1-2k²)/(1+2k²))=k(-1)/(1+2k²)=-k/(1+2k²)。因为点M(x₀,y₀)在直线y=(1/2)x上，所以y₀=(1/2)x₀。即-k/(1+2k²)=(1/2)*(2k²/(1+2k²))。两边同乘(1+2k²)（不为零），得-k=k²。即k²+k=0，k(k+1)=0。解得k=0或k=-1。当k=0时，直线l的方程为y=0，此时AB中点为原点(0,0)，在直线y=(1/2)x上。但此时直线y=0与椭圆交