第26章 二次函数（七大考点＋八大易错＋易错训练）（知识清单）（解析版）

第二十六章二次函数

考点一二次函数的有关概念定义

一般形式y=ax2+bx+c（a、三种标准解析式

①一般式：y=ax2+bx+c，适合已知三点求函数；

②顶点式：y=a(x-h)2+自变量取值：全体实数。考点二二次函数的图象与性质图像特征二次函数的图像是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.基本形式图像a>0a<0对称轴y轴y轴x=hx=hx=-顶点坐标(0，0)(0，k)(h，0)(h，k)(-b2a，图象：抛物线，是轴对称图形，对称轴垂直于x轴。开口

a>0向上，函数有最小值；a<对称轴与顶点

一般式对称轴x=-b2a增减性

以对称轴为分界，开口向上：左减右增；开口向下：左增右减。比较函数值大小可利用对称轴转化到同侧再判断。最值

自变量取对称轴横坐标时，函数取得最大/最小值；给定区间求最值需讨论对称轴是否在区间内。考点三二次函数解析式的确定三点条件：设一般式，代入三组(x顶点条件：已知顶点、对称轴、最值，优先顶点式，再代入一个点求a；交点条件：已知与x轴两个交点，设交点式，代入第三点求a；检验：求出系数后代回点验证，保证等式成立。考点四二次函数的平移核心规则：仅对顶点式使用“左加右减，上加下减”；自变量x左右平移，只改变h；常数项k上下平移；平移不改变抛物线形状，a永远不变；逆向平移题目，把平移过程反向运算即可。考点五图象与系数a、b、a：控制开口方向与宽窄；a、b：“左同右异”判断对称轴在y轴左侧还是右侧；b=c：抛物线与y轴交点纵坐标，x=0时Δ=b2-特殊点赋值：x=1对应y=a+考点六二次函数与一元二次方程转化关系：令y=交点个数由判别式Δ决定，交点横坐标就是方程实数根；两根满足韦达定理，可求两点距离、两根代数式的值；顶点在x轴上对应方程有两个相等实数根。考点七二次函数与一元二次不等式解题优先图像法：结合开口方向、抛物线与x轴交点划分取值范围；a>0向上开口：大于0取两边，小于a<0向下开口：大于0取中间，小于无交点时，不等式恒成立或无解，直接根据开口判断。易错点1二次函数与x轴的交点易错提醒易错点总结 1.误以为二次函数一定与x轴有两个交点，忽略Δ=0（一个交点）、Δ<0（无交点）。 2.求交点坐标时解方程计算错误，符号出错、漏根。 3.混淆“与x轴交点个数”和“方程根的个数”，理解不到位。 4.误用交点式，在无交点题型中强行设交点式。注意事项总结 1.先算判别式Δ再判断交点个数。 2.Δ>0两个交点；Δ=0顶点在x轴；Δ<0无交点。 3.只有与x轴有交点，才能使用交点式解析式。 4.交点横坐标就是对应一元二次方程的实数根。【对点训练】1．已知关于的函数（是实数）．(1)当时，直接写出对称轴及与轴的交点坐标；(2)若对于任意实数，总有，求实数的取值范围；(3)设函数的图象与轴交点为，，若，求实数的取值范围．【答案】(1)对称轴，交点坐标(2)(3)【分析】（1）将代入函数的表达式，转化为顶点式即可得出对称轴为直线，当时，解得，即可得到与轴的交点坐标.（2）根据二次函数的图象和性质，得出满足题意的条件为，且，解得实数的取值范围．（3）根据二次函数的图象和性质，得出函数满足时的函数的值与异号，求得时的函数的值，列关于的不等式并解不等式即可得出答案．【详解】（1）解：当时，则，，抛物线的对称轴为直线，当时，，抛物线与轴的交点为；（2）解：若对于任意实数，总有，当时，，不满足题意，当时，函数为二次函数，抛物线开口向上，与轴没有交点，，且，，整理得，解得，实数的取值范围是；（3）解：函数的图象与轴交点为，且，当时，，不满足题意，当时，函数为二次函数，且时的函数的值与异号，时，，，或，解得．易错点2二次函数一般式的平移易错提醒易错点总结 1.直接对一般式使用“左加右减”，大量学生直接错。 2.左右平移时搞错自变量变化，平移方向弄反。 3.平移后忘记重新整理解析式、对称轴、顶点坐标。注意事项总结 1.平移口诀只对顶点式生效！一般式必须先配方化为顶点式。 2.严格口诀：左加右减自变量，上加下减常数项。 3.平移不改变a，只改变顶点(h,k)。 4.平移题最后必须还原为一般式。【对点训练】2．将抛物线向下平移1个单位，再向右平移4个单位，求所得抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．【答案】开口方向向下，对称轴为直线，顶点坐标为【分析】本题先将原抛物线配方化为顶点式，再利用抛物线平移的规律“左加右减自变量，上加下减常数项”得到平移后抛物线的顶点式，根据二次项系数判断开口方向，从顶点式直接得到对称轴和顶点坐标．【详解】解：先将原抛物线配方化为顶点式：抛物线平移不改变二次项系数，因此平移后二次项系数仍为，开口方向向下．根据平移规则，向下平移1个单位，再向右平移4个单位后，顶点坐标变化为：横坐标，纵坐标，即新顶点坐标为．平移后抛物线的顶点式为，可得对称轴为直线．因此所得抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为．易错点3含参二次函数的图象与性质问题易错提醒易错点总结 1.题目说是二次函数，忘记限制a≠0，参数范围多解、错解。 2.含参对称轴、增减性分析不全面，漏讨论开口方向。 3.不会根据参数范围判断图象升降、最值、交点情况。注意事项总结 1.含参二次函数第一准则：二次项系数不为0。 2.分析性质顺序：先看a（开口）→再看对称轴→再看增减、最值。 3.参数变化导致图象平移、开口变化，必须分类讨论。【对点训练】3．在平面直角坐标系xOy中，抛物线顶点为．(1)请用含a的式子表示b，c；(2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N，若点M、N重合，规定；①若，，求t的值；②当点P从点运动到点的过程中（不包含点B与点C），的长存在最大值，求a的取值范围．【答案】(1)；(2)①或；②【分析】（1）由抛物线顶点为，可得，，进一步可得答案；（2）①由，可得抛物线，直线为：，可得，进一步求解即可；②由①同理可得：，当时，可得，，函数的对称轴为直线，再结合图象求解即可．【详解】（1）解：抛物线顶点为，∴，，∴；．（2）解：①∵，∴，直线为：，∵，∴，，∴，∴或，∴或，当时，解得：或，当时，此时，方程无解．综上：或．②由①同理可得：，当时，∴，解得：，，∴函数的对称轴为直线，如图，当或时，随的增大而增大，当或时，随的增大而减少，当时，，∴，∴点P从点运动到点的过程中，增大，开口向上的抛物线的解析式为：，开口向下的抛物线的解析式为：，令，，把代入，∴，解得：，∵，的长存在最大值，∴，解得：，当时，∴，当点P从点运动到点的过程中，减少，此时图象不含端点，∴不存在最大值，综上：．易错点4区间内二次函数的最值问题易错提醒易错点总结1.不管自变量范围，直接默认顶点就是最值，忽略区间限制。2.不会分类讨论：对称轴在区间左、中、右三种位置。3.开口方向判断反，最大值最小值写反。注意事项总结1.区间最值不直接取顶点，必须看对称轴是否在取值区间内。2.三类讨论：①对称轴在区间左侧：区间单调；②对称轴在区间内部：顶点取一个最值，端点取另一个最值；③对称轴在区间右侧：区间单调。3.开口向上：顶点最小；开口向下：顶点最大。【对点训练】4．已知二次函数的图象经过，．(1)求这个二次函数的解析式；(2)当时，直接写出y的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用待定系数法，代入已知两点坐标求解系数，即可得到二次函数解析式；（2）将解析式配方为顶点式，当时，y取得最小值；再计算当，时，分别对应的函数值，即可得到y的取值范围．【详解】（1）解：把，代入得，解得∴二次函数的解析式为；（2）解：将二次函数配方得，函数的对称轴为直线∵∴二次函数开口向上，∴当时，y取得最小值；当时，，当时，；即在时，y的取值范围是．易错点5二次函数的图象与系数a、b、c之间的关系易错提醒易错点总结 1.对称轴“左同右异”记混，a、b符号判断错误。 2.乱判a+b+c、a-b+c、4a+2b+c等特殊代数式符号。 3.混淆Δ大小、误以为交点多Δ越大。 4.无法判断2a+b、2a-b等组合式符号。注意事项总结 1.a看开口，c看y轴交点，a、b看对称轴。 2.特殊值速判：x=1⇒a+b+c，x=-1⇒a-b+c。 3.2a+b用对称轴与1比较判断。 4.Δ只判断交点个数，不判断开口宽窄。【对点训练】5．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．下列说法：①；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④当时，随的增大而增大；⑤（为任意实数），其中正确的个数是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根据抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，可得，根据和点可得抛物线的对称轴为直线，即可判断②；推出，即可判断①；根据函数图象即可判断③④；根据当时，抛物线有最大值，即可得到，即可判断⑤．【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，∴，∵抛物线与x轴交于点和点，∴抛物线对称轴为直线，故②正确；∴，∴，∴，故①错误；由函数图象可知，当时，抛物线在x轴上方，∴当时，，故③正确；∵抛物线对称轴为直线且开口向下，∴当时，y随x的增大而减小，即当时，y随x的增大而减小，故④错误；∵抛物线对称轴为直线且开口向下，∴当时，抛物线有最大值，∴，∴，故⑤正确；综上所述，正确的有②③⑤，共个．易错点6二次函数中的线段长与周长问题易错提醒易错点总结 1.竖线段、横线段坐标差值计算符号出错，线段长度漏绝对值。 2.动点线段表达式列错，不会用横坐标统一表示线段。 3.周长最值不会转化，不会利用对称、两点之间线段最短。注意事项总结 1.竖线段长：|y_1-y_2|；横线段长：|x_1-x_2|。 2.所有动点线段先写成含x的函数表达式。 3.周长最值：固定边不动，动边利用对称转化为直线距离。【对点训练】6．如图，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，N是抛物线上一个动点且在第三象限，设点N的横坐标为m，过点N作x轴的垂线，交x轴于点M，交于点P．(1)用含m的代数式表示线段的长度，并求出其最大值；(2)若，求点P的坐标．【答案】(1)，最大值为(2)点P的坐标为【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的结合，待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，解一元二次方程，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质．（1）根据二次函数的解析式求出抛物线与坐标轴的交点坐标，利用待定系数法求出一次函数的解析式，表示出点的坐标，然后表示出线段的长度，最后根据二次函数的性质求出最值即可；（2）根据线段的数量关系列出一元二次方程，然后进行求解即可．【详解】（1）解：当时，，．当时，有，解得：，．，．设直线的解析式为，将，代入得，，解得，直线的解析式为．点N的横坐标为m，，．，，，当时，取最大值；（2）解：轴，，．，或（舍去）．此时点P的坐标为．易错点7二次函数中的面积问题易错提醒易错点总结 1.直接底乘高乱算，不会处理斜三角形、不规则图形。 2.铅垂高、水平宽公式记混、用错。 3.面积最值求解忘记自变量取值范围，出现超范围最值。注意事项总结 1.抛物线上三角形面积首选：铅垂高水平宽法。 2.公式：S=×水平宽×铅垂高。 3.不规则图形面积：割补法、大减小。 4.求面积最值必须检验点的取值范围。【对点训练】7．在如图所示平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，B两点，过A，B两点分别作x轴的垂线，垂足分别为点C、D，已知线段的中点P为抛物线的顶点，．(1)求该抛物线的解析式；(2)求的面积．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数与几何综合，求一次函数解析式，利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键．（1）根据点A的坐标求出的长，进而求出的长，则可推出点P的坐标，把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可；（2）求出直线的解析式，进而求出点B的坐标，再根据列式求解即可．【详解】（1）解：∵轴，，∴，∵，∴，∵点P是线段的中点，∴，∴点P的坐标为，∵点P为抛物线的顶点，∴可设抛物线的解析式为，把点A的坐标代入中得，解得，∴抛物线的解析式为；（2）解：把点A的坐标代入中得，解得，∴直线的解析式为，∵轴，，∴点B的横坐标为4，在中，当时，，∴点B的坐标为，∴，∴．易错点8二次函数中的特殊图形存在性问题易错提醒易错点总结1.等腰、直角三角形、平行四边形存在性漏分类讨论。2.找点逻辑混乱，不会按边、角、对角线分类。3.求出点坐标后不检验，出现不符合图形的点。注意事项总结1.等腰三角形：三分类（三边两两相等）。2.直角三角形：三分类（三个顶点分别为直角顶点）。3.平行四边形：按对角线分类，中点坐标公式解题。4.所有存在性问题解完必须验图形、验范围、舍去废解。【对点训练】8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．(1)求直线和抛物线的解析式．(2)若是抛物线对称轴上的一点，是否存在点，使得以三点为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)直线的解析式；抛物线的解析式(2)存在，点M坐标为或或【分析】（1）直接利用待定系数法求解解析式即可；（2）先求出抛物线的对称轴为直线，设，可得，，，再分类讨论即可；【详解】（1）解：设直线的解析式为，将点，分别代入得：，解得：直线的解析式为；∵抛物线与轴交于点，，与轴交于点，∴，解得：，∴抛物线为：；（2）解：∵，∴抛物线的对称轴为直线，设，∵，，∴，，，当时，∴，解得：，∴或；当时，∴，解得：，∴，综上：点M坐标为或或．

一、单选题1．已知二次函数的图像不经过第三、四象限，且当时，随的增大而增大，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】二次函数开口向上，图像不经过第三、四象限，说明抛物线与x轴最多有一个交点，可得判别式，再根据当时随增大而增大，可得对称轴位置满足不等式，联立两个不等式即可得到的取值范围．【详解】解：二次函数中，，∴抛物线开口向上，且图像不经过第三、四象限，抛物线与轴最多有一个交点，即判别式∴解得，又二次函数的对称轴为直线，且当时，随的增大而增大，对称轴满足，综上，实数的取值范围是．2．已知抛物线，当时，，且当时，y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据二次函数的性质，结合题目给出的两个条件列出关于的不等式组，即可求解的取值范围．【详解】解：∵抛物线开口向上，当时，，∴将代入解析式得：，化简得，解得，∵当时，随的增大而增大，开口向上的二次函数对称轴右侧随增大而增大，∴抛物线对称轴不大于，∵抛物线对称轴为，∴，解得：，综上，的取值范围是．3．若点、、在二次函数的图象上，则、、的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查二次函数的性质，利用开口方向和点到对称轴的距离判断函数值大小，先求出抛物线对称轴，再根据开口向上的性质比较即可．【详解】∵二次函数解析式为∴抛物线开口向上，对称轴为直线开口向上时，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大分别计算三个点到对称轴的距离：点到对称轴的距离：点到对称轴的距离：点到对称轴的距离：∵∴．4．如图，二次函数的图象经过点、，下列说法正确的是（

）A． B．C． D．图象的对称轴是直线【答案】B【详解】解：由函数图象知抛物线与轴交点在原点下方，则，故选项A不符合题意；当时，，即，故选项B符合题意；由图象知抛物线与轴有两个不同的交点，则，故选项C不符合题意；图象的对称轴是直线，故选项D不符合题意．5．如图，观察函数的图象，可以发现方程在0，1之间有根．取0，1的平均数0.5，当时，，进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程另一根更接近的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由一元二次方程根与系数关系可知两根之和为，结合已知根在0.5与之间，可推知另一根在与之间．再取中点缩小范围，确定另一根更接近．【详解】解：设方程的两个根为，，，，，由一元二次方程根与系数关系可知，已知在0.5与之间，，当x在0.5和1之间时，另一根在与之间，取，，当时，，在与之间，到的距离，到的距离，到的距离小于到的距离，与另一根更接近的是．二、填空题6．如图，已知二次函数的图像与一次函数的图像相交于，两点，则关于x的不等式的解集是______．【答案】【分析】先由函数沿y轴翻折得到，根据，求出函数与函数交点，的坐标，再根据函数图象得到不等式的解集．【详解】解：如图，将沿y轴翻折得到，与函数交于，，函数关于y轴对称，且，，，，化简为，根据函数图像，可知当时，二次函数的图像在一次函数的图像上方，∴不等式的解集为．7．某广场上有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，的长为，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点到点的距离为．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度（单位：）与水平距离（单位：）之间近似满足函数关系式（），则水流喷出的最大高度为_____________．【答案】【分析】由题意可得，抛物线经过点和，把上述两个点的坐标代入二次函数表达式，可求出a和c的值，则抛物线的解析式可求出，再把抛物线解析式化为顶点式即可求出水流喷出的最大高度．【详解】解：由题意可得，抛物线经过点和，把上述两个点坐标代入二次函数表达式得：，解得：，∴函数表达式为：，∵，故函数有最大值，∴当时，y取得最大值，此时，答：水流喷出的最大高度为．8．二次函数的图象与坐标系横轴有交点，那么的取值范围是___________．【答案】且【分析】先根据二次函数的定义确定二次项系数不为0，再由二次函数图象与横轴有交点，可知对应一元二次方程有实数根，利用根的判别式大于等于0列不等式求解，即可得到的取值范围．【详解】解：是二次函数，．二次函数的图象与坐标系横轴有交点，一元二次方程有实数根，根的判别式．将代入得，，解不等式得．综上，的取值范围是且．9．将抛物线沿着其对称轴上下平移，当平移后的抛物线的顶点在直线上时，平移后的抛物线与轴交点的纵坐标为______．【答案】1【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，根据平移规律表示出平移后的函数解析式是解题的关键．根据题意设平移后的抛物线的解析式为，顶点为，代入从而求得，令即可求得y的值．【详解】解：∵，∴设平移后的抛物线的解析式为，顶点为，∵平移后的抛物线的顶点在直线上，∴，∴，∴当时，，∴平移后的抛物线与y轴交点的纵坐标为1，故答案为：1．10．对于二次函数，当时，的取值范围是__________．【答案】【分析】根据二次函数，得出开口方向向下，对称轴是y轴，结合，得出的取值范围是，即可作答．【详解】解：∵二次函数，，对称轴为轴，∴该函数图象开口向下，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，当时，y取得最大值5，当时，，当时，，∴当时，y的取值范围是．三、解答题11．如图，在平面直角坐标系中已知抛物线与直线都经过两点，该抛物线的顶点为．(1)求此抛物线的解析式．(2)设点是直线下方抛物线上的一动点，连接，，请求出的最大面积是多少．(3)设直线与该抛物线的对称轴交于点，点为射线上一点，过作轴的垂线交抛物线于点，是否存在点，使点，，，是平行四边形的四个顶点？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，或【分析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数求最值问题，平行四边形的性质，利用数形结合思想和分类讨论思想解决问题是本题的关键．（1）利用待定系数法求二次函数；（2）作轴交直线于点，求得直线的解析式，设，则，先表示出，利用三角形面积公式得到，然后根据二次函数的性质解决问题；（3）先求出点坐标和点坐标，则，分两种情况讨论：①若点在轴下方，四边形为平行四边形，则；②若点在轴上方，四边形为平行四边形，则，设，则，可分别得到方程求出点的坐标．【详解】（1）解：抛物线经过两点，，解得，抛物线的解析式为，（2）如图，作轴交直线于点，直线经过两点，，解得，直线的解析式为；设，则，，，，当时，面积有最大值，最大值是；（3）存在，理由如下：，抛物线的顶点的坐标为，轴，，，①如图，若点在轴下方，四边形为平行四边形，则，设，则，，，解得：，舍去，；②如图，若点在轴上方，四边形为平行四边形，则，设，则，，，解得：或舍去，，综上可得点的坐标为或．12．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像交坐标轴于，，三点，点P是直线下方抛物线上一动点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)是否存在点P，使是以为底的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；(3)动点P运动到什么位置时，面积最大，求出此时P点坐标．【答案】(1)(2)点P的坐标为(3)点坐标为【分析】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、等腰三角形的性质、二次函数的性质、三角形的面积、方程思想等知识．（1）由、、三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由题意可知点在线段的垂直平分线上，则可求得点纵坐标，代入抛物线解析式可求得点坐标；（3）过作轴，交轴于点，交直线于点，用点坐标可表示出的长，则可表示出的面积，利用二次函数的性质可求得面积的最大时点的坐标．【详解】（1）解：设抛物线解析式为，把，，三点坐标代入可得：，解得：，∴抛物线解析式为；（2）解：存在，理由如下：作的垂直平分线，交于点，交下方抛物线于点，如图1，，此时点即为满足条件的点，∵，，点纵坐标为，代入抛物线解析式可得，解得（小于0，舍去）或，∴存在满足条件的点，其坐标为；（3）解：由题意可设，过作轴于点，交直线于点，如图2，设直线解析式为，则有：，解得：，∴直线解析式为，，，，∴当时，最大值为8，此时，∴点坐标为．13．已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，对称轴为直线．(1)求抛物线的函数表达式．(2)点P在直线上方的抛物线上，轴，交直线于点D，求线段的最大值．(3)抛物线上是否存在一点Q，使得的面积等于3？若存在，求出点Q的横坐标q的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，或【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象与性质，正确求出