第26章 二次函数 能力提升卷（解析版）

-2027学年九年级上册数学单元自测第二十六章二次函数·能力提升建议用时：120分钟，满分：120分一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．下列关于的函数中二次函数是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题主要考查二次函数的概念，熟练掌握二次项系数不为零，最高次项的次数是2是解题的关键．形如的函数即为二次函数，据此进行判断即可．【详解】解：A．符合二次函数定义，则A符合题意；B．不是二次函数，则B不符合题意；C．，最高次项系数不是2，故不是二次函数，则C不符合题意；D．最高次项系数不是2，故不是二次函数，则D不符合题意；故选：A．2．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）已知二次函数的图像经过点，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了二次函数的性质．将代入解析式即可求出a的值．【详解】解：∵二次函数的图像经过点，∴，即，∴．故选：A．3．（25-26九年级上·贵州贵阳·期末）已知三个点都在二次函数（，c为常数）的图象上，则的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查二次函数的图象与性质；由二次函数解析式可得对称轴为直线，且故抛物线开口向下，点离对称轴越近函数值越大，计算各点横坐标与对称轴的距离，比较即可．【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，且，∴抛物线开口向下．点到对称轴的距离分别为：．∵抛物线的开口向下，∴距离越大函数值越小．∴．故选C．4．如图，小聪借助直角墙角建一个矩形花园，花园两边由总长为的篱笆围成，墙长，，则花园最大面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，则，求得的取值范围，再利用二次函数的性质即可解答．【详解】解：设，则，墙长，，，，解得，花园的面积，∴当时，花园面积最大，最大面积为．5．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）关于x的二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围是（）A． B．C．且 D．且【答案】D【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点，牢记二次函数概念及“时，二次函数与x轴有2个交点”是解题的关键．二次函数图象与x轴有两个不同的交点等价于对应方程有两个不同的实数根，需满足判别式大于零且二次项系数不为零．【详解】∵函数为二次函数，∴.∵图象与x轴有两个不同的交点，∴方程有两个不同的实数根，∴判别式，解得.∴且．故选：D．6．已知抛物线，当时，，且当时，y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据二次函数的性质，结合题目给出的两个条件列出关于的不等式组，即可求解的取值范围．【详解】解：∵抛物线开口向上，当时，，∴将代入解析式得：，化简得，解得，∵当时，随的增大而增大，开口向上的二次函数对称轴右侧随增大而增大，∴抛物线对称轴不大于，∵抛物线对称轴为，∴，解得：，综上，的取值范围是．7．已知抛物线（为常数）的对称轴为直线，平移该抛物线，使其顶点始终在直线上，则平移后所得抛物线与轴交点的纵坐标有（

）A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值【答案】A【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数的图像与性质，根据抛物线的对称轴为直线，求出的值，即可得到抛物线的解析式，根据平移该抛物线的顶点始终在直线上，设平移后抛物线的顶点坐标为，把抛物线的解析式转化为顶点坐标式，，根据抛物线与轴交点的横坐标为，可得抛物线与轴交点的纵坐标为，根据二次函数的性质可知当时，取最大值，最大值为．【详解】解：抛物线的对称轴为直线，，解得：，抛物线的解析式为，平移该抛物线的顶点始终在直线上，设平移后抛物线的顶点坐标为，平移后抛物线的解析式为，当时，可得：，整理得：，，有最大值，即当时，取最大值，最大值为．故选：A．8．（25-26八年级下·福建福州·期末）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（

）A．B．C． D．【答案】D【分析】联立函数得，解得或，得到二次函数与一次函数相交于点和，即可得出答案．【详解】解：联立得：，∴，∴，解得：或，当时，，当时，，∴二次函数与一次函数相交于点和，∴只有D选项图象符合题意．9．已知二次函数（）的自变量与函数的几组对应值如下表：则下列关于该二次函数的说法正确的是（

）A．图象开口向上B．当时，的取值范围为C．一元二次方程有两个相等的实数根D．图象的对称轴是直线【答案】C【分析】利用待定系数法求出二次函数解析式，再结合二次函数的性质逐一判断各选项即可求解．【详解】解：把，和代入得，，解得，∴二次函数解析式为，∵，∴图象开口向下，故选项错误；∵图象开口向下，∴抛物线上的点离对称轴的距离越近，函数值越大，∵，∴抛物线的对称轴为直线，故选项错误；∴当时，可知时函数取最大值，又由表格知，时，∴当时，的取值范围为，故选项错误；∵二次函数顶点坐标为，∴直线与二次函数图象只有一个交点，即一元二次方程有两个相等的实数根，故选项正确．10．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④为任意实数时，总有；⑤若方程的两根为和，且，则；其中正确的结论有（

）．A．①②⑤ B．①③⑤ C．②③⑤ D．①③④⑤【答案】B【分析】本题考查二次函数的图象和性质．①利用对称轴，即可得到系数的关系；②代入到函数表达式判断代数式的符号，得出结论；③利用函数与轴交点处坐标，得到，，继而代入，根据，得出结论；④利用函数达到最值时的取值，分别代入和，得到；⑤根据对称轴和已知交点，得到另一交点坐标，将方程的解转化为二次函数图象与直线交点的问题，结合图象判断根的分布．【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，∴，即，故①正确；∵时，，∴，即，故②错误；∵抛物线经过点，∴，∵，∴，即，∴，∵，∴，故③正确；∵当时，，达到最大值，当时，，∴，∴，故④错误；∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点坐标为，∴抛物线与轴的另一个交点坐标为，∴抛物线解析式为，∴方程的两根和为抛物线与直线的交点的横坐标，∴，故⑤正确；∴正确的结论有①③⑤．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．已知抛物线表达式为，则该抛物线的对称轴为直线______．【答案】【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，对于二次函数（a，b，c为常数，），其对称轴为直线．根据二次函数的对称轴公式求解．【详解】解：在中，，，∴对称轴为直线．故答案为：．12．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）已知函数的顶点在x轴上，那么______．【答案】【分析】本题考查了把化成顶点式，抛物线与x轴的交点问题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解．根据函数的顶点在x轴上，得出方程只有一个实数根，从而可得到关于b的方程求解．【详解】解：∵二次函数的顶点在x轴上，∴方程只有一个实数根，∴，解得：，故答案为：．13．已知三个二次函数的图象如图所示，那么，，的大小关系是______．（请用“”连接）【答案】【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次项系数与图象的关系是解题的关键．直接利用二次函数的图象开口大小与的关系即可得出答案．【详解】解：观察图象可知，开口向上，故，和开口向下，且的开口大小小于，故，．故答案为：．14．（25-26九年级上·广东广州·期末）若二次函数的部分图象如图所示，关于的一元二次方程的一个解，则另一个解_____．【答案】【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程，由图象可得该二次函数的对称轴为直线，与轴的一个交点为，从而得出该二次函数与轴的另一个交点为，即可得出结果，采用数形结合的思想是解此题的关键．【详解】解：由图象可得，该二次函数的对称轴为直线，与轴的一个交点为，∴该二次函数与轴的另一个交点为，∴关于的一元二次方程的一个解，则另一个解，故答案为：．15．将抛物线绕原点旋转所得到的抛物线的解析式为__________．【答案】【分析】先将原抛物线配方化为顶点式，确定原抛物线的顶点坐标，根据关于原点对称的点的坐标特征得到旋转后抛物线的顶点坐标，结合旋转后二次项系数变为原系数的相反数，利用顶点式写出旋转后抛物线的解析式，整理为一般式即可．【详解】解：对原抛物线配方得，可得原抛物线的顶点坐标为，抛物线绕原点旋转后，顶点关于原点中心对称，开口方向相反，二次项系数变为原系数的相反数，根据关于原点对称的点的坐标特征，可得旋转后抛物线的顶点坐标为，二次项系数为，因此旋转后抛物线的顶点式为，整理为一般式．16．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）当时，二次函数的最大值是5，则的值为______．【答案】2或【分析】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．根据二次函数的性质，由于二次项系数为负，函数图象开口向下，最大值可能出现在顶点或区间端点，需结合对称轴位置与的关系分类讨论．【详解】函数的图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，最大值在顶点处，则，解得或（舍去），；当时，在时，随的增大而减小，最大值在处取得，即，解得，且，符合条件；当时，在时，随的增大而增大，最大值在处取得，即，解得，但，不符合，故舍去；因此的值为或．三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）17．已知在平面直角坐标系内，抛物线经过轴上两点，，点的坐标为，与轴相交于点．求抛物线的表达式以及点的坐标．【答案】抛物线表达式为，点的坐标为【详解】解：将点代入，得，，解得，∴抛物线的表达式为，将代入，得，∴点的坐标为．18．（25-26九年级上·安徽滁州·期末）在平面直角坐标系中，已知二次函数．(1)若该二次函数图象的顶点在轴上，求此二次函数的表达式；(2)若该抛物线的顶点到轴的距离为，求的值．【答案】(1)；(2)或.【分析】本题考查二次函数与轴的交点问题、二次函数的顶点坐标等，熟练掌握二次函数与轴的交点问题和配顶点式是解题的关键．（1）根据二次函数图象的顶点在轴上，可得，代入求解即可；（2）先将配成顶点式，再结合题目求解即可.【详解】（1）解：∵二次函数图象的顶点在轴上，∴与轴只有一个交点，即，，解得：，二次函数表达式为；（2）解：∵，∴顶点为，∵抛物线的顶点到轴的距离为，∴，解得，，的值为或．19．如图，在平面直角坐标系中，，，，点B的坐标为．抛物线经过A、B两点．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是直线上方抛物线上的一点，过点P作垂直x轴于点D，交线段于点E，使．求点P的坐标．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据条件求出，，根据待定系数法求解即可；（2）先求出的解析式，然后表示出，，根据即可求解；【详解】（1）解：∵，∴，∵，∴，在中，，∴，即∴，∴，把代入得：，解得：

，∴抛物线的解析式为：；（2）解：如图，设的解析式为：，∵,，所以，解得，所以的解析式为：，设，则，∵，∴，解得：（舍）或，∴.20．如图，抛物线过点，矩形的边在线段上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设，当时，．(1)求抛物线的函数表达式．(2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？【答案】(1)抛物线的函数表达式为(2)当时，矩形的周长有最大值，最大值为【分析】（1）由点的坐标设抛物线的交点式，再把点D的坐标代入计算可得；（2）由抛物线的对称性得，据此知，再由时，根据矩形的周长公式列出函数解析式，配方成顶点式即可求得．【详解】（1）解：设抛物线解析式为，∵当时，，∴点D的坐标为，∴将点D坐标代入解析式得，解得：，∴抛物线的函数表达式为；（2）解：由抛物线的对称性得，∴，当时，，∴矩形的周长，∵，∴当时，矩形的周长有最大值，最大值为．21．（2026·四川眉山·中考真题）2025年，在四川省城市足球联赛（简称“川超”）比赛期间，为促进体育经济发展，眉山市文旅局联合餐饮住宿企业、土特产生产企业推出各种优惠活动．(1)某食品厂原计划每月生产芝麻糕2000件，为响应文旅局号召，连续两月提高产量后，月产量达到2880件，若每月产量的增长率相同，求每月产量的增长率；(2)该食品厂原来每天可销售60件芝麻糕，每件盈利30元．参与优惠活动后，该食品厂每降价1元，就可多售出5件．问该食品厂应降价多少元，才能使利润最大？最大利润为多少？【答案】(1)每月产量的增长率为.(2)应降价元，最大利润为元.【分析】（1）设每月产量的增长率为，根据原产量和增长两次后的产量关系列方程，舍去不符合实际的负根即可得到结果；（2）设降价元，每天总利润为元，根据总利润每件利润销售量列出二次函数解析式，配方后根据二次函数的性质即可求出最大利润和对应的降价金额．【详解】（1）解：设每月产量的增长率为，根据题意列方程得:，解得,，增长率不能为负，不符合实际，舍去，答:每月产量的增长率为；（2）解：设降价元，每天总利润为元，根据题意，每件盈利为元，每天销售量为件，∴，，当时，取得最大值，最大值为，答:该食品厂应降价元，才能使利润最大，最大利润为元．22．已知二次函数．图象经过点．(1)求这个二次函数的表达式；(2)对于一切实数，若函数值总成立，求的取值范围；(3)当，二次函数的最大值是，求的值．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）将点代入，求出的值即可；（2）原命题等价于恒成立，即，通过变形可得，因此当时，取得最大值，从而得到的取值范围；（3）先分析该二次函数的图象与性质，可得该抛物线的开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线．分类讨论，当对称轴在区间左侧，随的增大而减小，当时，取得最大值，解得；当对称轴在区间内，在顶点处取得最大值，此时的值与题设矛盾；当对称轴在区间右侧，同理，当时，取得最大值，解得．【详解】（1）解：将点代入，得，∴二次函数的表达式为；（2）解：∵，∴，∴，，∵，∴当时，取得最大值，∵对于一切实数，都有，∴；（3）解：，∴该抛物线的开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线，①当，即时，当时，区间在对称轴右侧，∴随的增大而减小，∴当时，取得最大值，∴，化简，得，解得或（与题设矛盾，舍去），∴；②当，即时，当时，对称轴在区间内，∴当时，取得最大值，∴，即，与题设矛盾，故舍去；③当，即时，当时，区间在对称轴左侧，∴随的增大而增大，∴当时，取得最大值，∴，化简，得，解得或（与题设矛盾，舍去），∴；综上所述，的值为或．23．如图所示，已知在中，，点Q从点A开始沿边向点B以的速度移动，点P从点B开始沿边向点C以的速度移动，当P运动到C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．(1)填空：，．（用含t的代数式表示）；(2)如果P、Q分别从A、B两点出发，那么几秒后，的面积等于？(3)在（1）中，的面积能否等于？试说明理由．(4)点P、Q运动几秒后，的面积最大？最大值为多少？【答案】(1)；；(2)1秒后(3)解：不能，理由如下：当的面积等于时，则，整理，得，∴，∴方程没有实数根，故的面积不能等于；(4)当P、Q运动2秒后，的面积最大，最大为.【分析】（1）根据路程等于速度乘以时间以及线段的和差关系列出代数式即可；（2）根据三角形的面积公式列出方程进行求解即可；（3）根据三角形的面积公式列出方程，求出判别式的符号，即可得出结果；（4）将三角形的面积转化为二次函数求最值即可.【详解】（1）解：由题意，得，∴；（2）解：∵，，，∴的面积，解得或，当时，（不符合题意，舍去）；∴，答：1秒后，的面积等于；（3）略（4）解：当点运动到点时，秒；由题意，，∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，∴当时，随着的增大而增大，∵，∴当时，的值最大为；故当P、Q运动2秒后，的面积最大，最大为.24．燃放烟花爆竹是中华民族传承千年的春节习俗．新春佳节，嘉琪在安全区域燃放一款烟花，如图1，火花从垂直地面的烟花筒的顶端A处喷射出，其在空中的飞行轨迹可近似看作一条抛物线．以烟花放置位置O为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系．经测量，烟花筒的高度是米，喷出的最远的一颗火星的运动轨迹为抛物线，与烟花筒的水平距离为1米时，达到最大高度2米，之后火星沿原来的抛物线继续运动，落到地面上的B点．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)嘉琪点燃烟花后，跑到离烟花筒水平距离为米处，是否存在安全隐患，请说明理由；(3)设图1中喷出的所有火星的运动轨迹所在的抛物线形成了烟花瀑布，且，，，这些抛物线的顶点在同一条直线l上，如图3，其中一条抛物线与直线相交于点E．①的顶点坐标为________________；l的表达式为________________．②设烟花瀑布中所有抛物线均可表示为且与直线相交于点F，经测算，当时，烟花瀑布的观赏效果最好，请直接写出此时拋物线中a的取值范围________________．【答案】(1)(2)不存在安全隐患，理由见解析(3)①；②【分析】（1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为，且过点，设抛物线的解析式为，再将点代入求解即可；（2）当时，，此时火星已经落地，即可判断答案；（3）①设直线l的表达式为，将和的顶点坐标的顶点代入求解即可；②先求出，，再根据的顶点在直线l上，求得，即，可进一步求得，结合，可得，再解不等式即可．【详解】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为，且过点，设抛物线的解析式为，将点代入，得，解得，抛物线的解析式为；（2）解：不存在安全隐患；理由如下：当时，，当时，火星已经落地，不存在安全隐患；（3）解：①，的顶点坐标为；设直线l的表达式为，将的顶点和代入，得，解得，直线l的表达式为；②．理由如下：令，则，解得，，，令，则，解得，，，，抛物线的顶点坐标为，把顶点的坐标代入直线l的表达式，得，整理，得，解得，，当时，抛物线开口向下，顶点在，无实际飞行轨迹，舍去，，，，，，，，，，．25．定义：若两条抛物线的顶点关于原点对称，两个二次函数的二次项系数互为负倒数，这样的两条抛物线称