考点05 抛物线与几何图形有关的最值问题（4考点5题型＋能力强化）（解析版）

考点05抛物线与几何图形有关的最值问题

考点一：核心考点梳理1.抛物线基础最值考点对于二次函数抛物线y=ax当a>0，抛物线开口向上，顶点为最低点，函数有最小值；当a<0，抛物线开口向下，顶点为最高点，函数有最大值；通用最值公式：顶点纵坐标y最值=4ac-b核心前提：若动点自变量有取值范围，顶点不在取值区间内时，最值需在区间端点处取得。2.线段最值考点定点+抛物线上动点组合：依托两点之间线段最短、垂线段最短两大几何公理求解；双动点线段：分为水平/竖直线段（直接用坐标差求解）、斜线段（两点间距离公式求解）。3.周长最值考点核心模型为将军饮马轴对称模型，核心思路：将折线段周长通过对称变换转化为直线段，利用线段最短原理求最小周长，多用于三角形、四边形折线周长最值。4.面积最值考点以平面直角坐标系中三角形、四边形面积最值为主，核心方法为割补法、铅锤高公式，核心思路：固定底边求高的最值，或固定高求底边的最值，转化为二次函数最值问题。5.特殊几何图形最值考点结合等腰三角形、直角三角形、平行四边形、菱形、相似三角形等特殊图形性质，求解图形边长、周长、面积的最值，需结合图形判定条件+二次函数极值综合求解。考点二：核心方法1.二次函数顶点法：适用所有单变量二次函数最值问题，纯抛物线上动点最值优先使用，简洁高效；2.将军饮马对称法：专属折线周长最短问题，无法直接用距离公式求解的折线段最值唯一最优解法；3.铅锤面积法：平面直角坐标系中三角形面积计算与最值的万能方法，适配所有斜三角形，规避复杂割补；4.距离公式法：通用斜线段长度计算，适用于所有两点间线段最值问题；5.分类讨论法：特殊三角形、平行四边形等几何图形最值必备方法，杜绝漏解、错解。考点三：通用标准解题步骤1.定基础：求出抛物线解析式、定点坐标、对称轴，明确动点运动范围（自变量取值范围）；2.设动点：设抛物线上动点横坐标为x，结合解析式表示出完整坐标；3.列关系式：根据几何性质（线段、周长、面积、特殊图形性质）列出对应表达式；4.化函数：整理化简为标准二次函数y=ax25.求最值：结合开口方向、对称轴、自变量取值范围，求出对应最值；6.验作答：验证动点位置、图形存在性，规范书写答案。考点四：高频易错点全面梳理1.最值方向判断错误：混淆抛物线开口方向，将最大值、最小值颠倒，是基础高频错误；2.对称模型误用：将军饮马问题中找错对称对称轴、对称点，导致动点位置、最值长度计算偏差；3.铅锤高计算失误：忽略坐标正负，未加绝对值，出现面积为负、数值偏差等问题；4.动点坐标代入错误：设出动点坐标后，代入抛物线解析式出错，导致后续函数表达式全部失真；5.分类讨论不全面：等腰、直角三角形问题遗漏某一种情况，导致漏掉最值解；6.忽略自变量取值范围：盲目套用顶点最值公式，未判断顶点是否在动点可取区间内，区间内需用端点值求最值；7.单位与逻辑疏漏：周长、面积最值求解后，未验证几何图形是否存在，出现无效最值解。题型一：单动点线段最值问题（基础必考）题型特征：平面内有定点，抛物线上有一动点，求两点间线段长度的最值。通用解题方法：1.设抛物线上动点坐标：令动点横坐标为x，代入抛物线解析式得纵坐标(x,ax2.根据线段类型列式：水平距|x1-x2|，竖直距3.整理为二次函数形式，结合自变量取值范围求最值。【例1】已知抛物线y=-x2+2x+3，点P是抛物线上第一象限内的动点，过点P作PQ⊥x轴，交直线y=-x+3于点Q，求线段解析：1.确定取值范围：抛物线与x轴交点为(-1,0),(3,0)，第一象限动点x范围：0<x<3。2.设点坐标：设P(x,-x2+2x+3)，则3.列线段表达式：竖直线段PQ=PQ=(-4.二次函数求最值：a=-1<0，开口向下，对称轴x=3代入得：P答案：PQ最大值为9易错警示：必须限定自变量范围，若顶点不在区间内，不可直接用顶点最值。【变式1-1】（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象（记为）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，二次函数的图象（记为）经过点A，C．直线与两个图象，分别交于点M，N，与x轴交于点P．(1)求b，c的值；(2)当点P在线段上时，求的最大值．【答案】(1)，(2)【详解】（1）解：对于二次函数，当时，，解得：，，，，

当时，，，

∵二次函数的图象经过点A，C．∴，解得；（2）解：由（1）知的表达式为，∵直线与x轴垂直，，，其中，，

，∴当时，取得最大值．【变式1-2】（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象（记为）与轴交于点，，与轴交于点，二次函数的图象（记为）经过点，，直线与两个图象，分别交于点，，与轴交于点．(1)求，的值；(2)当点在线段上时，求的最大值；(3)设点，到直线的距离分别为，，当时，对应的值有________个．【答案】(1)，(2)(3)2【详解】（1）解：在二次函数中，当时，，即，当时，，解得，，∴，，∵二次函数的图象（记为）经过点，，∴，解得：，；（2）解：由（1）可得图象的解析式为，∵直线与两个图象，分别交于点，，与轴交于点，∴，，∴，∵点在线段上，∴，∵，∴当时，的值最大，最大值为；（3）解：如图：作于点，于点，设交于点，，设直线的解析式为，将，代入解析式可得，解得，∴直线的解析式为，∴，∴，∴、均为等腰直角三角形，由题意可得：，，∴，，由题意可得：，，，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，由（2）可得，当时，的值最大，最大值为，∵，∴结合图象可得，当或时，共2个t值，满足，故对应的值有2个．【变式1-3】（25-26九年级上·重庆南岸·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于两点（点在点的左侧），且，与轴交于点，连接，作直线．已知是抛物线上的两点．(1)求抛物线的表达式；(2)试判断是否存在实数使得．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．(3)已知点是抛物线在第一象限上的一点，过点作轴的垂线，交于点．当取得最大值时，在抛物线上存在点，使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．【详解】（1）解：，．将代入，得，解方程组，得，∴抛物线的解析式是；（2）解：，，．．关于的一元二次方程．∴不存在满足条件的；（3）解：∵抛物线与轴交于点，故．，，则直线为．设的坐标为，则．．当取得最大值时，．此时，．设的坐标为．当点在点的左边，，如答图1．，．．，∴直线为．，且过点，∴直线为．直线经过点，．解方程，得（舍去）．．当点在点Q的右边，．如答图2，过点作轴，与过点与轴平行的直线交于点．则．，，．．，即．∴整理，得．解方程，得（舍去）．．综上所述：满足条件的点为或．【变式1-4】（25-26九年级上·河南南阳·期末）如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点．动点在线段上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为．(1)求抛物线的解析式；(2)当点在线段上运动时，求线段的最大值；(3)抛物线上有一点，当时，请直接写出直线的解析式．【答案】(1)(2)当时，线段有最大值(3)或【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，点，设抛物线，抛物线与轴交于点，，解得，即，抛物线的解析式为；（2）解：设点，由（1）知抛物线的解析式为，当时，，即；设，将、代入解析式得，解得，；当时，，即；，，抛物线开口向上，当时，线段有最大值；（3）解：、，，，是等腰直角三角形，则，由可知，分两种情况，当点在上方的抛物线上时，设直线交x轴于点D，如图所示：，在中，，，则，由勾股定理可得，即，设，将、代入解析式得，解得，；当点在下方的抛物线上时，设直线交x轴于点D，如图所示：，在中，，，则，由勾股定理可得，即，解得，则，设，将、代入解析式得，解得，；综上所述，直线的解析式为或．【变式1-5】（25-26九年级上·河南商丘·期末）如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴交于点，其中点的坐标为，且点在抛物线上．(1)求抛物线的解析式；(2)将抛物线向左平移个单位，然后向下平移个单位，恰好经过点，则的值为；(3)设点是线段上的动点，作直线轴于点，交抛物线于点，求线段长度的最大值．【答案】(1)抛物线的解析式为(2)(3)最大值为【详解】（1）解：∵抛物线过点，点，∴，解得：，∴抛物线的解析式为；（2）解：由（）得抛物线的解析式为，∴，∵将抛物线向左平移个单位，然后向下平移个单位，∴平移后的解析式为，∵平移后的解析式恰好经过点，∴，解得：或（舍去），故答案为：；（3）解：如图，作直线轴于点，交抛物线于点，由（）得抛物线的解析式为，令，则；∴，设直线解析式为，∴，解得：，∴直线解析式为，设，则，∴，∵，∴当时，有最大值，为．【变式1-6】（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图，抛物线经过点和点，与轴交于点，点在直线下方的抛物线上，过点作轴交于点，设点的横坐标为．(1)求抛物线的解析式及点的坐标．(2)当线段长等于2时，求点的坐标．(3)直接写出线段长的最大值是________．【答案】(1)；点的坐标为(2)或(3)【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点，∴可得，解得，抛物线的解析式为，当时，，点的坐标为；（2）解：设直线的解析式为，将点代入，得，解得，直线的解析式为；轴，点的横坐标为，，，解得或，，或；（3）解：，，，当时，取最大值，最大值为．长度的最大值是．故答案为：．题型二：将军饮马周长最值问题（高频压轴）题型特征：含抛物线上动点的折线段周长最小、三角形/四边形最小周长问题。通用解题方法：1.确定定点、动点及对称轴（抛物线对称轴、坐标轴）；2.作定点关于对称轴/坐标轴的对称点，实现折线段转直线段；3.连接对称点与另一定点，连线与对称轴的交点即为最值动点；4.连线长度即为最小折线段长度，进而求出最小周长。【例2】已知抛物线y=-x2+2x+3，对称轴为直线x=1，抛物线与y轴交于点A(0,3)，与x轴右交点B(3,0)，点P是对称轴上一动点，求解析：1.模型分析：△PAB周长=PA+PB+AB，AB为定长，只需最小化PA+PB2.对称转化：抛物线对称轴x=1，作A(0,3)关于x=1的对称点A'3.两点线段最短：PA+PB=PA'+PB≥A'4.计算长度：AB=325.最小周长：C易错警示：对称点必须找对对称轴，区分坐标轴对称与抛物线对称。【变式2-1】（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，，与y轴交于点，点Q是对称轴上一动点．（1）_________．（2）当的周长最小时，则_________．【答案】【详解】解：（1）∵二次函数的图象与x轴交于点，，∴解得，故答案为：；（2）如图所示，连接，由对称性可得，∴的周长，∵是定值，∴当P、Q、N三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，设直线的表达式为，∴解得，直线的表达式为．抛物线的表达式为，此抛物线的对称轴为直线，在中，当时，，∴的周长有最小值时，点Q的坐标为，∴此时∵，当的周长最小时，，故答案为：．【变式2-2】（25-26九年级上·安徽宿州·期末）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且图象经过点，，连接AC．(1)求的值．(2)点D是轴上一动点，过点D作轴，交直线于点，交抛物线于点E，设点D的横坐标为．①当点D在线段（点D不与点重合）上运动时，过点E作，垂足为F，求周长的最大值及此时点E的坐标．②当时，直接写出的取值范围．【答案】(1)(2)①的周长的最大值为，此时点的坐标为；②的取值范围为或或【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，，∴，解得：，∴抛物线的解析式为.（2）解：①在中，当时，，即，当时，，解得：，，∴，，设直线的解析式为，∴，解得：，∴直线的解析式为，∵点是轴上一动点，过点作轴，交直线于点，交抛物线于点，设点的横坐标为．∴，，，，∴，∵，，∴，∴，∴为等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴为等腰直角三角形，∴，∴周长为：，∵，∴当时，周长的最大值为，此时，∴的周长的最大值为，此时点的坐标为；②由①可得：，，∴，∵，∴，∴或，∴或，当时，可得：或，解时，可得：，综上所述，的取值范围为或或．【变式2-3】（25-26九年级上·山东淄博·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于，两点，直线交轴于点．(1)求抛物线的表达式；(2)若，第二象限内有一动点，满足，求周长的最小值；(3)抛物线上有一个动点，记的面积为，若点符合条件的位置有且只有3个，求的值．【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）解：将点，代入，得，解得，∴．（2）解：，，∴，∵，，则，，∴为定值，∴当取得最小值时，有最小值，当点在线段上时，取得最小值，最小值为，∴的最小值为．（3）解：由题意得，存在两条直线与抛物线有且只有3个交点且与直线平行，其中一条与抛物线有且只有1个交点，设该直线的解析式为，联立方程，得，整理得，，有且只有一个交点，∴，解得，∴点符合条件的位置之一在直线上，设直线与轴交于点，则，∴．【变式2-4】（25-26九年级上·云南曲靖·期末）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)点D是抛物线上一点，且，求点D的坐标；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)点D坐标为或或(3)存在，点P坐标为【详解】（1）解：将，代入得：，解得，∴抛物线解析式为；（2）解：设点D坐标为，∵，∴，∴，即∴或，解得：，此时；解得：，此时或∴点D坐标为或或；（3）解：存在，如图所示，连接，，∵点A、B关于抛物线对称轴对称，∴，∴的周长，即当点B、P、C三点共线时，此时的周长最小，对于，令，则，∴，设直线解析式为，将，代入得：，解得，∴直线的解析式为，∵，∴该抛物线的对称轴为直线，∴对于，当时，，∴点P坐标为．【变式2-5】（25-26九年级上·天津西青·期末）已知抛物线（b，c为常数）与轴相交于，两点，与轴相交于点．(1)求该抛物线的解析式及点的坐标．(2)抛物线上一点在直线上方，其横坐标为，过点作轴交于点，交于点，若存在点使的周长取得最大值，求出点的坐标．(3)点是抛物线上一点，满足，请直接写出点的横坐标．【答案】(1)，(2)(3)或【详解】（1）解：将点，代入得：，解得，∴该抛物线的解析式为，将代入得：，∴点的坐标为．（2）解：由题意，画出图形如下：设直线的解析式为，将点，代入得：，解得，∴直线的解析式为，∵抛物线上一点在直线上方，其横坐标为，且轴交于点，∴，∴，∵轴轴，∴，∵，，∴，∴，∵轴，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，∴，∴的周长为，由二次函数的性质可知，当时，的周长取得最大值，此时，∴点的坐标为．（3）解：设点的横坐标为，①如图，当点在直线的上方时，过点作轴于点，作轴于点，∴四边形是矩形，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，将点代入得：，解得或（不符合题意，舍去）；②如图，当点在直线的下方时，过点作轴于点，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，将点代入得：，解得或（不符合题意，舍去）；综上，点的横坐标为或．【变式2-6】（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图1，抛物线交轴于点，点，交轴于点(1)求抛物线的表达式及顶点坐标；(2)当时，的取值范围为___________；（直接写出答案）(3)点为对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标；(4)如图2，过原点作直线交抛物线于、两点，点的横坐标为，点的横坐标为，求证：是一个定值．【答案】(1)抛物线的表达式为，顶点的坐标为；(2)(3)(4)见解析【详解】（1）解：∵抛物线交轴于点，点，∴，解得：，∴抛物线的表达式为，，∴抛物线的顶点坐标为；（2）解：∵抛物线开口向下，对称轴在范围内，∴在处取得最大值．当时，；当时，．∴的最小值为0．∴，故答案为：；（3）解：的周长．其中的长度一定，当最小时，的周长最小．∴点A关于对称轴的对称点为，∴．∴只需在对称轴上找一点P，使最小．当B，P，C三点共线时，最小，即为的长．设直线的解析式为，则，∴，∴直线的解析式为．当时，，∴；（4）解：设过原点O的直线为，与抛物线联立，得，整理得：，∵过原点作直线交抛物线于、两点，点的横坐标为，点的横坐标为，∴该方程的两个根即为M，N的横坐标m，n，∴，由于−3是与k无关的常数，∴是一个定值．题型三：三角形面积最值问题（核心高频）万能解题工具：铅锤高公式S=12×水平底解题步骤：1.选取两个定点连线作为三角形固定底边，确定水平底长度；2.过抛物线上动点作竖直直线，截底边线段得到可变铅锤高；3.用动点坐标表示铅锤高，代入面积公式得到二次函数；4.利用二次函数性质求面积最值。【例3】抛物线y=-x2+2x+3，A(0,3)、B(3,0)为定点，点P是直线AB上方抛物线上动点，求解析：1.求直线解析式：直线AB：y=-x+3。2.设点+表示铅锤高：设P(x,-x2+2x+3)，铅锤高3.铅锤公式求面积：水平底取3S=4.求最值：a=-32<0S答案：最大面积为27方法点拨：铅锤高法无需复杂割补，是坐标系三角形面积最值最优解法。【变式3-1】（25-26九年级上·山东菏泽·期末）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．(1)求出点A、B、C的坐标；(2)若点D为抛物线上在第一象限内的动点，请连接，，并解答下面的问题：当点D运动到何处时，的面积最大？并求出点D的坐标和面积的最大值．【答案】(1)，，(2)，面积的最大值是8【详解】（1）解：，当时，或，，；当时，，；（2）解：设直线的解析式为，将代入，得：，解得，直线的解析式为，点D为抛物线上在第一象限内的动点，可设，过点D作轴交于点E，则，，，当，当时，面积的最大值是8，此时点D的坐标是．【变式3-2】（25-26九年级上·吉林延边·月考）如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点；(1)用配方法将二次函数化为的形式；(2)观察图象，当时，直接写出的取值范围；(3)点P为二次函数的图象第四象限的点，设点P的横坐标为m，当的面积最大时，求的最大面积，并写出此时点P的坐标．【答案】(1)(2)(3),此时【详解】（1）解：．（2）解：∵，∴抛物线开口向上，当时，函数有最小值，且抛物线上的点与对称轴的距离越大，函数值越大，∵，∴在这个范围内，∴二次函数的最小值为，∵，∴当时，取得最大值，且最大值为，故的取值范围为．（3）解：由得，解方程得，得，点是抛物线上的一动点，且在第四象限，点P的横坐标为m，故过点P作轴于点F，交直线于点Q，设直线的解析式为，将，代入直线的解析式得：，解得，∴直线的解析式为：．设，则，则，∴，∵，∴抛物线开口向下，函数有最大值，∴当，的面积最大，且最大值为，此时．【变式3-3】（25-26九年级上·湖南长沙·期末）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点．(1)直接写出、、的坐标及抛物线的对称轴；(2)如图1，连接，抛物线的对称轴上是否存在点，使？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由：(3)如图2，点是该抛物线上一动点，且位于第三象限，连接，直线交于点，和的面积差为，当的值最大时求点的坐标和直线的解析式．【答案】(1)，，，对称轴为直线；(2)存在，的坐标为或；(3)，直线的解析式为【详解】（1）解：当时，，∴，当时，，解得或，∴，；∴，∴对称轴为直线；（2）解：存在点M，使，理由如下：设，∵，，∴的中点，，∴，∴，解得，∴点的坐标为或；（3）解：∵和的面积差为S，∴和的面积差为S，设点P的坐标为，∴的面积，的面积，∴，当时，S有最大值为，此时，设直线的解析式为，∴，即，∴直线的解析式为．【变式3-4】（25-26九年级上·湖北宜昌·期末）如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，对称轴为直线．(1)求，，的值；(2)点是直线上一动点（不与点重合），过点作轴，交抛物线于点，若点是点关于直线的对称点，且点落在轴上，求点的横坐标；(3)直线（为不等于0的常数）与抛物线交于点，求面积的最小值．【答案】(1)，，(2)(3)8【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点和点，对称轴为直线，∴，，∴，；∴，，将代入得，，∴；（2）解：∵，，∴抛物线解析式为，∴当时，，∴，∵，∴，∴，∵点是点关于直线的对称点，且点落在轴上，∴，∵轴，∴，∴，∴，∵，，设直线的表达式为，得，解得,∴直线的表达式为，设，则∴，∴解得（舍去）或．∴点的横坐标为；（3）解：∵直线（为不等于0的常数）与抛物线交于点，当时，，直线过点，，轴，且，联立直线与抛物线的解析式得：，整理得，，，，，，，∴当时，有最小值16，∴的面积有最小值．题型四：四边形面积最值【例4】（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，，点在点的左侧．点的坐标为，．(1)求抛物线的解析式；(2)求直线的解析式；(3)若点是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值．【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）解：∵点的坐标为，∴，∵，点在轴下方，∴点的坐标为，将点代入，得，解得，∴抛物线的解析式为．（2）解：令，解得，∴点的坐标为，设直线的解析式为．将点代入，得，解得，∴直线的解析式为．（3）解：过点作轴，交于点，如下图所示：由（2）知，∴，设点的坐标为，则点的坐标为，∴，∵，∴当时，有最大值，最大值为3，∴的最大值为，∴四边形面积的最大值为．【变式4-1】（25-26九年级上·福建漳州·期末）抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点．(1)求抛物线的解析式；(2)点P为线段上的一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点D，连接，，当四边形的面积最大时，求点D的坐标；(3)如图2，若抛物线的顶点为E，过点E作轴，交于点F，G是抛物线上的一点，过点G作轴，交AC于点H，当时，求出点G的坐标．【答案】(1)(2)；(3)当时，点G的坐标为或．【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，与y轴交于点，∴把，代入解析式得，解得，∴抛物线的解析式为；（2）解：对于，令，得，解得或，∴，设直线的解析式为，把，代入解析式得，解得，∴直线的解析式为．设点P的坐标为，则，∴，∴．∵，故四边形的面积有最大值，当四边形的面积最大时，．∴；（3）解：对于，∴抛物线的顶点E的坐标为，对称轴为直线，当时，，∵轴，当时，四边形是平行四边形，此时，∴设直线的解析式为，将点代入得，解得，∴直线的解析式为，联立得，解得或，∴点G的坐标为，由抛物线的对称性，当点关于对称轴直线的对称点时，也符合题意，如图，设交直线于点，则，存在，∵，∴，∴，∴当时，点G的坐标为或．【变式4-2】（25-26九年级上·宁夏吴忠·阶段检测）抛物线（，，是常数，）与轴交于，两点，与轴交于点，三个交点的坐标分别为，，．(1)求抛物线对应的函数解析式及顶点的坐标；(2)如图，若为线段上的一个动点（不与点，重合），过点作轴于点，连接，，求四边形的最大面积和此时点的坐标．(3)若是抛物线在第一象限上的一个动点，过点作，交轴于点．当点P的坐标为时，四边形是平行四边形．【答案】(1)，抛物线的顶点(2)四边形的最大值为，点的坐标为(3)【详解】（1）解：抛物线与坐标轴的三个交点的坐标分别为，，．可得：，解得：，抛物线的解析式是，整理可得：，抛物线的顶点；（2）解：设直线的解析式为，将点和点的坐标代入，可得：，解得：，直线的解析式为，设点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，，，，，，，当时，，点的坐标为；四边形的最大值为，点的坐标为；（3）解：如下图所示，过点作，四边形是平行四边形，，点，关于抛物线对称轴直线对称，点的坐标为，点的坐标为，故答案为：．【变式4-3】（25-26九年级上·四川泸州·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．(1)求抛物线关系式；(2)已知P是直线下方抛物线上一动点，连接，求四边形面积的最大值及此时点P的坐标；(3)如图2，点D为抛物线的顶点，对称轴交x轴于点E，M是直线上一点，在平面直角坐标系中是否存在一点N，使得以点C，E，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)四边形面积最大值是16，此时P的坐标为(3)存在，点N的坐标为，，，【详解】（1）解：将，两点代入解析式得，，解得：，∴抛物线关系式，（2）连接，对于抛物线，当时，可有，即，又∵，，∴，设P点坐标，则，∵，此函数有最大值，∵，∴当时，四边形面积有最大值，最大面积是16．当时，，此时P的坐标为．（3）存在，此时点N的坐标为：；；；．由，可知，对称轴为直线，∴，连接，可得，设直线解析式为，将点，代入，可得，解得，所以直线解析式为，①当为边，且四边形为菱形时，如图所示，此时，过点作轴于点G，设，则，，，∴，解得（舍去），或，∴，；②当为边，且四边形为菱形时，如图所示，此时，过点作轴于点H，过点作轴于点T，∵，∴，，∴，，∴，，∴，，∴，；③当为对角线，且四边形CNEM为菱形时，如图所示，取的中点K，过点K作，交于点M，∴，设直线的表达式为：，把，代入可得，解得∴直线的表达式为：，∵直线与直线垂直，且过的中点，∴直线的表达式为：，联立，解得，∴，∴，综上可知，此时点N的坐标为：，，，．【变式4-4】（25-26九年级上·山东德州·月考）如图，抛物线与x轴相交于点，，与y轴交于点，点D为抛物线的顶点．(1)求出抛物线的函数表达式；(2)如图1，抛物线在第二象限的部分上是否存在一点M，使得四边形面积最大，若存在求点M坐标；若不存在，请说明理由；(3)在抛物线上是否存在点Q，使，若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)(2)(3)点Q的横坐标为2或【详解】（1）解：将代入，得：，解得：，所以抛物线的函数表达式：；（2）解：存在，，理由如下：连接，，设，∴，∵，∴当时，四边形面积最大，把代入中得：，∴；（3）解：存在，理由如下：如图，在y轴上取点，连接，过点D作轴于点T，则，，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，设直线的解析式为，∵，∴，解得：，∴直线的解析式为，联立方程组，得：，解得：或，∴；过点A作交的延长线于点L，过点D作交于点S，则，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即：，∴，∴，∴，设直线的解析式为，∵，，∴，解得：，∴直线的解析式为，联立方程组，得：，解得：（舍）或，∴综上，点Q的横坐标为2或．题型五：胡不归最值（(PA+kPB)型）【例5】（23-24九年级上·辽宁大连·阶段检测）有一则历史放事：说的是一个身在他乡的小伙子得知父亲病危的消息后，便日夜赶路回家．然而，当他气喘吁吁地来到父亲的面前时，老人刚刚咽气了．人们告诉他，在弥留之际，老人在不断喃喃叨念：“胡不归？胡不归？…”我们一起来看看小伙子回家路况：小伙子选择了什么路线？很多同学都认为：两点之间线段最短．我们研究的不是最短路径，而是最短时间，小伙子有没有可能先在驿道上走一程后，再走沙砾地，虽然多走了路，但反而总用时更短呢？如果存在这种可能，他又要在驿道上行走多远才最省时？设在沙砾地行驶速度为，在驿道行驶速度为，显然．假设从C处进入沙砾地，总共用时为t，则，因为及是确定的，所以只要最小．用时就最少，问题就转化为要求的最小值，我们可以画一条以C为端点的线段，使其等于，并且与线段位于的两侧，然后，根据两点之间线段最短，不难找到最小值点，由三角函数的定义，以为一边作．，然后，作，则，最后，当点B、C、E在一条直线上时，最小，即的值最小，即用时最少、这类问题成为“胡不归”问题．请根据上述信息解答下列问题：(1)在中，，，，P是边上一个动点，则的最小值为；(2)已知抛物线与x轴交于，，C是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点D．①求抛物线的解析式；②若点P是抛物线对称轴上一点，，连接PB，求的最小值．【答案】(1)(2)①；②【详解】（1）解：延长到点D，使得，如图，则为等边三角形，过点B作交于点P，则此时最小，∵为等边三角形，∴，∴，∴，则，故答案为：；（2）解：①由题意得，∴，解得，故抛物线的解析式为；②过点B作交于点P，如图，则此时的值最小，∵，∴，则，∴，那么，，【变式5-1】（24-25九年级下·重庆北碚·开学考试）如图1，抛物线与坐标轴分别交于三点，其中点坐标为．(1)求抛物线解析式；(2)点是直线下方抛物线上的一动点，点是轴上一动点，当四边形的面积最大时，求的最小值；(3)在（2）条件下，将抛物线沿轴翻折得到，则点的对应点为，并将沿射线方向平移个单位长度得到，记在抛物线上的对应点为，过作轴于点是直线上一点，连接，则是否存在点使得；若存在，请直接写出点的坐标．【答案】(1)(2)(3)或【详解】（1）解：令，则，∴，，∵，∴，∴，把，代入得，解得，∴抛物线解析式；（2）解：过作轴于，交于，∵，∴设直线解析式为，把代入得，解得，∴直线解析式为，∴设，则，∴，∴，∴当时，最大，此时，过在轴上方找一点，使，，连接，设交轴于，∴，，∴，，即，点在直线上移动，∴，∴当在上时，最小，设直线解析式为，把代入得，解得，∴直线解析式为，∴设，∴，∴当时，最小，即，∴的最小值；（3）解：∵关于轴翻折得到点，∴将抛物线沿轴翻折得到，解析式为，整理得，的对应点，连接交轴于，则轴，，

∴，，，∴将沿射线方向平移个单位长度得到，相当于先向左移动个单位长度，再向下移动12个单位长度，∴在抛物线上的对应点为，即，∵过作轴于点，∴，∵，∴设直线解析式为，把代入得，解得，∴直线解析式为，当点在点左边时，由外角可得，不合题意；当点在线段上时，如图，连接交轴于点，过作于∵，∴，即平分，∵∴，∴，，∵，∴，∵中，，∴，解得，∴，同理可求得直线解析式为，∵直线与交点为，∴联立，解得，∴；当点在点右边时，如图，过作交于，过作轴于，∵，，，∴，∴，∴，∴，∴，∵，轴，∴，，∴，∴，∴，解得，，∴，∴，同理可求得直线解析式为，∵直线与交点为，∴联立，解得，∴，综上所述，或．【变式5-2】（2026·安徽阜阳·二模）平面直角坐标系中，如图1，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为，点是抛物线上，两点之间的一动点．(1)求这个抛物线的解析式；(2)如图2，过点作于点．①求线段的最大值；②如图3，过点作轴于点，设，求的最大值．【答案】(1)(2)①；②【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，将代入得：，解得，抛物线的解析式为，即；（2）解：①由（1）知，设直线的解析式为，将，代入得：，解得，直线的解析式为，设，过点作轴交于点，，，为等腰直角三角形，，，，，，，为等腰直角三角形，，，当时，有最大值，的最大值为；②由①知，，，延长交于点，，，，则为等腰直角三角形，，，，把代入直线的解析式，可得交点的横坐标，轴，，，，当时，取得最大值，最大值为．【变式5-3】（2026·四川德阳·模拟预测）如图1，抛物线与轴交于两点，对称轴是直线，图象与轴交于点，连接．(1)求抛物线的解析式；(2)点是抛物线位于第二象限图象上的一点，连接，当时，求点的坐标；(3)如图2，点是线段上一动点，的坐标，连接，求的最小值．【答案】(1)；(2)点的坐标为；(3)3．【详解】（1）解：∵，对称轴是直线，∴，，解得，∴抛物线的解析式为；（2）解：如图，过点作平行线，交抛物线于点，此时，令，则，∴，，∵，∴设直线的解析式为，将代入得，，解得，∴直线的解析式为，∵，∴设直线的解析式为，将代入得，，解得，∴设直线的解析式为，联立解析式：，解得：，，∴点的坐标为；（3）解：如图，过点作于点，作于点，∵，，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，，∴，∴的最小值为3．【变式5-4】（2026·天津河西·一模）已知抛物线，（，，为常数，）．(1)当，，时，求该抛物线顶点的坐标；(2)当时，点和点在该抛物线上，点为抛物线与轴的交点，且，，求点的坐标；(3)当时，点在该抛物线上，且有点在抛物线上，点是轴正半轴上的动点，当的最小值为时，求的值．【答案】(1)；(2)；(3)．【详解】（1）解：，，，该抛物线的解析式为，该抛物线顶点的坐标为；（2）解：点在抛物线上，∴，，即，又∵，∴，∵，∴，即，在中，当时，，∴，；如图所示，过点作轴于点，

，∴．，∴，∴，又∵，，∴，，，∵，点的坐标为．点在抛物线上，，即，解得，（舍）．点的坐标为；（3）解：，点在抛物线上，∴，∴，∴抛物线的解析式为，在中，当时，，∴点，∵，∴，∴点M一定在第四象限；如图所示，取点，过点N作交直线于点T，连接，

∵，∴，又∵，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，∵，∴当三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值；如图所示，当三点共线时，过点M作轴于点S，则，

∵是等腰直角三角形，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，在中，由勾股定理得，∴，∵的最小值为，∴，∴．1．（2026·四川南充·一模）如图，经过，，的抛物线与y轴交于D，点E在第四象限抛物线上，点F在线段上．(1)求抛物线的解析式；(2)当与y轴平行且取最大值时，求点E的坐标；(3)四边形的面积是否存在最大值？若存在，能否求出点E，F的坐标？若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)四边形的面积存在最大值，此时，此时F为上任意一点．【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，由题意得，，解得，∴抛物线的解析式为；（2）解：在中，当时，，∴；设直线的解析式为，则，解得，∴直线的解析式为；设，则，∴，∵，∴当时，有最大值，此时，∴；（3）解：如图所示，连接，过点E作轴交于点H，同理可得直线的解析式为，由（2）得直线的解析式为，∴，∴点F到的距离为定值，∴为定值，∵，∴当有最大值时，有最大值；设，则，∴，∴，∵∴当时，有最大值，即此时有最大值，由（2）可知，此时，∴四边形的面积存在最大值，此时，此时F为上任意一点．2．（2026·海南省直辖县级单位·一模）如图，已知抛物线过点和点．(1)求该抛物线的函数关系式；(2)已知点是上方的抛物线上一点，作轴于点，求的最大值；(3)当，函数有最小值为0，求的值．【答案】(1)(2)(3)或【详解】（1）解：∵抛物线过点和点．∴解得：∴该抛物线的函数关系式为；（2）解：设，，其中，∴，∵，∴的最大值为；（3）解：∵，对称轴为直线，当时，解得：，∵在对称轴左侧函数随着的增大而增大，在对称轴右侧函数随着的增大而减小．故分以下三种情况讨论：①若，即则当时，函数有最小值为，解得：（舍去）②若且，即当时，函数有最小值为，，解得：．当时，函数有最小值为，，解得：，或③若，即则当时，函数有最小值为，，解得：舍），综上，的值为或．3．（25-26九年级下·重庆永川·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，交y轴于点C．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点P为对称轴右侧抛物线上的一动点，过点P作于点M，过点P作x轴的平行线交抛物线于点N，E，F为y轴上的动点，E在F的下方，满足，连接，当取得最大值时，求的最小值；(3)在（2）成立的情况下，将抛物线沿着射线方向平移个单位长度，点K为平移后抛物线上的一动点，Q点坐标为，连接，当时，请直接写出K点的坐标，并写出求解点K坐标的其中一种情况的过程．【答案】(1)(2)(3)点K的坐标为或【详解】（1）解：将，代入中得：，解得：，∴抛物线解析式为；（2）解：抛物线的对称轴是：直线，当时，，∴，设直线的解析式为，∴，解得：，∴直线的解析式为，设，如图1，设直线交直线于点D，，∵，，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，，点P与点D的纵坐标相等，∴，∴，∴，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，当时，有最大值，此时点P的坐标为，把点P的坐标为向下平移个单位得，连接，作关于y轴的对称点，连接，∴，∵，，∴四边形是平行四边形，∴，∴，当，E，B三点共线时，有最小值，其最小值是，∵，，∴，∴的最小值是；（3）解：，∴将抛物线沿着射线方向平移个单位长度，就是向右平移1个单位，再向上平移2个单位，∴平移后的抛物线的解析式为：，令，则，解得：或设点为函数与轴正半轴的交点，∴，分两种情况：①点K在x轴的上方，如图，过点P作轴，过点K作轴于点F，由（2）知：，∴，又，∴，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，设，则，∴，解得或（此时与点重合，不合题意，舍去）∴,∴②点K在x轴的下方时，同理可得，，∴，综上，点K的坐标为或．4．（25-26九年级下·湖北恩施·期中）如图1，抛物线交轴于，，顶点为，点为的中点．(1)直接写出抛物线的表达式；(2)过点作，垂足为，交抛物线于点．求线段的长；(3)点为线段上一动点（点除外），在右侧作平行四边形．如图2，当点落在抛物线上时，求点的坐标；如图3，连接，，求的最小值．【答案】(1)(2)(3)；【详解】（1）解：抛物线的顶点为，；（2）解：，点为的中点，由中点坐标公式得点，即，，，当时，，，；（3）解：由（2）知，，当时，即，整理得，解得，（位于点左侧，故不合题意，舍去），，四边形是平行四边形，，．设点，则点，如图，过点作直线轴，则直线为，作点关于直线的对称点，则，连接，，，当、、共线时，取最小值，最小值为的长，设直线的表达式为，将点，代入得，，解得，直线的表达式为：，将点的坐标代入得：，解得，，，．即最小值为．5．（2026·山东济南·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．直线经过点，与轴交于点．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，为直线与抛物线对称轴在第一象限的交点，连接，，，若是锐角三角形，求的取值范围；(3)如图2，若，点是抛物线第四象限图象上一点，连接并延长，交直线与点，连接，，求面积的最大值．【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）过，；，解得；∴抛物线的表达式．（2）∵直线过点，，，抛物线的对称轴为直线，∵点和，，，，若是直角三角形，则只能或若，则，解得若，则，解得是锐角三角形，∴综合得．（3）连接，由点和，则直线的解析式为，过点作轴，交于点，设点的坐标为，∴点的坐标为，，，∴当时，的面积最大，最大值为，，∴直线的解析式为，，到的距离到的距离（或到的距离），为定值，面积的最大值为．6．（2026·重庆北碚·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴相交于点，抛物线的对称轴直线与轴交于点．(1)求抛物线的表达式：(2)点是第一象限内抛物线上一点，连接，，，点，是抛物线对称轴上的动点（点在点上方），且，连接，，当的面积最大时，求点的坐标及的最大值；(3)在（2）中的面积取最大的条件下，将抛物线沿射线的方向平移个单位得到抛物线，点为点的对应点，点是抛物线上一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．【答案】(1)(2)当的面积最大时，点的坐标为，的最大值为(3)或【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，与轴相交于点，抛物线的对称轴直线，∴，解得：，∴抛物线的解析式为；（2）解：∵抛物线的对称轴直线与轴交于点，∴，设直线的解析式为，将代入可得，∴，∴直线的解析式为，在中，令，则，解得：，，∴，如图，过点作，交直线于点，设点，则点的纵坐标为，在中，当时，，解得：，∴，∴，∴，∵，∴时，的面积最大，为，此时，∴当的面积最大时，点的坐标为，连接，∵点，是抛物线对称轴上的动点，且点、点关于对称轴对称，∴，将点向下平移个单位长度得到点，连接，，则，由平移的性质可得：，，∴四边形为平行四边形，∴，∴，∵，∴的最大值为；（3）解：设直线的解析式为，将，代入解析式可得，解得，∴直线的解析式为，，∵将抛物线沿射线的方向平移个单位得到抛物线，∴将抛物线向右平移个单位长度，向上平移个单位长度得到抛物线，∵，∴，∵点为点的对应