考点06 二次函数中的存在性问题（3考点5题型＋能力强化）（原卷版）

考点06二次函数中的存在性问题考点一：二次函数常用解析式形式一般式：y=ax顶点式：y=a(x-h)2+k交点式：y=a(x-x1)(x-x2)，与考点二：通用标准化解题步骤所有二次函数存在性问题均可套用统一解题流程，规避思路混乱、漏解等问题：1.求基础信息：求解二次函数解析式、抛物线顶点、与坐标轴交点、配套直线解析式等固定关键点信息；2.合理设动点坐标：抛物线上动点常设P(x,ax2+bx+c)3.列式建模：根据题目几何条件、图形性质、数量关系，列出方程或不等式；4.求解验根：解方程后，结合自变量取值范围、图形位置、三点共线等情况，舍去不合理的解；5.规范作答：整理有效坐标，总结最终结论。考点三：必备核心公式（坐标系通用）两点间距离公式：已知A(x1中点坐标公式：AB中点坐标为(直线位置关系：两直线平行k1=线段简化计算：水平线段长度|y1题型一：面积的存在性问题固定直线AB，设抛物线上动点P(x,y)，通过水平宽与铅锤高计算面积：S=12×水平宽【例1】（25-26九年级上·安徽六安·期末）已知抛物线经过点和．(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图，该抛物线与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，若抛物线的顶点为D，点M是位于x轴上方的抛物线上一点，是否存在点使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【变式1-1】（25-26九年级上·河南新乡·期末）如图，已知二次函数的图象与轴分别交于点，，与轴交于点C．(1)当时，的取值范围是______；(2)求二次函数的解析式；(3)在抛物线上是否存在一点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．【变式1-2】（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）如图，二次函数的图象与x轴的一个交点为，另一个交点为A，且与y轴相交于C点．

(1)求m的值及C点坐标．(2)为抛物线上一点，它关于直线的对称点为Q，当四边形为菱形时，求点P的坐标．(3)连接，在直线上方的抛物线上是否存在一点M，使得四边形的面积最大，若存在，求出此时M点坐标；若不存在，请简要说明理由．【变式1-3】（25-26九年级上·上海金山·周测）如图，直线与轴、轴分别交于点、．对称轴为直线的抛物线经过点、，其与轴的另一交点为．(1)该抛物线的表达式为______；(2)将该抛物线平移，使其顶点在线段上点处，得到新抛物线，其与直线的另一个交点为．①如果抛物线经过点，且与轴的另一交点为，线段的长为______；②试问：的面积是否随点在线段上的位置变化而变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出面积．【变式1-4】（25-26九年级上·贵州遵义·期中）如图①，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点．(1)求该抛物线的表达式；(2)求点坐标和面积；(3)若点是抛物线上第一象限内的一个动点，连接，交于点．设，是否存在最大值？如果存在求出此时点的坐标并求出此时的最大值，否则请说明理由．题型二：角度的存在性问题1.等角存在性依托平行线内错角、等腰三角形底角相等、三角函数性质解题，坐标系中最常用核心结论：两角相等等价于两角的正切值相等。2.特殊角存在性针对30∘、45【例2】（25-26九年级上·福建三明·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴相交于，两点，与y轴交于点C，点P是该抛物线对称轴l上的一个动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当的周长最小时，在图中标出点P的位置并求出点P的坐标．(3)抛物线上是否存在点Q，使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【变式2-1】（25-26九年级上·湖北咸宁·期中）如图，抛物线与x轴交于点，B两点，与y轴交于点C，D是抛物线的顶点，是抛物线上的一点，连接．(1)求抛物线的解析式和顶点D的坐标；(2)求的面积；(3)在第一象限内的抛物线上是否存在点P，使，若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由．【变式2-2】（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）如图，抛物线与x轴相交于点，，与y轴交于点，点D为抛物线的顶点．(1)求出抛物线的函数表达式；(2)如图1，抛物线在第二象限的部分上是否存在一点M，使得四边形面积最大，若存在求点M坐标；若不存在，请说明理由；(3)在抛物线上是否存在点Q，使，若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，说明理由．【变式2-3】（25-26九年级上·吉林·期末）如图1，已知抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，且抛物线对称轴为直线．(1)求抛物线的解析式；(2)①顶点的坐标为______；②当时，二次函数的最大值为______，最小值为______．③直线的解析式为______．(3)如图2，连接，为线段下方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，作轴交轴于点，求的最大值及此时点的坐标；(4)如图3，连接、，在直线下方抛物线上是否存在一点，使得，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【变式2-4】（25-26九年级上·湖南邵阳·期末）如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线平移后得到抛物线，与交于点，且与轴交于点，点C为的顶点．(1)求的表达式；(2)连接并延长交于点D，E为线段上的动点，过点E作x轴的垂线交x轴于点F，交于点G，求线段的最大值；(3)如图（2），过点A作x轴的垂线交x轴于点Q，连接，问：上是否存在一点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．题型三：等腰三角形的存在性问题先计算AB长度、线段中点、垂直平分线解析式；设抛物线上动点坐标，分三类列方程求解；最后排除三点共线、图形不存在的无效点。已知定点A、B，动点P，探究△PAB1.PA=PB：动点P在AB的垂直平分线上；2.PA=AB：以定点A为圆心、AB长为半径画圆，动点P在圆上；3.PB=AB：以定点B为圆心、AB长为半径画圆，动点P在圆上。【例3】（25-26九年级上·河南商丘·期末）如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B，C和点．(1)求该二次函数的解析式；(2)若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，则在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，求出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．【变式3-1】（25-26九年级上·甘肃定西·期末）如图，抛物线经过，，三点．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是线段上方抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线于点D，设点P的横坐标为m，当m为何值时，线段的长度最大？最大值是多少？(3)在（2）的条件下，当线段的长度最大时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得以P，D，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【变式3-2】（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，已知二次函数的图象经过点，与y轴交于点C．顶点为D．(1)求该二次函数的解析式；(2)求顶点D的坐标；(3)在x轴上是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【变式3-3】（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点．(1)求抛物线的解析式；(2)连接，在直线上方的抛物线上有一点M，使得的面积最大，求出M点的坐标．(3)在抛物线的对称轴上是否存在以为腰的点P，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标．题型四：直角三角形存在性针对竖直线、无斜率场景，使用勾股定理分类列式：PA2+A已知定点A、B，动点P，探究△PAB1.∠A=90∘：PA⊥AB2.∠B=90∘：PB⊥AB3.∠P=90∘：PA⊥PB【例4】（25-26九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）已知，如图，在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象与轴交于点和点，与轴交于点．(1)求的值；(2)点是直线下方抛物线上的一动点，连接，求的面积的最大值及此时点的坐标；(3)在第2问的条件下，为抛物线对称轴上的一动点，是否存在这样的点，使为直角三角形，若存在，请直接写出符合条件的点的坐标．【变式4-1】（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且，对称轴为直线．(1)求该抛物线的解析式；(2)当点P是抛物线上的一点且在x轴的下方时，求四边形面积的最大值，并求出此时P点的坐标；(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得是直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【变式4-2】（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线的图象交x轴于，两点，交y轴于点C．点M是线段上一个动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点E，交直线于点F．(1)求抛物线和直线的表达式；(2)求线段的最大值；(3)如图2，是否存在以点C，E，F为顶点的三角形为直角三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【变式4-3】（25-26九年级上·广东汕尾·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在坐标轴上，且，，点是边上的一个动点，抛物线经过点，．(1)如图，若抛物线恰好经过点，连接，．①求此时抛物线的解析式和点的坐标；②在直线上方的抛物线上有一点（异于点），且的面积等于的面积，请求出点的坐标．如图，设抛物线与射线交于点，在点的运动过程中，是否存在的值，使得为直角三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．题型五：（特殊）四边形的存在性问题核心解题规律已知两点A(x1,1.AB为边：利用平移性质，AB∥PQ且AB=PQ，通过坐标平移求解动点；2.AB为对角线：AB与动线段PQ互相平分，中点坐标完全相同。特殊平行四边形判定条件菱形：在平行四边形基础上，增加邻边相等条件；矩形：在平行四边形基础上，增加邻边垂直/对角线相等条件；正方形：兼具矩形和菱形性质，满足邻边垂直且相等。【例5-1】（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，抛物线的图象经过，两点，与轴交于点，是抛物线的顶点．(1)求抛物线的表达式和顶点的坐标；(2)将原抛物线进行平移，平移后的抛物线顶点为，在原抛物线的对称轴上，是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点的坐标，并说明平移的方向和距离；若不存在，请说明理由．【例5-2】（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接．(1)求A、B，C三点的坐标．(2)点P是直线下方抛物线上的一个动点，过点P作的平行线l，交线段于点D．在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由．【例5-3】（24-25九年级下·山东菏泽·期中）如图，在平面直角坐标系中，将一个正方形放在第一象限斜靠在两坐标轴上，且点，的坐标分别为，，抛物线经过点．(1)求点的坐标；(2)求抛物线的表达式，并求出其顶点坐标；(3)在抛物线上是否存在点与点（点，除外）使四边形为正方形？若存在，请求出，的坐标；若不存在，请说明理由．【例5-4】（25-26九年级上·河北秦皇岛·期末）如图，已知抛物线与一直线相交于两点，与轴交于点．其顶点为．(1)求抛物线及直线的函数解析式；(2)若是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值；(3)若抛物线的对称轴与直线相交于点，点为直线上的任意一点，过点作交抛物线于点，以点B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，直接写出点的坐标；若不能，请说明理由．【变式5-1】（25-26九年级上·广东清远·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，且当和时所对应的函数值相等．一次函数与二次函数的图象分别交于B，C两点，点在第一象限．(1)求二次函数的表达式；(2)连接，，试判断的形状，并说明理由；(3)点是线段的中点，二次函数的图象上是否存在点，使得四边形是菱形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【变式5-2】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为点D，且．(1)判断的形状，并说明理由；(2)设点是抛物线在第四象限部分上的点，设四边形的面积为，求关于的函数关系式，并求使S最大时点的坐标；(3)在（2）的条件下，点是坐标平面内一点，抛物线的对称轴上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点的坐标．【变式5-3】（25-26九年级上·山东东营·期末）如图，在平面直角坐标系中，经过点的直线与轴交于点．经过原点的抛物线交直线于点，，抛物线的顶点为．(1)求抛物线的表达式；(2)是线段上一点，是抛物线上一点，当轴且时，求点的坐标；(3)是抛物线上一动点，是平面直角坐标系内一点．是否存在以点，，，为顶点且以为边的四边形是矩形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【变式5-4】（25-26九年级上·四川眉山·期末）如图，已知抛物线过点，，，其顶点为．(1)求抛物线的解析式；(2)若是抛物线上位于直线上方的一动点，求的面积的最大值；(3)若抛物线的对称轴与直线相交于点，为直线上任意一点，过点作交抛物线于点，是否存在，以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点的坐标（直接写出答案）；若不存在，请说明理由．【变式5-5】（2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为．(1)求抛物线的表达式；(2)是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接相交于点，连接．若与的面积相等，求点的坐标；(3)是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为．是否存在点，使得以为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由．1．（2025·湖北随州·模拟预测）如图，抛物线经过A、B两点，顶点为M，对称轴l与x轴交于点D，与直线交于点E．(1)将抛物线沿直线平移，使得点A落在点B处记为，此时点的对应点为C，求点的坐标，判断四边形的形状，并说明理由．(2)设G是坐标平面内一点，当以A、C、G、M为顶点的四边形是平行四边形时．求点G的坐标．(3)设G是抛物线上的对称轴上一点，K是坐标平面内一点，是否存在点G，使得以A、C、G、K为顶点的四边形是矩形，若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．2．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且抛物线的顶点的坐标为，连接，拋物线的对称轴与交于点．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上、两点之间的部分（不包含、两点），是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由；(3)如图②，将拋物线在上方的图象沿折叠后与轴交于点，为直线=1上一个动点，在平面内是否存在一个点，使得以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由．3．（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线．(1)求抛物线的表达式；(2)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求四边形面积的最大值及此时点的坐标；(3)若点在抛物线对称轴上，是否存在点，，使以点，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出，两点的坐标；若不存在，请说明理由．4．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点．(1)直接写出、、的坐标及抛物线的对称轴；(2)如图1，连接，抛物线的对称轴上是否存在点，使？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由：(3)如图2，点是该抛物线上一动点，且位于第三象限，连接，直线交于点，和的面积差为，当的值最大时求点的坐标和直线的解析式．5．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，抛物线与轴交于，，顶点为．(1)抛物线的解析式是___________，顶点D的坐标是___________，对称轴是___________．(2)为抛物线上一点，当时，求M点坐标．(3)点E是y轴上的一个动点，点F是坐标平面内一个动点，是否存在这样的点E，F使得四边形是矩形？若存在，求出E，F的坐标；若不存在，说明理由．6．（25-26九年级上·四川广安·期末）已知，如图，抛物线的顶点为，经过抛物线上的两点和的直线交抛物线的对称轴于点．(1)求抛物线的解析式和顶点的坐标；(2)在抛物线上，两点之间的部分（不包含，两点），是否存在点，使得，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若点在抛物线上，点在轴上，当以点为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点的坐标．7．（25-26九年级上·重庆合川·期末）如图，已知抛物线与轴交于两点，过点的直线与抛物线交于点．其中点，点．(1)求抛物线的表达式；(2)点是直线的上方的抛物线上一个动点，求面积的最大值以及此时点的坐标．(3)将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到抛物线，在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？如果存在，直接写出所有符合条件的点坐标；如果不存在，请说明理由．8．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，抛物线与x轴交于、两点，与轴交于点C，连接，点P是抛物线上一动点，点Q是抛物线对称轴上一动点．(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；(2)当点P在第一象限的抛物线上时，求面积的最大值及此时点P的坐标；(3)是否存在以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．9．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图、抛物线交轴于点，，交轴于点，连接．(1)求抛物线的函数表达式．(2)是直线下方抛物线上的一点，连接，，当的面积最大时，求点的坐标．(3)是直线上方抛物线上的一点，连接，是否存在点，使得？若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由．10．（25-26九年级上·广东肇庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于三点，且，P是抛物线上的一个动点．(1)求这个二次函数的解析式．(2)若点P在直线下方，点P运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时点P的坐标．(3)直线上是否存在一点Q，使得以点A，B，P，Q组成的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．11．（25-26九年级上·广西崇左·期末）如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴交于点A、B两点，且A点的坐标为，与y轴交于点．(1)求抛物线解析式及顶点D坐标；(2)点E为抛物线上一点，且，则点E的坐标为；(3)点F为线段上任意一点，过点F