考点02 与二次函数的增减性相关的最值问题（3考点4题型＋能力强化）（解析版）

考点02与二次函数的增减性相关的最值问题考点一：基础解析式与对称轴标准式：y=a对称轴公式：x顶点纵坐标（全域最值）：y=考点二：增减性规律a>0，抛物线开口向上对称轴左侧：x<-b2a，y随x对称轴右侧：x>-b2a，y随x图像有最小值，无最大值a<0，抛物线开口向下对称轴左侧：x<-b2a，y随x对称轴右侧：x>-b2a，y随x图像有最大值，无最小值考点三：区间最值判断三步法①求对称轴x0；②判断开口方向；③对称轴在区间内：一个最值在顶点，另一个最值在离对称轴远的端点对称轴在区间左侧：整个区间单调，最值在两个端点对称轴在区间右侧：整个区间单调，最值在两个端点题型一：根据自变量的取值范围求函数的最值易错：开口方向与增减性颠倒误区：a>0左增右增/a<0左减右减正解：上开口（a>0）：左降右升；下开口（a<0）：左升右降【例1】求二次函数y=2x2解：a=2>0，开口向上，有最小值无最大值对称轴：x=1最小值：y=-1，无最大值【变式1-1】（25-26九年级下·广西崇左·期中）如图，已知正方形的边长为，点是对角线上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转至的位置，连接．(1)求证：；(2)当点在什么位置时，的面积最大？并说明理由．【详解】（1）证明：∵线段绕点顺时针旋转至的位置，∴，．∵正方形，∴，，∴，即，∵在和中，，∴；（2）解：∵正方形，为对角线，边长为∴，，，∵在中，，，∴，∵由（1）知，∴，，∴，∵设，，∴∵，∴当时，有最大值，∴，即，∴在中点时，的面积最大．【变式1-2】（2026·山东东营·一模）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，点是线段上的动点（与点B，C不重合），连接并延长交抛物线于点，连接，，设点的横坐标为．(1)求抛物线的解析式和点的坐标；(2)当的面积等于3时，求的值；(3)在点运动过程中，是否存在值使得的面积最大？若存在，求出值；若不存在，请说理由．【答案】(1)，点的坐标为(2)或3(3)存在，【详解】（1）解：将点和点代入中，得，解得，，∴抛物线的解析式为，当时，，∴点的坐标为．（2）解：设直线的解析式为，把和代入可得，解得，∴直线的解析式为，过Q点作轴于D点，交于E点，∵Q点在抛物线上，且的横坐标为，∴，∴，∴，∴，∵的面积等于3，∴，∴，解得，．（3）解：由（2）知，∵，∴当时，有最大值，最大值为4．【变式1-3】（2026·山东临沂·一模）已知抛物线的顶点为P，点，是抛物线上的任意两点．(1)当抛物线经过原点时，求抛物线的表达式；(2)当点P位于x轴下方时，求点P到x轴距离的最小值；(3)若对于，当时，总有，请直接写出m的取值范围．【答案】(1)(2)3(3)【详解】（1）解：将代入抛物线解析式可得：，解得：，当抛物线经过原点时，求抛物线的表达式为；（2）解：抛物线，其顶点为，当点位于轴下方时，，点到轴的距离为，，当时，取得最小值，即点到轴距离的最小值为；（3）解：当时，，当时，，∵，∴，整理得：，∵∴∴∴∵∴∴．【变式1-4】（25-26九年级下·宁夏银川·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴正半轴上，抛物线经过，，三点，顶点为．

(1)点的坐标________，点的坐标________(2)求抛物线的解析式及点，的坐标；(3)探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点，，，在各边上，且其中有两个顶点在线段上）？若能，求出矩形面积的最大值；若不能，请说明理由．【答案】(1)；(2)点的坐标为；顶点的坐标为．(3)能截出面积最大的矩形，矩形面积的最大值为【详解】（1）解：对于直线，当时，，解得，所以点的坐标为；当时，，所以点的坐标为故答案为：；（2）解：将，代入，得，解得，所以抛物线解析式为．令，则，即，解得，，因为点在轴正半轴上，所以点的坐标为．，所以顶点的坐标为．（3）解：能截出面积最大的矩形．设矩形中，、在上，在上，在上，矩形的高为，直线的解析式：设为，将，代入，得，解得，所以；直线的解析式为．当时，在中，，在中，，所以矩形的长为，矩形面积，，当时，有最大值，．答：能截出面积最大的矩形，矩形面积的最大值为题型二：闭区间内最值（高频必考）易错1：忽略自变量取值范围误区：不管x范围，一律用顶点求最值正解：顶点最值只适用于全体实数；有范围必须结合区间判断举例：y=(x-1)2-4，2⩽x⩽4易错2：区间端点远近判断失误误区：对称轴在区间内，随便取端点定最值正解：离对称轴越远，函数值差值越大，最值出在远端点情况1：对称轴在取值区间中间【例2-1】已知y=x2-2x-3，求解：a=1>0，开口向上，对称轴x=1，在[-1,4]内顶点处取最小值：x=1比较两端点：x=-1,y=0；x=4,y=5最大值为5综上：最小值-4，最大值5情况2：对称轴在区间左侧（区间单调递增）【例2-2】y=x2-2x-3，求对称轴x=1在区间左边，区间内y随x增大而增大最小值x=2，最大值x=4情况3：对称轴在区间右侧（区间单调递减）【例2-3】y=x2-2x-3对称轴x=1在区间右侧，区间内y随x增大而减小最小值x=0，最大值x=-3【变式2-1】（2026·河南许昌·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点．(1)求抛物线的表达式；(2)当时，求y的最大值与最小值的差；(3)过点作与x轴平行的直线，交该抛物线于C，D两点（点C在点D左侧），当时，请直接写出t的值．【答案】(1)(2)4(3)5或【详解】（1）解：把，代入得，解得：，抛物线的表达式．（2）解：抛物线的表达式，顶点坐标为，对称轴为直线，，当时，y有最小值，此时，，当时，y有最大值，此时，y的最大值与最小值的差为．（3）解：过点作与x轴平行的直线，交该抛物线于C，D两点，设，，则是方程的两根，整理得，，当时，，，，，，，，解得：，当时，，，，，，，，解得：，当时，，此时由得，即，∵，解得，这与矛盾，故舍去；t的值为5或．【变式2-2】（2026·浙江温州·一模）已知抛物线（b为常数）经过点,．(1)求抛物线的函数表达式．(2)当时,,求k的最大值．(3)过点B与x轴平行的直线交抛物线于点,若,求t的取值范围．【答案】(1)(2)2．(3)．【详解】（1）解：把代入,得,解得,∴抛物线的函数表达式为．（2）解：∵,,对称轴为直线,∴当时,y最小值=-4；而当或2时,,∴由图象可得,当时,,∴k的最大值为2．（3）解：∵点和点关于对称轴为直线对称，∴，即,∵,即,∴．∵,且当时，y随x的增大而减小,∴当时,；时,．∴t的取值范围是．【变式2-3】（2026·江苏南京·一模）已知抛物线（为常数，）．(1)若该抛物线经过点，求抛物线的表达式；(2)若，求出当时该函数的最大值与最小值的差；(3)已知点和均在该抛物线上，若，直接写出的取值范围_________．【答案】(1)（或）(2)(3)或【详解】（1）解：已知抛物线经过点将代入解析式得得，解得因此抛物线的表达式为，展开可得（2）解：当时，抛物线解析式为抛物线开口向上，对称轴为直线在范围内，当时，取得最小值，最小值为当时，当时，因此在范围内的最大值为最大值与最小值的差为（3）解：抛物线的对称轴为直线点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为当时，抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大∵，则∵解得：∴当时，抛物线开口向下，离对称轴越远函数值越小∴解得：综上所述，或【变式2-4】（2026年江苏淮安市开明中学等校中考第一次模拟数学）已知二次函数y=-x2+2mx+5(1)当时，二次函数图像的顶点坐标为__________；(2)当时，y的最大值是8，求m的值；(3)如果点、点、点Cm+2,a都在这个二次函数的图像上，且，请直接写出m的取值范围．【答案】(1)(2)或(3)或【分析】（1）将代入解析式，利用配方法求顶点坐标．（2）根据抛物线开口向下，按对称轴与的位置关系分三种情况讨论最大值．（3）由、纵坐标相同可知它们关于对称轴对称，到对称轴距离均为；根据开口向下，说明点比点、更远离对称轴，即．【详解】（1）解：当时，，，，，顶点坐标为．（2）解：y=-x2+2mx+5，抛物线开口向下，①当时，函数在时增大而减小，当时，取得最大值，，令，解得，，符合题意，②当时，函数在处取得最大值，，令，解得，，舍去，，符合题意，③当时，函数在在时增大而增大，当时，取得最大值，，令，解得，，舍去，综上所述，或．（3）解：，纵坐标相同，点、关于对称轴对称，点、到对称轴的距离均为，，且抛物线开口向下，点到对称轴的距离大于，即，或，解得或．【变式2-5】（2026·海南省直辖县级单位·一模）如图，已知二次函数（，为常数）的图象经过点，且交轴于点、B，D是抛物线的顶点．(1)求二次函数的解析式；(2)求的面积；(3)当时，求的取值范围；(4)当时，若的最大值与最小值之和为10，求的值．【答案】(1)(2)(3)(4)或【详解】（1）解：将点A，点C坐标代入函数解析式，联立解方程组解得，．（2）解：过抛物线的顶点D，作x轴的垂线，交x轴于点E，交于点F，点F与点D横坐标相同，如下图，，设过点、点的直线为，∴解得，，点代入得，的长度为点D与点F的纵坐标相减，，．（3）解：函数图象开口向下，包含了对称轴，则在顶点取得最大值，，，取得最小值，，．（4）解：时，，分两种情况讨论：①，列方程，解得，如果，则，，不符合题意，舍去；，符合题意；②，，解方程，解得，因为，不符合题意，舍去；符合题意，综上所述，或．题型三：含参数二次函数增减性与最值易错：含参函数不分类讨论误区：默认对称轴在区间中间直接代顶点正解：参数变动对称轴移动，必须分左、中、右三种位置讨论【例3】二次函数y=x2-2ax+3对称轴：x=a1.a⩽1：区间递增，最小值在x=12.1<a<3：最小值在顶点x=a3.a⩾3：区间递减，最小值在x=3【变式3-1】（2026·浙江嘉兴·一模）已知二次函数（为常数）．(1)求该二次函数图象的对称轴．(2)过点且与轴平行的直线交二次函数的图象于点，，．①求的取值范围；②若，且当时，二次函数的最小值为2，求的值．【答案】(1)(2)①，②的值为或．【详解】（1）解：∵，∴对称轴为直线．（2）解：①如图1，当时，则二次函数的图象经过点，∴，∴当时，．②如图2，∵，且二次函数图象的对称轴为直线，∴点在二次函数的图象上，∴，解得．∴．（Ⅰ）当时，，∴当时，二次函数的最小值为2，∴2=-t2+2t+7，解得（舍去）或（Ⅱ）当时，，∴当时，二次函数的最小值为2，∴，解得t=-1+6或t=-1-6综上：的值为或．【变式3-2】（2026·山东临沂·一模）在平面直角坐标系中，已知函数（为常数）．(1)求这个函数图象的最小值；(2)无论取任何实数，抛物线过轴上一定点，求定点坐标；(3)若点在这个函数图象上，求函数的解析式，并直接写出函数值随增大而减小时的取值范围．【答案】(1)当时，；当时，(2)(3)当时，函数解析式为，的取值范围；当时，函数解析式为，的取值范围．【详解】（1）解：，故函数的对称轴为直线，当时，即时，，故在处取得最小值，；当时，即时，，故在处取得最小值，；当时，；当时，；（2）解：令，则，即，无论取任何实数，抛物线过轴上一定点，，解得，故定点坐标为；（3）解：在图像上，将代入，得，解得或，当时，函数解析式为，对称轴为直线，，当时，随的增大而减小；当时，函数解析式为，对称轴为直线，，当时，随的增大而减小；当时，函数解析式为，的取值范围；当时，函数解析式为，的取值范围．【变式3-3】（2026·山东临沂·一模）在平面直角坐标系中，已知二次函数（b，c为常数）(1)当，时，求该函数图象的顶点坐标；(2)若该二次函数图象经过点，且，求b的取值范围；(3)若，，且当时，的最大值与最小值的差为4，求c的值．【答案】(1)(2)(3)1【详解】（1）解：当，时，，该函数图象的顶点坐标为，（2）解：∵点，都在抛物线上，且纵坐标相同，、关于对称轴对称，抛物线的对称轴为，​，即，，，；（3）解：，，对称轴为，开口向下，​，对称轴在内，当时，，当时，；当时，，比较两端点：，​，，即，（在处取得），由题意：，，，，或（舍去，不满足​），．【变式3-4】（2026·湖南长沙·模拟预测）在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是其横坐标的倍，我们称这个点为“双倍点”，例如就是“双倍点”．若二次函数图象的顶点为“双倍点”，则我们称这个二次函数为“双倍二次函数”，例如二次函数就是“双倍二次函数”．(1)求直线上的“双倍点”的坐标；(2)反比例函数图象上否存在“双倍点”？如存在，求出其坐标；如不存在，说明理由；(3)已知二次函数（，是常数）是“双倍二次函数”，且函数图象与轴的交点是“双倍点”，求二次函数的解析式；(4)若“双倍二次函数”（，是常数）的图象过除顶点外的另一个“双倍点”(p,8)，并当时，函数最小值为，求的值．【答案】(1)(2)不存在“双倍点”，理由见解析(3)或(4)的值为或【详解】（1）解：设直线上的“双倍点”的坐标，∴2h=解得：，∴2h=-∴直线上的“双倍点”的坐标．（2）解：不存在“双倍点”，理由如下：设在反比例函数图象上，∴2m=-∴m2∴在反比例函数图象上不存在“双倍点”．（3）解：∵二次函数解析式为，∴当时，，∴函数的图象与轴的交点坐标是，∵函数的图象与轴的交点是“双倍点”，∴c=2×0=0，∴，∴顶点坐标为，∵该二次函数是“双倍二次函数”，∴，解得：或，∴二次函数的解析式为或．（4）解：设“双倍二次函数”，∵(p,8)为“双倍点”，∴，∴，解得：或，当时，顶点为，不合题意，舍去；∴时，这个“双倍二次函数”为，∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，∴当时，在对称轴左侧，随的增大而减小，∴当时，函数有最小值，即，解得：或（舍去）；当时，时，函数的最小值为，不存在满足条件的t值；当时，即时，在对称轴右侧，随的增大而增大，∴当时，函数有最小值，即，解得：或t=3-3<3综上所述，的值为或．题型四：实际应用最值（应用题必考）易错：实际应用题忘限定定义域误区：列出函数直接求顶点最值正解：利润、面积类题目，自变量受实际意义限制，优先圈定$x$取值范围再求最值【例4-1】（2026·云南昆明·二模）普洱茶是云南的特色产品，某茶叶销售店以每饼120元的成本购进一批普洱茶饼，根据市场调研，销售单价不低于成本单价，也不高于每饼200元，已知每季度销售量（单位：饼）与销售单价（单位：元）符合一次函数关系，如图是与的函数关系图象．(1)求与的函数解析式，并直接写出的取值范围；(2)设该茶叶销售店每季度销售茶叶获得的利润为元，求的最大值．【答案】(1)(2)48000元【详解】（1）解：设与的函数解析式为，由题意得：，解得：，与的函数解析式为；（2）解：由（1）得：，，，当时，随的增大而增大，，当时，最大，w=-5×200-2202+50000=48000元【例4-2】（2026·湖北武汉·一模）学校计划租用客车送师生到劳动基地开展实践活动．收集信息如下：信息1：客运公司有，两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，辆型客车载客人数和辆型客车载客人数相同，辆型客车和辆型客车共载客人．信息2：型客车租车费用固定为元辆；型客车租一辆车的费用为元，每多租一辆，型客车租车单价减少元．信息3：学校参加实践活动的师生共有人；租用，两种型号客车共辆，其中型客车不少于辆．问题解决：(1)求，两种型号每辆车满员时的载客人数；(2)设租用型客车（单位：辆），本次实践活动的租车总费用是（单位：元），求与的函数关系式；（租车总费用租用型客车的费用租用型客车的费用）(3)设计一种方案，使本次实践活动的租车总费用最少，请说明理由．【答案】(1)型客车每辆满员载客人，型客车每辆满员载客人(2)（，且为整数）．(3)租用型客车辆，型客车辆时，租车总费用最少．【详解】（1）解：设型客车每辆满员载客人，型客车每辆满员载客人．根据题意得解得答：型客车每辆满员载客人，型客车每辆满员载客人．（2）解：设租用型客车辆，则租用型客车辆．根据总载客量不小于人，得解得∵A型客车不少于9辆∴，解得∵为正整数，∴，且为整数根据租车总费用规则，得整理得即与的函数关系式为（，且为整数）．（3）解：∵，∴二次函数开口向下，顶点是最大值点，离对称轴越远，越小∵∴时，取得最小值此时A型客车数量为（辆），满足的要求答：租用型客车辆，型客车辆时，租车总费用最少．【变式4-1】（2026·江苏泰州·一模）为增强民众生活幸福感，市政府推进老旧小区改造工程．某小区计划在的绿化带上种植甲、乙两种花卉．市场调查发现：甲种花卉种植费用（元）与种植面积（）之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用为元．(1)当时，求与的函数关系式；(2)当甲种花卉种植面积不少于，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的倍时，如何分配甲、乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用最少？最少是多少元？【答案】(1)当时，；(2)甲种面积为，乙种面积为，种植的总费用最少，最少元．【分析】（1）设，把，代入，可得、，即可求解；（2）设甲种花卉种植面积为，则乙种花卉种植面积为，总费用为元，根据二次函数的图象和性质即可求解．【详解】（1）解：当时，设，把，代入，得，解得，∴当时，．（2）解：设甲种花卉种植面积为，则乙种花卉种植面积为，总费用为元．∵甲种花卉种植面积不少于，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的倍，∴，解得．当时，，∵，∴随的增大而减小，∴当时，最小，最小为（元），当时，，∵，抛物线开口向下，对称轴为直线，且，∴时，取最小值，最小为（元），∵，∴当时，取最小值，最小为元，此时，．答：甲种面积为，乙种面积为，种植的总费用最少，最少元．【变式4-2】（2026·四川南充·一模）某奶茶小店自制一款爆款奶茶基底原液，成本为2元/升．每天店内自制产量m（升）与售卖定价x（元/升）满足函数关系：．结合市场消费调研，每天市场需求量n（升）与售卖定价x（元/升）为一次函数关系，部分统计数据如下表：销售价格x（元/升）4510市场需求量n（升）12011060经营规则：当每天自制产量不超过市场需求量时，基底原液全部卖完；当每天自制产量大于市场需求量，仅卖出对应需求量基底原液，剩余基底原液因隔夜变质全部倒掉；售卖定价不低于4元/升，不高于10元/升．(1)求n与x的函数关系式；(2)①当售卖定价为5元时，求奶茶小店每天销售基底原液获得的利润；②当售卖定价为8元时，求奶茶小店每天销售基底原液获得的利润；(3)当基底原液定价为多少元时，奶茶小店每天可获得最大利润？最大利润为多少元？【答案】(1)(2)①315（元）；②400（元）(3)原液定价为元/升时，每天可获得最大利润为元【详解】（1）解：设n与x的函数关系式为，由题意得，，解得，∴；（2）解：①当时，m=5×5+80=105，n=-10×5+160=110，∵，∴基底原液可全部卖完，奶茶小店每天销售基底原液利润为：（元）；②当时，m=5×8+80=120，n=-10×8+160=80，∵，∴基底原液无法卖完．奶茶小店每天销售基底原液获得的利润为：（元）．（3）解：设奶茶小店每天获得的利润为w元，①当每天的产量不大于市场需求量时，即，即5x+80≤-10x+160，解得，∴；则w=(x-2)(5x+80)=5(x+7)∵，对称轴为直线，∴当时，w随x的增大而增大，∴当时，（元）；②当每天的产量大于市场需求量时，即，即5x+80>-10x+160，解得，∴；则，∵，对称轴为直线，∴当时，w最大=402.5∵∴原液定价为元/升时，每天可获得最大利润为元．【变式4-3】（2026·山东青岛·一模）某景区为吸引游客，将门票单价定为元/张，并且要求单价不能低于元．经市场调查，每日游客人数（人）与门票单价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：门票单价（元）游客人数（人）景区每日运营成本为每人元，另需支付固定维护费每日元和环保费．经统计，环保费元与游客人数人之间满足二次函数关系（若所有门票均售出），其图象如图所示．(1)求游客人数与门票单价的函数表达式；(2)设扣除运营成本、环保费和固定维护费后的利润为元，求与单价的函数关系式，并求出当单价多少时利润最大，最大利润是多少？(3)随着智能设备的引入，景区运营成本每人降低元（），且降低运营成本后的单价也不能低于元．求在此条件下利润的最大值（用含的式子表示），并求当利润最大值为元时的值．【答案】(1)(2)​；单价为元时利润最大，最大利润为元(3)；的值为【详解】（1）解：设一次函数解析式为，将表格中、代入，得，解得，∴游客人数与门票单价的函数表达式为；（2）解：设环保费与的二次函数关系式为，代入、，得，解得∴，∴​，∵，∴二次函数开口向下，函数有最大值，∵对称轴，满足，∴当时，，即单价为元时利润最大，最大利润为元；（3）解：运营成本每人降低元后，​，∵，∴二次函数开口向下，∵对称轴为，∴当时，随增大而减小，∵，∴，∴，∵，即，，∴当时，，当时，，解得，∴当利润最大值为元时的值为．【变式4-4】（2026·贵州·模拟预测）如图①，位于贵州省安顺市的花江峡谷大桥于2025年9月28日建成通车．花江峡谷大桥被称为“横竖都是第一”的“世界第一高桥”．该桥缆索形状近似于抛物线，它的最低点是点P；两端的索塔高度相同，即，且两个索塔均与桥面垂直；主桥的跨径约为1400m，它的中点是点Q，，且；缆索与主桥之间通过200多根垂直于桥面的吊杆连接（如吊杆）．现以O为原点，桥面所在直线为x轴，索塔所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，请你根据相关数据解决以下问题：(1)求缆索所在抛物线的解析式；(2)花江峡谷大桥作为贵州“桥旅融合”．大桥中间建有水幕灯光秀设备，能实现“光影魔术”吸引游客．①已知该桥的吊杆上装有与吊杆等长的灯带，工作人员在检修灯光设备的过程中发现在距离点Q水平距离100m处的两根灯带损坏，那么完成更换工作需要准备多长的灯带？②若点Q处设有一颗激光射灯，该射灯光线恰好经过索塔的顶端点B，求缆索与该光线的最大竖直距离．【答案】(1)抛物线解析式为(2)①更换工作需要准备灯管长约为46米；②缆索与该光线的最大竖直距离为米【详解】（1）由题意可知，抛物线顶点P的坐标为，设抛物线解析式为，把代入抛物线得：，解得，∴抛物线解析式为；（2）①当时，，∴更换工作需要准备灯带长为（米）；②设直线的解析式为，把，代入解析式得：，∴解得，∴直线的解析式为，∴缆索与该光线的竖直距离：∵，∴当时，d有最大值，最大值为．∴缆索与该光线的最大竖直距离为米．1．（2026·山西忻州·一模）项目式学习项目背景：山西老陈醋是中国四大名醋之一，素有“天下第一醋”的美誉，其酿造技艺被列入国家级非物质文化遗产名录．某校学生前往一家老陈醋销售企业开展研学活动，他们针对一款老陈醋的销售情况进行了研究．数据收集：该款老陈醋每瓶的进价为10元，规定每瓶的售价不低于15元，且不高于40元，其每日销量（单位：瓶）与售价（单位：元/瓶）之间的变化规律如图所示．(1)建立模型：根据上述信息可知，每日销量是售价的（填“一次”“二次”或“反比例”）函数，关于的函数表达式为．(2)问题解决：当售价定为多少时，日利润最大？最大日利润是多少？(3)由于某种原因，该款老陈醋每瓶的进价上涨了元，该销售企业在今后的销售中，每日销量与售价仍满足（1）中的函数关系．若日利润最大为3610元，请直接写出的值．【答案】(1)一次；(2)当售价定为30元时，日利润最大，最大日利润为4000元，见详解(3)2【详解】（1）解：一次；．提示：观察图象可知，售价每增加5元，销量就减少50瓶，所以每日销量是售价的一次函数．设一次函数为，将，代入得解得所以关于的函数表达式为；（2）解：设日利润为w元，根据题意得．因为，抛物线开口向下；对称轴为，且，所以当时，取得最大值，最大值为4000元，即售价定为30元时，日利润最大，最大日利润是4000元；（3）解：．进价上涨元后，每瓶利润为元，则日利润为．整理，得．因为对称轴，，所以对称轴仍满足在范围内，所以当时，取得最大值．把代入原式得，解得，（不合题意，舍去）．2．（25-26九年级下·河南南阳·期中）如图，二次函数的图象经过点，点．(1)求此二次函数的解析式；(2)当时，求二次函数的最值；(3)点为此函数图象上任意一点，其横坐标为，过点作轴，点的横坐标为．已知点与点不重合，且线段的长度随的增大而减小，求的取值范围．【答案】(1)(2)当时，二次函数的最大值为，最小值为(3)【详解】（1）解：将点，点代入，得，解得，

∴二次函数的解析式为．（2）解：，∵抛物线开口向下，对称轴为直线，∴当时，取最大值为．

∵，∴当时，．

当时，．

∴当时，二次函数的最大值为，最小值为．（3）解：，

当时，即，，的长度随增大而增大，不符合题意．

当时，即，，的长度随的增大而减小，∴的取值范围为．3．（2026·山东临沂·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，．(1)求b的值（用含a的式子表示）；(2)已知二次函数的最大值为；①求该二次函数的表达式；②若，为该二次函数图象上的不同两点，且，求证：x1-12m【答案】(1)(2)①；②见解析【详解】（1）解：∵二次函数过点、，∴，∴．（2）解：①把，点，代入得：0=a-5a+c，∴，∴函数表达式为：，∴其对称轴为直线，∴将代入得：，解得：（舍去，此时函数开口向上，无最大值），∴二次函数表达式为：．②证明：由二次函数的对称性得，即，∵点在函数图象上，∴m=-x∴，∴，∴左边因为题目已知，且点、是抛物线与x轴的交点，所以且，分子分母可以约去：左边右边．4．（2026·山东聊城·二模）已知二次函数，其中、为两个不相等的实数．(1)当，时，求该函数图象的对称轴；(2)求证：该二次函数的图象与轴一定有两个不同的交点；(3)若函数在时，随的增大而减小，且满足，求的取值范围，并求出此时函数顶点纵坐标的最大值．【答案】(1)对称轴为直线(2)见解析(3)的取值范围为，此时函数顶点纵坐标的最大值为【详解】（1）解：∵，，∴，∴对称轴为直线．（2）证明：∵，，，∴，∵，是不相等的实数，∴，即，∴一元二次方程有两个不相等的实数根，∴该二次函数的图象与轴一定有两个不同的交点．（3）解：∵二次函数解析式为，，∴对称轴为直线，抛物线开口向上，∵函数在时，随的增大而减小，∴，∵，∴，∴，设顶点纵坐标为，∴=-1∴抛物线开口向下，对称轴为直线，∴当时，随的增大而减小，∴时，为，的取值范围为，函数顶点纵坐标的最大值为．5．（2026·广西钦州·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线为（为常数，）．(1)当时，求抛物线的顶点坐标；(2)将抛物线向上平移2个单位后与轴交于，两点，求的长；(3)当（）时，的最大值与最小值之差为5，求的取值范围．【答案】(1)(2)4(3)5【详解】（1）解：当时，抛物线为．∴抛物线的顶点坐标为；（2）解：抛物线向上平移2个单位后为，令，即，，，解得或，∴抛物线与轴的交点分别为，，；（3）解：，∴对称轴为直线，，∴抛物线开口向上，，，∴当时，取到最小值为，当时，取到最大值，最大值为at2-6at+5a-2的最大值与最小值之差为5，，化简得：，即，，∴-3≤t-3≤-2，，，∴56．（25-26八年级下·河南新乡·期中）学校计划租用客车送师生到劳动基地开展实践活动．收集信息如下：信息1：客运公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，3辆A型客车载客人数和2辆B型客车载客人数相同，2辆A型客车和3辆B型客车共载客260人．信息2：A型客车租车费用固定为1200元/辆；B型客车租一辆车的费用为2150元，每多租一辆B型客车，B型客车租车单价减少50元．信息3：学校参加实践活动的师生共有950人；租用A，B两种型号客车共20辆，其中A型客车不少于9辆．问题解决：(1)求A，B两种型号每辆车满员时的载客人数；(2)设租用B型客车x（单位：辆），本次实践活动的租车总费用是W（单位：元），求W与x的函数关系式；（租车总费用租用A型客车的费用租用B型客车的费用）(3)设计一种方案，使本次实践活动的租车总费用最少，请说明理由．【答案】(1)A型客车每辆满员载客40人，B型客车每辆满员载客60人(2)（，且为整数）(3)租用A型客车12辆，B型客车8辆时，租车总费用最少【详解】（1）解：设A型客车每辆满员载客人，B型客车每辆满员载客人．根据题意得，解得，答：A型客车每辆满员载客人，B型客车每辆满员载客人．（2）解：设租用B型客车辆，则租用A型客车辆，根据总载客量不小于人，得，解得，∵A型客车不少于9辆，∴，解得，∵为正整数，∴，且为整数，根据租车总费用规则，得整理得即与的函数关系式为（，且为整数）．（3）解：∵，∴二次函数开口向下，顶点是最大值点，离对称轴越远，越小∵∴时，取得最小值,此时A型客车数量为（辆），满足的要求,答：租用A型客车辆，B型客车辆时，租车总费用最少．7．（2026·山东济宁·一模）已知抛物线经过点．(1)求该抛物线的对称轴；(2)若抛物线与x轴交于和两点（），且，求该抛物线的解析式；(3)在（2）的条件下，当（t为任意实数）时，二次函数有最大值为3，求t的值．【答案】(1)对称轴为(2)解析式为(3)或【详解】（1）解：把，代入，得：，整理得：，∴对称轴为．（2）解：由（1）可得，，，，，，，∴解析式为．（3）解：由（2）可得：二次函数解析式为，∴当时，y有最大值为6，∵当时，y有最大值为3，∴不成立，∴或者：①当时，y随x的增大而减小，当时，y有最大值为3，把，代入得：-3t2+6t+3=3，解得或2，，，②当，即时，y随x的增大而增大，当时，y有最大值为3，把，代入得：，解得或，，，综上所述，或．8．（2026·安徽安庆·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线（）向右平移2个单位长度，再向下平移a个单位长度得到新抛物线，新抛物线与x轴自左向右依次交于A，B两点．(1)求A点坐标；(2)两抛物线交于点，点是新抛物线上一动点，若时，恒有，求t的取值范围；(3)当时（不与A，B重合），新抛物线上y最大值为p，最小值为q，若，，且为整数，求a的值．【答案】(1)A点坐标为(2)t的取值范围是或(3)【详解】（1）解：由题意可知，新抛物线解析式为，令，代入可得，解得，又∵点A在点B的左边，∴A点坐标为；（2）解：令，可得，解得，∴点关于直线的对称点是，当点在新抛物线对称轴右侧时，则；当Q点在新抛物线对称轴左侧时，，解得．综上所述，t的取值范围是或；（3）解：∵，且，∴，∴，∴，∴．∵新抛物线对称轴为直线，且，∴当时，y取最小值，当时，y取最大值，即，∵，∴，∴．∵，∴，∵为整数，∴或，∴（舍去）或，∴当，此时；当，此时，但此时不满足题意，故舍去．将，代入，解得．9．（2026·江西·三模）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，．(1)点的坐标为_____，点的坐标为_____；(2)求，之间的关系式；(3)若抛物线的顶点在直线上，求抛物线的解析式；(4)若抛物线开口向下，且当时，二次函数的最大值为，请直接写出的值．【答案】(1)，；(2)；(3)抛物线的解析式为或；(4)．【详解】（1）解：由直线得，令，则，解得，∴，令，则，∴，故答案为：，；（2）解：∵抛物线经过点和，∴，∴；（3）解：由的顶点坐标为，∵抛物线的顶点在直线上，∴，，由（）得，，，∴，整理得，解得或，当时，；当时，；∴抛物线的解析式为或；（4）解：∵抛物线开口向下，∴，且，，∴抛物线解析式为，∴对称轴为，∵，∴，∴对称轴，分两种情况讨论：当，即时，此时二次函数的最大值在顶点处，最大值为，∴，把，代入整理得，解得或，当时，对称轴，满足，符合条件；当时，对称轴，不满足，舍去；当，即对称轴在区间右侧，∵开口向下，∴随增大而增大，∴当时有最大值，把得，解得，不符合，舍去；综上可得：．10．（2026·江苏常州·模拟预测）已知抛物线（b，c为常数）．(1)若抛物线经过，时，①求该抛物线的顶点坐标．②将该抛物线向下平移个单位得到的新抛物线过点，且，请求出h的取值范围．(2)若当时，y的最小值为6；当时，y的最小值为2．求该抛物线的表达式．【答案】(1)①；②(2)【详解】（1）①解：将，代入解析式，得，解得，抛物线的解析式为，该抛物线的顶点坐标为．②解：根据题意可知，向下平移个单位得到的新抛物线的解析式为，将点代入，得，即，，当时，有最小值，最小值为，当时，，当时，，的取值范围为．（2）解：抛物线开口向上，对称轴为，当时，y的最小值为6；当时，y的最小值为2，，即当时，；当时，，代入抛物线得，解得或（不合题意舍去），该抛物线的解析式为．11．（2026·山东东营·二模）如图，平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为直线上一动点．(1)求此二次函数的表达式；(2)如图1，是否存在点D，使得以A，C，D为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；(