26.4 实际问题与二次函数（能力提升）（解析版）

.4实际问题与二次函数知识点一销售问题1．（2026·江苏泰州·模拟预测）某商场销售一种商品，每件进价为40元．市场调查发现，当销售单价为70元时，平均每天可售出30件；销售单价每降低1元，平均每天可多售出3件．设销售单价为x元（），每天的销售利润为y元．(1)求y与x的函数关系式；(2)当销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？【答案】(1)(2)60元，最大利润1200元【分析】（1）根据题意，由总利润等于销售量乘以单件利润，可得出与的函数关系式；（2）将与的函数关系式转换为顶点式，即可得出最大利润和所对应的售价．【详解】（1）解：，答：y与x的函数关系式为；（2）解：，当时，，答：当销售单价定为60元时，每天的销售利润最大，最大利润是1200元．2．（2026·广东中山·一模）某品牌头盔4月份销量是150个，6月份销量是216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；(2)此种头盔的进价为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售达到最大利润，则该头盔的实际售价应定为多少元/个？【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为(2)为使月销售利润最大，该品牌头盔的实际售价应定为95元/个【分析】本题考查了一元二次方程、二次函数的实际应用，正确理解题意列出方程和函数关系式是解题的关键．（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据4月份销售150个，6月份销售216个，列出方程进行求解即可；（2）该品牌头盔的实际售价应定为元/个，利润为，则，即可求解．【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为，由题意，得，解得或（舍去）．答：该品牌头盔销售量的月增长率为．（2）解：设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，利润为，则，，∴当时，月销售利润最大．答：为使月销售利润最大，该品牌头盔的实际售价应定为95元/个．3．（2026·四川成都·二模）某汽车销售店销售A、B两种车型的汽车，今年2月A型车销售15辆，B型车销售10辆，销售额为380万元，3月A型车销售12辆，B型车销售6辆，销售额为264万元，A、B两种车型在这两个月均按定价进行销售．(1)A、B型汽车的定价分别为多少万元？(2)在过去一段时间内，该汽车销售店平均每月售出B型车8辆，每辆车利润为6万元．该销售店决定对B型车开展降价促销活动．经市场调查发现，如果每辆车的售价降低1万元，那么平均每月的销售量会增加4辆．不考虑其他因素，销售店将每辆车的售价定为多少万元时，该店B型车的月利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)A型汽车定价为12万元，B型汽车定价为20万元(2)B型车售价定为18万元时月利润最大，最大利润为64万元【分析】（1）利用销售额=销量×定价，构建二元一次方程组，解方程组即可；（2）设售价或降价为自变量，构建月利润与售价或降价的二次函数，利用二次函数求最值的方法求解即可．【详解】（1）解：设A型汽车的定价为x万元，B型汽车的定价为y万元，由题意，得，解得，∴A型汽车定价为12万元，B型汽车定价为20万元；（2）解：设降价m万元，月利润为w万元，则由题意，得，∵，∴当时，w最大，最大值为（万元），此时售价为（万元）．4．（2026·江苏泰州·一模）为推进我市文化旅游发展，板桥纪念馆新推出，两种文创纪念品．已知2个纪念品和3个纪念品的成本之和是155元；4个纪念品和1个纪念品的成本之和是135元．一套纪念品由1个纪念品和1个纪念品组成．规定：每套纪念品的售价不低于65元且不高于72元（每套售价为整数）．如果每套纪念品的售价为72元，那么每天可销售80套．经调查发现，每套纪念品的售价每降价1元，其销售量相应增加10套．设每天的利润为（元），每套纪念品的售价为元（且为整数）．(1)分别求出每个纪念品和每个纪念品的成本；(2)求当为何值时，每天的利润最大，并求出最大利润．【答案】(1)每个纪念品成本25元，每个纪念品的成本35元(2)当时，每天的利润最大，最大利润为1000元【分析】（1）设每个纪念品成本元，每个纪念品的成本元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解；（2）根据题意列出函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解．【详解】（1）解：设每个纪念品成本元，每个纪念品的成本元，由题意得：，解得：，答：每个纪念品成本25元，每个纪念品的成本35元；（2）解：由题意得，，，对称轴为直线，且为整数，当时，最大答：当时，每天的利润最大，最大利润为1000元．知识点二图形运动问题1．（2026·江苏南京·模拟预测）如图，在中，，，，点D是的中点，点P、Q分别是、上的动点，且，则的最小值为______．【答案】【分析】作于点，设，根据含30度角的直角三角形的性质，求出，，进而求出点与点重合时，的长，当点在点左侧，得到，勾股定理得到，利用二次函数求最值，当点在点右侧得到的长比重合时要大，且，得到，即可得出结果．【详解】解：作于点，设，∵，，，∴，∴，∵点D是的中点，∴，∵，，∴，，当点与点重合时，则：，解得，∴，当点在点的左侧时，如图，则：，∴，∴抛物线的开口向上，当时，有最小值为，∴的最小值为；当点在点的右侧时，如图，此时的长比重合时要大，且，∴，∵，∴的最小值为．2．（25-26八年级下·黑龙江绥化·月考）如图所示，在中，，，，动点从出发沿边向点以的速度运动，动点从点开始沿边向点以的速度运动，若，两点分别从，两点同时出发，在运动过程中，求的最大面积．(1)当，同时出发后经过时，_____cm，_____cm．(2)在运动过程中，求的最大面积．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据“路程=速度×时间”得，同时出发后经过时，，，根据可求出；（2）设P、Q同时出发后经过，的面积为，则，，，进而得到S的表达式；由于S的表达式为二次函数的形式，将其化为顶点式，再结合t的取值范围就能得出面积的最大值．【详解】（1）解：当，同时出发后经过时，，，又，∴；（2）解：设P、Q同时出发后经过，的面积为，则，，，则．∵，，动点从出发沿边向点以的速度运动，动点从点开始沿边向点以的速度运动，∴，∴，∴时，S有最大值，最大值为9，即的最大面积为．3．（2026·吉林·一模）如图，在等边中，．动点P，Q分别从点A，B同时出发，点P沿折线以每秒2个单位长度的速度向终点C匀速运动．点Q沿折线以每秒2个单位长度的速度向终点A匀速运动．连接，，．设点P运动的时间为秒，的面积为S．(1)当点P在上时，_____________（用含t的式子表示）．(2)求S关于t的函数解析式，并写出t的取值范围．【答案】(1)(2)S关于t的函数解析式为【分析】（1）根据题意可直接进行求解；（2）由题意可分：①当点P在上时，即，②当点P在线段上时，此时点Q在线段上，即，然后分类进行求解即可．【详解】（1）解：由题意得：当点P在上时，；（2）解：由题意可分：①当点P在上时，即，过点Q作，如图所示：∵是等边三角形，，∴，∴，由题意可知：，∴，∴；②当点P在线段上时，此时点Q在线段上，即，过点P作，如图所示：∴，，同理可得，∴；综上所述：S关于t的函数解析式为．4．（25-26九年级下·广东揭阳·期中）如图，等腰三角形ABC的直角边长为a，正方形MNPQ的边为b（），C、M、A、N在同一条直线上，开始时点A与点M重合，让向右移动，最后点C与点N重合．设三角形与正方形的重合面积为y，点A移动的距离为x，则y关于x的大致图象是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查了动点问题的函数图象，需要根据三角形移动的不同阶段，分段求出重叠面积y与移动距离x的函数关系式，再根据函数类型判断图象形状．【详解】解：分三种情况讨论：①当时，逐渐进入正方形，重叠部分为等腰直角三角形，直角边长为��，

∴，该函数图象为开口向上的抛物线的一部分；②当时，∵，∴完全在正方形的内部，

∴，该函数图象为平行于��轴的线段；③当时，逐渐移出正方形，重叠部分面积为面积减去右侧移出的小等腰直角三角形面积，移出部分直角边长为，

∴，该函数图象为开口向下的抛物线的一部分；综上所述，图象先是开口向上的抛物线，中间是水平线段，最后是开口向下的抛物线．故选：C．知识点三其他问题1．（2026·湖北随州·一模）在我国古代，有一种利用水流计时的“水钟”，其内部的浮标高度h随时间t变化的轨迹可以近似看作一条抛物线．某兴趣小组对其进行了数学建模：在平面直角坐标系中，设水钟底部为原点，浮标初始位置为，浮标上升到的最高点坐标为，水钟右侧的刻度线是一条从原点出发的斜坡，其终点A的坐标为，在A处有一个高度为1的警示柱．(1)求浮标高度h随时间t变化的抛物线解析式；（不要求写出自变量t的取值范围）(2)通过计算说明浮标在运动过程中能否达到或超过警示柱的顶端；(3)当浮标在刻度线的上方，且浮标到刻度线的竖直距离为2时，求对应的横坐标t的值．【答案】(1)；(2)不能达到或超过；(3)0或7【分析】（1）根据题意抛物线解析式为，代入点C坐标即可解答；（2）把代入（1）中所求抛物线解析式，求得此时的h值，与点B的纵坐标比较即可得；（3）先利用待定系数法求得线段的解析式，然后根据浮标到刻度线的竖直距离为2，得到关于t的一元二次方程，解方程即可．【详解】（1）解：设抛物线解析式为，抛物线过点，，解得，抛物线解析式为．（一般形式：）；（2）解：把代入中得：，，浮标在运动过程中不能达到或超过警示柱的顶端．（3）解：设线段的解析式为，则，解得，线段的解析式为，浮标在的上方且竖直距离为2，，即，解得，，对应的的值为0或7．2．（2026·陕西商洛·一模）在一次烟花大赛中，两个不同位置的发射台同时发射了特制的烟花弹，烟花弹的轨迹高度与水平距离之间的关系图象可近似看作抛物线，如图所示，以水平地面为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系，已知如下信息：烟花弹的发射点位于坐标原点，其爆炸最高点坐标为，落地点为；烟花弹的发射点位于轴上点，其爆炸最高点坐标为．设所有烟花弹轨迹的对称轴均垂直于水平地面，且均沿抛物线轨迹运动直至落地．(1)求烟花弹的轨迹对应的抛物线表达式；(2)若将烟花弹的轨迹关于轴对称后，得到一条新的抛物线，点在抛物线上，轴，求点到点的距离．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据待定系数法解题即可；（2）根据待定系数法和轴对称的性质求出抛物线的表达式，求出点的坐标，将点的横坐标代入抛物线的表达式，进而解题．【详解】（1）解：烟花弹的发射点位于坐标原点，其爆炸最高点坐标为，设烟花弹的轨迹对应的抛物线表达式为，将代入表达式，得，解得，烟花弹的轨迹对应的抛物线表达式为；（2）解：烟花弹的爆炸最高点坐标为，设烟花弹的轨迹对应的抛物线表达式为将代入表达式，得，解得，烟花弹的轨迹对应的抛物线表达式为，烟花弹的轨迹对应的抛物线与的轨迹对应的抛物线关于轴对称，抛物线的表达式为，如图，为烟花弹的落地点，烟花弹的轨迹对应的抛物线表达式为，令，解得（不符合题意，舍去），，，轴，点在抛物线上，设，则，点到点的距离为．3．（2026·辽宁阜新·一模）【活动题目】智慧农田无人机精准施药数学实践活动活动素材随着智慧农业的发展，无人机在农作物植保作业中得到广泛应用．某校农业科技实践小组以“无人机精准施药”为主题开展数学建模实践活动：如图所示，某次模拟施药作业中，小组同学以为原点，建立平面直角坐标系，无人机飞行轨迹可看作抛物线的一部分．已知无人机起飞高度为1.2米，在水平距离20米处达到最大高度9.2米，目标施药点距的水平距离为36米．作业标准为保证施药效果与农作物安全，本次作业设定标准如下：①有效施药：无人机飞行高度满足米；②精准施药：无人机飞行轨迹恰好经过点．问题解决：(1)求该无人机初次飞行轨迹抛物线解析式；(2)初次飞行至36米处时，无人机能否完成有效施药？请说明理由；(3)为实现精准施药，将无人机向农作物方向平移米，直接写出值．【答案】(1)(2)能完成有效施药，见解析(3)【分析】（1）由待定系数法求解函数解析式即可；（2）把代入函数解析式，求出函数值，再与比较即可；（3）设出平移后的函数表达式，再代入点即可求解．【详解】（1）解：由题意得，抛物线顶点为设解析式为：把代入解析式，解得；（2）解：能完成有效施药，理由如下：当时，（米）能完成有效施药．（3）解：水平向前平移米后，设把代入解析式，解得，（舍）

值为．4．（2026·广西桂林·一模）【综合与实践】【项目主题】无人驾驶汽车最小安全距离优化设计某智能汽车公司在封闭测试场开展无人驾驶安全性能验证实验．测试开始时，测试车辆以初速度．进入一段足够长的水平直道（忽略车身长度影响），并立即启动制动系统，做匀减速直线运动（即单位时间内速度等量减小）；与此同时，其正前方距离为处，目标障碍物车辆以恒定速度同向匀速行驶．为确保车在任何时刻均不与车发生接触（即全程保持非负车间距），需建立函数模型，求解满足安全约束的最小初始车距．实验测得车辆在水平直道上运动的数据如下：时间速度路程【问题探究】(1)已知速度是时间的一次函数，路程是时间的二次函数，请分别求出一次函数与二次函数的关系式，并求车辆从驶入水平测试直道到完全停下所行驶的总路程；(2)测试车辆驶入水平直道的同时，目标障碍物测试车从其正前方处开始，以的速度匀速向前行驶．为保证测试车辆始终不会撞上目标障碍物测试车，求安全初始距离的最小值；(3)在（）的条件下，于实际降雨环境中开展测试，当时两车却发生了追尾事故，请结合所学知识分析事故原因．【答案】(1)，，；(2)安全初始距离的最小值是；(3)见解析．【分析】（1）设，将，；，代入求出、的值即可得出速度关于时间的一次函数解析式；设，将，；，；，代入求出、、的值即可得出路程关于时间的二次函数解析式，再求出时的、的值即可得出车辆从驶入水平测试直道到完全停下所行驶的总路程；（2）目标障碍物测试车行驶的路程为，要使得两辆车不会发生碰撞，则需要满足，则可推得，结合二次函数的最大值即可得的最小值；（3）由于雨天，使得地面摩擦力减小（答案不唯一）【详解】（1）解：设，将，；，代入，得，解得，速度关于时间的一次函数为；设，将，；，；，代入，得，解得，路程关于时间的二次函数为，当时，，即，此时，车辆从驶入水平测试直道到完全停下所行驶的总路程为．（2）解：目标障碍物测试车行驶的路程为，要使得两辆车不会发生碰撞，则需要满足，，，，当时，有最大值，最小为时才安全，安全初始距离的最小值是．（3）解：当时发生了追尾，可能是由于雨天，使得地面摩擦力减小，测试车从开始到最终停下的刹车距离大幅增加，导致测试车与目标障碍物测试车在安全距离即使大于了的情况下依然发生了追尾．1．（2026·山东青岛·一模）某航站楼正门为如图（1）所示的钢结构抛物线造型，其地面宽为，最高点离地面高度为．随着经济的发展，机场决定对航站楼进行扩建，将航站楼正门改造成如图（2）所示的双抛物线造型，整体造型呈轴对称图形，这样地面宽度达到．建立如图（3）所示的平面直角坐标系，解答下列问题：(1)求左侧抛物线的表达式，并求点离地面的高度；(2)直接写出右侧抛物线的表达式；(3)为提高设计的安全性，设计图纸中要求加装一个矩形的钢架，使点，点在抛物线上，点，点在地面上，其中，，三边需要用钢材拼接，求最多需要多少米钢材？(4)为减少通行阻碍，设计部门将加固方案改进，用和两根斜拉钢梁加固，其中，为两抛物线的顶点，，在抛物线上，且和交于点，求需用钢梁的总长度．【答案】(1)，点的离地高度为(2)(3)米(4)米【分析】（1）由题意，设段抛物线表达式，把代入可得，即可得段抛物线表达式，由题意可知点的横坐标为12，代入即可求解点的离地高度；（2）由题意可得，段抛物线顶点坐标为，，设段抛物线表达式，把代入可得，即可得段抛物线表达式；（3）设，则，，，设钢材长度为米，根据即可求解；（4）先求出的表达式为，联立抛物线即可求得的长，再根据对称性即可求解．【详解】（1）解：由题意可得，段抛物线顶点坐标为，∴设段抛物线表达式，把代入得，，解得：，，由题意知：，∴点的横坐标为12，当时，，∴抛物线的表达式为，点的离地高度为．（2）解：由题意可得，段抛物线顶点坐标为，，∴设段抛物线表达式，把代入得，，解得：，∴抛物线的表达式为．（3）解：抛物线的表达式，设，则，，，设钢材长度为米，则：，抛物线开口向下，当时，．∴最多需要米钢材．（4）解：由（3）可知，，，设直线的表达式为，得，解得，∴直线的表达式为，由，解得，，，，∴由对称性知需用钢梁的总长度为米．2．（2026·辽宁·一模）【问题背景】大连东港音乐喷泉是一座集音乐喷泉、水舞和灯光秀于一体的城市景观，是集机电一体、智能控制、水雾嬉戏、夜间光影于一身的现代化喷泉．喷泉以大海为背景，与璀璨夺目的国际会议中心遥相呼应、互为映衬，显示出海的风采、潮的韵律．定时喷放的音乐喷泉每天都会吸引大量市民前往观看．图1是音乐喷泉中常见的一组图形，它的每一条水流都可以看成是抛物线的一部分，这些抛物线都满足以下两点特征：1．它们都经过同一点；2．它们都在某一抛物线的内部，且分别与该抛物线有且仅有一个交点，我们把这条抛物线叫作以上各水流所在抛物线的“包络线”．【模型建立】我们以水流所在抛物线都经过的点为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，已知“包络线”的解析式满足：，水平面是直线，与“包络线”交于，两点（点在点的左侧），其中一条水流所在抛物线经过点．【解决问题】(1)当，时，①；②求抛物线的解析式．(2)若抛物线的顶点坐标为，求“包络线”的解析式．【答案】(1)①；②(2)【分析】（1）①将代入，再令，求出点与点得坐标，从而求出得值；②容易判断抛物线经过原点，故设，将点代入，得，则．联立两个抛物线可得，根据题意，只有一个交点，则，解得，从而得出抛物线的解析式；（2）根据抛物线顶点坐标，过点求出解析式为，联立两条抛物线可得，由，解得，从而得出“包络线”的解析式．【详解】（1）解：①∵，∴，将代入，得，，解得，∴点的坐标为，点的坐标为，∴；②由图可知，抛物线经过原点，故设抛物线的解析式为，将点代入，得，，∴，∴抛物线的解析式为，联立抛物线与抛物线，并消去，得，，整理，得，∵两条抛物线有且仅有一个交点，∴，整理，得，因式分解，得，解得，∴，∴抛物线的解析式为；（2）解：∵抛物线的顶点坐标为，∴设抛物线的解析式为，将点代入，得，，解得，∴抛物线的解析式为，联立抛物线与抛物线，并消去，得，，整理，得，∵两条抛物线有且仅有一个交点，∴，解得，∴“包络线”的解析式为．3．（2026·山西吕梁·二模）综合与实践问题情境：如图所示是甲、乙两名选手在某场羽毛球比赛中一个回合的示意图，其中是球距地面的高度，是球距原点的水平距离，甲在处以扣球方式击球，乙在处接球后以吊球方式回击．数学建模：扣球时羽毛球运动路线可近似看成一条直线，吊球时羽毛球运动路线可近似看成一条抛物线.已知赛场中间球网，双方最远边界到中间球网的水平距离均为．在比赛后通过“鹰眼”技术回放，得到如下信息：信息一：甲在点处击球时，距球网水平距离为，此时羽毛球距地面的高度，在击球后，羽毛球从球网正上方的处飞过，再过到达点.．信息二：乙在点处回击，经过后，与交于点.甲、乙击球后羽毛球均在水平方向上作匀速运动，其速度分别为，，且．问题解决：(1)求所在直线的表达式；(2)若乙回击球时，羽毛球在距离中间球网左边处到达最高点．①通过计算说明甲选择不接球是否正确（注：乙回击球时，若球出界，则甲得分；若球未出界，则甲需选择接球）；②在乙回击球的同时，甲面对羽毛球前进，前进过程中甲速度为，最高击球高度为．请直接判断出甲在前进的过程中能否接到球．【答案】(1)(2)①甲选择不接球是不正确的；②甲在前进的过程中能接到球【分析】（1）根据题意可得，，再利用待定系数法求表达式即可；（2）①根据题意，利用待定系数法求出羽毛球运行的解析式，再判断即可；②设甲前进到羽毛球正下方所需时间为，解得，结合题意判断即可．【详解】（1）解：由题意易得，点的坐标为，点的坐标为，设，将，代入，得，，∴所在直线的表达式为；（2）①由题意可知，在甲击球后经过飞行的水平距离为，，，，再过到达点，点的横坐标为，代入可得，故点的坐标为，乙在点处回击，经过后，与交于点，故此时羽毛球往回飞行的水平距离为，即点的横坐标为，代入可得，故点的坐标为，