26.4 实际问题与二次函数（基础达标）（解析版）

26.4实际问题与二次函数知识点一图形问题1．（2026·浙江杭州·一模）如图，小聪借助直角墙角建一个矩形花园，花园两边由总长为的篱笆围成，墙长，，则花园最大面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，则，求得的取值范围，再利用二次函数的性质即可解答．【详解】解：设，则，墙长，，，，解得，花园的面积，∴当时，花园面积最大，最大面积为．2．（24-25九年级上·广东广州·月考）如图，要使用长为米的篱笆，一面利用墙，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．(1)如果要围成面积为平方米的花圃，那么的长为多少米？(2)若墙的最大可用长度为米，当围成花圃的面积最大时，此时花圃的长和宽分别是多少米？【答案】(1)米或米(2)米，米【分析】（1）根据面积列方程进行解答即可；（2）根据面积列出二次函数解析式，根据二次函数的性质进行解答即可．【详解】（1）解：设米，则米，依题意得，解得，，答：如果要围成面积为平方米的花圃，那么的长为米或米；（2）解：设米，则米，花圃的面积为平方米，，墙的最大可用长度为米，，解得，当时，取得最大值，此时，，答：当围成花圃的面积最大时，此时花圃的长和宽分别是米，米．3．（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，矩形，点在边上，设的底边长为，边上的高为，它的面积为，且，是关于的函数，则的最大值为______．【答案】【分析】由，得到，利用三角形的面积公式即可得到与的函数关系式，根据二次函数的性质即可求解最大值．【详解】解：，，的底边长为，边上的高为，它的面积为，，，当时，有最大值，为．4．（25-26九年级下·福建龙岩·阶段检测）某青少年活动中心计划开辟一块劳动实践基地，利用一面墙用篱笆围成矩形菜地，如图所示，墙最大可利用长度为米，菜地中间用篱笆隔开，在边上设计了两个宽度为米的小门，方便同学们出入，边和两扇小门不用篱笆，一共用了米长的篱笆.(1)若设菜地的宽为米，则________米（用含的代数式表示）；且的取值范围是__________；(2)若围成的菜地面积为平方米，求此时的宽.(3)求这块菜地的最大面积？【答案】(1)，(2)米(3)平方米【分析】（1），可得米，结合，可求得的取值范围；（2）根据题意可得方程，解方程即可求得答案；（3）设菜地的面积为平方米，可得，根据二次函数的图象和性质，即可求得答案；【详解】（1）解：根据题意可知．根据题意可知米．根据题意可知，即解得．（2）解：根据题意，得．解方程，得，（舍去）．所以米．（3）解：设菜地的面积为平方米．根据题意，得．因为是的二次函数，该函数图象开口向下，对称轴为，当时，随的增大而减小，且，所以当时，可以取得最大值，最大值为平方米．知识点二拱桥问题1．（25-26八年级下·黑龙江绥化·月考）如图所示的拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为米时，水面的宽度为（

）A．8米 B．9米 C．10米 D．11米【答案】C【分析】令，解方程即可求出水面的宽度．【详解】解：根据题意，令，得：，解得：，，所以水面宽为：米．2．（25-26九年级上·河南新乡·期末）如图，一辆宽为的货车要通过跨度为，拱高为的单行抛物线形隧道（从正中通过），抛物线满足表达式，为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有的距离，则货车的限高应是________m．【答案】4【分析】本题考查了二次函数的应用，求函数值，理解题意是解题的关键．根据题意，先将代入，求得，然后结合车顶离隧道的顶部至少要有的距离，即可求得答案．【详解】解：由题意可知，当时，，∵为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有的距离，∴货车的限高应是，故答案为：4．3．（25-26九年级上·江苏泰州·月考）有一座抛物线型拱桥，当水面与桥孔的顶部相距时，桥孔内水面宽为．(1)如图，以拱顶为坐标原点建立坐标系，求出该抛物线解析式；(2)一艘装有防汛器材的运输船，露出水面部分的宽为，高为．要使该船顺利通过桥孔，水面与拱顶至少相距多少？【答案】(1)(2)米【分析】本题主要考查了二次函数的应用．（1）设抛物线解析式为，代入，待定系数法求解析式即可求解；（2）将代入，得出，进而加上船的高度，即可求解．【详解】（1）解：设抛物线解析式为，依题意，点在抛物线上∴，解得：，∴；（2）解：当时，∴水面与拱顶的高度为米．4．（2026·山西阳泉·二模）综合与实践问题情境：旧城区改造是提升居民生活品质的重要工程．如图①是某改造小区，该小区大门轮廓形状可视为抛物线型，因通行安全性和美观性不足，计划将其改造为“矩形+近似抛物线型”的组合型门，其截面图如图②所示．数据收集；改造后组合型门宽为8米，矩形部分的高为2米，抛物线部分的顶点到地面的距离为6米．数学建模：如图②，以所在直线为轴，线段的中垂线为轴（抛物线的对称轴），建立平面直角坐标系．问题解决：(1)求改造后抛物线部分的函数表达式；(2)为保障通行安全，需在距离地面高米的门上安装两个摄像头，用于监控拱门通行情况，求两个摄像头之间的水平距离；(3)已知门正中间设有隔离带（关于轴对称），为了安全起见，改造后的大门必须保证消防车等应急车辆能正常通行，若消防车的宽为米，高为米，要保证消防车均可从大门两通道处通过，请直接写出隔离带的宽的最大值（消防车与隔离带的间距忽略不计）．【答案】(1)(2)米(3)0.8米【分析】（1）设抛物线所对应的函数表达式为，将点代入所设解析式求出a的值即可得出函数解析式；（2）将代入解析式求出x的值，将所求x的值，再相减可得答案；（3）求出时，求出x的值，再减去，进而可得答案．【详解】（1）解：连接，由题意可知，四边形是矩形，∵门宽为8米，矩形部分的高为2米，抛物线部分的顶点到地面的距离为6米，∴，，，∴，由题意，设抛物线所对应的函数表达式为，将点代入，得，解得，该抛物线所对应的函数表达式为；（2）解：∵需在距离地面高米的门上安装两个摄像头，∴将代入抛物线，得，解得：，∴两个摄像头之间的水平距离为：（米）；（3）解：∵消防车的宽为米，高为米，∴将代入抛物线，得，解得：，∵消防车的宽为米，∴（米），∴隔离带的宽的最大值为（米）．知识点三投球问题1．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，某男生掷实心球，实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的关系式为，则此次实心球训练的成绩为（

）A．9米 B．8米 C．7米 D．6米【答案】B【分析】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义．此次实心球训练的成绩就是抛物线与轴交点的横坐标，即当时，求的值即可．【详解】解：当实心球落地时，，即，解得，，因为水平距离不能为负数，所以舍去，则此次实心球训练的成绩为米，故选：．2．（25-26九年级上·广西梧州·期末）如图，在某次篮球训练中，小张在距篮圈中心的水平距离处跳起投篮，球运行的路线是抛物线．当球运行的水平距离为时达到最大高度，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离是，则此时抛物线的函数关系式是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】此题主要考查了二次函数的应用．设抛物线的表达式为，根据题意得，抛物线过点，由此可得的值，即可求解．【详解】解：∵当球运行的水平距离为米时，达到最大高度米，

∴抛物线的顶点坐标为，∴设抛物线的表达式为．根据题意得，抛物线过点．∴，解得∶，∴抛物线的表达式为．故选∶B．3．（2026·山东临沂·一模）如图，一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系式为：．有下列结论：①该男生推铅球出手时，铅球的高度为；②铅球飞行至水平距离时，达到最大高度，最大高度为；③铅球落地时的水平距离为．其中，正确结论的序号是____________．【答案】②③/③②【分析】对于①，计算时，的值即可判断；对于②，将一般式化为顶点式，根据顶点坐标即可判断；对于③，计算时，的值即可判断．【详解】解：对于①：将代入，得，∴出手高度为，故①错误；对于②：，∴顶点坐标为，故②正确；对于③：将代入，得，整理，得，解得或（负值，舍去），∴铅球落地时的水平距离为，故③正确．4．（2026·广东珠海·一模）掷实心球是某市中考体育考试选考项目．小强为了解自己实心球的训练情况，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况，建立如图所示的平面直角坐标系，在一次投掷中，实心球从轴上的点处出手，运动路径可看作抛物线的一部分，实心球在最高点的坐标为，落在轴上的点处．(1)求抛物线的解析式；(2)小强在练习实心球时，他的正前方距离投掷点9米处有一个身高米的小朋友在玩耍，问该小朋友是否有危险（如果实心球在小孩头顶上方飞出为平安，否则视为危险），请说明理由．【答案】(1)(2)该小朋友有危险，理由见解析【分析】（1）根据抛物线的顶点为可以设解析式为，再将点代入求解即可；（2）根据题意将代入解析式求解即可判断．【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为，∴设抛物线的顶点式为：，将出手点代入解析式：解得，∴抛物线的解析式为；（2）解：该小朋友有危险，理由如下：由题意得，将代入抛物线解析式，得（米），∵小朋友身高为米，∴，∴该小朋友有危险．知识点四喷水问题1．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度（单位：）与它距离喷头的水平距离（单位：）之间满足函数关系式，则喷出水珠的最大高度是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了二次函数的应用．把二次函数化为顶点式，进而即可求解．【详解】解：∵，∴当时，，即喷出水珠的最大高度是．故选：B．2．（25-26九年级上·江苏南通·期末）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中的运行路线是抛物线的一部分，则水喷出的最远水平距离是（）A．5米 B．4米 C．3米 D．2米【答案】B【分析】本题主要考查了二次函数的应用．水喷出的最远水平距离即为抛物线与x轴交点的横坐标差的绝对值，据此解答即可．【详解】解：令，解得或，∴抛物线与x轴交于点和，∴水喷出的最远水平距离是（米）．故选：B．3．（2026·陕西咸阳·一模）将科技元素与农业资源相结合，是推动农业现代化、提升农业生产效率和效益的重要途径．某农田引进了一台移动喷灌机，如图，灌溉机喷出的两条水流具有相同的抛物线形状，而且左、右两条抛物线关于y轴对称．按照图中的平面直角坐标系，左面的一条抛物线可以用表示．(1)求水流的最高点到地面的距离；(2)求左、右两条水流最高点之间的距离．【答案】(1)水流的最高点到地面的距离为10米(2)左、右两条水流最高点之间的距离为6米【分析】（1）将二次函数转化为顶点式进行求解即可；（2）根据点关于轴对称的性质进行求解即可．【详解】（1）解：由题意得，，∴抛物线的顶点坐标为，∴水流最高点到地面的距离为10米；（2）解：∵左、右两条抛物线关于轴对称，∴左边抛物线的顶点为，其关于轴的对称点即为右边抛物线的顶点，∴左、右两条水流最高点之间的距离为：米．4．（2026·山西晋城·一模）如图（1）市政灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地高度为1.6米．如图（2），可以把灌溉车喷出水的上下边缘抽象为平面直角坐标系中的两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，上边缘抛物线的最高点A离喷水口H的水平距离为2米，高出喷水口0.2米，灌溉车到绿化带底部边线的距离为d米．(1)求上边缘喷出水的最大射程；(2)灌溉车在行驶中，下边缘喷出的水始终能保证浇灌到绿化带最下方．当米时，请通过计算说明上边缘喷出的水能否浇灌到绿化带最上方，使整个绿化带都被浇灌．如不能，喷水车应该怎样操作才能恰好使整个绿化带都被浇灌．【答案】(1)上边缘喷出水的最大射程为8米(2)当米时，上边缘喷出的水不能浇灌到绿化带最上方；灌溉车需向绿化带方向移动米或使米，才能恰好使整个绿化带都被浇灌【分析】（1）易得上边缘抛物线的顶点坐标为，用顶点式表示出抛物线的解析式，把点H的坐标代入可得a的值，即可求得抛物线的解析式，取，求得合适的x的值，即为上边缘喷出水的最大射程；（2）易得点E的横坐标为7，取，代入（1）中得到的解析式，求得y的值，与的高0.9比较即可判断上边缘喷出的水能否浇灌到绿化带最上方，使整个绿化带都被浇灌．【详解】（1）解：根据题意可得