25.3 实际问题与一元二次方程（能力提升）（原卷版）

.3实际问题与一元二次方程知识点一营销问题（一元二次方程的应用）1．（25-26九年级上·江苏扬州·月考）中秋节来临之际某商场经销一种月饼，原价每盒元，连续两次降价后每盒元，若每次下降的百分率相同．(1)求每次下降的百分率．(2)若每盒盈利元，每天可售出盒，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施若每盒涨价1元，日销售量将减少盒，现该商场要保证每天盈利元，且要尽快减少库存，那么每盒应涨价多少元？2．（2026·河南周口·一模）为助力乡村振兴，河南某乡村合作社售卖铁棍山药，已知山药进价为15元/斤，销售单价x（元/斤）与月销售量y（斤）满足一次函数关系：，若合作社每月销售山药获利3000元，并让顾客得到最大优惠，则销售单价为（

）A．20元 B．25元 C．30元 D．35元3．（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个．为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．(1)降价5元时，日销量增加了多少个？(2)当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？4．（2026·河南洛阳·一模）根据以下素材，完成任务．素材1：优优生鲜超市月份在某配送平台开展外送服务．已知该超市月份第一周在该配送平台完成订单单，月份第三周完成订单单．素材2：该配送平台每单的配送成本为4元，当每单配送费定为8元时，日订单量为单；若配送费每提高1元，日订单量将减少单．问题解决任务：(1)求该超市月份第一周到第三周在该配送平台的订单量的周平均增长率；(2)为使在该配送平台日利润达到元，且尽可能降低用户的配送成本，则每单实际配送费应定为多少元？知识点二工程问题（一元二次方程的应用）1．（25-26九年级上·重庆渝北·期末）列方程解下列问题：某大型腊肉加工厂只加工甲、乙两种腊肉礼盒，已知每名工人每天加工甲种腊肉礼盒数量是加工乙种腊肉礼盒数量的1.5倍．某天，当分配加工甲种腊肉礼盒的工人比加工乙种腊肉礼盒的工人少20人时，当天加工出厂的甲、乙种腊肉礼盒数量均为14400个．(1)求每名工人每天加工甲、乙两种腊肉礼盒数量各多少个？(2)春节将至，订单激增．该厂一方面对所有工人重新分配：名加工乙种腊肉礼盒，其余的工人加工甲种腊肉礼盒：另一方面提高生产效率：每名工人每天加工乙种腊肉礼盒比以前增加个，每名工人每天加工甲种腊肉礼盒比以前增加个．已知该厂每天加工的甲、乙两种腊肉礼盒共36000个，求的值．2．（25-26九年级上·陕西咸阳·月考）“万里无云镜九州，最团圆夜是中秋．”临近中秋节，某月饼厂接到一笔盒月饼的订单，现决定由甲、乙两组共同完成，已知两组同时开工，甲组加工天，乙组加工8天就能完成这笔订单，且甲组3天加工的月饼数量比乙组2天加工的月饼数量多盒．(1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少盒月饼；(2)甲、乙两组同时开工2天后，这笔订单临时又增加了盒月饼，甲组从第3天起提高了工作效率，而乙组的工作效率不变，并提前完成了这笔订单．经调研发现，若甲组平均每天每多加工盒月饼，则甲、乙两组就各自都提前1天完成任务，已知甲、乙两组加工的天数均为整数，则甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前多少天完成了这笔订单？知识点三行程问题（一元二次方程的应用）1．（25-26九年级上·广东深圳·期中）《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率五，乙行率二．乙东行，甲南行八步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为5，乙的速度为2．乙一直往东走，甲先向南走8步（步是古代的长度单位），后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲乙各走了多少步？设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是x，下列方程正确的（

）A． B．C． D．2．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·月考）新疆阿勒泰有“中国雪都”之称，很多滑雪爱好者都到将军山滑雪场滑雪．已知滑行距离（单位：m）与滑行时间（单位：s）之间的关系是．若某滑雪者在山坡上的出发点和终点的距离是176m，他需要______s能到达终点．3．（25-26九年级上·广西柳州·月考）在物理中，沿着一条直线且速度均匀增大或减小的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时段内，初速度为20米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为米/秒．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，小球的滚动速度平均每秒减少2米/秒，小球滚动24米用了______秒．4．（25-26九年级上·江苏南通·期末）一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止滚动．(1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？(2)小球滚动用了多少秒（结果保留根号）？（提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．）知识点四图表信息问题（一元二次方程的应用）1．（25-26九年级上·福建漳州·期中）如图是今年某月的日历表，小欧用一个平行四边形，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是264，求小欧框出的最小数．2．（25-26九年级上·全国·期末）某电厂规定，该厂家属区每户居民如果一个月的用电量不超过a度，那么这居民这个月只需缴30元电费；如果超过a度，那么这个月除了仍要缴30元的用电费以外，超过的部分还要每度按元缴费．(1)若该厂某户居民2月份用电度，超过了规定的a度，则超过的部分应缴电费多少元（用a表示）；(2)如表是这户居民3月、4月用电情况和缴费情况：月份用电量（度）缴电费总数（元）31206246530请根据如表数据，求出电厂规定的a的值．3．（25-26九年级上·陕西汉中·月考）【观察思考】围棋起源于中国，至今已有4000多年的历史，围棋使用圆形黑、白两色棋子在方形格状的棋盘上对弈．如图是用黑、白两色围棋子摆出的一组有规律的“箭头”图案．【规律发现】（1）按此规律继续摆下去，第（为正整数）个图案中，白棋有____________个，黑棋有____________个；（用含的代数式表示）【规律应用】（2）若在第个图案中，黑棋和白棋的数量之积为253，求的值．知识点五握手、循环赛问题（一元二次方程的应用）1．（24-25八年级下·全国·课后作业）一次会议上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，有人统计一共握了66次手．若设这次会议到会的人数为，依题意可列方程（

）A． B．C． D．2．（25-26九年级上·云南西双版纳·期末）云南省城市足球联赛（滇超联赛）是云南历史上规模最大的省级足球赛事，于2025年11月29日在玉溪高原体育运动中心主体育场揭幕，小组赛每支球队与其他球队各赛一场，采用单循环赛制，总计将进行120场比赛．设有支球队参加比赛，可列方程为（

）A． B．C． D．3．（2026·黑龙江牡丹江·一模）毕业前夕，九年级某班的同学每人将一份礼物与其他每一位同学互赠，作为毕业纪念，全班共赠出1806件礼物，那么这个班级共有学生（）A．40人 B．41人 C．42人 D．43人4．（25-26八年级下·安徽安庆·期中）中国声谷是合肥高新区的国家级人工智能产业基地，是合肥“科创名城”的核心名片．在2025年“中国声谷杯”全国大学生人工智能创新大赛的初赛阶段，参赛的每两个队伍之间都需要进行一场项目路演答辩（单循环赛制），共进行了105场比拼．设共有个队伍参加初赛，则下列方程符合题意的是（

）A． B．C． D．知识点一动态几何问题（一元二次方程的应用）1．（25-26八年级下·浙江湖州·期中）如图，在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒．(1)填空：，．（用含的代数式表示）(2)当五边形的面积等于时，求此时的值．(3)是否存在的值，使线段的长度最小，若存在，请求出此时的值和最小值，若不存在，请说明理由．2．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，，，，，垂足为．甲虫由点以的速度沿向点爬行，同时乙虫由点以的速度沿向点爬行，当乙虫到达目的地点时，甲乙两虫停止爬行．（1）则在_______秒时，甲、乙两虫所在位置与点组成的三角形是等腰三角形．（2）则在_______秒时，甲、乙两虫所在位置与点组成的三角形的面积等于．3．（25-26八年级下·北京·课后作业）如图，在长方形中，，，点P以的速度从顶点A出发，沿折线向点C运动，同时点Q以的速度从顶点C出发，沿向点D运动，当其中一个动点到达终点时，另一点也随之停止运动．(1)两动点运动