26.3 二次函数与一元二次方程（第2课时 一元二次方程问题转化为二次函数问题）导学案（解析版）

.3二次函数与一元二次方程（第二课时一元二次方程问题转化为二次函数问题）（导学案）（1）掌握利用二次函数图象确定一元二次方程根的取值范围、求解近似根的方法；理解二次函数与水平直线交点横坐标对应对应一元二次方程的根；能综合运用函数与方程关系解决基础数形综合问题.（2）经历“观察图象—锁定根的区间—取值验证—逼近近似根”的完整探究过程，掌握逼近法、数形结合法，提升图象分析、数据估算、代数几何转化的综合能力.（3）体会数学方法的灵活性与互补性（代数精确求解、几何近似估算），感受数形结合思想的实用价值，培养严谨的探究精神和精准的运算习惯，提升数学应用意识.重点：利用二次函数图象确定一元二次方程根的取值范围、求解近似根；理解二次函数y=ax+bx+c与直线y=h的交点横坐标与方程ax+bx+c=h根的对应关系.难点：掌握“逐步逼近法”估算一元二次方程近似根的思路与操作步骤，精准缩小根的取值区间；灵活综合运用数形结合思想，结合函数图象特征分析方程根的情况，实现数与形的灵活转化.第一环节自主学习温故知新：创设情景，引入新课回顾提问：（1）二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴交点，对应哪个一元二次方程的根？（2）当△>0时，方程根和函数图象分别有什么特征？设问激趣：对于方程x-2x-2=0，尝试用公式法求解，计算过程较为烦琐，有没有更简便的方法快速求出方程的近似根？【学法指导】新知自研：自研课本第49-50页的内容【学法指导】自研课本P49-50页内容（一）利用二次函数图象求方程近似根活动1.利用函数图象求方程x²-2x-2=0的根的近似值(结果保留小数点后一位).已知二次函数y=x²-2x-2，列表取值，画出函数y=x²-2x-2的图象.它与x轴的公共点的横坐标大约是0.7，2.7.追问1.横坐标为什么用大约？由于画图或观察可能存在误差，所以由函数图象求得的相应方程的根，一般是近似的.所以方程x²-2x-2=0的实数根为.活动2.通过不断缩小根所在的范围，估计一元二次方程的根.观察函数y=x²-2x-2的图象，可以发现:点(2，一2)在x轴的下方，引导学生观察：当x=2时，y=-<0；当x=3时，y=1>0。结论：函数图象在2<3之间穿过x轴，因此方程x²-2x-2=0必有一个根在2和3之间。同理可探究出另一个根在-1和0之间。逐步逼近，缩小区间细化2－3之间的取值，精准缩小区间：当x=2.7时，y=-0.11<0当x=2.8时，y=0.24>0可得：根在2.7－2.8之间再次细化取值：当x=2.73时，y≈-0.017<0当x=2.74时，y≈0.0176>0可得：根近似为2.73（保留两位小数）.（二）利用二次函数图象求一元二次方程近似根步骤活动3.讨论归纳利用二次函数图象求一元二次方程近似根步骤：①构造二次函数y=ax²+bx+c；②取值计算，根据函数值正负交替锁定根的取值区间；③逐步细化自变量取值，缩小区间范围；④根据精度要求，确定方程的近似实数根.知识拓展方程ax²+bx+c=h（h为常数）的根二次函数y=ax²+bx+c与直线y=h交点的横坐标.（三）利用二次函数图象解决相关问题将与二次函数的相关问题转化为二次函数问题，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．活动4.如图，已知二次函数图象经过点和．

(1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标；(2)当时，求该二次函数的函数值y的取值范围．【分析】（1）待定系数法求出函数解析式，转化为顶点式，求出顶点坐标；（2）根据二次函数的性质，进行求解即可．熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键．【详解】（1）解：把和代入，得：，解得：，∴，∴，∴顶点坐标为；（2）∵，∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，∵，∴当时，有最大值为：，当时，有最小值为：，∴．【自研自探】自研课本P49-50页内容典型例题例1.利用二次函数图象，求一元二次方程x²-4x+1=0的近似根（结果保留一位小数）【分析】考查核心：二次函数图象与一元二次方程近似根的求解、逐步逼近法的规范应用；解题思路：先构造对应二次函数，通过取值锁定根的大致区间，再逐步细化取值、缩小区间，最后根据精度要求确定近似根；题型价值：规范学生解题步骤，强化区间判断、正负分析、精准估算的核心能力，夯实本节课重点知识.【详解】解：1.构造函数.设二次函数y=x²-4x+1，方程x²-4x+1=0的根即为该函数图象与x轴交点的横坐标.2.取值列表，锁定大致区间x…01234…y…1-2-3-21…由函数值正负可得：当0～1时，函数值由正变负，存在一个实数根；当3～4时，函数值由负变正，存在一个实数根.3.逐步逼近，细化第一个根（0～1之间）x=0.2，y=0.04-0.8+1=0.24>0x=0.3，y=0.09-1.2+1=-0.11<0根在0.2～0.3之间；x=0.27，y≈-0.007<0x=0.26，y≈0.0076>0结合精度要求（保留一位小数），得第一个近似根：x≈0.3逐步逼近，细化第二个根（3～4之间）x=3.7，y≈-0.11<0x=3.8，y≈0.24>0结合精度要求，得第二个近似根：x≈3.7最终结论：方程x²-4x+1=0的近似根为x1≈0.3，x例2.如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，方程的两个根是2和4，则方程就是“倍根方程”．(1)若一元二次方程是“倍根方程”，则；(2)若是“倍根方程”，求代数式的值；(3)若方程是倍根方程，且相异两点，，都在抛物线上，求一元二次方程的根．【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程的解和解一元二次方程，抛物线与x轴的交点与其相关一元二次方程的解的关系等知识．掌握若，是一元二次方程的两根时，和是解题关键．（1）由一元二次方程根的判别式判断c的取值范围．设一元二次方程的两个根分别为p和q，由根与系数的关系和“倍根方程”的定义即可得出关于p，q的二元一次方程组，解出p，q，再代入中，解出c即可；（2）解出该方程得：，．根据“倍根方程”的定义可分类讨论①当时和②当时，求出n的值，然后代入求值即可；（3）设方程的两个根分别为和，不妨设．由题意可求出该抛物线的对称轴为，再结合二次函数和一元二次方程的关系可得出．最后解出和即可．【详解】（1）解：根据题意可知，∴．设一元二次方程的两个根分别为p和q，则．∵一元二次方程是“倍根方程”，∴可设，即，解得：．将代入，得，解得：，符合题意．故答案为：2；（2）解：解，得，，∵是“倍根方程”，∴或，∴或，当时，，当时，，∴或；（3）解：∵方程是“倍根方程”，不妨设，∵相异两点，，都在抛物线上，∴由抛物线的对称轴为，∴，又∵，∴，∴，∴即的两根分别为，．第二环节合作探究1.讨论如何利用二次函数图象求方程近似根？2.讨论利用二次函数图象求一元二次方程近似根步骤？3.讨论如何利用二次函数图象解决方程不等式等相关问题？拓展提升：1.如图，，两点在二次函数与一次函数图像上．

(1)求的值和二次函数的解析式．(2)请直接写出使时，自变量的取值范围．【详解】（1）解：∵点在一次函数的图像上，∴，解得：，∵，两点在二次函数的图像上，∴，解得，∴二次函数的解析式为，∴，二次函数的解析式为；（2）由图像可知，当时，二次函数的图像在一次函数图像的下方，∴当时，自变量的取值范围是．故答案为：．课本P50课堂练习.1．（2026年江西省中考）如图，观察函数的图象，可以发现方程在0，1之间有根．取0，1的平均数0.5，当时，，进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程另一根更接近的是（

）A． B． C． D．【详解】解：设方程的两个根为，x2，，，，由一元二次方程根与系数关系可知，∵已知在0.5与1之间，，当x在0.5和1之间时，∴另一根x2在与之间，取，，当时，，在与之间，到的距离，x2到的距离，到的距离小于x2到的距离，∴与另一根更接近的是．2.（2025.泰安校考）已知二次函数．

(1)二次函数图象与轴的交点坐标是，轴的交点坐标是，顶点坐标是；(2)在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象；(3)当时，结合函数图象，直接写出的取值范围．【详解】（1）解：令，则，解得：，∴二次函数图象与轴的交点坐标是，，令，解得：，∴二次函数图象与轴的交点坐标是；∵，∴该二次函数图象顶点坐标为；故答案为：，；；．（2）解：列表：描点，连线，如图：

；（3）解：由图象可知，当时，．故答案为：．3．（2025•连云港）已知二次函数y＝x2+2（a+1）x+3a2﹣2a+3，a为常数．（1）若该二次函数的图象与直线y＝2a2有两个交点，求a的取值范围；（2）若该二次函数的图象与x轴有交点，求a的值；（3）求证：该二次函数的图象不经过原点．【解答】（1）解：∵二次函数y＝x2+2（a+1）x+3a2﹣2a+3中，1＞0，∴二次函数的图象开口向上，∵二次函数的图象与直线y＝2a2有两个交点，∴函数的最小值小于2a2，则4(3a即2a2﹣4a+2＜2a2，解得a＞（2）解：∵二次函数的图象与x轴有交点，∴Δ＝4（a+1）2﹣4×1×（3a2﹣2a+3）＝﹣8a2+16a﹣8＝﹣8（a﹣1）2≥0，∴8（a﹣1）2≤0，又∵8（a﹣1）2≥0，∴8（a﹣1）2＝0，解得a＝1；（3）证明：∵当x＝0时，y=3a∴二次函数的图象不经过原点．知识技能：（1）基础对应关系：ax2+bx+c=0的根是抛物线与x轴（y=0）交点横坐标；ax2+bx+c=h的根是抛物线与直线y=h交点横坐标.（2）核心技能：掌握“构造函数—锁定区间—逐步逼近—确定近似根”的一元二次方程近似根求解方法.（3）判断依据：函数图象连续，区间两端函数值正负相反，则区间内必有一个实数根.思想方法：（1）数形结合思想：以形助数，利用函数图象直观解决代数方程的求根问题.（2）逐步逼近思想：通过不断缩小取值区