第25章 一元二次方程（四大考点＋四大易错＋易错训练）（知识清单）（原卷版）

第二十五章一元二次方程知识点一一元二次方程的有关概念1.定义只含有_______未知数，并且未知数的最高次数是_______，且是_______方程，叫做一元二次方程。三个必备条件：①一个未知数；②最高次数为2；③整式方程（分母不含未知数、无根号含未知数）。2.一般形式aa：______________，_______是核心前提（a=0则变成b：______________，可为0；c：______________，可为0。3.方程的根使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解（根）。已知根可代入方程求参数。知识点二一元二次方程的解法1.直接开平方法适用形式：x2=n要求：n≥0才有实数根；n2.因式分解法（首选最快）步骤：移项使右边=0→左边因式分解→令每个因式=0→直接得根。常用：______________、______________、______________、______________。3.配方法（必考基础）步骤：二次项系数化为_______→移_______→____________________________→写成完全平方→开方求解。作用：推导求根公式、求最值、代数式配方。4.公式法（万能解法）通用公式：x步骤：化为一般式→找a、b、c→算Δ→代入公式。知识点三根的判别式、根与系数的关系（韦达定理）1.根的判别式Δ=Δ>0：方程有______________Δ=0：方程有______________Δ<0：方程没有含参题型：根据根的情况列不等式，求参数取值范围，务必保留a≠2.韦达定理（根与系数关系）若ax2+bx+c=x3.常用变形求值x1|注意：使用韦达定理前提：方程必须有实数根（Δ≥0知识点四列一元二次方程解应用题1.解题六步骤审（审题找等量）→_______（设未知数）→_______（列方程）→_______（解方程）→_______（验方程+实际）→_______（规范作答）2.四大必考模型增长率问题：a面积问题：道路、边框、裁剪图形，利用面积差列方程销售利润问题：单件利润×销量=总利润传播、分支问题：病毒传播、树枝分支递增模型易错点1求参数时忽略二次方程的定义易错提醒易错点总结 1.含参数方程题目，只考虑根的情况、方程解的情况，忘记保证二次项系数a≠0。 2.参数求解后不检验，出现a=0仍然保留解，使一元二次方程退化为一次方程，导致整题错误。 3.题目明确说是“一元二次方程”，却忽略最高次数为2的隐藏条件。注意事项总结 1.只要题干出现一元二次方程，第一条件必写：二次项系数≠0。 2.求参数取值范围时，必须同时满足判别式条件且a≠0。 3.算出参数后代回检验，舍去使二次项系数为0的解。【对点训练】1．若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（

）A． B． C．或 D．或

易错点2利用根与系数的关系求参数的时忽略有实数根的前提易错提醒易错点总结 1.直接套用韦达定理、，忘记前提Δ≥0。 2.算出参数后不验证方程是否真的存在实数根，出现无实数根仍用韦达的错误。 3.只看式子代数成立，忽略“无根时韦达定理不能用”的规则，造成答案多解、错解。注意事项总结 1.韦达定理使用铁律：必须有实数根Δ≥0。 2.含参韦达题型解题顺序：先列式求值→再用Δ≥0筛解。 3.最终参数取值必须同时满足a≠0、Δ≥0双重条件。【对点训练】2．已知关于的一元二次方程有两个实数根．(1)求实数的取值范围；(2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值．易错点3解二次方程时的常见错误易错提醒易错点总结 1.因式分解法漏根、丢根，直接除以含未知数式子导致少一个解。 2.配方法时常数项移项符号错、配方时漏加平方数。 3.公式法代错a、b、c符号，负号频繁出错、判别式算错。 4.开平方法只写正根、漏掉负根，出现单解丢分。注意事项总结 1.解方程严禁两边同除含未知数式子，防止丢根。 2.配方法牢记：移项变号、两边同时加“一次项系数一半的平方”。 3.公式法先整理成标准式，再代入a、b、c，先算Δ再求根。 4.完全平方开方必须带±，保证两根齐全。【对点训练】3．下面分别是甲、乙两位同学解方程的过程．甲同学解：第一步第二步乙同学解：∵第一步∴

第二步∴第三步即，第四步(1)甲、乙两位同学的解题过程都出现了错误，甲同学是第步开始出现错误，乙同学是第步开始出现错误；(2)从两个方程中任选一个进行正确解答．易错点4实际应用问题中忽略未知数的实际意义易错提醒易错点总结1.应用题解出两根，不舍去负数解、不合理解，直接双解作答。2.增长率、边长、人数、价格等出现负数、小数、超范围数值，不筛选。3.只解方程不验实际，数学成立但现实不成立，造成大题扣分。注意事项总结1.应用题必须两步检验：检验方程、检验实际意义。2.长度、人数、增长率、价格：负数一律舍去。3.超出题目限定范围（如增长率不超1、边长超图形范围）的根全部舍去。4.最终答案一定符合生活实际，不盲目照搬方程解。【对点训练】4．小西家有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，小西打算利用围墙和木栏围一块长方形养蜂场，已知木栏总长为米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为米的门，门不消耗木栏，设长为米．(1)如图①，当时，①___________米（用含的代数式表示）．②若围成的养蜂场面积为平方米，求的长．(2)如图②，当时，养蜂场的面积是否可以达到平方米？请说明理由．

一、单选题1．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（

）A． B． C． D．2．若关于的方程有实数根，则的取值范围是（

）A． B． C．且 D．且3．定义运算：，例如，时，．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（

）A． B． C． D．4．若关于x的一元二次方程的两根互为倒数，则k的值为（

）A． B．2 C．2或 D．15．已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（

）A． B． C． D．二、填空题6．已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是______________．7．若关于的一元二次方程有两个相等实数根，则的值是________．8．已知的两个根为，则_______，_______，_______，_______，_______．9．若，是方程的两个实数根，则的值为______．10．已知关于x的方程的两根分别为，，则________．三、解答题11．解一元二次方程：(1)；(2)．

12．阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程可化为，①解得，．当时，，，．当时，，，．原方程的解为，，，．以上方法就叫换元法，体现了转化的思想．请仿照材料解决问题：(1)解方程：．(2)若四个连续正整数的积为，求出这四个连续的正整数．13．已知关于的方程．(1)求证：无论取何值，方程一定有两个实数根；(2)若等腰的边长，另两边长，恰好是这个方程的根，求的周长．14．某网店销售一批同款护眼台灯，在销售过程中发现，这款护眼台灯销售单价为元时，每星期卖出个．如果调整销售单价，每降价元，每星期就可以多卖出个．现网店决定降价销售，设销售单价为元，每星期的销售量为个．(1)关于的函数解析式为