考点01 一元二次方程的概念（3考点5题型＋能力强化）（原卷版）

考点01一元二次方程的概念考点一：一元二次方程的定义（必考点）只含有一个未知数（一元），未知数的最高次数是2（二次），且等号两边都是整式的方程，叫做一元二次方程。例：下列方程是一元二次方程的是（）A.x2-3x=0B.2x+1=0C.x考点二：一元二次方程的一般形式（高频考点）一般形式（精准识记）：aax2：二次项，a：二次项系数（bx：一次项，b：一次项系数（可为0）；c：常数项（可为0）。例：将方程(x-2)(x+3)=1化为一般形式，并写出各项系数。考点三：一元二次方程的根（基础考点）使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的根（或解）。例：已知x=1是方程x2+kx-2=0的根，求k题型一：一元二次方程的定义三大核心条件（缺一不可·点方法）判断方法模板：先化简→再判断（三步验证）整式方程：分母不含未知数，无根号含未知数（验证：看分母、根号内是否有未知数，如1x2+1=0、一元：仅含1个未知数（验证：看方程中未知数的个数，如x2+y=1含二次：化简后未知数最高次数为2，且二次项系数≠0（验证：合并同类项后，看最高次项次数和系数）。易错点1：不化简直接判断（陷阱）：如(x+1)2=x2+3易错点2：忽略二次项系数不为0（陷阱）：二次项系数含参数时，易忘记“系数≠0”的前提；

解决方法：若方程为一元二次方程，先明确“二次项系数≠0”，再结合最高次数为2求解参数（如(a-2)x2+3x=0是一元二次方程，则例：（25-26九年级上·江苏扬州·月考）下列方程中，关于的一元二次方程的是（

）A． B． C． D．【变式1-1】（25-26九年级上·辽宁丹东·期中）下列方程中，不是一元二次方程的是（

）A． B．C． D．【变式1-2】（25-26八年级上·上海嘉定·期中）下列方程中是一元二次方程的是（）A． B． C． D．【变式1-3】（25-26九年级上·全国·期中）下列方程中，一元二次方程有（

）①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧．A．个 B．个 C．个 D．个题型二：一元二次方程的一般形式化一般形式的步骤（点方法·定步骤）1.去分母：等式两边同乘所有分母的最小公倍数（无分母可省略）；2.去括号：遵循“括号前是正号，去括号不变号；括号前是负号，去括号全变号”；3.移项：将所有项移到等式左边，右边化为0（移项要变号）；4.合并同类项：将同类项合并，按二次项→一次项→常数项排列，二次项系数化为正整数（习惯要求，便于后续解题）。易错点1：写系数时不带符号（陷阱）：如-2x2+3x-1=0，易误将二次项系数写为2、常数项写为1a≠0易错点2：忽略的前提（陷阱）：易误认为ax2+bx+c=0一定是一元二次方程；

解决方法：牢记“a≠0”是一元二次方程一般形式的前提，若a=0，则方程变为例：（25-26九年级上·山西临汾·期末）将一元二次方程化为一般形式，正确的是（

）A． B．C． D．【变式2-1】（25-26九年级上·河南许昌·期末）将方程化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（

）A．2，3 B． C．2，7 D．【变式2-2】（24-25九年级上·辽宁·期末）将一元二次方程化为的形式，则，，的值分别为（

）A．，， B．，， C．，， D．，，【变式2-3】（25-26九年级上·云南曲靖·期末）将一元二次方程化为的形式，则___________．【变式2-4】（25-26九年级上·陕西商洛·期中）将二次函数化为一般形式，并指出其二次项系数、一次项系数和常数项．题型三：一元二次方程的根（解）核心性质+解题方法（点方法·提效率）性质：一元二次方程最多有2个实数根（可相等、可不等、可无实根）；核心方法：代入法求参数（高频题型）：若x=m是方程ax2+bx+c=0的根，将例：（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）若一元二次方程满足，则这个方程必有一个根是（

）A． B． C． D．【变式3-1】（25-26九年级上·安徽宿州·期中）已知是关于x的一元二次方程的一个根，则直线不经过（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【变式3-2】（25-26九年级上·重庆南岸·期中）若是方程的一个根，则______．【变式3-3】（25-26九年级上·广东揭阳·期末）已知是一元二次方程的一个根，则的值为____________．【变式3-4】（25-26九年级上·江苏扬州·期末）若是关于x的一元二次方程的一个根，则________．题型四：根据定义求参数解题模板（点方法·定思路）1.定次数：令未知数的最高次数=2（保证“二次”）；2.定系数：令二次项系数≠0（保证是“二次方程”，而非一次方程）；3.解参数：联立上述两个条件求解，排除使二次项系数为0的解（关键步骤，规避陷阱）。例：方程(m-1)x|m|+1+2x-3=0是一元二次方程，求【变式4-1】（25-26九年级上·河南新乡·月考）若是关于x的一元二次方程，则m的值为（

）A．3 B． C． D．0【变式4-2】（25-26九年级上·广东中山·期中）若关于x的方程是关于x的一元二次方程，则m的取值是（

）A．任意实数 B．1或 C．1 D．【变式4-3】（25-26九年级上·贵州毕节·期末）已知方程是关于的一元二次方程，则的值是______．【变式4-4】（25-26九年级上·广东深圳·期末）若关于的一元二次方程中不含的一次项，则的值是___________．【变式4-5】（25-26九年级上·江苏扬州·期中）关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为__________．题型五：建立一元二次方程模型解题步骤（点方法·梳流程）1.审：审清题意，找出题目中的等量关系（核心，列方程的依据）；2.设：设未知数（直接设：设问题所求的量；间接设：若直接设不便列方程，设与所求量相关的量）；3.列：根据等量关系列方程（不化简也可，后续再化一般形式，避免因化简出错）。常见模型（点方法·记模型）面积问题：矩形面积=长×宽、三角形面积=底×高÷2（结合图形找等量关系）；增长率问题：a(1+x)2=b（a为基数，x为增长率，b为终值；若为降低率，公式为例：矩形花圃长比宽多10m，面积200m²，设宽为xm，列方程。【变式5-1】（面积模型·矩形）：矩形花圃长比宽多10m，面积200m²，设宽为xm，列方程并化为一般形式。【变式5-2】（增长率模型）：某工厂2024年的产值为100万元，2026年的产值计划达到144万元，设这两年的年平均增长率为x，列方程。【变式5-3】（面积模型·切割拼接）：一块长20m、宽15m的矩形铁皮，在四个角各剪去一个边长为xm的正方形，剩余部分围成一个无盖的长方体铁盒，已知铁盒底面面积为126m²，列方程并化为一般形式。一、单选题1．（25-26九年级上·河北张家口·期末）元代数学著作《四元玉鉴》中有题为：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文（1贯文）．已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七，求这匹锦的长和每尺锦的价格．设这匹锦的长为x尺，则可列方程为（

）A． B．C． D．2．（25-26九年级下·重庆万州·期中）每年的4月24日是“中国航天日”，学校组织了一场“未来航天工程师”青创赛．本次青创赛共有x名学生参加，每名学生需将自己的初步设计方案提交给其他每一位同学评审，已知本次青创赛一共进行了240次评审，根据题意可列方程为（

）A． B．C． D．3．（2026·山西晋城·一模）某家电商铺售卖符合1级能效标准的节能台灯，每盏台灯的进价为40元，当售价定为每盏50元时，每天可售出500盏台灯．经市场调研发现，该台灯每盏售价每上涨1元，每天的销售量就会减少10盏．若设此款台灯每盏上涨x元（x为正整数），且该商铺每天销售该台灯的总利润为8000元，则下列所列方程正确的是（

）A．B．C．D．4．（2026·辽宁沈阳·一模）我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有同所立，甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙各行几何．”题目大意：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设甲乙两人相遇时所用时间为，根据题意可列方程为（

）A． B．C． D．5．（2026·江苏苏州·一模）我们将关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则的值分别为（

）A． B．，2 C．，4 D．，06．（25-26九年级下·河北廊坊·月考）小冀与小豫一起写作业，在解同一道一元二次方程时，小冀在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是2和1；小豫在化简过程中写错了一次项的系数，得到方程的两个根是和．已知原方程的二次项系数为1，则（

）A．原方程的一次项系数为3 B．原方程的常数项为C．1是原方程的一个根 D．是原方程的一个根7．（25-26九年级上·贵州黔东南·期中）一名同学经过培训后，会做高锰酸钾制取氧气的实验，回到班级后，他先教会了x名同学，然后会做该实验的同学又分别教会了同样多的同学，这时恰好全班49人都会做这项实验了，根据以上情境，可列方程为（）A． B． C． D．8．（25-26九年级上·北京·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（

）A．1 B．－1 C． D．不存在9．（25-26九年级上·福建福州·月考）已知实数，满足，（），则的值是（）A． B． C． D．10．（25-26九年级上·福建泉州·期末）若关于的方程（）有一个实数根为，则方程（）必有实数根为（

）A． B． C． D．二、填空题11．（25-26九年级上·陕西汉中·月考）将关于的一元二次方程化为一般形式后，其常数项为0，则m的值为_____．12．（2025·重庆·模拟预测）已知是方程的一个根，则______．13．（25-26九年级上·广西北海·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则______．14．（24-25九年级下·安徽淮南·自主招生）已知、、是非零实数，关于的一元二次方程，，有公共解，则代数式的值为________．三、解答题15．（25-26九年级上·全国·期末）请阅读下列材料：问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍．解：设所求方程的根为，则，所以．把代入已知方程，得，化简，得，故所求方程为．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的方法，解答下列问题（要求：把所求方程化为一般形式）：(1)已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，请求出所求方程；(2)已知方程的两个根分别是和，尝试求出另一个方程的两个根．16．（25-26九年级上·全国·课后作业）在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为．例如：．根据这个法则解决下列问题：(1)计算：_________．(2)判断是否为一元二次方程．如果是，请化成一般形式；如果不是，请说明理由．(3)判断，0，2，3中哪些是方程的根，并写出判断过程．17．（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题：(1)一元二次方程的“倒方程”是；(2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值；(3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为．18．（25-26九年级上·山西长治·期中）阅读与思考下面是小康同学的学习笔记的部分内容，请你认真