第25章 一元二次方程 能力提升卷（原卷版）

-2027学年九年级上册数学单元自测第二十五章一元二次方程·能力提升建议用时：120分钟，满分：120分一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（25-26八年级下·山东威海·期末）一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是（

）A．， B．， C．， D．，2．（25-26八年级下·山东烟台·期末）关于的一元二次方程的根的情况是（

）A．没有实数根 B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的同号实数根 D．有两个不相等的异号实数根3．（25-26八年级下·安徽池州·期末）若方程是关于的一元二次方程，则的值是（

）A． B． C． D．4．（25-26八年级下·山东东营·期末）已知关于x的方程有两个实数根，则a的取值范围是（

）A． B． C．且 D．且5．若关于的一元二次方程中的，，满足，则方程必有根（

）A． B． C． D．6．设、是关于的方程的两个根，且，则的值是（）A．2 B．4 C． D．7．（25-26八年级下·山东烟台·期末）已知三角形两边长分别为6和8，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（

）A． B． C． D．8．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知一元二次方程的两根为，，一元二次方程的两根为，，则值是（

）A．1 B． C．5 D．9．对于任意实数m、n，定义新运算，，例如：，则方程的根是（

）A． B． C．， D．，10．我们将关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则的值分别为（

）A． B．，2 C．，4 D．，0二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．用配方法解一元二次方程时，配方后所得方程为_____．12．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）若关于x的方程的一个根为，则另一个根为________．13．（25-26八年级下·云南昆明·期末）已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为________．14．某校要在边长为的正方形空地上建造一个劳动实践基地（图中阴影部分），保证该基地四周小路的宽度相等，且该基地的面积为，则小路的宽度为__________m．15．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则_________．16．如图，在中，，．点M从点A出发，沿射线的方向运动，连接．将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，．若的面积等于6，则的长为________．三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）17．解方程：(1)；(2)．18．下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．解：移项，得第一步二次项系数化为1，得第二步配方，得．第三步第四步由此可得．第五步，第六(1)任务一：①上述小明同学解此一元二次方程的方法是，依据的数学公式是；②上述解题过程从第步开始出现错误，错误的原因是．(2)任务二：请写出该方程正确的求解过程．19．（25-26九年级上·福建泉州·期末）已知，是两个不相等的实数，且满足，．(1)求式子的值；(2)若与两数异号，求实数k的取值范围．20．（25-26九年级上·陕西·期末）如图，某体育学校修建一个长方形运动员候场区，候场区一面靠墙，墙长26米，另外三边用48米隔栏围成，为了方便运动员进出，在两边各空出一个宽为1米的出入口（出入口不用隔栏），设修建的长方形运动员候场区的宽为米．(1)修建的长方形运动员候场区的长为_______米；（用含的代数式表示）(2)若修建的长方形运动员候场区的面积为300平方米，求的长．21．已知，是一元二次方程的两个实数根．(1)求的取值范围；(2)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请你说明理由；(3)若的值为负整数，求实数的整数值．22．阅读下面的例题：求代数式的最小值．解：．，，的最小值是1．请利用以上方法，解答下列问题：(1)求代数式的最小值．(2)判断代数式有最大值还是有最小值，并求出该最值．23．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2023年的32万人增加到2025年的50万人．(1)求该市参加健身运动人数的年均增长率；(2)为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1400元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于998元．已知市政府向该公司支付货款20万元，求购买的这种健身器材的套数．24．定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，则称这样的方程为“好根方程”．(1)下列方程中，是“好根方程”的是______（填序号）．①；②；③．(2)若是“好根方程”，求的值．(3)若一元二次方程（为常数）为“好根方程”，直接写出的数值．25．（25-26九年级下·山东淄博·期末）如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发．(1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动．①经过几秒，