3.1 列代数式表示数量关系（第3课时 正比例关系和反比例关系）（教学设计）

2/23.1列代数式表示数量关系（第3课时正比例关系和反比例关系）教学设计一、内容和内容解析1.内容本节课是人教版《义务教育教科书•数学》七年级下册第三章代数式3.1列代数式表示数量关系，内容包括：第3课时正比例关系和反比例关系.2.内容解析本节课学习之前学生已经掌握了列代数式表示实际问题中的数量关系，之前的学习为本节课的学习提供了知识基础，本节课主要是通过结合具体情境，分析问题中的数量，列出的代数式判断实际问题中的两个量是否成正比例关系或成反比例关系，这也为今后学习正比例函数、反比例函数打下基础.基于以上分析，本节课的教学重点是:会根据实际问题列出代数式,进一步规范代数式的书写格式.二、目标和目标解析1.目标（1）.借助实际生活中的具体情境，深入理解正比例和反比例关系的核心概念。（2）.能够准确判断给定的数量关系是否构成反比例关系或正比例关系，并熟练运用代数式来表达这种关系；（3）.经历从具体到抽象的思维过程，初步感受反比例关系作为描述变量间关系的重要数学模型的价值.2.目标解析（1）教材由具体实际问题引入，并引导学生利用字母表示实际问题中的数量关系.从具体到抽象，通过小组讨论，培养合作精神，让学生在探索问题的过程中，体验解决问题的方法和乐趣，增强学习兴趣.（2）学生能根据实际问题情景列出代数式，将文字语言用代数式表示.（3）要分清语言叙述中关键词语的意义，理清它们之间的数量关系；弄清运算顺序和括号的使用.三、教学问题诊断分析本节课是在列代数式学习的基础上的深入学习，与实际问题结合学生对数学学科有一定的兴趣，但在数学思维和抽象能力上存在一定差异。部分学生在理解数学概念时，可能会遇到一些困难，尤其是对于正比例和反比例关系这样较为抽象的概念。为了利于学生理解，可能需要更多的直观演示和实例分析，需要学生通过比较和转换来建立新的认知。在能力方面，学生的抽象思维能力正在逐步发展，但符号运算能力相对较弱，需要通过具体的实例和练习来加强。学生对这块的学习初次接触，对学生理解能力要求较高。基于以上分析，本节课的教学难点为：通过具体情境,培养把实际问题抽象为数学问题的能力，能理解一些简单代数式的实际背景,培养符号感.四、教学过程设计（一）情景导入某品牌苹果采摘机器人可以1秒钟完成5平方米范围内苹果的识别.则2秒钟识别范围是10平方米,3秒钟识别范围是15____平方米,4秒钟识别范围是20平方米,10秒钟识别范围是50平方米……t秒钟识别范围是__5t平方米.问1:机器人能识别的范围与所用时间之间的比值有什么规律？比值总是一定的.机器人能识别的范围随着所用时间的变化而变化，时间每增加1秒，机器人能识别的范围增加5平方，这个变化始终不变，我们称它们这种关系成正比例关系.问2.你还能列举类似的例子吗？超市里购买2元一瓶的矿泉水，所需总费用与购买的瓶数之间的关系【设计意图】通过情景导入，让学生明白数学来源于生活服务于生活，激发学生思考和学习的兴趣.（二）新知讲解像这样，两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的比值一定，这两个量就叫作成正比例的量，它们之间的关系叫作正比例关系.如果用字母x和y表示两个相关联的量，用k表示它们的比值(k是一个确定的值，且k≠0)，正比例关系可以用yx=k(y=kx)一个长方形面积为12㎡，请回答下面问题：（1）当长为2m时，宽为__6__m；当长为3m时，宽为__4__m.（2）面积与两条邻边有何数量关系？面积=两条邻边之积（3）长方形的长和宽还是成正比例关系吗？为什么？不是，因为长宽之比不为定值（4）长方形的长是怎样随着宽的变化而变化的？长方形长变长则宽变短，长变短则宽变长，长宽之积始终不变（5）若长方形的长为am,宽为bm，面积为k,请你表示出这几个量之间的关系..k=ab【总结】(1)两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，这两个量就叫作反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系.(2)如果用字母x和y表示两个相关联的量，用k表示它们的积(k是一个确定的值，且k≠0),反比例关系xy=k，或y=kx来表示，其中k叫作比例系数【设计意图】通过由具体实际问题引入，并引导学生列代数式表示实际问题中的数量关系,巩固建立符号意识，并引出正比例关系和反比例关系的概念.（三）典例讲解例1.下面的图象表示实验小学食堂的用煤天数和用煤量的关系数量(1)根据图象，你能判断用煤天数和用煤量成什么比例吗?(2)如果用y表示用煤的数，x表示用煤的天数，k表示每天的用煤量，它们之间的关系可以表示为_____(3)根据图象判断，5天要用煤多少吨?2.4吨煤可用多少天?解：(1)由题意可知：用煤量随着用煤天数的增长而增长，且每天增长量不变，即这两种变化量的比值一定，所以它们之间正比例关系(2)y=kx(3)该学校食堂5天用煤1.5t，2.4t煤可以用8天例2.北京是全球首个既举办过夏季奥运会，又举办过冬季奥运会的城市，在冬季奥运会前，某赛场计划造雪260000m3.(1)根据每天造雪量，计算所需的造雪天数，填写表格.每天造雪量/m500052006500……造雪天数525040……(2)在这个实际问题中，一共包含有哪些量？每天造雪量和造雪天数这两个量是怎样变化的？它们之间有什么关系？答：此问题一共包含三个量:造雪总量，每天造雪量，造雪天数.造雪天数随着每天造雪量的变大而变小，且造雪天数与每天造雪量的乘积一定.它们成反比例关系.例3.如图所示，四个圆柱形容器内部的底面积分别为10cm2,20cm2,30cm2,60cm2,分别往这四个容器中注入(1)四个容器中水的高度分别是多少厘米？(2)分别用x(单位：cm2)，y(单位：cm)表示容器内部的底面积与水的高度，用式子表示y与x的关系，y与x成什么比例关系？解：(1)四个容器中水的高度分别是30010=30(cm),30020=15(cm),30030正比例反比例相同点1.都有两种相关联的量2.一种量随着另一种量变化而变化3.都必须有一个量一定不同点1.变化趋势相同，一种量扩大或缩小，另一个量也扩大或缩小相同倍数2.相对应的两种量的比值(商)一定1.变化趋势相反，一种量扩大或缩小，另一个量也缩小或扩大相同倍数2.相对应的两种量的积一定(2)xy=300或y=300x

,y与归纳总结【设计意图】通过典例讲解让学生熟练列代数式表示实际问题中的数量关系，从具体到抽象，让学生理解正比例关系和反比例关系，并利用它们解题.（四）针对训练1.用代数式表示下列各量之间的关系，并判断它们之间是否反比例关系或者正比例关系：(1)京沪线铁路全程为1463km，某次列车的平均速度v(单位：km/h)与此次列车的全程运行时间t(单位：h)之间的关系；(2)高铁从A地驶往相距约2860km的B地，已知高铁的平均速度为300km/h，当高铁距A地s(km)时与行驶的时间为t(h)之间的关系;(3)某住宅小区要种植一块面积为1000m2的矩形草坪，草坪的长y(单位：m)与宽x(单位：m)(4)已知北京市的总面积为1.64×104km2，人均占有面积S(单位：km2/人)(5)用一根长50cm的铁丝弯成一个长方形,当一边长为x(cm)时,面积为y(cm2),面积y(cm2)与一边长x(cm)解：(1)v=1643t,(2)S=300t，正比例关系(3)y=1000x,(4)S=1.64×104(5)y=x(25-x)

，既不是正比例关系也不是反比例关系【方法总结】在判断是不是正比例关系时需注意,正比例关系中两个量之间的比值是一定值，也就是关系式中只能有乘积，不能有加减.2.某商店销售一种型号的铅笔，其销售的数量与总价的关系如下表：数量/支12345678…总价/元0.511.522.533.54…将表中数据绘制成如图所示的图象（1）根据图像判断，铅笔的_单价____不变，铅笔数量和铅笔总价之间成_正比例______关系；（2）如果用x表示铅笔数量，y表示铅笔总价，k表示铅笔单价，它们之间的关系可以表示为___y=kx_____;（3）根据图象判断，如果买9支铅笔，那么总价为_4.5___元；12元能买__24___支铅笔.3.某口罩生产厂要完成一批任务，每天生产的数量与需要生产的天数如下表:(1)如果每天生产的数量用y表示，需要的天数用x表示，请用式子表示出y、x和生产口罩总数之间的关系，并说明y和x(2)如果这批生产任务需要8天完成，每天需要生产多少万只?解:(1)500×24=12000(万只)600×20=12000(万只)800×15=12000(万只)1000×12=12000(万只)1200×10=12000(万只)yx=12000(万只)(一定)，所以y和x成反比例关系。(2)12000÷8=1500(万只)答:每天需要生产1500万只。【设计意图】通过练习让学生熟练掌握根据实际情况列代数式，巩固对正比例关系和反比例关系的理解.（五）当堂测试1.下列问题中，两个变量之间是正比例关系的是(C)A．矩形的周长一定，它的长y(cm)与宽x(cm)B．书的总页数一定，未读的页数与已读的页数C．某场电影票价固定，该场电影售票收入y(元)与售票数量x(张)D．圆的面积y(cm2)2.下列数量关系中，成反比例关系的是（

B

）A．人的身高和体重B．圆柱的体积一定，圆柱的底面积和高C．看一本书，已经看的页数和没看的页数D．买同一种练习本所需的费用与购买的本数3.某商场出售一批贺卡，在市场营销中发现，此贺卡的日销售单价x（单位：元）与日销售数量y（单位：个）之间有如下关系，请用式子表示y与x的关系y=60x日销售单价x/…3456…日销售量y/…20151210…4.聪聪在同一时刻测量了直立在太阳下的四根竹竿的影长，结果如下(1)表中有哪两种相关联的量?这两种量是否成正比例关系?为什么?(2)如果聪聪在这一时刻测得一根竹竿的影长为0.9m,那么这根竹竿的高度是__0.45______m解：(1)表中两个相关联的量是：竹竿高度与影长，这两个量成正比例关系∵影长竹竿高度=0.40.2∴影长与竹竿高度成正比例关系.5.某运输公司计划运输一批货物，每天运输的吨数与运输的天数之间的关系如下：每天运输的吨数50025010050...运输天数12510...(1)这批货物总共多少吨？(2)运输天数是怎样随着每天运输的吨数变化而变化的？(3)用t表示运输的天数，用a表示每天运输的吨数，用式子表示t与a的关系.t与a成什么比例关系？解：(1)500×1=500(吨)