小学三年级数学上册：含有两级的混合运算（乘加、乘减）教学设计

小学三年级数学上册：含有两级的混合运算（乘加、乘减）教学设计

  一、指导思想与理论依据

  本教学设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》核心理念为根本遵循，立足于发展学生的核心素养，特别是运算能力与推理意识。教学聚焦于“数的运算”主题下“探索并掌握两级运算的运算顺序”这一关键内容。设计充分尊重三年级学生的认知发展规律，他们正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期，对于运算规则的理解需要建立在丰富的感性经验和有意义的操作活动之上。因此，本课将建构主义学习理论作为重要支撑，强调知识并非被动接受，而是学习者在真实或模拟的情境中，借助必要的学习资源，通过意义建构的方式主动获得。教学将通过创设连贯、真实的问题情境，引导学生在解决问题的过程中，亲身经历“发现问题-提出猜想-验证规律-应用规则”的完整认知过程，实现算理与算法的有机统一，从而将混合运算的顺序从外部规定转化为内部认同的逻辑必然。

  二、学习内容与学情分析

  （一）学习内容解析

  本课学习内容是整数四则混合运算的起始关键点，在整个小学数学运算体系中具有承上启下的枢纽地位。从知识纵向发展来看，学生此前已经熟练掌握了表内乘法、百以内的加法与减法，并具备了解决一步计算实际问题的能力。本课首次正式引入“算式中有乘法和加、减法”这一含有两级运算的混合运算情境，核心任务是引导学生理解并掌握“先算乘法，后算加、减法”的运算顺序规则。这一规则是后续学习除加、除减混合，乃至带有小括号的更复杂混合运算的逻辑基础。从数学本质来看，运算顺序的规定不仅是一种“约定”，其背后蕴含着深刻的数学原理：乘法是相同加数连加的简便运算，当乘法与加法或减法相遇时，乘法所代表的整体性“份”需要优先计算，再与其它部分进行合并或比较，这符合人类对数量关系进行分层处理的自然逻辑。因此，教学必须超越单纯记忆规则的层面，深入到对运算意义和关系结构的理解。

  （二）学情现状剖析

  三年级上册的学生，其思维特征具有显著的过渡性。优势在于：他们对购物、游戏等生活情境有浓厚的兴趣和丰富的经验，这为情境化教学提供了良好的情感与认知基础；他们已具备初步的观察、比较和归纳能力，能够在教师引导下从多个具体例子中发现共性；具备基本的动手操作和合作交流意愿。然而，挑战也同样明显：首先，学生容易受到已有“从左往右”依次计算这一单一运算顺序的思维定势干扰，在初次接触两级运算时，会本能地按顺序计算而忽略运算级别的差异。其次，部分学生可能存在“重算法、轻算理”的倾向，即能够机械套用“先乘除后加减”的口诀，但对其背后的原因不甚了了，一旦情境或算式形式稍加变化（如乘减算式、乘法在后等），就容易出错。最后，将实际问题抽象为混合算式，并正确解读算式中每一步运算的实际含义，对学生而言是一个新的思维跃升点，需要得到充分的教学支持。基于此，教学需设计有效的认知冲突和直观模型，帮助学生打破定势，建构意义。

  三、学习目标设定

  根据课程内容要求和学情分析，设定如下分层、可测的学习目标：

  1.知识与技能目标：结合具体的生活情境问题，理解并掌握“算式中有乘法和加、减法时，应先算乘法，后算加、减法”的运算顺序。能正确列式并计算两步计算的乘加、乘减混合运算式题，并能用递等式规范书写计算过程。

  2.过程与方法目标：经历探索混合运算顺序的过程，通过观察、比较、归纳、概括等数学活动，初步体会“先算乘法”的合理性。在解决实际问题的过程中，发展发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力，提升数学抽象与数学建模的初步意识。

  3.情感态度与价值观目标：在探究运算规律的过程中，感受数学规则的系统性与严谨性，体验数学思考的逻辑力量。通过解决与生活紧密联系的问题，增强学习数学的兴趣和应用意识。在小组合作学习中，养成乐于交流、敢于质疑、严谨认真的学习习惯。

  四、教学重难点研判

  教学重点：理解并掌握乘加、乘减混合运算的运算顺序。

  教学难点：理解“为什么先算乘法”的算理；将具体情境中的数量关系正确抽象为乘加或乘减的混合算式，并解释每一步计算的实际意义。

  五、教学准备与资源

  1.多媒体课件：包含连贯的故事情境动画、问题呈现、实物图片、动态的算式生成与计算过程演示。

  2.学习任务单：设计有层次的探究活动记录单、巩固练习单和课堂小结反馈单。

  3.实物模型：用于情境演示的玩具、文具图片或简易购物小票模板。

  4.板书设计：采用结构式板书，清晰呈现问题情境、学生列出的不同算式、运算顺序的探究过程以及最终归纳的运算法则。

  六、教学实施过程

  （一）创设情境，孕伏冲突，提出问题（预计用时：8分钟）

    师：同学们，我们的数学好朋友“智慧小学”正在筹备一场“跳蚤市场”爱心义卖活动。三年级（1）班的同学们准备了一些物品来出售。让我们一起走进他们的摊位看看。（课件动态呈现情境图：第一个摊位，小明摆了5盒水彩笔，每盒8元；旁边还单独放了3支散装水彩笔，每支2元。）

    师：从图中，你能发现哪些数学信息？

    生1：有5盒水彩笔，每盒8元。

    生2：还有3支单独的水彩笔，每支2元。

    师：观察得真仔细！根据这些信息，你能提出什么数学问题呢？

    生3：一盒水彩笔多少钱？……（此问题过于简单，教师引导）

    生4：我想知道，5盒水彩笔一共多少钱？

    师：这个问题很好，谁会列式解答？

    生5：5×8=40（元）。（教师板书）

    师：还有不同的问题吗？

    生6：那些散装的水彩笔一共多少钱？

    生7：3×2=6（元）。（教师板书）

    师：如果我们想一口气知道“所有水彩笔一共卖了多少钱？”这个新问题，你能解决吗？请将你的想法在学习任务单上用算式表示出来。

    （学生独立尝试列式，教师巡视，收集典型算式。预计会出现两种主要列式：①5×8=40，3×2=6，40+6=46；②5×8+3×2。也可能出现按顺序计算的5×8+3×2先算8+3等错误。将不同算式呈现在黑板上或课件中。）

    师：同学们开动脑筋，列出了这么多种算式。像“5×8+3×2”这样的算式，与我们以前学的加减或连乘算式有什么不同？

    生：它里面有乘法，也有加法。

    师：像这样，含有两种或两种以上运算的算式，我们称为“混合运算”。今天，我们就重点来研究这种“既有乘法，又有加法”的混合运算该怎么计算。（自然引出课题聚焦点）

  （二）多元探究，深度理解，建构顺序（预计用时：22分钟）

    环节一：聚焦简化模型，初探运算顺序

    师：刚才的算式“5×8+3×2”对于初次接触混合运算的我们来说，有点复杂。数学家告诉我们，研究复杂问题时常从简单情况开始。我们先看一个简单些的问题。（课件变换情境：第二个摊位，小红出售笔记本。她先卖出3本，每本4元；后来又卖出1本，价格也是4元。一共收入多少元？）

    师：这个问题你能列出混合算式吗？

    生：3×4+4。（教师板书）

    师：这个算式里有哪些运算？

    生：有乘法和加法。

    师：对于“3×4+4”，你认为应该先算什么？再算什么？请大家在任务单上试着算一算，并和同桌说说你的理由。

    （学生计算、讨论。教师巡视，倾听不同想法。预计主流意见是先算乘法，也可能有学生坚持从左往右算。）

    师：谁来说说你的计算过程和理由？

    生1：我先算3×4=12，再算12+4=16。因为前面卖出的3本是“3个4元”，是一个整体，要先算出来有多少钱，再加上后来卖的1本的钱。

    师：他用讲道理的方式支持了“先算乘法”。有没有不同的算法？

    生2：我是从左往右算的，先算3×4=12，然后……（意识到下一步是12+4，与生1实质相同）哦，我也是先算的乘法。

    师：有没有同学真的是先算4+4呢？（若有，则作为认知冲突点；若无，教师可设问）如果我们先算后面的4+4=8，再算3×8=24，得到24元。大家觉得这样符合题意吗？为什么？

    生3：不符合！题目里后来的1本价格是4元，不是8元。先算4+4，意思就变成了每本笔记本是8元了，把两个不同意义的“4”混在一起了。

    师：分析得太精彩了！算式中的第一个“4”表示单价，第二个“4”表示后来1本的钱数（可看作1×4）。直接把它们相加，就像把“单价”和“总价”相加，单位意义不一致。看来，我们需要找到一种能正确反映事情本来面目的计算顺序。

    师：其实，我们可以请“老朋友”来帮忙理解。（课件演示：用长方形格子图表示，3行4列再加1个4格）看，这个图能表示“3×4+4”吗？你能指着图说说先算什么、再算什么吗？

    生：这一大片是3个4（指3行4列），先算它，是12格。再加上旁边的1个4（指另外的4格），一共是16格。所以要先算乘法。

    师：图形也验证了我们先算“3个4”这个整体的合理性。那么，对于“3×4+4”，正确的运算顺序是：先算乘法，再算加法。计算过程可以这样规范书写（板书递等式格式：3×4+4=12+4=16）。中间的等号要对齐，表示从上一步到下一步的演变。

    环节二：拓展乘减情境，强化顺序认知

    师：爱思考的小军提出了一个新问题。（课件呈现：小军原有50元零花钱，他买了2个单价9元的卡通玩具，还剩多少元？）

    师：请独立列式并计算。

    （学生尝试，可能出现50-2×9或2×9-50等列式。教师引导明确：求剩余，应从总数中减去花掉的钱，花掉的钱是2个9元，即2×9，所以正确算式是50-2×9。板书）

    师：这个算式里有减法和乘法，又该怎么算呢？请用刚才的思路和规定尝试计算，并说明理由。

    生：应该先算2×9=18，求出花掉的钱，再用50-18=32，求出剩下的钱。不能先算50-2，因为50是总钱数，2是个数，不能直接相减。

    师：说得非常清楚！计算“50-2×9”，也要先算乘法，再算减法。（板书递等式过程）

    环节三：观察对比归纳，抽象运算规则

    师：同学们，我们一起来看今天研究的这几个混合算式：5×8+3×2（暂复杂，回指），3×4+4，50-2×9。它们有什么共同的特点？

    生：算式中都有乘法，还有加法或减法。

    师：在计算时，我们是怎么决定先算什么、后算什么的？

    生：都是先算乘法，再算加法或减法。

    师：为什么在这样有乘法和加、减法的混合运算里，大家会不约而同地选择“先算乘法”呢？请小组讨论，试着总结出道理。

    （学生小组讨论后汇报）

    生1：因为乘法表示几个几，算的是一个整体的数量。比如几个几元，几个几本。得先把这个整体算出来，才能去和别的部分相加或相减。

    生2：加法或减法，是把已经算好的这些整体数量，再进行合并或者去掉一部分。

    师：同学们的总结非常接近数学家的思想了。是的，乘法是求“几个相同加数的和”的简便运算，它本身代表了一个“聚合”的结果。当我们遇到乘法和加、减法混合时，需要先把这些由乘法代表的“聚合结果”求出来，再参与后续的合并（加）或比较（减）。这就是“先算乘法，后算加、减法”的内在道理。它不是死规定，而是数量关系处理的自然要求。

    师：现在，谁能用一句完整的话把我们发现的这个重要规则说出来？

    生：在一个算式里，如果有乘法和加法、减法，要先算乘法，后算加法或减法。

    （教师完善并板书核心法则，学生齐读。同时强调，未计算的部分要照抄下来。）

  （三）分层练习，巩固内化，灵活应用（预计用时：12分钟）

    练习设计遵循“基础巩固→变式辨析→综合应用”的层次，兼顾技能训练与思维发展。

    层次一：基础巩固，掌握算法格式。

    1.先说运算顺序，再计算。

      6×3+25   42-5×8   7×4-10   20+3×9

    （重点检查递等式的书写格式，特别是等号对齐和未运算部分的照抄。）

    2.纠错小医生。下面的计算对吗？如果不对，请改正。

      5+4×6    9×2-5    18-3×4

      =9×6     =18-5    =15×4

      =54      =13     =60

    （通过典型错误辨析，巩固运算顺序，特别是针对“先算加/减”的思维定势。）

    层次二：变式辨析，深化理解。

    3.在○里填上“>”、“<”或“=”。

      3×7+6○3×(7+6)   50-4×5○(50-4)×5   8×2+30○8+2×30

    （此题旨在引导学生比较运算顺序不同带来的结果差异，为后续学习小括号埋下伏笔，并强化当前规则的唯一性。）

    4.想一想，算一算：6+6+6+6+4可以看成（ ）个6相加再加4，列成乘加算式是（ ）×（ ）+（ ）；也可以看成（ ）个6相加再减去2，列成乘减算式是（ ）×（ ）-（ ）。两种算法结果一样吗？

    （本题沟通连加与乘加、乘减的联系，从不同角度理解算式意义，体现思维灵活性。）

    层次三：综合应用，解决问题。

    5.跳蚤市场情景延续：小芳卖手工绳。一根红绳编一个手链，一个手链卖3元。一根黄绳编一个钥匙扣，一个钥匙扣卖2元。她卖了4个手链和3个钥匙扣，一共卖了多少钱？（鼓励用综合算式解答，并说出每一步求的是什么。）

    6.开放题：用“3、4、5、20”这四个数和“+、-、×”运算符号（每个数只能用一次），编一道需要两步计算（先乘后加或先乘后减）才能解决的数学问题，并列出算式解答。

    （此题开放性较强，考察学生逆向构建情境和数量关系的能力，是综合素养的体现。）

  （四）回顾反思，总结升华，拓展延伸（预计用时：8分钟）

    师：同学们，今天的数学探索之旅即将结束。请大家回顾一下整个学习过程，围绕任务单上的“收获与疑问”栏进行思考和分享。

    生1：我学会了乘加、乘减混合运算要先算乘法，再算加或减法。

    生2：我知道了为什么要这样算，因为乘法算的是一个整体。

    生3：我会用递等式来规范书写计算过程了。

    生4：我有一个小疑问，如果是加法和乘法，但乘法在后面，比如4+5×3，也是先算乘法吗？

    师：这个问题提得非常有价值！谁能为这位同学解答？

    生5：是的，只要算式里有乘法和加法，不管乘法在前还是在后，都要先算乘法。因为规则是“有乘法和加、减法，先算乘法”，没有说位置。

    师：解释得很到位。运算顺序看的是运算符号的“级别”，而不是它们在算式中的前后“位置”。这是我们今天规则的一个重要内涵。

    生6：那以后要是还有除法呢？运算顺序又该怎么定？

    师：哇，你已经想到了更远的地方！这是一个非常棒的拓展性问题。其实，除法和乘法是属于同一级别的运算。关于它们和加、减法的混合，我们将在后续的课程中继续探索。今天的规律会不会有更一般的形式呢？留给大家课后去猜想。

    师：最后，老师想送给大家一句话：“知其然，亦知其所以然”。我们今天不仅知道了混合运算的顺序“是什么”，更一起探究了“为什么”。希望同学们在今后的数学学习中，都能保持这种爱思考、追根溯源的好习惯。

  七、板书设计构思

  板书力求体现教学脉络与知识结构，采用左、中、右三栏式动态生成。

  左边栏：情境与问题

    跳蚤市场（主题图）

    问题1：所有水彩笔共？元 信息：5盒/8元，3支/2元

    问题2：笔记本共？元   信息：3本/4元，再1本/4元

    问题3：还剩？元    信息：50元，买2个/9元

  中间栏：算式与探究

    学生列式（多样，包含5×8+3×2）

    聚焦：3×4+4

            （格子图辅助）

        先算3×4=12

        再算12+4=16

        →先乘后加

    探究：50–2×9

        先算2×9=18

        再算50-18=32

        →先乘后减

  右边栏：归纳与规则

    观察：都有×和+或-

    思考：为什么先算×？

      （×代表整体数量）

    规则（核心）：

    在一个算式里，有乘法和加法、减法，要先算（乘法），后算（加法、减法）。

    （递等式格式示例）

  八、学习效果评估设计

  评估贯穿于教学全过程，采用多元、即时的方式。

  1.过程性评估：通过课堂观察，记录学生在情境提问、探究讨论、练习反馈等环节的参与度、思维深度和语言表达，评估其学习兴趣、合作能力和对算理的理解水平。例如，关注学生在解释“为什么先算乘法”时的理由阐述是否触及本质。

  2.纸笔练习评估：通过课堂分层练习的完成情况（正确率、书写规范性、解题