初中九年级数学：圆的有关性质知识清单

初中九年级数学：圆的有关性质知识清单一、圆的基础概念与对称性（一）圆的定义（双重定义）【基础】【必考】1、旋转定义（描述性定义）：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”110。2、集合定义（轨迹定义）：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合47。此定义揭示了圆的核心本质：圆上各点到圆心的距离都等于半径；反之，到圆心的距离等于半径的点都在圆上。（二）确定圆的两个要素1、圆心：确定圆的位置。2、半径：确定圆的大小。注意：只有当圆心和半径都确定时，圆才能被唯一确定。（三）与圆有关的概念【基础】【高频考点】1、弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。2、直径：经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最长的弦，等于半径的2倍。注意：直径是弦，但弦不一定是直径47。3、弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A、B为端点的弧记作⌒AB，读作“圆弧AB”或“弧AB”。4、半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。半圆是弧，但弧不一定是半圆14。5、优弧与劣弧：大于半圆的弧叫做优弧（通常用三个字母表示，如⌒ACB）；小于半圆的弧叫做劣弧（通常用两个字母表示，如⌒AB）17。6、等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。半径相等的两个圆是等圆，同圆或等圆的半径相等。7、等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。长度相等的弧不一定是等弧，必须是在同圆或等圆的前提下4710。（四）圆的对称性【基础】1、轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线（即经过圆心的任意直线）都是它的对称轴。圆有无数条对称轴127。2、中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是圆心。圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合，这一性质称为圆的旋转不变性247。二、核心定理一：垂径定理及其推论【重中之重】【高频考点】【难点】（一）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧125。几何语言描述：∵CD是直径，CD⊥AB于点E(弦AB不是直径)，∴AE=BE，⌒AD=⌒BD，⌒AC=⌒BC。（二）垂径定理的推论【重要】1、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧12。2、弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧1。3、平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧1。4、圆的两条平行弦所夹的弧相等13。（三）垂径定理的应用模型与解题技巧【★★★★★】1、核心模型：垂径定理与勾股定理的完美结合。在圆中，解决与弦长、半径、弦心距相关的问题时，通常构造由半径（r）、半弦（a/2）、弦心距（d）组成的直角三角形34。公式：r²=d²+(a/2)²2、常用辅助线：过圆心作弦的垂线、连接圆心与弦的一个端点（即作半径）。3、解题步骤：（1）明确已知量：半径、弦长、弦心距、弓形高（弧的中点到弦的距离）中的几个。（2）建立方程：设未知数，利用勾股定理建立方程求解。（3）注意分类讨论：当弦的位置不确定时（如两条平行弦、与圆心的距离问题），需要考虑圆心在弦的同侧或异侧两种情况，防止漏解。（四）典型考向与易错点1、求弦长：已知半径和弦心距，求弦长。2、求半径（直径）：已知弦长和弦心距（或弓形高），求半径。常见于“油桶问题”、“拱桥问题”等实际应用34。3、求弦心距：已知半径和弦长，求弦心距。4、求两平行弦之间的距离：注意分情况讨论圆心在两弦之间或两弦之外。5、【易错警示】在使用垂径定理的推论“平分弦的直径垂直于弦”时，必须强调被平分的弦“不是直径”。因为任意两条直径互相平分，但不一定垂直15。三、核心定理二：弧、弦、圆心角之间的关系【重要】【高频考点】（一）圆心角定义顶点在圆心的角叫做圆心角35。（二）定理（等对等定理）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等245。（三）重要推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等245。数学语言表述：如图，在⊙O中，若∠AOB=∠COD，则⌒AB=⌒CD，AB=CD。反之亦然。（四）解题指导1、证明两条弦相等，通常转化为证明它们所对的圆心角或弧相等。2、证明两条弧相等，通常转化为证明它们所对的圆心角或弦相等。3、【重要提醒】定理及其推论成立的前提条件是“在同圆或等圆中”。离开这一前提，结论不一定成立。四、核心定理三：圆周角定理及其推论【重中之重】【高频考点】【难点】（一）圆周角定义顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角35。定义强调：顶点在圆上；两边与圆相交。二者缺一不可。（二）圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半235。数学语言：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。即∠ACB=½∠AOB。（三）圆周角定理的推论【★★★★★】1、推论1（等弧对等角）：同弧或等弧所对的圆周角相等23。2、推论2（直径对直角）：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径235。1.这是圆中构造直角三角形和证明直径最常用的依据。（四）解题模型与技巧1、模型一：见到弧找角，见角找弧。在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。2、模型二：有直径，造直角。当题目中出现直径时，要立刻想到连接直径所对的圆周角，构造直角三角形解决问题。3、模型三：求圆周角或圆心角的度数，通常先找到同弧所对的另一角，利用定理转化。4、模型四：用于证明两个三角形相似或两条直线平行、垂直。（五）圆内接四边形性质【重要】1、定义：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆3。2、性质定理：圆内接四边形的对角互补，且任何一个外角等于它的内对角3。数学语言：在⊙O中，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，则∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°，∠DCE=∠A。五、确定圆的条件与三角形的外接圆【基础】【高频考点】（一）确定圆的条件1、定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆35。2、作图法：作任意两条弦的垂直平分线，其交点即为圆心（外心）。（二）三角形的外接圆1、定义：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心35。2、外心的性质：（1）外心到三角形三个顶点的距离相等（等于外接圆半径R）。（2）外心的位置：锐角三角形的外心在三角形内部；直角三角形的外心在斜边中点处；钝角三角形的外心在三角形外部3。（三）反证法简介【了解】反证法是证明命题的一种间接方法。步骤为：（1）假设命题的结论不成立；（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出与已知条件、定义、定理或基本事实相矛盾的结果；（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确3。六、与圆有关的位置关系（一）点与圆的位置关系【基础】设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：1、点P在圆外⇔d>r2、点P在圆上⇔d=r3、点P在圆内⇔d<r59七、综合应用与解题思想【★★★★★】（一）常见辅助线作法归纳1、有关直径：作直径所对的圆周角（构造直角三角形）。2、有关弦：作弦心距（构造垂径定理模型，连接半径）。3、有关切线：见切点，连半径（得垂直）；证切线，则“连半径，证垂直”或“作垂直，证半径”。4、证明等积式或比例式：常转化为证明三角形相似，而圆中证明相似的关键是利用圆周角定理找等角。（二）核心数学思想1、分类讨论思想：在弦的位置不确定、圆心与弦的位置关系不确定时，需考虑多种情况。2、转化思想：利用“弧、弦、圆心角、圆周角”之间的相互转化，将复杂问题转化为简单问题。3、方程思想：在垂径定理应用中，通过设未知数，利用勾股定理建立方程求解。（三）解题步骤规范（以证明题为例）1、明确已知条件，将文字语言转化为图形语言和符号语言。2、执果索因，逆向推理：要证什么，需要什么条件，这些条件是否已知或可证。3、规范书写，逻辑严密：每一步推理都要有据可依，如“∵…，∴…”或“由…可得…”，关键步骤不能跳步。4、注意检查：是否有漏解，是否需要分类讨论。八、高频考点与题型预测（一）选择题、填空题1、考察基本概念辨析：如判断“直径是弦”、“半圆是弧”、“等弧”等说法的正误。2、利用垂径定理求弦长、半径、弦心距。3、利用圆周角定理及其推论求角度。4、判断点与圆的位置关系。5、圆内接四边形角的计算。（二）解答题（证明与计算）1、垂径定理与勾股定理的综合应用（常结合实际问题，如拱桥、隧道、轮船过境等）。2、利用弧、弦、圆心角的关系证明线段