小学五年级数学上册：植树问题“一端栽一端不栽”模型的建构、应用与迁移教案

小学五年级数学上册：植树问题“一端栽一端不栽”模型的建构、应用与迁移教案

一、理论依据与指导思想

  本节课的教学设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为核心指导，深刻践行“三会”核心素养目标：会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界。聚焦于“植树问题”这一经典数学模型，本设计超越传统的公式记忆与机械应用，致力于引导学生经历完整的数学化过程。我们强调，数学教学的本质在于思维的发展与模型的建构。因此，本节课将“一端栽一端不栽”情境视为发展学生模型意识、推理能力和应用意识的绝佳载体。

  教学设计遵循建构主义学习理论，认为学习是学习者在原有认知基础上主动建构意义的过程。教学将从学生熟悉的生活原型出发，创设认知冲突，激发探究内驱力。通过“情境感知—操作探究—归纳建模—解释应用—拓展迁移”的进阶式学习路径，引导学生在“做数学”中实现从具体表象到抽象符号，从特殊案例到一般规律的思维飞跃。同时，融入“数形结合”这一根本思想方法，借助线段图这一直观工具，架起具体数量与抽象规律之间的桥梁，破解学生的思维难点，深化对“间隔数”与“棵数”函数关系的理解。课堂评价贯穿始终，采用表现性评价与过程性评价相结合的方式，关注学生的思维品质、合作交流与问题解决能力，实现教学评的一致性。

二、教学内容与学情分析

  教学内容解析：“植树问题”隶属于“数学广角”领域，是渗透数学思想方法、培养学生模型意识的典型课题。“一端栽一端不栽”是其三种基本模型（两端都栽、两端不栽、一端栽一端不栽）中的一种。其核心数学本质是“点与间隔”的一一对应关系。在“一端栽一端不栽”模型中，植树的“点”与“间隔”在数量上相等，即“棵数=间隔数”。这一模型广泛存在于现实生活，如安装路灯（起点有灯，终点无灯）、设置公交站台、摆放花盆（起点摆放，终点不摆）等。本节课的教学重点不仅是让学生掌握这一特定情境下的数量关系，更重要的是引导他们经历从具体问题中抽象出数学模型，并能辨识、解释和应用该模型解决多样化实际问题的过程。其中，理解“为什么棵数等于间隔数”以及“如何准确确定间隔数”是教学的关键所在，也是学生思维发展的生长点。

  学情分析：五年级学生已经具备了较强的观察能力、初步的归纳能力和解决简单实际问题的能力。在知识储备上，学生熟练掌握乘除法运算，并对“间隔”概念有模糊的生活感知，如排队时的间隔。然而，他们的思维正从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡，往往容易关注“点”的个数而忽略“间隔”的个数，更难以自觉建立两者之间的函数关系。学生可能存在的认知障碍包括：1.混淆三种不同植树模型的规律；2.在面对复杂情境时，无法准确识别其归属于哪一种模型；3.机械套用公式，对模型本质理解不深。此外，学生虽接触过简单的图示法，但主动运用线段图等策略来分析和表征问题的意识与能力尚有不足。因此，教学需通过丰富的直观操作、对比辨析和变式训练，帮助学生厘清概念，构建清晰的认知结构，并提升其运用模型思想解决问题的策略水平。

三、教学目标

  基于核心素养导向和学情分析，设定以下三维教学目标：

  1.知识与技能

  理解在“一端栽一端不栽”的植树情境中，“棵数”与“间隔数”之间的相等关系。能熟练运用“棵数=间隔数”或“间隔数=棵数”这一模型解决简单的实际问题。掌握通过画线段图来分析、解决此类问题的方法。

  2.过程与方法

  经历将实际问题抽象成数学模型的过程。通过动手操作、合作探究、观察比较、归纳概括等活动，发展模型意识、几何直观和推理能力。学会运用数形结合的思想方法分析数量关系。

  3.情感态度与价值观

  体验数学与日常生活的紧密联系，感受数学模型在解决实际问题中的价值。在探究活动中获得成功的体验，增强学习数学的兴趣和自信心。培养严谨求实的科学态度和合作交流的意识。

四、教学重难点

  教学重点：发现并理解“一端栽一端不栽”情况下，棵数与间隔数之间的相等关系，建立数学模型。

  教学难点：灵活运用建立的数学模型解决生活中的实际问题。理解模型背后的“一一对应”数学思想，并能辨析不同植树模型的区别与联系。

五、教学准备

  多媒体课件（包含生活情境图片、动态演示线段图生成过程、分层练习题）。

  学生探究学具：每小组一套（印有20厘米长直尺的学案纸、小树模型贴纸或可画圈表示树、直尺、铅笔）。

  板书设计框架（预留核心规律、线段图示例、学生发现的关键词句区域）。

六、教学实施过程

  （一）创设情境，问题驱动，引发认知冲突（预计用时：8分钟）

  环节一：生活原型导入

  师：同学们，城市绿化美化我们的家园。请看屏幕（出示图片：一条笔直的马路，一侧正在植树，起点处已种好一棵，工人们正沿着一定距离继续种植，但图片显示终点处是一个路灯杆，不再植树）。为了便于研究，我们可以把这条马路看作一条——

  生：线段。

  师：是的，这是一条线段。绿化队要在一条全长20米的小路一边植树。工程师提出了一个要求：从小路的一端开始种，另一端因为有一个公共设施不能种树。如果每隔5米种一棵树，一共需要多少棵树苗呢？请大家先凭直觉猜一猜，并简单说说理由。

  （学生可能猜测：4棵、5棵、3棵等。教师板书猜测结果，不急于评判。）

  师：大家的意见不一致了。数学不能只靠猜测，我们需要更可靠的方法来研究。面对这个问题，你打算怎么入手？有什么困惑吗？

  生1：不知道从哪头开始算。

  生2：“一端种一端不种”到底怎么种？

  生3：20米里面有几个5米，是不是就是几棵树？

  设计意图：从真实的、存在约束条件（一端不栽）的绿化情境导入，使数学问题自然根植于现实土壤。让学生初步猜测，旨在暴露其前概念和潜在困惑，制造认知冲突，激发其探究“到底是多少棵”的强烈欲望。引导学生思考研究方法，初步培养问题意识。

  （二）操作探究，数形结合，自主建构模型（预计用时：20分钟）

  环节二：化繁为简，初步感知

  师：20米有点长，研究起来不方便。数学家华罗庚先生说过：“善于‘退’，足够地‘退’，退到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。”我们可以先从更短的、更简单的情况开始研究。我们把20米“退”到更短的长度。请各小组领取学具。我们的任务是：研究在“只在一端植树”的规则下，不同长度的小路，间隔长度是5米时，需要多少棵树。

  探究任务一：在你们的学具直尺上（代表小路），从0刻度（代表起点）开始，每隔5厘米（代表5米）贴一棵“小树”（或画一个圈），观察并完成下表。

  （课件出示表格）

  |小路总长|间隔长度|间隔数|植树棵数|

  |:---|:---|:---|:---|

  |5厘米|5厘米|？|？|

  |10厘米|5厘米|？|？|

  |15厘米|5厘米|？|？|

  |20厘米|5厘米|？|？|

  学生小组合作，动手操作，填写数据。教师巡视，重点关注学生如何确定“间隔数”和“棵数”，引导其用画“丨”标记间隔点或直接数的方法。

  汇报交流：请小组代表汇报数据。重点聚焦：间隔数是怎么得到的？棵数呢？

  生：总长除以间隔长度得到间隔数。比如20厘米，每隔5厘米一个间隔，20÷5=4，有4个间隔。

  师：那棵数呢？

  生：我们贴了4棵树。

  师：大家看看自己操作的成果，从起点（0刻度）开始，贴第一棵树，然后隔5厘米贴第二棵……一直贴下去。你们发现了棵数和间隔数有什么关系？

  生：棵数和间隔数一样多。

  师：都是4。其他情况呢？（引导学生观察表格中所有数据）

  生：都是相等的。5厘米时，1个间隔，1棵树；10厘米时，2个间隔，2棵树……

  设计意图：“化繁为简”是研究复杂数学问题的基本策略。通过小组合作操作，将抽象的“米”转化为可操作的“厘米”，让学生在动手“贴树”的过程中直观感受“点”（树）与“间隔”的生成过程。填写表格旨在引导学生有序观察数据，为发现规律做好数据准备。

  环节三：几何直观，深化理解

  师：操作让我们看到了现象，但数学需要更深刻的理解。为什么棵数会等于间隔数？我们请一位“无声的老师”来帮忙——线段图。

  （教师板演或在课件上动态演示：画一条线段表示20米长的小路。在线段左端点画一个三角形表示第一棵树。）

  师：接下来，每隔5米种一棵，这“5米”在图上怎么表示？

  生：就是一段一段的长度。

  师：对，我们称之为“间隔”。（从树的位置向右量出一段，标注5米，在这个间隔的右端点画第二棵树。）看，种下第二棵树，同时产生了什么？

  生：产生了一个间隔。

  师：非常关键！再种第三棵树。（继续演示）又产生了一个间隔。依此类推……当种下第四棵树时，产生了几个间隔？

  生：产生了四个间隔。

  师：小路种完了吗？我们看看总长是不是20米。（测量展示）种了4棵树，正好有4个间隔，每个间隔5米，4×5=20米，符合要求。请大家仔细观察线段图，树和间隔是怎样排列的？

  （引导学生观察：每棵树都对应着它后面的那个间隔的起点，除了最后一棵树后面没有间隔了，但因为我们是“一端不栽”，最后这棵树就是终点，所以也不再产生新的间隔。）

  师：我们可以这样理解：从第一棵树开始，每棵树都“带领”着它后面的一个间隔（除最后一棵）。或者说，每个间隔都“对应”着它前面的一棵树。这样，树和间隔就是——

  生：一一对应的！

  师：太棒了！因为是一一对应，没有多余的树，也没有多余的间隔，所以它们的数量就——

  生：相等。

  设计意图：此环节是突破教学难点的核心。动态绘制线段图，将学生的操作过程进行数学化、可视化的抽象。通过慢放“种一棵树，产生一个间隔”的过程，清晰揭示“棵数”与“间隔数”同步生成、一一对应的本质关系。将学生的感性认识（数据相等）提升到理性理解（一一对应原理），深刻建构数学模型的思想基础。

  环节四：归纳概括，建立模型

  师：通过刚才的研究，对于“只在一端植树”的问题，我们得到了什么结论？谁能用最简洁的数学关系式表示出来？

  生：棵数=间隔数。

  师：那么，间隔数怎么求呢？

  生：间隔数=总长÷间隔距离。

  师：因此，要解决这类问题，我们可以先求什么，再求什么？

  生：先求间隔数，因为间隔数等于棵数。

  师：很好。我们把这个发现用关系式整理一下：（教师板书核心模型）

  总长÷间隔距离=间隔数

  棵数=间隔数

  师：这就是我们今天探究出的“一端栽一端不栽”植树问题的数学模型。现在，请大家用这个模型重新计算一下课堂开始时的那个问题：20米路，每隔5米栽一棵（一端栽一端不栽），需要多少棵树？

  学生独立计算：20÷5=4（个间隔），4个间隔就需要4棵树。

  师：对比我们开始的猜测，哪种猜测是正确的？为什么另外的猜测是错的？

  生：4棵是正确的。猜5棵可能是想成两端都栽了；猜3棵可能是想成两端都不栽了。

  设计意图：引导学生用数学语言自主概括规律，完成从具体现象到抽象模型的飞跃。板书的数学模型清晰、结构化。让学生用新建构的模型回扣初始问题，验证猜测，体验成功的喜悦，并初步引发对不同模型的辨析思考。

  （三）解释应用，分层巩固，实现模型内化（预计用时：12分钟）

  环节五：基础应用，巩固模型

  练习1（正向应用）：在一条全长60米的艺术长廊一侧摆放雕塑（只在一端摆放）。如果每隔4米摆放一尊，一共需要摆放多少尊雕塑？

  （学生独立解答，强调步骤：先求间隔数，再得棵数。汇报时要求说出每一步算式的意义。）

  练习2（逆向应用）：园林工人在一条笔直的水渠起点处开始，每隔8米栽一棵柳树，一共栽了9棵（终点不栽）。这条水渠有多长？

  师：这个问题和刚才的有什么不同？

  生：刚才知道总长求棵数，现在是知道棵数求总长。

  师：模型变了吗？

  生：没有变，还是棵数等于间隔数。9棵树就有9个间隔。

  师：所以，总长=间隔距离×间隔数=8×9=72（米）。

  设计意图：基础练习涵盖正向与逆向应用，检验学生对“棵数=间隔数”模型的理解是否牢固、灵活。逆向问题促使学生审视模型结构，理解其可逆性，深化模型认知。

  环节六：变式应用，辨识模型

  练习3（生活原型辨识）：判断下列情况是否属于“一端栽一端不栽”模型，并说明理由。

  (1)从教学楼一楼到五楼，每层楼梯有20级台阶，小明从一楼开始向上走，走到五楼教室门口，他一共走了多少级台阶？（起点是一楼地面，终点是五楼地面，五楼地面相当于“不栽”的点吗？）

  (2)在一条环形跑道上插彩旗，每隔10米插一面，起点插一面，一共插了40面。（环形，首尾相连，属于封闭图形植树，不是我们今天研究的线段上的问题。）

  (3)一根木头，要把它平均锯成6段，需要锯几次？（锯木头问题：锯的次数相当于“植树”的“点”，段数相当于“间隔”。“锯成6段”就是有6个间隔，“需要锯几次”就是求点数。起点（木头开端）不需要锯，终点（最后一段末端）也不需要锯吗？不，要得到6段，需要在木头内部锯5次，这属于“两端不栽”模型。通过辨析，强化对问题本质的分析，而非表面字眼。）

  师：通过辨析，你有什么体会？

  生：不能只看有没有“树”字，要看清楚起点和终点的情况，找到“点”和“间隔”。

  设计意图：此环节是教学升华的关键。通过辨析各种生活原型，引导学生剥离非本质属性（如“树”、“栽”等字眼），抓住数学本质（点与间隔的对应关系、起点与终点的状态）。这极大地锻炼了学生的模型辨识能力和数学抽象能力，防止机械套用。

  （四）迁移拓展，联结对比，构建知识网络（预计用时：8分钟）

  环节七：对比联系，形成结构

  师：其实，“植树问题”家族还有两位成员。我们一起来回顾和对比一下。（课件动态呈现三种模型的线段图）

  两端都栽：棵数=间隔数+1（起点有点，终点有点，点数比间隔数多1）。

  两端不栽：棵数=间隔数-1（起点无点，终点无点，点数比间隔数少1）。

  一端栽一端不栽（今天我们学的）：棵数=间隔数（起点有点，终点无点，一一对应）。

  师：观察这三种模型，你能发现它们最根本的区别在哪里吗？

  生：区别在起点和终点有没有“点”。

  师：对。正是起点和终点的状态不同，导致了“棵数”与“间隔数”关系的不同。但它们有没有共同点？

  生：都要先求间隔数，间隔数都是“总长÷间隔距离”。

  师：非常好！抓住了不变的核心——“间隔数”的计算方法。万变不离其宗。在解决任何这类问题时，我们第一步都应该分析清楚属于哪种情况，然后选用正确的模型。

  设计意图：将新学习的模型置于“植树问题”知识体系中，通过对比三种基本模型的线段图和数量关系，使学生明晰其区别与联系。引导学生从“起点和终点状态”这一更高视角统摄三种模型，构建系统化的认知结构，实现知识的融会贯通。

  环节八：综合挑战，项目初探

  拓展任务（可作为课后探究项目）：为了迎接校庆，学校计划在一条主干道一侧悬挂灯笼。主干道长120米。计划从校门口（起点）开始挂，每隔一段相等的距离挂一个。现有两种方案：方案一，购买一批灯笼，刚好挂满，终点也挂；方案二，利用现有库存的15个灯笼，从起点开始挂，终点不挂。请你作为小参谋：

  (1)如果采用方案一（两端都挂），且每隔8米挂一个，需要买多少个灯笼？

  (2)如果采用方案二（一端挂一端不挂），为了均匀美观，间隔距离应定为多少米？

  (3)请你再设计一种不同的悬挂方案（可改变起点、终点条件或间隔），并计算所需灯笼数。

  设计意图：设计一个贴近校园生活的综合性、开放性项目任务。它融合了两种模型的识别与应用，并涉及逆向思维（由棵数求间隔距离）和开放设计。这不仅能检验学生本节课的学习成效，更能激发其创造性思维和解决复杂问题的能力，将数学学习引向更深、更广的实践领域。

  （五）总结反思，评价提升（预计用时：2分钟）

  师：同学们，这节课我们共同经历了怎样的学习旅程？你有哪些收获和体会？

  生1：我们研究了“一端栽一端不栽”的问题，发现棵数等于间隔数。

  生2：我学会了用画线段图的方法来帮助理解，知道了一一对应的思想。

  生3：我知道了解决这类问题要先判断属于哪种情况，不能乱套公式。

  师：总结得非常到位。我们不仅学会了一个具体的规律，更重要的是学会了“化繁为简”、“数形结合”、“建模应用”的数学思想方法。希望同学们能用数学的眼光去发现生活中更多有趣的“植树问题”，并用智慧去解决它们。

  设计意图：引导学生从知识、方法、思想等多个维度进行全景式回顾与反思，梳理学习历程，升华学习体验。教师的总结旨在点明核心思想方法，将课堂学习延伸至更广阔的生活世界，落实核心素养的培养。

七、板书设计（预设）

  植树问题：一端栽一端不栽

  （主标题）

  核心探究：

  总长÷间隔距离=间隔数

  棵数=间隔数

  （用大括号突出核心关系式）

  数形结合（线段图示例）：

  （画出表示20米小路、一端植树、4棵树3个间隔的线段图，并用箭头和文字标注