第四章 三角形（10类题型突破）【北师】七下数学专题复习

第四章三角形（十类题型突破）重要题型【考点1】三角形三边关系1．（2023秋•德庆县期末）以下列长度的线段为边，能够组成三角形的是（）A．3，6，9 B．3，5，9 C．2，6，4 D．4，6，92．（2024•潮州模拟）若三角形的三边长分别是4、9、a，则a的取值可能是（）A．3 B．4 C．5 D．63．如果三角形的两条边长分别为2和7，那么这个三角形的周长可以是（）A．14 B．18 C．15 D．204．（2023秋•灵宝市期末）如图，为估计池塘岸边A、B的距离，小杰在池塘的一侧选取一点O，测得OA＝10米，OB＝6米，A、B间的距离可能是（）A．4米 B．12米 C．16米 D．22米【考点2】三角形的稳定性5．（2023秋•殷都区期末）空调安装在墙上时，一般都会采用如图的方法固定，这种方法应用的几何原理是（）A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短C．两点确定一条直线 D．垂线段最短6．（2023秋•武汉期末）在这四个图形中，具有稳定性的有几个？（）①②③④A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．（2023秋•桂平市期末）三角形一边上的中线把原三角形分成两个（）A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形C．直角三角形 D．周长相等的三角形8．（2023秋•平舆县期末）如图，五根木条钉成一个五边形框架ABCDE，要使框架稳固且不活动，至少还需要添根木条．【考点3】三角形的角平分线、中线和高9．（2023秋•香洲区期末）下面四个图形中，线段BD是△ABC的高的是（） A B C D10．（2023秋•崆峒区期末）如图，在△ABC中，BD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，若DC＝6，则AE的长度为（）A．3 B．6 C．9 D．1211．（2023春•偃师市校级期末）如图，CM是△ABC的中线，BC＝8cm，若△BCM的周长比△ACM的周长大3cm，则AC的长为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm12．（2023秋•伊犁州期末）已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为cm2．【考点4】三角形内角和定理13．（2023秋•肥城市期末）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，且∠B＝50°，∠C＝60°，则∠ADE的度数为（）A．80° B．30° C．35° D．50°14．（2023秋•潮南区期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠BAE＝30°，∠CAD＝20°，则∠B＝（）A．45° B．60° C．50° D．55°15．如图，将一个三角形剪去一个角后，∠1+∠2＝230°，则∠A等于（）A．35° B．50° C．65° D．70°16．（2023秋•睢阳区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝25°，则∠CDE＝．17．如图，已知AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，∠A＝56°，则∠DCB的度数是．18．（2023秋•江陵县期末）如图，在△ABC中，AD是高线，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠EAD与∠BOA的度数．【考点5】全等图形19．（2023秋•上饶期末）下列图形中，属于全等图形的一对是（）A． B． C． D．20．下列命题①两个图形全等，它们的形状相同；②两个图形全等，它们的大小相同；③面积相等的两个图形全等；④周长相等的两个图形全等．其中正确的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个21．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠3﹣∠2＝（）A．30° B．45° C．60° D．135°【考点6】全等三角形的性质22．如图，点E在AC上，△ABC≌△DAE，BC＝3，DE＝7，则CE的长为（）A．2 B．3 C．4 D．523．（2022秋•襄州区期末）如图所示，两个三角形全等，则∠α等于（）A．72° B．60° C．58° D．50°24．（2023秋•长兴县期末）如图，已知点F在BC上，且△ABC≌△AEF，有同学在推出AB＝AE，∠B＝∠E后，还分别推出下列结论，其中错误的是（）A．AC＝AF B．∠AFC＝∠AFE C．EF＝BC D．∠FAB＝∠B【考点7】全等三角形的判定25．如图，△ABC与△DEF的边BC，EF在同一条直线上，AB∥DE，且BE＝CF，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，全等的依据是“SAS”，则需要添加的条件是（）A．AC∥DF B．AC＝DF C．∠A＝∠D D．AB＝DE26．（2023秋•枣阳市期末）尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，为了得到∠MBN＝∠PAQ，在用直尺和圆规作图的过程中，得到△ACD≌△BEF的依据是（）A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS27．（2024•安徽模拟）如图，点C和点E分别在AD和AB上，BC与DE交于点F，已知AB＝AD，若要使△ABC≌△ADE，应添加条件中错误的是（）A．BC＝DE B．AC＝AE C．∠ACB＝∠AED＝90° D．∠BCD＝∠DEB28．（2024•前郭县一模）如图，点E、B在AD上，已知AE＝DB，AC＝DF，∠A＝∠D，求证：△ABC≌△DEF．29．（2023秋•无锡期末）如图，AC与DE交于点O，且OE＝OC．点E、C在BF上，BE＝CF，∠A＝∠D．求证：△ABC≌△DFE．30．（2024•雁塔区校级二模）如图，AC＝BD，CE＝DE，AD与BC相交于点E，∠EAB＝∠EBA．求证：△ACB≌△BDA．【考点8】全等三角形的判定与性质31．如图，AB＝ED，BC＝DC，CA＝CE，∠ACB＝80°，∠1＝50°，则∠2＝（）A．20° B．30° C．50° D．80°32．（2023秋•重庆期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，交AD于点F．若AF＝10，则BD的长为（）A．4 B．5 C．8 D．1033．（2023秋•淮北期末）如图，已知∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，下列结论：①EM＝FN；②CM＝EM；③∠FAN＝∠EAM；④△ACN≌△ABM，其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个33．（2023秋•仪征市期末）如图，在△ABC和△AEF中，点E在BC边上，∠C＝∠F，AC＝AF，∠CAF＝∠BAE，EF与AC交于点G．（1）试说明：△ABC≌△AEF；（2）若∠B＝55°，∠C＝20°，求∠EAC的度数．34.如图，点B，F，C，E在直线l上，点A，D在l的两侧，AB∥DE，∠A＝∠D，AB＝DE．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若BE＝10，BF＝3，求FC的长．35．（2023秋•铁岭县期末）如图1，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE相交于点M，连接CM．（1）求证：BE＝AD；（2）用含α的式子表示∠AMB的度数（直接写出结果）；（3）当α＝90°时，取AD，BE的中点分别为点P、Q，连接CP，CQ，PQ，如图2，判断△CPQ的形状，并加以证明．【考点9】全等三角形的应用36．（2023秋•和田地区期末）如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带（）去．A．① B．② C．③ D．①和②37．（2023秋•姜堰区期末）如图，工人师傅常用“卡钳”这种工具测定工件内槽的宽．卡钳由两根钢条AA′、BB′组成，O为AA′、BB′的中点．只要量出A′B′的长度，由三角形全等就可以知道工件内槽AB的长度．那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（）A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS38．（2023秋•惠州期末）如图，小虎用10块高度都是3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离DE的长度为（）A．30cm B．27cm C．24cm D．21cm39．（2023秋•岚山区期末）如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨AB＝AC，点D，E分别是AB，AC的中点，DP，EP是连接弹簧和伞骨的支架，且DP＝EP，已知弹簧P在向上滑动的过程中，总有△ADP≌△AEP，其判定依据是（）A．SSS B．SSA C．ASA D．AAS40．（2023秋•广安期末）小明利用一根3m长的竿子来测量路灯的高度．他的方法是这样的：在路灯前选一点P，使BP＝3m，并测得∠APB＝70°，然后把竖直的竿子CD（CD＝3m）在BP的延长线上移动，使∠DPC＝20°，此时量得BD＝11.2m．根据这些数据，小明计算出了路灯的高度．你知道小明计算的路灯的高度是多少？为什么？41．（2023秋•青铜峡市期末）某大学计划为新生配备如图1所示的折叠凳图2是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿AB和CD的长相等，O是它们的中点．为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为30cm，由以上信息能求出CB的长度吗？如果能，请求出BC的长度，如果不能，请你说明理由．【考点10】尺规作图42．如图，已知△ABC．利用直尺和圆规，根据要求作图，并解决后面的问题．（1）作△ABC的角平分线AD；（2）作∠CBE＝∠ADC，BE交CA的延长线于点E；（要求：保留作图痕迹，不需写作法和证明）（3）图中线段AB与线段AE相等吗？证明你的结论．43．作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹）如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路，（点M，N表示大学，AO，BO表示公路）．现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．你能确定仓库P应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案．44．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°．（1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D；②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数．

第四章三角形（十类题型突破）重要题型【考点1】三角形三边关系1．（2023秋•德庆县期末）以下列长度的线段为边，能够组成三角形的是（）A．3，6，9 B．3，5，9 C．2，6，4 D．4，6，9【答案】D【解答】解：A、3+6＝9，错误；B、3+5＜9，错误；C、2+4＝6，错误；D、6+4＞9，正确，故选：D．2．（2024•潮州模拟）若三角形的三边长分别是4、9、a，则a的取值可能是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【解答】解：∵三角形的三边长分别是4、9、a，∴9﹣4＜a＜9+4，即5＜a＜13．故选：D．3．如果三角形的两条边长分别为2和7，那么这个三角形的周长可以是（）A．14 B．18 C．15 D．20【答案】C【解答】解：设这个三角形的第三边长是x，周长是c，∴7﹣2＜x＜7+2，∴5＜x＜9，∴5+2+7＜x+2+7＜9+2+7，∴14＜c＜18，∴这个三角形的周长可以是15．故选：C．4．（2023秋•灵宝市期末）如图，为估计池塘岸边A、B的距离，小杰在池塘的一侧选取一点O，测得OA＝10米，OB＝6米，A、B间的距离可能是（）A．4米 B．12米 C．16米 D．22米【答案】B【解答】解：连接AB，∵OA＝10米，OB＝6米，∴10米﹣6米＜AB＜10米+6米，即4米＜AB＜16米，故选：B．【考点2】三角形的稳定性5．（2023秋•殷都区期末）空调安装在墙上时，一般都会采用如图的方法固定，这种方法应用的几何原理是（）A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短C．两点确定一条直线 D．垂线段最短【答案】A【解答】解：这种方法应用的数学知识是：三角形的稳定性，故选：A．6．（2023秋•武汉期末）在这四个图形中，具有稳定性的有几个？（）①②③④A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解答】解：根据三角形具有稳定性可知：图①、图④具有稳定性，故选：B．7．（2023秋•桂平市期末）三角形一边上的中线把原三角形分成两个（）A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形C．直角三角形 D．周长相等的三角形【答案】B【解答】解：三角形一边上的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形．故选：B．8．（2023秋•平舆县期末）如图，五根木条钉成一个五边形框架ABCDE，要使框架稳固且不活动，至少还需要添根木条．【答案】2．【解答】解：从图中可以看出，要使框架稳固且不活动，至少还需要添2根木条．故答案为：2．【考点3】三角形的角平分线、中线和高9．（2023秋•香洲区期末）下面四个图形中，线段BD是△ABC的高的是（） A B C D【答案】D【解答】解：由图可得，线段BD是△ABC的高的图是D选项．故选：D．10．（2023秋•崆峒区期末）如图，在△ABC中，BD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，若DC＝6，则AE的长度为（）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】A【解答】解：∵BD是△ABC的中线，∴CD＝AD，∵DC＝6，∴AD＝6，∵BE是△ABD的中线，∴AE＝ED＝AD＝3，故选：A．11．（2023春•偃师市校级期末）如图，CM是△ABC的中线，BC＝8cm，若△BCM的周长比△ACM的周长大3cm，则AC的长为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【答案】C【解答】解：∵CM为△ABC的AB边上的中线，∴AM＝BM，∵△BCM的周长比△ACM的周长大3cm，∴（BC+BM+CM）﹣（AC+AM+CM）＝3cm，∴BC﹣AC＝3cm，∵BC＝8cm，∴AC＝5cm，故选：C．12．（2023秋•伊犁州期末）已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为cm2．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵D为BC中点，根据同底等高的三角形面积相等，∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC＝×4＝2（cm2），同理S△BDE＝S△CDE＝S△BCE＝×2＝1（cm2），∴S△BCE＝2（cm2），∵F为EC中点，∴S△BEF＝S△BCE＝×2＝1（cm2）．故答案为1．【考点4】三角形内角和定理13．（2023秋•肥城市期末）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，且∠B＝50°，∠C＝60°，则∠ADE的度数为（）A．80° B．30° C．35° D．50°【答案】C【解答】解：∵∠B＝50°，∠C＝60°，∴∠BAC＝180°﹣50°﹣60°＝70°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC＝35°，∵DE∥AC，∴∠ADE＝∠DAC＝35°，故选：C．14．（2023秋•潮南区期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠BAE＝30°，∠CAD＝20°，则∠B＝（）A．45° B．60° C．50° D．55°【答案】C【解答】解：∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE＝30°，∴∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC＝30°﹣20°＝10°，∵AD⊥BC，∴∠ADE＝90°，∴∠AED＝90°﹣∠EAD＝80°，∵∠AED＝∠B+∠BAE，∴∠B＝80°﹣30°＝50°，故选：C15．如图，将一个三角形剪去一个角后，∠1+∠2＝230°，则∠A等于（）A．35° B．50° C．65° D．70°【答案】B【解答】解：如图所示：∵∠1+∠3＝180°，∠2+∠4＝180°，∴∠1+∠3+∠2+∠4＝360°，∵∠1+∠2＝230°，∴∠3+∠4＝360°﹣230°＝130°，∵∠A+∠3+∠4＝180°，∴∠A＝180°﹣（∠3+∠4）＝180°﹣130°＝50°，故选：B．16．（2023秋•睢阳区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝25°，则∠CDE＝．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，∠ACB＝90°，∴∠BCD＝∠ECD＝45°，∠B＝∠CED，∵∠A＝25°，∴∠B＝90°﹣25°＝65°，∴∠CED＝65°，∴∠CDE＝180°﹣45°﹣65°＝70°，故答案为：70°．17．如图，已知AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，∠A＝56°，则∠DCB的度数是．【答案】56°．【解答】解：∵AC⊥BC，CD⊥AB，∴∠ACB＝∠BDC＝90°，∴∠A+∠B＝90°＝∠B+∠DCB，∴∠A＝∠DCB，∵∠A＝56°，∴∠DCB＝∠A＝56°．故答案为：56°．18．（2023秋•江陵县期末）如图，在△ABC中，AD是高线，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠EAD与∠BOA的度数．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵AD⊥BC∴∠ADC＝90°∵∠C＝70°∴∠DAC＝180°﹣90°﹣70°＝20°，∵AE平分∠BAC，∴∠CAE＝×50°＝25°∴∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC＝25°﹣20°＝5°；∵∠BAC＝50°，∠C＝70°∴∠BAO＝25°，∠ABC＝60°∵BF是∠ABC的角平分线∴∠ABO＝30°∴∠BOA＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝180°﹣25°﹣30°＝125°．【考点5】全等图形19．（2023秋•上饶期末）下列图形中，属于全等图形的一对是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：选项B中的两个图形的形状一样，大小相等，∴该选项中的两个图形是全等形，故选项B符合题意；选项C中的两个图形形状一样，但大小不相等，选项A，D中的两个图形不是全等形，故选项A，C，D不符合题意．故选：B．20．下列命题①两个图形全等，它们的形状相同；②两个图形全等，它们的大小相同；③面积相等的两个图形全等；④周长相等的两个图形全等．其中正确的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解答】解：①两个图形全等，它们的形状相同，故正确；②两个图形全等，它们的大小相同，故正确；③面积相等的两个图形全等，错误；④周长相等的两个图形全等，错误．所以只有2个正确，故选B．21．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠3﹣∠2＝（）A．30° B．45° C．60° D．135°【答案】B【解答】解：如图，在△ABC和△DEA中，，∴△ABC≌△DEA（SAS），∴∠1＝∠4，∵∠3+∠4＝90°，∴∠1+∠3＝90°，又∵∠2＝45°，∴∠1+∠3﹣∠2＝90°﹣45°＝45°．故选：B．【考点6】全等三角形的性质22．如图，点E在AC上，△ABC≌△DAE，BC＝3，DE＝7，则CE的长为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵△ABC≌△DAE，∴AE＝BC＝3，AC＝DE＝7，∴CE＝AC﹣AE＝7﹣3＝4，故选：C．23．（2022秋•襄州区期末）如图所示，两个三角形全等，则∠α等于（）A．72° B．60° C．58° D．50°【答案】D【分析】根据图形得出DE＝AB＝a，DF＝AC＝c，根据全等三角形的性质得出∠D＝∠A＝50°，即可得出选项．【解答】解：∵DE＝AB＝a，DF＝AC＝c，又∵△ABC和△DEF全等，∴∠D＝∠A＝50°，∴∠α＝50°，故选：D．24．（2023秋•长兴县期末）如图，已知点F在BC上，且△ABC≌△AEF，有同学在推出AB＝AE，∠B＝∠E后，还分别推出下列结论，其中错误的是（）A．AC＝AF B．∠AFC＝∠AFE C．EF＝BC D．∠FAB＝∠B【答案】D【解答】解：∵△ABC≌△AEF，∴AB＝AE，AC＝AF，BC＝EF，∠B＝∠E，∠C＝∠AFE，∠CAB＝∠FAE，∴∠AFC＝∠AFE，故选：D．【考点7】全等三角形的判定25．如图，△ABC与△DEF的边BC，EF在同一条直线上，AB∥DE，且BE＝CF，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，全等的依据是“SAS”，则需要添加的条件是（）A．AC∥DF B．AC＝DF C．∠A＝∠D D．AB＝DE【答案】D【解答】解：需要添加的条件是AB＝DE，理由如下：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF，∵BE＝CF，∴BE+CE＝CF+CE，即BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），故选：D．26．（2023秋•枣阳市期末）尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，为了得到∠MBN＝∠PAQ，在用直尺和圆规作图的过程中，得到△ACD≌△BEF的依据是（）A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS【答案】B【解答】解：根据作法可知：AC＝BE，AD＝BF，CD＝EF，∴△ACD≌△BEF（SSS），∴∠MBN＝∠PAQ，故选：B．27．（2024•安徽模拟）如图，点C和点E分别在AD和AB上，BC与DE交于点F，已知AB＝AD，若要使△ABC≌△ADE，应添加条件中错误的是（）A．BC＝DE B．AC＝AE C．∠ACB＝∠AED＝90° D．∠BCD＝∠DEB【答案】A【解答】解：A、若添加BC＝DE，SSA不能证明△ABC≌△ADE，故符合题意；B、若添加AC＝AE，则可利用SAS证明△ABC≌△ADE，故不符合题意；C、若添加∠ACB＝∠AED＝90°，则可利用AAS证明△ABC≌△ADE，故不符合题意；D、若添加∠BCD＝∠DEB，则可证明∠ACB＝∠AED，可利用AAS证明△ABC≌△ADE，故不符合题意；故选：A．28．（2024•前郭县一模）如图，点E、B在AD上，已知AE＝DB，AC＝DF，∠A＝∠D，求证：△ABC≌△DEF．【答案】证明见详解．【解答】证明：∵AE＝DB，∴AE+EB＝DB+EB即AB＝DE．在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）．29．（2023秋•无锡期末）如图，AC与DE交于点O，且OE＝OC．点E、C在BF上，BE＝CF，∠A＝∠D．求证：△ABC≌△DFE．【答案】证明见解析．【解答】证明：∵OE＝OC，∴∠ACB＝∠DEF，∵BE＝CF，∴BC＝FE，在△ABC和△DFE中，，∴△ABC≌△DFE（AAS）．30．（2024•雁塔区校级二模）如图，AC＝BD，CE＝DE，AD与BC相交于点E，∠EAB＝∠EBA．求证：△ACB≌△BDA．【答案】证明见解析．【解答】证明：∵∠EAB＝∠EBA，∴EA＝EB，∵DE＝CE，∴EA+DE＝EB+CE，∴AD＝BC，在△ACB和△BDA中，，∴△ACB≌△BDA（SSS）【考点8】全等三角形的判定与性质31．如图，AB＝ED，BC＝DC，CA＝CE，∠ACB＝80°，∠1＝50°，则∠2＝（）A．20° B．30° C．50° D．80°【答案】B【解答】解：在△ABC和△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（SSS），∴∠ACB＝∠ECD＝80°，∵∠1＝50°，∴∠2＝∠ECD﹣∠1＝80°﹣50°＝30°，故选：B．32．（2023秋•重庆期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，交AD于点F．若AF＝10，则BD的长为（）A．4 B．5 C．8 D．10【答案】B【解答】解：∵BE⊥AC，∴∠ABE+∠BAE＝90°，∵∠ABE＝45°，∴∠BAE＝∠ABE＝45°，∴AE＝BE，∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠EBC+∠C＝90°，∠FAE+∠C＝90°，∴∠EBC＝∠FAE，在△BEC和△AEF中，，∴△BEC≌△AEF（ASA），∴BC＝AF＝10，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝DC＝BC＝5，故选：B．33．（2023秋•淮北期末）如图，已知∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，下列结论：①EM＝FN；②CM＝EM；③∠FAN＝∠EAM；④△ACN≌△ABM，其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解答】解：∵∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，∴△AEB≌△AFC（AAS），∴∠EAB＝∠FAC，∴∠FAN＝∠EAM，故③符合题意；∵∠E＝∠F＝90°，AE＝AF，∠FAN＝∠EAM，∴△AEM≌△AFN（ASA），∴EM＝FN，故①符合题意；由△AEM≌△AFN（ASA），得到EM＝FN，得不到EM＝CM，故②不符合题意；∵△AEB≌△AFC（AAS），∴AC＝AB，∵∠C＝∠B，∠CAN＝∠BAM，∴△ACN≌△ABM（ASA），故④符合题意，∴正确的有3个．故选：C．33．（2023秋•仪征市期末）如图，在△ABC和△AEF中，点E在BC边上，∠C＝∠F，AC＝AF，∠CAF＝∠BAE，EF与AC交于点G．（1）试说明：△ABC≌△AEF；（2）若∠B＝55°，∠C＝20°，求∠EAC的度数．【答案】（1）见解答；（2）35°．【解答】（1）证明：∵∠CAF＝∠BAE，∴∠CAF+∠EAC＝∠BAE+∠EAC，即∠BAC＝∠EAF，在△ABC和△AEF中，，∴△ABC≌△AEF（ASA）；（2）解：∵∠B＝55°，∠C＝20°，∴∠BAC＝180°﹣55°﹣20°＝105°，∵△ABC≌△AEF，∴AB＝AE，∴∠B＝∠AEB＝55°，∴∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠AEB＝70°，∴∠EAC＝∠BAC﹣∠BAE＝105°﹣70°＝35°．34.如图，点B，F，C，E在直线l上，点A，D在l的两侧，AB∥DE，∠A＝∠D，AB＝DE．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若BE＝10，BF＝3，求FC的长．【答案】（1）证明见解析；（2）4．【解答】（1）证明：∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠DEF．在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（ASA）；（2）解：∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF．∴BF＝EC．∵BE＝10，BF＝3，∴FC＝BE﹣BF﹣EC＝4．35．（2023秋•铁岭县期末）如图1，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE相交于点M，连接CM．（1）求证：BE＝AD；（2）用含α的式子表示∠AMB的度数（直接写出结果）；（3）当α＝90°时，取AD，BE的中点分别为点P、Q，连接CP，CQ，PQ，如图2，判断△CPQ的形状，并加以证明．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图1，∵∠ACB＝∠DCE＝α，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE＝AD；（2）如图1，∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE，∵△ABC中，∠BAC+∠ABC＝180°﹣α，∴∠BAM+∠ABM＝180°﹣α，∴△ABM中，∠AMB＝180°﹣（180°﹣α）＝α；（3）△CPQ为等腰直角三角形．证明：如图2，由（1）可得，BE＝AD，∵AD，BE的中点分别为点P、Q，∴AP＝BQ，∵△ACD≌△BCE，∴∠CAP＝∠CBQ，在△ACP和△BCQ中，，∴△ACP≌△BCQ（SAS），∴CP＝CQ，且∠ACP＝∠BCQ，又∵∠ACP+∠PCB＝90°，∴∠BCQ+∠PCB＝90°，∴∠PCQ＝90°，∴△CPQ为等腰直角三角形．【考点9】全等三角形的应用36．（2023秋•和田地区期末）如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带（）去．A．① B．② C．③ D．①和②【答案】C【解答】解：第一块，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法；第二块，仅保留了原三角形的一部分边，所以该块不行；第三块，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，所以符合ASA判定，所以应该拿这块去．故选：C．37．（2023秋•姜堰区期末）如图，工人师傅常用“卡钳”这种工具测定工件内槽的宽．卡钳由两根钢条AA′、BB′组成，O为AA′、BB′的中点．只要量出A′B′的长度，由三角形全等就可以知道工件内槽AB的长度．那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（）A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS【答案】A【解答】解：∵O是AA′，BB′的中点，∴AO＝A′O，BO＝B′O，又∵∠AOB与∠A′OB′是对顶角，∴∠AOB＝∠A′OB′，在△AOB和△A′OB′中，∵，∴△AOB≌△A′OB′（SAS），∴A′B′＝AB，∴只要量出A′B′的长度，就可以知道工作的内径AB是否符合标准，∴判定△OAB≌△OA′B′的理由是SAS．故选：A．38．（2023秋•惠州期末）如图，小虎用10块高度都是3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离DE的长度为（）A．30cm B．27cm C．24cm D．21cm【答案】A【解答】解：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠DAC，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS）；由题意得：AD＝EC＝9cm，DC＝BE＝21cm，∴DE＝DC+CE＝30（cm），答：两堵木墙之间的距离为30cm．故选：A．39．（2023秋•岚山区期末）如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨AB＝AC，点D，E分别是AB，AC的中点，DP，EP是连接弹簧和伞骨的支架，且DP＝EP，已知弹簧P在向上滑动的过程中，总有△ADP≌△AEP，其判定依据是（）A．SSS B．SSA C．ASA D．AAS【答案】A【解答】解：∵AB＝AC，点D，E分别是AB，AC的中点，∴AD＝AE，在△ADP和△AEP中，．∴△ADP≌△AEP（SSS），故选：A．40．（2023秋•广安期末）小明利用一根3m长的竿子来测量路灯的高度．他的方法是这样的：在