第五章 生活中的轴对称（6类易错点）【北师】七下数学专题复习

第五章生活中的轴对称（6类易错点）易错点1角平分线的性质【指点迷津】掌握角平分线的性质并运用1．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（）A．8 B．6 C．5 D．42．如图，△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BM，CM交于点M，下列结论：①∠MBC＝∠MCB；②∠BMC＝∠MCB+∠MBC+∠A；③∠BMC＝90°+∠A；④点M到AB，AC的距离相等．其中，正确的是（）A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④3．东湖高新区为打造成“向往之城”，正建设一批精品口袋公园．如图所示，△ABC是一个正在修建的口袋公园．要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路AB、AC的距离相等，且使得S△ABH＝S△BCH，则凉亭H是（）A．∠BAC的角平分线与AC边上中线的交点 B．∠BAC的角平分线与AB边上中线的交点 C．∠ABC的角平分线与AC边上中线的交点 D．∠ABC的角平分线与BC边上中线的交点4．三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果要在三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场可选的位置有（）A．1处 B．2处 C．3处 D．4处5．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是10、15、20．其三条角平分线交于点O，将△ABC分为三个三角形，S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（）A．1：1：2 B．1：2：3 C．2：3：4 D．1：2：47．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积是____．8．如图，在三角形ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，且AD＝2CD，AC＝6，点E是AB上一点，连接DE，则DE的最小值为____．易错点2线段垂直平分线的性质【指点迷津】掌握并理解垂直平分线的性质，结合等量代换思想运用。9．如图，在△ABC中，DE垂直平分BC分别交AC，BC边于点D，E．若AB＝3，AC＝5，则△ABD的周长为（）A．6 B．7 C．8 D．1010．如图，在△ABC中，∠B＝76°，边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，连接AD，若AB+BD＝BC，则∠C的度数为（）A．28° B．38° C．36° D．30°11．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABC的周长为19cm，则△ABD的周长为（）A．10cm B．13cm C．16cm D．18cm12．如图，∠B＝20°，∠C＝35°，若MP和FN分别垂直平分AB和AC，则∠PAF等于（）A．70° B．75° C．80° D．85°易错点3等腰三角形的性质【指点迷津】等腰三角形的性质：等边对顶角，三线合一。题目不明确时注意分类讨论。13．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则它的顶角的度数为（）A．42° B．42°或138° C．48°或96° D．48°14．已知等腰三角形两边的长x、y满足|x2﹣9|+（y﹣4）2＝0，则三角形周长为（）A．10 B．11 C．12 D．10或1115．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E，若∠E＝32°，则∠BAC的度数是（）A．32° B．52° C．64° D．68°16．已知等腰三角形ABC的底边BC＝6cm，且|AC﹣BC|＝3cm，那么△ABC的周长为（）A．12cm B．12cm或24cm C．24cm D．12cm或21cm17．某城市几条道路的位置关系如图所示，道路AB∥CD，道路AB与AE的夹角∠BAE＝80°，城市规划部门想新修一条道路CE，要求CF＝EF，则∠C的度数为（）A．30° B．40° C．50° D．80°18．等腰三角形有两边长为3和7，则该等腰三角形的周长为（）A．13 B．17 C．13或17 D．10或1319．如图，在△ABC中，AB＝AC，AP平分∠BAC，若BC＝8，那么BP的长度为（）A．3 B．4 C．5 D．620．已知等腰三角形的一个外角等于100°，则它的顶角是（）A．80° B．20° C．80°或20° D．不能确定21．如图，已知等腰三角形ABC，AB＝AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（）A．∠EBC＝∠BAC B．∠EBC＝∠ABEC．AE＝EC D．AE＝BE22．如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB＝AC，∠1＝20°，∠ABC＝54°，则∠2的度数为____．23．如图，点O在直线l上，点A在直线l外．若直线l上有一点P使得△APO为等腰三角形，则满足条件的点P位置有____个．易错点4轴对称图形【指点迷津】掌握轴对称性质。25．人们常说：“地下文明看陕西，地上文明看山西．”山西素有“三晋古建甲天下”之称，以下是山西一些古城的图标设计图，其中是轴对称图形的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个26．下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（）A． B．C． D．易错点5最短路径问题【指点迷津】利用轴对称的性质解决最小值问题27．如图，在△ABC中AB＝AC，BC＝4，面积是20，AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于E、F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（）A．6 B．8 C．10 D．12易错点6翻折变换（折叠问题）【指点迷津】结合轴对称的性质解题28．如图已知，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后与BC的交点为G，D、C分别在M、N的位置上，有下列结论：①EF平分∠MED；②∠2＝2∠3；③；④∠1+2∠3＝180°，其中一定正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．429．如图，把一个长方形纸片沿OG折叠后，C，D两点分别落在C'，D'两点处，若∠AOD'：∠D'OG＝4：3，则∠DOG＝____度．

第五章生活中的轴对称（6类易错点）易错点1角平分线的性质【指点迷津】掌握角平分线的性质并运用1．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（）A．8 B．6 C．5 D．4【答案】C【解答】解：作EF⊥BC于F，∵BE平分∠ABC，EF⊥BC，ED⊥AB，∴EF＝DE＝2，∴△BCE的面积＝×BC×EF＝＝5．故选：C．2．如图，△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BM，CM交于点M，下列结论：①∠MBC＝∠MCB；②∠BMC＝∠MCB+∠MBC+∠A；③∠BMC＝90°+∠A；④点M到AB，AC的距离相等．其中，正确的是（）A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④【答案】C【解答】解：过点M作MD⊥BC，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分别为D，E，F，∵BM平分∠ABC，CM平分∠ACB，∴∠ABM＝∠MBC＝∠ABC，∠ACM＝∠MCB＝∠ACB，∴∠BMC＝180°﹣（∠MBC+∠MCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝180°﹣90°+∠A，＝90°+∠A，∵∠A+∠ABM+∠ACM＝180°﹣（∠MBC+∠MCB），∴∠BMC＝∠A+∠ABM+∠ACM＝∠A+∠MBC+∠MCB，∵BM平分∠ABC，MD⊥BC，ME⊥AB，∴MD＝ME，∵CM平分∠ACB，MD⊥BC，MF⊥AC，∴MD＝MF，∴ME＝MF，∴点M到AB，AC的距离相等，∵∠ABC≠∠ACB，∴∠MBC≠∠MCB，故②③④正确，①不正确；故选：C．3．东湖高新区为打造成“向往之城”，正建设一批精品口袋公园．如图所示，△ABC是一个正在修建的口袋公园．要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路AB、AC的距离相等，且使得S△ABH＝S△BCH，则凉亭H是（）A．∠BAC的角平分线与AC边上中线的交点 B．∠BAC的角平分线与AB边上中线的交点 C．∠ABC的角平分线与AC边上中线的交点 D．∠ABC的角平分线与BC边上中线的交点【答案】A【解答】解：如图：∵AD平分∠BAC，点H在AD上，∴点H到AB、AC的距离相等，∵BE是AC边上的中线，∴△ABE的面积＝△BCE的面积，△AHE的面积＝△CHE的面积，∴△ABE的面积﹣△AHE的面积＝△BCE的面积﹣△CHE的面积，∴△ABH的面积＝△CBH的面积，∴凉亭H是∠BAC的角平分线与AC边上中线的交点，故选：A．4．三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果要在三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场可选的位置有（）A．1处 B．2处 C．3处 D．4处【答案】A【解答】解：三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果要在三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场可选的位置应该在△ABC三个角的角平分线的交点处，可选的位置有1处，故选：A．5．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是10、15、20．其三条角平分线交于点O，将△ABC分为三个三角形，S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（）A．1：1：2 B．1：2：3 C．2：3：4 D．1：2：4【答案】C【解答】解：过点O作OD⊥AB，垂足为D，过点O作OE⊥BC，垂足为E，过点O作OF⊥AC，垂足为F，∵△ABC的三条角平分线交于点O，∴OD＝OE＝OF，∵AB＝10，BC＝15，AC＝20，∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝AB：BC：AC＝10：15：20＝2：3：4，故选：C．7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积是__15__．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，作DE⊥AB于E，由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，∵∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝DC＝3，∴△ABD的面积＝×AB×DE＝×10×3＝15，故答案为：15．8．如图，在三角形ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，且AD＝2CD，AC＝6，点E是AB上一点，连接DE，则DE的最小值为__2__．【答案】2．【解答】解：如图：当DE⊥AB时，DE有最小值，∵AD＝2CD，AC＝6，∴CD＝AC＝2，∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DC⊥BC，∴DE＝DC＝2，∴DE的最小值为2，故答案为：2．易错点2线段垂直平分线的性质【指点迷津】掌握并理解垂直平分线的性质，结合等量代换思想运用。9．如图，在△ABC中，DE垂直平分BC分别交AC，BC边于点D，E．若AB＝3，AC＝5，则△ABD的周长为（）A．6 B．7 C．8 D．10【答案】C【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线，∴DB＝DC，∵AB＝3，AC＝5，∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+AD+CD＝AB+AC＝3+5＝8，故选：C．10．如图，在△ABC中，∠B＝76°，边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，连接AD，若AB+BD＝BC，则∠C的度数为（）A．28° B．38° C．36° D．30°【答案】B【解答】解：∵AB+BD＝BC，CD+BD＝BC，∴AB＝CD，∵DE是AC的垂直平分线，∴DA＝DC，∴AB＝AD，∴∠B＝∠ADB＝76°，∵∠ADB是△ACD的一个外角，∴∠ADB＝∠C+∠CAD，∵DA＝DC，∴∠C＝∠CAD＝∠ADB＝38°，故选：B．11．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABC的周长为19cm，则△ABD的周长为（）A．10cm B．13cm C．16cm D．18cm【答案】B【解答】解：∵AC的垂直平分线DE交BC于D，E为垂足，∴AD＝DC，AC＝2AE＝6cm，∵△ABC的周长为19cm，∴AB+BC＝13cm，∴△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC＝13cm．故选：B．12．如图，∠B＝20°，∠C＝35°，若MP和FN分别垂直平分AB和AC，则∠PAF等于（）A．70° B．75° C．80° D．85°【答案】A【解答】解：∵∠B＝20°，∠C＝35°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝125°，∵MP和FN分别垂直平分AB和AC，∴PB＝PA，FA＝FC，∴∠B＝∠BAP＝20°，∠C＝∠CAF＝35°，∴∠PAF＝∠BAC﹣∠BAP﹣∠CAF＝70°，故选：A．易错点3等腰三角形的性质【指点迷津】等腰三角形的性质：等边对顶角，三线合一。题目不明确时注意分类讨论。13．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则它的顶角的度数为（）A．42° B．42°或138° C．48°或96° D．48°【答案】B【解答】解：分两种情况：当等腰三角形是锐角三角形时，如图：在△ABC中，AB＝AC，∠ABD＝48°，BD⊥AC，∴∠ADB＝90°，∴∠A＝90°﹣∠ABD＝42°；当等腰三角形是钝角三角形时，如图：在△ABC中，AB＝AC，∠ABD＝48°，BD⊥AC，∴∠ADB＝90°，∵∠BAC是△ABD的一个外角，∴∠BAC＝∠ADB+∠ABD＝138°；综上所述：它的顶角的度数为42°或138°，故选：B．14．已知等腰三角形两边的长x、y满足|x2﹣9|+（y﹣4）2＝0，则三角形周长为（）A．10 B．11 C．12 D．10或11【答案】D【解答】解：∵|x2﹣9|+（y﹣4）2＝0，∴x2﹣9＝0，y﹣4＝0，解得：x＝±3，y＝4，∵x、y是等腰三角形的两边长，∴x＝3，y＝4，分两种情况：当等腰三角形的腰长为3，底边长为4时，∴这个三角形的周长＝3+3+4＝10；当等腰三角形的腰长为4，底边长为3时，∴这个三角形的周长＝3+4+4＝11；综上所述：三角形的周长为10或11，故选：D．15．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E，若∠E＝32°，则∠BAC的度数是（）A．32° B．52° C．64° D．68°【答案】B【解答】解：∵AE∥BD，∴∠CBD＝∠E＝32°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠CBD＝64°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝64°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝52°，故选：B．16．已知等腰三角形ABC的底边BC＝6cm，且|AC﹣BC|＝3cm，那么△ABC的周长为（）A．12cm B．12cm或24cm C．24cm D．12cm或21cm【答案】C【解答】解：∵|AC﹣BC|＝3cm，BC＝6cm，∴AC＝9cm或AC＝3cm，分两种情况：当等腰三角形ABC的腰长AC＝AB＝3cm时，∵3+3＝6，∴不能组成三角形；当等腰三角形ABC的腰长AC＝AB＝9cm时，∴△ABC的周长＝9+9+6＝24（cm），综上所述：△ABC的周长为24cm，故选：C．17．某城市几条道路的位置关系如图所示，道路AB∥CD，道路AB与AE的夹角∠BAE＝80°，城市规划部门想新修一条道路CE，要求CF＝EF，则∠C的度数为（）A．30° B．40° C．50° D．80°【答案】B【解答】解：∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠DFE＝80°，∴∠EFC＝180°﹣∠DFE＝100°，∵FE＝FC，∴∠C＝∠E＝＝40°，故选：B．18．等腰三角形有两边长为3和7，则该等腰三角形的周长为（）A．13 B．17 C．13或17 D．10或13【答案】B【解答】解：分两种情况：当等腰三角形的腰长为3，底边长为7时，∵3+3＝6＜7，∴不能组成三角形；当等腰三角形的腰长为7，底边长为3时，∴该等腰三角形的周长＝7+7+3＝17；综上所述：该等腰三角形的周长为17，故选：B．19．如图，在△ABC中，AB＝AC，AP平分∠BAC，若BC＝8，那么BP的长度为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解答】解：∵AB＝AC，AP平分∠BAC，BC＝8，∴BP＝CP＝BC＝4，故选：B．20．已知等腰三角形的一个外角等于100°，则它的顶角是（）A．80° B．20° C．80°或20° D．不能确定【答案】C【解答】解：①若100°是顶角的外角，则顶角＝180°﹣100°＝80°；②若100°是底角的外角，则底角＝180°﹣100°＝80°，那么顶角＝180°﹣2×80°＝20°．故选：C．21．如图，已知等腰三角形ABC，AB＝AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（）A．∠EBC＝∠BAC B．∠EBC＝∠ABEC．AE＝EC D．AE＝BE【答案】A【解答】解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，∴BE＝BC，∴∠ACB＝∠BEC，∴∠BEC＝∠ABC＝∠ACB，∴∠A＝∠EBC，故选：A．22．如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB＝AC，∠1＝20°，∠ABC＝54°，则∠2的度数为52°．【答案】52°．【解答】解：如图：∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝54°，∴∠CAB＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝72°，∵∠1＝20°，∴∠3＝∠CAB﹣∠1＝52°，∵l1∥l2，∴∠3＝∠2＝52°，故答案为：52°．23．如图，点O在直线l上，点A在直线l外．若直线l上有一点P使得△APO为等腰三角形，则满足条件的点P位置有__4__个．【答案】4．【解答】解：如图：分三种情况：当OA＝OP时，以点O为圆心，以OA长为半径作圆，交直线l于点P1，P2；当AO＝AP时，以点A为圆心，以AO长为半径作圆，交直线l于点P3；当PA＝PO时，作OA的垂直平分线，交直线l于点P4；综上所述：若直线l上有一点P使得△APO为等腰三角形，满足条件的点P位置有4个，故答案为：4．易错点4轴对称图形【指点迷津】掌握轴对称性质。25．人们常说：“地下文明看陕西，地上文明看山西．”山西素有“三晋古建甲天下”之称，以下是山西一些古城的图标设计图，其中是轴对称图形的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解答】解：左起第三个图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；第一、第二和第四个图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．所以其中是轴对称图形的有3个．故选：C．26．下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（）A． B．C． D．【答案】C【解答】解：A，B，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．故选：C．易