寒假作业12 探究与表达规律（28道经典题型+5道中考真题）-七年级数学寒假作业

完成时间：________月________日天气：寒假作业12探究与表达规律积累运用一、图形规律探究的一般步骤：1.写序号:记每组图形的序数为“1，2,3，...，n"(如题图中的图分别标为图①，图②，图③，...；2.数图形个数:在图形数量变化时，要记录每组图形个数(图①，图②,图③，...分别是由几个图形组成)；3.寻找图形数量与序数n的关系：①观察所给图形和上一个图(基础图)，找出增加的部分；②将增加的图形个数用含序数的式子表示出来；③归纳出含有序数n的关系式．二、数字规律探究的一般步骤：1.当所给的组数是整数时，先观察这组数字是自然数列、正数列、奇数列、偶数列还是正整数列经过平方、平方加1或减1等运算后的数列，然后再看这组数字的符号，判断数字符号的正负是交替出现还是只出现一种符号，最后把数字规律和符号规律结合起来从而得到结果；2.当数字是分数和整数结合时，先把这组数据的所有整数写成分数，然后分别推断出分子和分母的规律，最后得到该组第n项的规律；3.当所给的代数式含有系数时，先观察其每一项的系数之间是否有自然数列、正整数列、奇数列、偶数列或交替存在一定的对称性，然后观察其指数是否存在相似的规律，最后将系数和指数的规律结合起来求得结果．三、等式规律探究的一般步骤1.标序数；2.对比式子与序号，即分别比较等式中各部分与序数(1，2,3,4，...，n)之间的关系，把其隐含的规律用含序数的式子表示出来，通常方法是将式子进行拆分，观察式子中数字与序号是否存在倍数或者次方的关系；3.根据找出的规律得出第n个等式，并进行检验．基础过关练1．用火柴棍搭建如图所示的小鱼图形，搭建第6个小鱼图形需要用到的火柴棍根数是（

）

A．36 B．38 C．40 D．482．工人师傅要把一根质地均匀的圆柱形木料锯成若干段，按如图的方式锯开，每锯断一次所用的时间相同．若锯成6段需要10分钟，则锯成（，且为整数）段所需的时间为（

）

A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟3．一个纸环链，纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列，截去其中的一部分，剩下部分如图所示，则被截去部分纸环的个数可能是（

）A． B． C． D．4．已知整数，，，，满足下列条件：，，，，依此类推，则的值为（

）A． B． C． D．5．一组按规律排列的单项式：，，，，…，其中第10个式子是（）A． B． C． D．6．如图，是按照一定规律画出的“树形图”，经观察可以发现：图①中有1个“树枝”，图②中有3个“树枝”，图③中有7个“树枝”……照此规律，图⑦中有（

）个“树枝”．

A．63个 B．87个 C．91个 D．127个7．将一张长方形的纸按如图对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，第一次对折后可得到1条折痕（图中虚线），第二次对折后可得到3条折痕，第三次对折后得到7条折痕，那么第7次对折后得到的折痕比第5次对折后得到的折痕多____________条．

8．观察下列图形：根据图形的变化规律，第个图形共有__________个点．9．你玩过“数字黑洞”的游戏吗？下面我们就来玩一种数字游戏，它可以产生“黑洞数”，操作步骤如下：第一步，任意写出一个自然数(以下称为原数)；第二步，再写出一个新的三位数，它的百位数字是原数中偶数数字的个数，十位数字是原数中奇数数字的个数，个位数字是原数的位数；以下每一步，都对上一步得到的数按照第二步的规则继续操作，直至这个数不再变化为止．不管你开始写的是一个什么数，几步之后变成的自然数总是相同的，最后这个总相同的数就称为“黑洞数”．请你以20221019为例进行尝试：这个数字游戏的“黑洞数”是__________________________．(零作为偶数)10．如图是某月的月历．

(1)十字框中的五个数的和与中间数有什么关系？(2)若将十字框上、下、左、右平移，可框住另外五个数，设中间数为a，这五个数还有这种规律吗？若有请证明，若没有请说明理由．能力提升练11．等边在数轴上的位置如图所示，点A、C对应的数分别为0和﹣1，若△ABC绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1；则翻转100次后，点B所对应的数是（

）A．99 B．100 C．101 D．10312．观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2022应标在（

）

A．第506个正方形的左下角 B．第506个正方形的右上角C．第505个正方形的右上角 D．第505个正方形的左下角13．察图中每一个圆中各点处所标数字的规律，2021应标在（

）A．第505个圆的“A”点处 B．第506个圆的“B”点处C．第506个圆的“A”点处 D．第505个圆的“D”点处14．如图是一组有规律的图案，第①个图案由4个基础图形组成，第②个图案由7个基础图形组成，……，设第n（n是正整数）个图案是由y个基础图形组成的，则y与n之间的关系式是________________．

15．下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：

根据此规律确定的值为____________，的值为____________，的值为____________．16．如图，将一串有理数按一定规律排列，探索下列问题：

(1)在A处的数是正数还是负数？(2)负数排在A，B，C，D中的什么位置？(3)第2021个数是正数还是负数？排在对应于A，B，C，D中的什么位置？17．如图，从左向右依次摆放序号分别为1，2，3，……，n的小桶，其中任意相邻的四个小桶所放置的小球数之和相等．

(1)______．(2)若，则这些小桶内所放置的小球数之和是多少？(3)用含k（k为正整数）的代数式表示装有“2个球”的小桶序号为______．18．如图，每个小正方形的面积均为1．将左图中黑色的小正方形移动，得到右边拼成的长方形，根据两种图形方法计算小正方形的个数；如图得出以下等式：(1)请写出第3个等式：__________；(2)猜想第n个等式为：__________（用含n的等式表示）；(3)当n为多少时，左图中的最底端有2024个小正方形？此时左图中共有多少个小正方形？19．如下表，从左边第1个格子开始依次在每个格子中填入一个正整数，第1个格子填入，第2个格子填入，第3个格子填入，…，第个格子填入，以此类推，表中任意4个相邻格子中所填正整数之和都相等，其中．……(1)若，则____________；____________；(2)若，求表中前100个数的和；(3)将表中前2022个数的和记为S，若，求S的值．拓展培优练20．已知，，且m，n均为正整数，如果将进行如图所示的“分解”，那么下列四个叙述中：①在的“分解”中最大的数是11；②在的“分解”中最小的数是13；③若的“分解”中最大的数是29，则；④若的“分解”中最小的数是79，则；正确的有（

）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个21．将边长为1的正方形纸片按如图1所示的方法进行对折，记第一次对折后得到的图形面积为S1，第2次对折后得到的图形面积为S2，…，第n次对折后得到的图形面积为Sn，请根据图2化简（

）A． B． C． D．22．英语字母表中的字母排列顺序是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，若尾字母的后面又接上首字母，则可将个字母排成一个循环圆圈，现给定一个破译密码“”（其中代表字母表中的任意一个字母，表示将该字母换成向后移动位所得到的字母），就可以将“暗语”破译成“明语”，如“暗语”可通过破译密码“”破译成“明语”，则利用该破译密码对“暗语”破译正确的“明语”是（

）A． B． C． D．23．一只小球落在数轴上的某点，第一次从向左跳1个单位到，第二次从向右跳2个单位到，第三次从向左跳3个单位到，第四次从向右跳4个单位到若按以上规律跳了100次时，它落在数轴上的点所表示的数恰好是2021，则这只小球的初始位置点所表示的数是（

）A．1971 B．1970 C． D．24．定义一种关于整数n的“F”运算：（1）当n是奇数时，结果为；（2）当n是偶数时，结果是（其中k是使是奇数的正整数），并且运算重复进行．例如：取，第一次经F运算是29，第二次经F运算是92，第三次经F运算是23，第四次经F运算是74，……；若，则第2020次运算结果是（

）A．1 B．2 C．7 D．825．（1）观察下列图形与等式的关系，并填空：

①

②

③

④

⑤（________）（2）归纳上述图形变化规律：[________]=________；（3）根据上述结论计算=________26．我国著名数学家华罗庚曾经说过，“数形结合百般好，隔裂分家万事非”，数形结合的思想方法在数学中应用极为广泛．观察下列按照一定规律堆砌的钢管的横截面图：用含n的式子表示第n个图的钢管总数．【分析思路】图形规律中暗含数字规律，我们可以采用分步的方法，从图形排列中找规律；把图形看成几个部分的组合，找到每一部分对应的数字规律，进而找到整个图形对应的数字规律．如：要解决上面问题，我们不妨先从特例入手（统一用表示第n个图形钢管总数）．【解决问题】(1)如图，如果把每个图形按照它的行来分割观察，你发现了这些钢管的堆砌规律了吗？像的情形那样，在所给横线上，请用数学算式表达你发现的规律．，___________．(2)其实，对同一个图形，我们的分析眼光可以是不同的．请你像（1）那样对每一个所给图形添加分割线，提供与（1）不同的分割方式；并在所给横线上，请用数学算式表达你发现的规律：___________，___________，___________，___________．(3)用含n的式子列式，并计算第n个图的钢管总数为___________．27．如图所示，是由若干棱长相同的小正方体叠成的几何体．第1个几何体由1个小正方体叠成，第2个几何体由4个小正方体叠成，第3个几何体由10个小正方体叠成，……请你解决以下问题：(1)按此规律，第4个几何体由________个正方体叠成；(2)为了方便表述，我们记第个几何体由个小正方体叠成（其中），则________；________；________；(3)求值：.28．提出问题：有12个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是4、3、5，现要用这12个纸盒搭成一个大长方体，怎样搭可使长方体的表面积最小？分析问题：对于这种问题，我们一般采用复杂问题简单化的策略，进行由特殊到一般的探究．探究一：我们以两个长、宽、高分别是4、3、5的长方体为例进行分析．我们发现，无论怎样放置这两个长方体纸盒，搭成的大长方体体积都不变，但是由于摆放位置的不同，它们的表面积会发生变化，经过操作，发现共有3种不同的摆放方式，如图所示．

(1)请计算图1、图2、图3中的拼成的新的大长方体的长、宽、高及其表面积，并填充下表：长（cm）宽（cm）高（cm）表面积（cm2）图1546148图21043164图3583____________根据上表可知，表面积最小的是____________所示的长方体．（填“图1”、“图2”、“图3”）(2)探究二：有4个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是5、4、3，现要用这4个纸盒搭成一个大长方体，怎样搭可使长方体的表面积最小？先画出各种摆法的示意图，再根据各自的表面积得到最小摆法，是一种常规的方法，但比较耗时，也不方便，可以按照下列思路考虑：在图1的基础上继续摆，要使表面积小，就要重叠大面，得到的长方体，这个长方体的表面积为____________；在图2的基础上继续摆，要使表面积小，就要重叠大面，得到的长方体，这个长方体的表面积为____________；在图3的基础上继续摆，要使表面积小，就要重叠大面，得到的长方体，这个长方体的表面积为____________；综上所述，有4个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是5、4、3，要用这4个纸盒搭成一个大长方体的表面积最小为____________．(3)探究三：我们知道，在体积相同的前提下，正方体的表面积最小，所以我们可以尽可能地使所搭成的几何体为正方体或接近正方体，我们还可以这样思考：将4分解质因数，得到，或两种情况，通过与小长方体的长宽高进行组合：在时，搭成的L×K×H的大长方体最接近正方体，此时表面积最小，表面积为____________（直接写出结果）．类比应用：请你仿照探究三的解题思路，解答开始提出的问题：有12个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是4、3、5，现要用这12个纸盒搭成一个大长方体，怎样搭可使长方体的表面积最小？拓展延伸：将168个棱长为的小正方体，拼成一个长方体，使得长方体的表面积达到最小，这个表面积是____________．29．问题探究：如图1，2个角的各边相交，第2个角的每条边最多会与第1个角的2条边新产生2个交点，所以共有个交点；如图2，3个角的各边相交，第3个角的每条边最多会与前面2个角的4条边新产生4个交点，所以共有个交点；若4个角的各边相交，第4个角的每条边最多会与前面3个角的6条边新产生6个交点，所以共有个交点；……(1)若5个角的各边相交，最多有多少个交点？（仿照上面的“问题探究”中的方法，写出必要的探究过程）(2)直接写出10个角的各边相交，最多共有________个交点；(3)直接写出n个角的各边相交，最多共有________个交点（用含n的代数式表示）．中考真题练30．（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）观察下面两行数：取每行数的第7个数，计算这两个数的和是（

）A．92 B．87 C．83 D．7831．（2023·四川绵阳·统考中考真题）如下图，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成以下图形，第1幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为，第3幅图形中“●”的个数为，…，以此类推，那么的值为（）

A． B． C． D．32．（2023·湖南常德·统考中考真题）观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数若排在第a行b列，则的值为(

)

……A．2003 B．2004 C．2022 D．202333．（2023·四川内江·统考中考真题）对于正数x，规定，例如：，，，，计算：（）A．199 B．200 C．201 D．20234．（2023·四川甘孜·统考中考真题）有一列数，记第个数为，已知，当时，则的值为__________________．35．（2023·湖北随州·统考中考真题）某天老师给同学们出了一道趣味数学题：设有编号为1-100的100盏灯，分别对应着编号为1-100的100个开关，灯分为“亮”和“不亮”两种状态，每按一次开关改变一次相对应编号的灯的状态，所有灯的初始状态为“不亮”．现有100个人，第1个人把所有编号是1的整数倍的开关按一次，第2个人把所有编号是2的整数倍的开关按一次，第3个人把所有编号是3的整数倍的开关按一次，……，第100个人把所有编号是100的整数倍的开关按一次．问最终状态为“亮”的灯共有多少盏？几位同学对该问题展开了讨论：甲：应分析每个开关被按的次数找出规律：乙：1号开关只被第1个人按了1次，2号开关被第1个人和第2个人共按了2次，3号开关被第1个人和第3个人共按了2次，……丙：只有按了奇数次的开关所对应的灯最终是“亮”的状态．根据以上同学的思维过程，可以得出最终状态为“亮”的灯共有_____________盏．

寒假作业12探究与表达规律参考答案基础过关练1．用火柴棍搭建如图所示的小鱼图形，搭建第6个小鱼图形需要用到的火柴棍根数是（

）

A．36 B．38 C．40 D．48【答案】B【解析】∵第1个图中有火柴棒（根），第2个图形有火柴棒（根），第3个图形有火柴棒（根），……第n个图形有根，∴第6个小鱼图形需要用到的火柴棍根数为（根），故B正确．故选B．2．工人师傅要把一根质地均匀的圆柱形木料锯成若干段，按如图的方式锯开，每锯断一次所用的时间相同．若锯成6段需要10分钟，则锯成（，且为整数）段所需的时间为（

）

A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟【答案】B【解析】∵锯成6段需要锯5次，需要10分钟，∴每锯断一次所用的时间是2分钟，∵锯成n段需要锯次，锯成n段需要的时间为：(分钟)，故选B．3．一个纸环链，纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列，截去其中的一部分，剩下部分如图所示，则被截去部分纸环的个数可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列，完整纸环是5的倍数；中间缺少蓝紫红3个，由题意设被截去部分为，故选D．4．已知整数，，，，满足下列条件：，，，，依此类推，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，，，，，，……∴当下标为偶数时，其值等于下标的一半的相反数，∴．故选B.5．一组按规律排列的单项式：，，，，…，其中第10个式子是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵第1个单项式为；第2个单项式为；第3个单项式为；…∴第n个单项式为；∴第10个单项式为：，故选C．6．如图，是按照一定规律画出的“树形图”，经观察可以发现：图①中有1个“树枝”，图②中有3个“树枝”，图③中有7个“树枝”……照此规律，图⑦中有（

）个“树枝”．

A．63个 B．87个 C．91个 D．127个【答案】D【解析】经观察可以发现：图①中有1个“树枝”，图②中有个“树枝”,图③中有个“树枝”,…,

∴图⑦中有个“树枝”.故选.7．将一张长方形的纸按如图对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，第一次对折后可得到1条折痕（图中虚线），第二次对折后可得到3条折痕，第三次对折后得到7条折痕，那么第7次对折后得到的折痕比第5次对折后得到的折痕多____________条．

【答案】96【解析】根据题意可知，第n次折叠可得到条折痕，则第7次的折痕有，第5次的折痕有，∵，∴第7次对折后得到的折痕比第次对折后得到的折痕多96条，故答案为：96.8．观察下列图形：根据图形的变化规律，第个图形共有__________个点．

【答案】【解析】∵第一个图形只有一个中心点；第二个图形一个中心点，两条边，每边一个点；第三个图形一个中心点，三条边，每边两个点；第四个图形一个中心点，四条边，每边三个点；依次类推，第个图形一个中心点，条边，每边有个点，∴第个图形中点的个数为，∴当时，点的个数为，故答案为．9．你玩过“数字黑洞”的游戏吗？下面我们就来玩一种数字游戏，它可以产生“黑洞数”，操作步骤如下：第一步，任意写出一个自然数(以下称为原数)；第二步，再写出一个新的三位数，它的百位数字是原数中偶数数字的个数，十位数字是原数中奇数数字的个数，个位数字是原数的位数；以下每一步，都对上一步得到的数按照第二步的规则继续操作，直至这个数不再变化为止．不管你开始写的是一个什么数，几步之后变成的自然数总是相同的，最后这个总相同的数就称为“黑洞数”．请你以20221019为例进行尝试：这个数字游戏的“黑洞数”是__________________________．(零作为偶数)【答案】123【解析】由题意知，20221019，第一步：538，第二步：123，第三步：123，故黑洞数字为：123，故答案为：12310．如图是某月的月历．

(1)十字框中的五个数的和与中间数有什么关系？(2)若将十字框上、下、左、右平移，可框住另外五个数，设中间数为a，这五个数还有这种规律吗？若有请证明，若没有请说明理由．【解析】（1）解：，，所以十字框中的五个数的和与中间数的关系是；（2）解：设中间数为a，那么a的上方的数是，a的左边的数是，a的右边的数是，a的下方的数是，这五个数的和是，，所以十字框中的五个数的和中间数．能力提升练11．等边在数轴上的位置如图所示，点A、C对应的数分别为0和﹣1，若△ABC绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1；则翻转100次后，点B所对应的数是（

）A．99 B．100 C．101 D．103【答案】B【解析】如图，每3次翻转为一个循环组依次循环，

∵，∴翻转100次后点B在数轴上，∴点B对应的数是．故选B．12．观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2022应标在（

）

A．第506个正方形的左下角 B．第506个正方形的右上角C．第505个正方形的右上角 D．第505个正方形的左下角【答案】B【解析】，数2022应标在第506个正方形的右上角，故选B．13．察图中每一个圆中各点处所标数字的规律，2021应标在（

）A．第505个圆的“A”点处 B．第506个圆的“B”点处C．第506个圆的“A”点处 D．第505个圆的“D”点处【答案】B【解析】由图可知，每个圆上有四个数字，且是按逆时针排序的，因为，所以2021是第506个圆上最小的数，第1个图形中最小的数在A处，第2个图形中最小的数在B处，第3个图形中最小的数在C处，第4个图形中最小的数在D处，第5个图形中最小的数在A处，…所以依此类推，每4个图形为一组依次循环，，所以2021在第506个圆的“B”点处．故选B．14．如图是一组有规律的图案，第①个图案由4个基础图形组成，第②个图案由7个基础图形组成，……，设第n（n是正整数）个图案是由y个基础图形组成的，则y与n之间的关系式是________________．

【答案】【解析】第①个图案中，基础图形的个数是，第②个图案中，基础图形的个数是，第③个图案中，基础图形的个数是，归纳类推得：第（是正整数）个图案中，基础图形的个数是，即，故答案为：．15．下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：

根据此规律确定的值为____________，的值为____________，的值为____________．【答案】910209【解析】根据题意可得：，解得：，∴，∴，故答案为：9，10，209．16．如图，将一串有理数按一定规律排列，探索下列问题：

(1)在A处的数是正数还是负数？(2)负数排在A，B，C，D中的什么位置？(3)第2021个数是正数还是负数？排在对应于A，B，C，D中的什么位置？【解析】（1）解：A处是向上箭头对应的数，与、对应，则在A处的数是正数；（2）根据前面的数字可得，除1外，向右的箭头对应的数为负数，在A，B，C，D中B，D是向右的箭头对应的数，即负数排在B，D位置；（3）根据前面的数据可得，奇数为负数，偶数为正数，且A与4对应，B与对应，C与6对应，D与对应，依次循环，为奇数，则，排在B对应的位置，答：第2021个数是负数，排在排在B对应的位置．17．如图，从左向右依次摆放序号分别为1，2，3，……，n的小桶，其中任意相邻的四个小桶所放置的小球数之和相等．

(1)______．(2)若，则这些小桶内所放置的小球数之和是多少？(3)用含k（k为正整数）的代数式表示装有“2个球”的小桶序号为______．【解析】（1）解：∵任意相邻的四个小桶所放置的小球数之和相等，∴，∴，故答案为：7；（2）解：由（1）可知，5，2，3，4四个数循环出现，∵，∴第30个桶的数与第2个桶的数相同，∴，∴这些小桶内所放置的小球数之和是105；（3）解：装有“2个球”的小桶序号分别为2，6，10，……，，故答案为：．18．如图，每个小正方形的面积均为1．将左图中黑色的小正方形移动，得到右边拼成的长方形，根据两种图形方法计算小正方形的个数；如图得出以下等式：(1)请写出第3个等式：__________；(2)猜想第n个等式为：__________（用含n的等式表示）；(3)当n为多少时，左图中的最底端有2024个小正方形？此时左图中共有多少个小正方形？【解析】（1）解：；（2）解：；（3）解：因为最底端有2024个小正方形，所以，解得：，所以（个），答：，共有1025156个小正方形．19．如下表，从左边第1个格子开始依次在每个格子中填入一个正整数，第1个格子填入，第2个格子填入，第3个格子填入，…，第个格子填入，以此类推，表中任意4个相邻格子中所填正整数之和都相等，其中．……(1)若，则____________；____________；(2)若，求表中前100个数的和；(3)将表中前2022个数的和记为S，若，求S的值．【解析】（1）表中任意4个相邻格子中所填正整数之和都相等，，，表格中从左向右每4个数字一个循环，，.故答案为：1；3；（2）表格中从左向右每4个数字一个循环，，前100个数的和：，前100个数的和为：300（3），，，均为正整数，，任意4个相邻格子中所填正整数之和都相等，前2022个数的和：又，同理：，，，.拓展培优练20．已知，，且m，n均为正整数，如果将进行如图所示的“分解”，那么下列四个叙述中：①在的“分解”中最大的数是11；②在的“分解”中最小的数是13；③若的“分解”中最大的数是29，则；④若的“分解”中最小的数是79，则；正确的有（

）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解析】①在的“分解”中，最大的数是，故该项错误；②若在的“分解”中最小的数是13，则其他三个数为15，17，19，这四个数的和为64，恰好为，故该项正确；③若，由的“分解”中最大的数是29，可知其余四个数为21，23，25，27，这五个数的和为125，是53，故该项正确；④若的“分解”中最小的数是，则，故该项正确；综上分析可知正确共3个，故C正确．故选C．21．将边长为1的正方形纸片按如图1所示的方法进行对折，记第一次对折后得到的图形面积为S1，第2次对折后得到的图形面积为S2，…，第n次对折后得到的图形面积为Sn，请根据图2化简（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】观察发现，故选C．22．英语字母表中的字母排列顺序是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，若尾字母的后面又接上首字母，则可将个字母排成一个循环圆圈，现给定一个破译密码“”（其中代表字母表中的任意一个字母，表示将该字母换成向后移动位所得到的字母），就可以将“暗语”破译成“明语”，如“暗语”可通过破译密码“”破译成“明语”，则利用该破译密码对“暗语”破译正确的“明语”是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可知：字母通过破译密码“”，向后移动位所得到对应字母为：；字母通过破译密码“”，向后移动位所得到对应字母为：；字母通过破译密码“”，向后移动位所得到对应字母为：；字母通过破译密码“”，向后移动位所得到对应字母为：；字母通过破译密码“”，向后移动位所得到对应字母为：；字母通过破译密码“”，向后移动位所得到对应字母为：；字母通过破译密码“”，向后移动位所得到对应字母为：；∴破译正确的“明语”是：，故选．23．一只小球落在数轴上的某点，第一次从向左跳1个单位到，第二次从向右跳2个单位到，第三次从向左跳3个单位到，第四次从向右跳4个单位到若按以上规律跳了100次时，它落在数轴上的点所表示的数恰好是2021，则这只小球的初始位置点所表示的数是（

）A．1971 B．1970 C． D．【答案】A【解析】设这只小球的初始位置点所表示的数是，则表示的数是，表示的数是，表示的数是，表示的数是，，表示的数是，点所表示的数恰好是2021，，解得，故选A．24．定义一种关于整数n的“F”运算：（1）当n是奇数时，结果为；（2）当n是偶数时，结果是（其中k是使是奇数的正整数），并且运算重复进行．例如：取，第一次经F运算是29，第二次经F运算是92，第三次经F运算是23，第四次经F运算是74，……；若，则第2020次运算结果是（

）A．1 B．2 C．7 D．8【答案】A【解析】由题意时，第一次经F运算是，第二次经F运算是，第三次经F运算是，第四次经F运算是，；从第二次开始出现1、8循环，奇数次是8，偶数次是1，∴第2020次运算结果1，故选A．25．（1）观察下列图形与等式的关系，并填空：

①

②

③

④

⑤（________）（2）归纳上述图形变化规律：[________]=________；（3）根据上述结论计算=________【解析】（1）由前四个规律可得：⑤（2）由（1）中规律可得：（3）由题意可知，故.26．我国著名数学家华罗庚曾经说过，“数形结合百般好，隔裂分家万事非”，数形结合的思想方法在数学中应用极为广泛．观察下列按照一定规律堆砌的钢管的横截面图：用含n的式子表示第n个图的钢管总数．【分析思路】图形规律中暗含数字规律，我们可以采用分步的方法，从图形排列中找规律；把图形看成几个部分的组合，找到每一部分对应的数字规律，进而找到整个图形对应的数字规律．如：要解决上面问题，我们不妨先从特例入手（统一用表示第n个图形钢管总数）．【解决问题】(1)如图，如果把每个图形按照它的行来分割观察，你发现了这些钢管的堆砌规律了吗？像的情形那样，在所给横线上，请用数学算式表达你发现的规律．，___________．(2)其实，对同一个图形，我们的分析眼光可以是不同的．请你像（1）那样对每一个所给图形添加分割线，提供与（1）不同的分割方式；并在所给横线上，请用数学算式表达你发现的规律：___________，___________，___________，___________．(3)用含n的式子列式，并计算第n个图的钢管总数为___________．【解析】（1）解：由题意得：，故答案为：；（2）如图，；；；，故答案为：，，，；（3）∵；；；，..．∴，故答案为：．27．如图所示，是由若干棱长相同的小正方体叠成的几何体．第1个几何体由1个小正方体叠成，第2个几何体由4个小正方体叠成，第3个几何体由10个小正方体叠成，……请你解决以下问题：(1)按此规律，第4个几何体由________个正方体叠成；(2)为了方便表述，我们记第个几何体由个小正方体叠成（其中），则________；________；________；(3)求值：.【解析】（1）解：由题意可知，第1个几何体由1个小正方体叠成；第2个几何体由4个小正方体叠成，即；第3个几何体由10个小正方体叠成，即；按此规律，第4个几何体由个正方体叠成，故答案为：20；（2）解：由题意可知，，，，，；；，故答案为：3，6，10；（3）解：通过观察发现，；；，．28．提出问题：有12个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是4、3、5，现要用这12个纸盒搭成一个大长方体，怎样搭可使长方体的表面积最小？分析问题：对于这种问题，我们一般采用复杂问题简单化的策略，进行由特殊到一般的探究．探究一：我们以两个长、宽、高分别是4、3、5的长方体为例进行分析．我们发现，无论怎样放置这两个长方体纸盒，搭成的大长方体体积都不变，但是由于摆放位置的不同，它们的表面积会发生变化，经过操作，发现共有3种不同的摆放方式，如图所示．

(1)请计算图1、图2、图3中的拼成的新的大长方体的长、宽、高及其表面积，并填充下表：长（cm）宽（cm）高（cm）表面积（cm2）图1546148图21043164图3583____________根据上表可知，表面积最小的是____________所示的长方体．（填“图1”、“图2”、“图3”）(2)探究二：有4个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是5、4、3，现要用这4个纸盒搭成一个大长方体，怎样搭可使长方体的表面积最小？先画出各种摆法的示意图，再根据各自的表面积得到最小摆法，是一种常规的方法，但比较耗时，也不方便，可以按照下列思路考虑：在图1的基础上继续摆，要使表面积小，就要重叠大面，得到的长方体，这个长方体的表面积为____________；在图2的基础上继续摆，要使表面积小，就要重叠大面，得到的长方体，这个长方体的表面积为____________；在图3的基础上继续摆，要使表面积小，就要重叠大面，得到的长方体，这个长方体的表面积为____________；综上所述，有4个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是5、4、3，要用这4个纸盒搭成一个大长方体的表面积最小为____________．(3)探究三：我们知道，在体积相同的前提下，正方体的表面积最小，所以我们可以尽可能地使所搭成的几何体为正方体或接近正方体，我们还可以这样思考：将4分解质因数，得到，或两种情况，通过与小长方体的长宽高进行组合：在时，搭成的L×K×H的大长方体最接近正方体，此时表面积最小，表面积为____________（直接写出结果）．类比应用：请你仿照探究三的解题思路，解答开始提出的问题：有12个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是4、3、5，现要用这12个纸盒搭成一个大长方体，怎样搭可使长方体的表面积最小？拓展延伸：将168个棱长为的小正方体，拼成一个长方体，使得长方体的表面积达到最小，这个表面积是____________．【解析】（1）解：，∴图1表面积最小，故答案为：158，图1；（2）解：，，，∴大长方体的表面积最小为236，故答案为：236，248，236，236；（3）解：，故答案为：236；类比应用：由探究三可得：当时，达成的的大长方体最接近正方体，此时表面积最小为：；拓展延伸：，∴当时，达成的的大长方体最接近正方体，此时表面积最小为：，故答案为：188．29．问题探究：如图1，2个角的各边相交，第2个角的每条边最多会与第1个角的2条边新产生2个交点，所以共有个交点；如图2，3个角的各边相交，第3个角的每条边最多会与前面2个角的4条边新产生4个交点，所以共有个交点；若4个角的各边相交，第4个角的每条边最多会与前面3个角的6条边新产生6个交点，所以共有个交点；……(1)若5个角的各边相交，最多有多少个交点？（仿照上面的“问题探究”中的方法，写出必要的探究过程）(2)直接写出10个角的各边相交，最多共有_