教学材料《流体力学》-第8章

8.1量纲的概念与量纲和谐原理8.1.1量纲的概念１．量纲在流体力学中涉及不同的物理量如长度、时间、质量、力、速度、加速度、黏性系数等,所有这些物理量都是由自身的物理属性(或称类别),以及为量度物理属性而规定的量度标准(或称量度单位)两个因素构成的.如长度,它的物理属性是线性几何量,量度单位则规定有米、厘米、英尺、光年等不同的标准.物理量的一般构成因素有属性和度量单位两部分.下一页返回8.1量纲的概念与量纲和谐原理

把物理量的属性(类别)称为量纲或因次.显然,量纲是物理量的实质,不受人为因素的影响.通常,以[L]代表长度量纲、[M]代表质量量纲、[T]代表时间量纲,采用[q]代表物理量q的量纲,则面积A的量纲可表示为[A]＝[L]2同样,密度的量纲可表示为[ρ]＝[M][L]－3不具量纲的量称为无量纲量,就是常数或常量,如圆周率π＝(圆周长/直径)＝3.14159,角度α＝(弧长/曲率半径),都是无量纲量.上一页下一页返回8.1量纲的概念与量纲和谐原理

量纲也可以使用dim表示.此时,国际单位制中基本量纲(取三个)记为dimm＝M,diml＝L,dimt＝T单位是人为规定的量度标准,例如现行的长度单位m,最初是1791年法国国民会议通过的,经过巴黎地球子午线长的4000万分之一,1960年第11届国际计量大会重新规定为氪同位素(Kr86)原子21世纪初波的1650763.73个波长的长度.因为有量纲量是由量纲和单位两个因素决定的,含有人的意志影响.上一页下一页返回8.1量纲的概念与量纲和谐原理

２．基本量纲与导出量纲一个力学过程所涉及的各物理量的量纲之间是有联系的,例如,速度的量纲[v]=[L][T]－1就是与长度和时间的量纲相联系的.根据物理量量纲之间的关系,把无任何联系、相互独立的量纲作为基本量纲,可以由基本量纲导出的量纲就是导出量纲.为了应用方便,并同国际单位制相一致,普遍采用[M]、[L]、[T]、[Θ]基本量纲系,即选取质量[M]、长度[L]、时间[T]和温度[Θ]为基本量纲.对于不可压缩流体运动,则选取[M]、[L]、[T]三个基本量纲,其他物理量量纲均为导出量纲.上一页下一页返回8.1量纲的概念与量纲和谐原理

例如:速度[v]＝[L][T]－1加速度[a]＝[L][T]－２力[F]＝[M][L][T]－２动力黏度[μ]＝[M][L]－１[T]－１上一页下一页返回8.1量纲的概念与量纲和谐原理

若使用dim形式对导出量的量纲进行表示,则密度dimρ＝ML－3重度dimγ＝ML－２T－２运动黏度dimμ＝L２T－１压强dimp＝dimK＝ML－１T－２上一页下一页返回8.1量纲的概念与量纲和谐原理

流量dimQ＝LT－１综合以上各量纲式,不难看出,某一物理量q的量纲[q]都可用三个基本量纲的指数乘积形式表示[q]＝[M]α[L]β[T]γ(8-1)式(8-1)称为量纲公式.物理量q的性质由量纲指数α、β、γ决定.当α＝0,β≠0,γ=0时,q为几何量;当α＝0,β≠0,γ≠0时,q为运动学量;当α≠0,β≠0,γ≠0时,q为动力学量.上一页下一页返回8.1量纲的概念与量纲和谐原理

工程单位制一般采用力[F]、长度[L]、时间[T]、温度[Θ]基本量纲系.8.1.2无因次量无因次(无量纲)量是指量纲公式(8-1)中各量纲指数均为零,即[q]＝1,该物理量是无量纲量,也就是常数.无因次量可由两个具有相同量纲的物理量相比得到,如线应变ε＝ΔL/L,[ε]＝[L]/[L]＝1也可由几个有量纲物理量乘除组合,使组合量的量纲指数为零得到,如有压管流,由断面平均流速v、管道直径d,流体运动黏度μ组合为Re雷诺(Reynoldsnumber)数.上一页下一页返回8.1量纲的概念与量纲和谐原理

无因次量具有以下特点.1.客观性凡有量纲的物理量,都有单位.同一物理量,因选取的度量单位不同,数值也不同.如果用有量纲量作过程的自变量,计算出的因变量数值,将随自变量选取单位的不同而不同.因此,要使运动方程式的计算结果不受人主观选取单位的影响,就需要把方程中各项物理量组合成无量纲项.从这个意义上说,真正客观的方程式应是由无量纲项组成的方程式.上一页下一页返回8.1量纲的概念与量纲和谐原理

2.唯一性既然无量纲量是常数,那么其数值大小与度量单位无关,也不受运动规律的影响.规模大小不同的流体,如两者是相似的流动,则相应的无量纲数相同.在模型试验中,常用同一个无量纲数(如雷诺数Re等)作为模型和原型流动相似的判据.3.运算性由于有量纲量只能作简单的代数运算,作对数、指数、三角函数等超越函数的运算是没有意义的.上一页下一页返回8.1量纲的概念与量纲和谐原理只有无量纲化才能进行超越函数运算,如气体等温压缩计算式为其中,压缩后与压缩前的体积比V2/V1成无量纲项,才能进行对数运算.8.1.3量纲和谐原理量纲和谐原理是量纲分析的基础原理.只要是正确反映客观规律的物理方程,其各项的量纲一定是一致的,这是被无数事实证实了的客观原理.例如,黏性流体运动微分方程式在x方向的公式为上一页下一页返回8.1量纲的概念与量纲和谐原理

式中各项的量纲一致,都是LT-2.又如黏性流体总流的伯努利方程式式中各项的量纲均为L,是量纲和谐的.再如动量方程:式中各项均为力的量纲为MLT

-2

,也是符合量纲和谐原理的.上一页下一页返回8.1量纲的概念与量纲和谐原理

在工程界至今还有一些由试验和观测资料整理成的经验公式,不满足量纲和谐(既经验公式).这种情况表明,人们对这一部分流动的认识尚不充分.这样的公式将逐步被修正或被正确完整的公式(即理论公式)所代替.由量纲和谐原理可以得出:(1)只要是正确反映客观规律的物理方程,一定能表示成由无量纲项组成的无量纲方程.因为方程中各项的量纲相同,只需用其中的一项遍除各项.便得到一个由无量纲项组成的无量纲式,仍保持原方程的性质.上一页下一页返回8.1量纲的概念与量纲和谐原理

(2)量纲和谐原理规定了一个物理过程中有关物理量之间的关系.因为一个正确完整的物理方程中各物理量量纲之间的联系是确定的,按物理量量纲之间的这一确定性,就可建立该物理过程各物理量的关系式.量纲分析法就是根据这一原理发展起来的,它是力学上的重要发现之一.上一页返回8.2量纲分析

8.2.1瑞利法瑞利法的基本原理是某一物理过程同几个物理量有关:f(q1,q2,q3,...,qn)=0其中的某个物理量qi可表示为其他物理量的指数乘积:qi＝Kq1aq2b...qn－1p(8-2)写出量纲式:[qi]＝[q1]a[q2]b...[qn－1]p下一页返回8.2量纲分析

将量纲式中各物理量的量纲按式(8-1)表示为基本量纲的指数乘积形式,并根据量纲和谐原理,确定指数a、b...、p,就可得出表达该物理过程的方程式.通过求解水泵输出功率的表达式说明瑞利法的应用步骤.(1)找出同水泵输出功率N有关的物理量,包括单位体积水的重量γ＝ρg、流量Q、扬程H,即f(N,γ,Q,H)＝0(2)写出指数乘积关系式.N＝KγaQbHc上一页下一页返回8.2量纲分析

(3)写出量纲式.[N]＝[γ]a[Q]b[H]c(4)按式(8-1),以基本量纲([M]、[L]、[T])表示各物理量量纲.[M][L]2[T]－3＝([M][L]－2[T]－2)a([L]3[T]－1)b([L])c(5)根据量纲和谐原理求量纲指数.[M]:1＝a[L]:2＝-2a+3b＋c[T]:-3＝－2a－b得:a＝1,b＝1,c＝1上一页下一页返回8.2量纲分析

(6)整理方程式.N＝KγQH式中,K为由试验确定的系数.8.2.2π定理π定理是量纲分析更为普遍的原理,由美国物理学家布金汗提出,又称为布金汗定理.π定理指出,若某一物理过程包含n个物理量,即f(q1,q2,..,qn)＝0其中有m个基本量(量纲独立,不能相互导出的物理量),则该物理过程可由n个物理量,构成的(n－m)个无量纲项所表达的关系式来描述.上一页下一页返回8.2量纲分析

即F(π1,π2,...,πn-1)＝０(8-3)由于无量纲项用π表示,π定理由此得名.π定理可用数学方法证明.π定理建立物理过程的物理方程应用步骤如下:(1)找出物理过程有关的物理量f(q1,q2,..,qn)＝0(2)从n个物理量中选取m个基本量,不可压缩流体运动,一般取m＝3.设q1、q2、q3为所选基本量,由量纲公式(8-1)可知[q1]＝[M]α1

[L]β1[T]γ1

上一页下一页返回8.2量纲分析

[q2]＝[M]α2

[L]β2[T]γ2

[q3]＝[M]α3

[L]β3[T]γ3

满足基本量量纲独立的条件是量纲式中的指数行列式不等于零,即对于不可压缩流体运动,通常选取速度v－q1、密度ρ－q2、特征长度l－q3为基本量.上一页下一页返回8.2量纲分析

(3)基本量依次与其余物理量组成π项.(4)满足π为无量纲项,定出各π项基本量的指数a、b、c.(5)整理方程式.8.2.3量纲分析法的特点(1)量纲分析方法的理论基础是量纲和谐原理,即凡正确反映客观规律的物理方程,量纲一定是和谐的.对量纲公式(8-1)及式(8-2)、式(8-3)未作证明.上一页下一页返回8.2量纲分析

(2)量纲和谐原理是判别经验公式是否完善的基础.20世纪,量纲分析原理未发现之前,流体力学中积累了不少纯经验公式.每一个经验公式都有一定的试验根据,都可用于一定条件下流动现象的描述.量纲分析方法可以从量纲理论作出判别和权衡,使其中的一些公式从纯经验的范围内解脱出来.(3)应用量纲分析方法得到的物理方程式,是否符合客观规律,与所选入的物理量是否正确有关.而量纲分析方法本身对有关物理量的选取却不能提供任何指导和启示,可能由于遗漏某一个具有决定性意义的物理量,导致建立的方程式失误,也可能因选取了没有决定性意义的物理量,造成方程中出现累赘的量纲量,这种局限性是方法本身决定的.上一页下一页返回8.2量纲分析

研究量纲分析方法的前驱者之一瑞利,在分析流体通过恒温固体的热传导问题时,就曾遗漏流体动力黏度的影响,而导出一个不全面的物理方程式.弥补量纲分析方法的局性,就需已有的理论分析和试验成果,应依靠研究者的经验和对流动现象的观察认识能力.(4)由例8-3可以看出,量纲分析为组织实施试验研究,以及整理试验数据提供了科学的方法,可以说量纲分析方法是沟通流体力学理论和试验之间的桥梁.上一页返回8.3相似准则8.3.1相似条件相似是指两个流场的力学相似.即在流动空间的各对应点上和各对应时刻,表征流动过程的所有物理量各自互成一定的比例.物理量分为三类,即表征流场几何形状的、表征流体微团运动状态的、表征流体微团动力性质的.所以,流体力学的相似包括几何相似、运动相似、动力相似.1.几何相似几何相似是指模型与原型的全部对应线性长度的比例相等.下一页返回8.3相似准则

如图8-2所示,即线性长度也称特征长度,可以是翼型的翼弦长b、圆柱的直径d、管道的长度l、管壁绝对粗糙度ε等,式中kl为长度比例尺.只要模型与原型的全部对应线性长度的比例相等,则它们的夹角必相等.β′＝β上一页下一页返回8.3相似准则

由于几何相似,模型与原型的对应面积、对应体积也必分别互成一定比例,即面积比例尺:体积比例尺:2.运动相似上一页下一页返回8.3相似准则

运动相似是指模型与原型的流场所有对应点上、对应时刻的流速方向相同而流速大小的比例相等,即它们的速度场相似,如图8-3所示.kV称为速度比例尺.由于流场的几何相似是运动相似的前提条件,成一定比例,即时间比例尺上一页下一页返回8.3相似准则

由几何相似和运动相似还可导出用kl、kV表示的有关运动学量的比例尺如下:加速度比例尺体积流量比例尺上一页下一页返回8.3相似准则

运动黏度比例尺角速度比例尺3.动力相似动力相似是指模型与原型的流场所有对应点作用在流体微团上的各种力彼此方向相同,而它们大小的比例相等,即它们的动力场相似,如图8-4所示.上一页下一页返回8.3相似准则

式中Fp———总压力;Fτ———切向力;Fg———重力;Fi———惯性力;上一页下一页返回8.3相似准则

kF———力的比例尺.通过流场的几何相似,流场的运动相似,流场的动力相似,可以得到密度成比例,即由于两个流场的密度比例尺常常是已知或者是已经选定的,故做流体力学的模型试验时,经常选取kρ、kl、kV作基本比例尺,即选取ρ、l、v作为独立的基本变量.上一页下一页返回8.3相似准则

力的比例尺力矩(功、能)比例尺压强(应力)比例尺上一页下一页返回8.3相似准则

功率比例尺动力黏度比例尺只要确定了模型与原型的长度比例尺、速度比例尺和密度比例尺,便可由它们确定所有动力学量的比例尺.上一页下一页返回8.3相似准则

已知kl＝,kV＝,kρ＝,则kF＝kρkl2kV21上一页下一页返回8.3相似准则

4.边界条件相同所有的对应点处边界条件相同.即两个流动相应边界性质相同,原型中的固体壁面,模型中的相应部分也是固体壁面;原型中的自由液面,模型相应部分也是自由液面.在有的书籍中,将边界条件归于几何条件相似.上一页下一页返回8.3相似准则

5.初始条件相似对于非恒定流,所有的对应点处开始以及整个过程中的流动相似.边界条件和初始条件相似是保证流动相似的充分条件.对于恒定流动又无须初始条件相似,这样流体力学相似的含义就简述为几何相似、运动相似、动力相似三方面.上一页下一页返回8.3相似准则

8.3.2相似准则1.雷诺准则根据动力相似鉴于上式表示两个流动相应点上惯性力与单项作用力(如黏滞力)的对比关系,而不是计算力的绝对量,所以式中的力可用运动的特征量表示.上一页下一页返回8.3相似准则

则黏滞力惯性力I＝ρl2v2代入上式整理,得上一页下一页返回8.3相似准则

Re＝(Re)m(8-5)无量纲数Re＝称雷诺数(Reynoldsnumber).雷诺数表示惯性力与黏滞力之比.两流动相应的雷诺数相等,黏滞力相似.2.弗汝德准则根据动力相似上一页下一页返回8.3相似准则

式中,重力G＝ρgl3,惯性力I＝ρl2v2.代入上式整理,得开方后,得无量纲数Fr＝称为弗汝德数(Froudenumber).弗汝德数表征惯性力与重力之比.两流动相应的弗汝德数相等,重力相似.上一页下一页返回8.3相似准则

3.欧拉准则根据动力相似式中,压力为惯性力.代入上式整理,得上一页下一页返回8.3相似准则

无量纲数Eu＝称为欧拉数(Eulernumber).欧拉数表征压力与惯性力之比.两流动相应的欧拉数相等,压力相似.在多数流动中,对流动起作用的是压强差Δp,而不是压强的绝对值,欧拉数中常以相应点的压强差Δp代替压强,得4.柯西准则当流动受弹性力作用时,根据动力相似上一页下一页返回8.3相似准则

式中,弹性力E＝Kl2,K为流体的体积模量;惯性力I＝ρl2v2.代入上式整理,得无量纲数Ca＝称为柯西数(Cauchynumber).柯西数表征惯性力与弹性力之比.两流动相应的柯西数相等,弹性力相似.柯西准则用于水击现象的研究.两个相似流动相应点上的封闭力多边形是相似形.若决定流动的作用力是黏滞力、重力和压力,则只要其中两个同名作用力和惯性力成比例,另一个对应的同名力也将成比例.上一页下一页返回8.3相似准则

由于压力通常是待求量,这样只要黏滞力、重力相似,压力将自行相似.换而言之,当雷诺准则、弗汝德准则成立,欧拉准则可自行成立.所以,又将雷诺准则、弗汝德准则称为定性准则,欧拉准则称为导出准则.流体的运动是边界条件和作用力决定的,当两个流动一旦实现了几何相似和动力相似,就必然以相同的规律运动.由此得出结论,几何相似与定性准则成立是实现流体力学相似的充分和必要条件.上一页返回8.4模型试验方法

8.4.1模型试验的定义和方法模型试验(又称模化试验)是指把通常比较大型(或小型)的原型工程设备按一定比例缩小(或放大)成通道内部几何相似的模型试验台,利用试验台进行流动规律的测试和研究.这样做的原因是,由于在许多原型设备上利用试验手段去测试和研究流体的流动规律,常常是很不方便的,甚至是很难办到的.设计一种新设备,事先进行模型试验,探索内部的流动规律,然后根据相似原理推广应用于原型设计,便可为设计提供依据,少走弯路,节省时间和经费器材.下一页返回8.4模型试验方法在进行流体动力的模型试验时,为保证模型与原型中的现象相似,应按相似原理规定的条件去设计模型和安排试验.这些条件是:(1)模型与原型流体通道的内廓几何相似.(2)在模型与原型设备对应截面或对应点上流体的物性,即流体的密度与黏度具有固定的比值.(3)模型与原型进口截面的速度分布相似.(4)对于黏性不可压缩流体的定常流动,模型与原型进口处按平均流速计算的Re数、Fr数相等.上一页下一页返回8.4模型试验方法满足以上条件的流动为完全相似流动.实践表明,尽管黏性不可压缩流体的定常流动只有两个定性准则,要同时相等常常也是很困难的,决定性准则数越多,模型设计越困难.因此,需要考虑采用近似模型试验方法.近似模型法的试验是有科学根据的,弗汝德数代表惯性力与重力之比,雷诺数代表惯性力与黏性力之比,这三种力在一个具体问题上不一定具有同等的重要性,只要我们能够针对所要研究的具体问题,保证它在主要方面不致失真,而有意识地摒弃与问题本质无关的次要因素,采取近似相似的方法来设计模型试验,不仅无碍于实际问题的研究,而且从突出主要矛盾来说是有益的.近似模型试验有以下三种方法.上一页下一页返回8.4模型试验方法１．弗汝德模型法在水利工程及明渠无压流动中,处于主要地位的力是重力.用水位落差形式表现的重力是支配流动的原因,用静水压力表现的重力是水工结构中的主要矛盾.黏性力有时不起作用,有时作用不甚显著,因此,弗汝德模型法的主要相似准则是弗劳德数.弗汝德模型法在水利工程、船模水洞试验等领域应用甚广,大型水利工程设计、船舶设计等必须首先经过模型试验的论证而后方能投入施工.２．雷诺模型法管中有压流动是在压差作用下克服管道摩擦而产生的流动,黏性力决定压差的大小,黏性力决定管内流动的性质.上一页下一页返回8.4模型试验方法此时重力是无足轻重的次要因素,因此,雷诺模型法的主要相似准则是雷诺数.雷诺模型法的应用范围也很广泛,管道流动、液压技术、水力机械等方面的模型试验多数采用雷诺模型法.３．欧拉模型法随着管道流动的雷诺数的增大(即惯性力与黏性力之比增大),黏性力的影响会逐渐减弱,当达到一定数值后,继续提高雷诺数,再也不会对流动现象和流动性能发生质和量的影响(即此时尽管雷诺数不同,但黏性效果却是一样的).这种现象叫作自动模化,产生这种现象的雷诺数范围叫作自动模化区,雷诺数处在自动模化区时,雷诺准则失去判别相似的作用.上一页下一页返回8.4模型试验方法研究雷诺数处于自动模化区时的黏性流动,流动阻力主要是紊流阻力而不是黏性阻力.因此,在设计模型时,黏性力的影响不必考虑了;如果是管内气体流动,其重力的影响也不必考虑;这样我们只需考虑代表压力和惯性力之比的欧拉数.欧拉模型法用于自动模化区的管中流动、风洞试验及气体绕流等情况.8.4.2模型律的选择为了使模型和原型流动完全相似,除需要几何相似外,各独立的相似准则应同