八年级数学下册 23.3 矩形、菱形与正方形（第2课时）（原卷版）

第第页23.3矩形、菱形与正方形（第2课时）菱形1.菱形的定义定义四条边都相等的四边形叫作菱形.如图23-3-8,伸缩晾衣架、自动伸缩门、衣服都有菱形图案.如图23-3-9,在菱形ABCD中，由菱形的定义，可知AB=BC=CD=AD.因为菱形ABCD的两组对边分别相等，根据平行四边形的判定定理1,得到菱形必然是平行四边形.所以，菱形是一种特殊的平行四边形.菱形的性质1.从对称的角度分析菱形：a.菱形是中心对称图形：由于平行四边形是中心对称图形，因此菱形也是中心对称图形.对称中心是两条对角线的交点；b.菱形也是轴对称图形：菱形也是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线。2.菱形也具有平行四边形的所有性质：简述为对边分别平行且相等；对角相等；对角线相互平分。问题：如图23-3-10,将四个大小相同的矩形拼在一起，根据矩形的性质定理，里面蕴含了一个菱形.这个菱形可能有什么性质?这些性质其他菱形也具备吗?我们仍然从边、角和对角线来研究菱形的性质.利用菱形的定义和平行四边形的性质，可以得到菱形的性质定理：①定理菱形的两条对角线互相垂直.如图23-3-11,已知：四边形ABCD是一个菱形，AC、BD是它的对角线.求证：AC⊥BD.记O为对角线AC、BD的交点.因为菱形ABCD是一个平行四边形，由平行四边形的性质定理3,得BO=DO.又因为AB=AD,根据“等腰三角形三线合一”,可得AO⊥BD,即AC⊥BD.②菱形的面积等于其对角线乘积的一半由菱形的性质定理，可知AC⊥BD,从而菱形的面积等于四个直角三角形的面积之和.由平行四边形的性质，可知O是AC和BD的中点，从而这四个直角三角形面积相等.③菱形的对角线平分对角（菱形的每条对角线都平分菱形的一组对角）注意在语言表述上与对角线相互平分区分。利用全等三角形易证此性质，其他证法合理即可。菱形的判定1.定义判定：四条边都相等的四边形是菱形.问题：由菱形的定义可以判定一个四边形是菱形.对于平行四边形而言，如果要判定它是一个菱形，那么它的边至少还要满足怎样的条件?利用菱形的定义和平行四边形的性质，可以推出菱形的一个判定定理：2.定理1有一组邻边相等的平行四边形是菱形.定理证明如图23-3-15,已知：在平行四边形ABCD中，AB=AD.求证：平行四边形ABCD是一个菱形.因为四边形ABCD是一个平行四边形，由平行四边形的性质定理1,得AB=CD,BC=AD.又因为AB=AD,所以AB=CD=BC=AD.根据菱形的定义，得平行四边形ABCD是一个菱形.问题：仅有三条边相等的四边形一定是菱形吗?如果一个平行四边形是菱形，那么它的对角线互相垂直.这个命题的逆命题也是真命题.由此，又得到菱形的一个判定定理：3.定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形.定理证明如图23-3-16,已知：在平行四边形ABCD中，AC⊥BD.求证：平行四边形ABCD是一个菱形.记o为对角线AC、BD的交点.因为四边形ABCD是一个平行四边形，由平行四边形的性质定理3,得BO=DO.又因为AC⊥BD,根据线段垂直平分线的性质定理，得AB=AD.进一步由菱形的判定定理1,得平行四边形ABCD是一个菱形.4.判定方法4：对角线互相垂直平分的四边形是菱形5.判定方法5：对角线平分每组对角的四边形是菱形题型1：菱形及其性质的辨析1．下列图片中，能观察到菱形的是（）A． B． C． D．2．下列关于菱形的说法正确的是（）A．菱形的四个内角一定相等 B．菱形的对角线一定相等C．菱形的四条边都相等 D．菱形的周长和面积一定相等3．下列性质中，菱形不一定具有的性质是（

）A．四边相等 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角相等4．下列结论中，菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（

）A．对边相等 B．对角线相等 C．四条边相等 D．对角线互相平分5．矩形和菱形共同具有的性质是（

）A．相邻两个角都相等 B．相邻两条边都相等C．相邻两个角都互补 D．两条对角线互相垂直6．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（

）A．四条边相等 B．对角线相等C．对角线互相平分 D．两组对边分别平行7．如图，在菱形中，对角线与相交于点，则下列结论错误的是（）A． B． C． D．题型2：根据菱形的性质求长度Ⅰ8．在菱形中，已知厘米，则厘米9．菱形中，已知，则菱形的周长是（

）A．8 B．12 C．6 D．10．如图，在菱形中，，，则的长为（

）A．6 B．8 C．10 D．16题型3：根据菱形的性质求长度Ⅱ11．如图，在菱形中，对角线，相交于点．若菱形的周长为，，则的长为（

）A．3 B．4 C．5 D．812．若菱形两条对角线的长分别为6和8，则它的边长为（

）A．5 B．6 C．8 D．1013．如图，在菱形中，，，则等于（

）A． B．1 C．2 D．14．如图，在菱形中，对角线相交于点，点是的中点，连接，若，则的长为．15．菱形的周长为，其中一个内角为，则该菱形较短的对角线的长为（

）A． B． C． D．16．如图，矩形的对角线相交于点O，，若，则四边形的周长是．17．如图，在菱形中，，对角线．若过点A作，垂足为E，则的长为（

）A．4.8 B．4.5 C．4 D．2.418．如图，在菱形中，对角线，相交于点，为边的中点，且，则菱形的周长为．题型4：根据菱形的性质求角度Ⅰ19．如图，是菱形的对角线，，则的度数是（

）A． B． C． D．20．如图，在菱形中，，则的度数为（）A． B． C． D．21．如图，在菱形中，已知，则．22．如图，菱形中，连接，若，则的度数为．题型5：根据菱形的性质求角度Ⅱ23．周长是的菱形，它的一条对角线长是．这个菱形的较小的内角度数（

）A． B． C． D．24．如图，在菱形中，连接，过点作于点，若，则的度数为（

）．A． B． C． D．25．如图，在菱形中，，，则的度数是（

）A． B． C． D．题型6：求菱形的性面积26．菱形的两条对角线长分别为6、8，则它的面积为（

）A．6 B．24 C．36 D．4827．如图是故宫博物院太和殿窗棂的三交六椀菱花图案，从中可以提取出一个菱形．若，则菱形的面积为．28．如图，菱形的对角线相交于点O，若，，则菱形的面积为．29．如图，两条宽度为1的纸带，相交成角，那么重叠部分的面积是．题型7：菱形的判定的辨析30．下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（

）A．B．C．D．31．如图，在中，，为两条对角线．添加下列一个条件，仍不能判定是菱形，这个条件是（

）A． B． C． D．32．如图，下列条件能使平行四边形是菱形的为（

）①；②；③；④．A．①③ B．②③ C．③④ D．①④题型8：添加一个条件成为菱形33．在下列条件中选取一个作为增加条件，能使平行四边形成为矩形的是（

）A． B． C． D．34．如图，在四边形中，，，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形成为一个菱形，只需添加的一个条件是．35．如图，在中，，，当时，四边形是菱形．题型9：菱形的判定与性质36．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，，如果，则37．如图，矩形的对角线，相交于点，．．若，，则四边形的周长为．38．如图，折叠矩形纸片，使点落在点处，折痕为，已知，，求的长是．题型10：菱形的综合应用39．如图，是菱形的对角线，在上截取，使得，连接，若，则的度数为．40．如图，菱形的对角线交于点O，，过点O作于点E，若，则的长为．

41．如图，菱形的对角线，相交于点，且，，过点作，垂足为，则的长为．42．如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则．43．如图，菱形的周长为16，是对角线上一点，分别作点到直线、的垂线段、，若，则菱形的面积为．44．如图，点在直线上，以为顶点，在直线的上方作菱形．若，，则点到直线的最大距离是．题型11：解答证明题45．如图，在菱形中，点E，F分别在边和上，且．求证：．46．如图，在中，，为的中线．，，连接，求证：四边形为菱形．47．如图，在四边形中，，，E为的中点，连接，，求证：四边形为菱形．48．如图，四边形是菱形，于点，于点．(1)求证：；(2)若菱形的边长为，，求的长．49．如图，在矩形中，、相交于点，为的中点，连接并延长至点，使，连接．(1)求证：四边形是菱形．(2)若，，求菱形的面积．50．如图，矩形中，点在上，延长至，使得，且．连接交于点．(1)求证：四边形是菱形；(2)连接．若，求长．51．定义：菱形一边的中点与它所在边的对边的两个端点连线所形成的折线，叫做菱形的折中线，例如，如图1，在菱形中，E是的中点，连接，，则折线叫做菱形的折中线，折线的长叫做折中线的长．已知，在菱形中，，E是的中点，连接，．(1)如图1，已知折中线将菱形的面积分为了三部分，、、的面积之比为；(2)如图2，若，，求折中线的长；(3)若，且折中线中的或与菱形的一条对角线相等，求折中线的长．一、单选题1．菱形不具有的性质是（

）A．对角相等 B．对边平行 C．对角线互相垂直 D．对角线相等2．下列条件中，能判定一个四边形为菱形的条件是（

）A．对角线互相平分的四边形 B．对角线互相垂直且平分的四边形C．对角线相等的四边形 D．对角线相等且互相平分的四边形3．如图，菱形的对角线相交于点，若，，则的长为（）A． B．6 C．2 D．104．如图，四边形是周长为的菱形，其中对角线长为，则菱形的面积为（

）．A． B． C． D．5．如图，在菱形中，对角线与相交于点，若，则菱形的周长是（

）A．4 B． C．8 D．6．如图，四边形是菱形，等边的顶点分别在上，且，则的度数为（

）A． B． C． D．二、填空题7．在边长为13的菱形中有一条对角线长为24，则另一条对角线长度为．8．如图，在菱形中，已知，则．9．如图，四边形的对角线互相垂直，且满足，请你添加一个适当的条件，使四边形成为菱形．10．如图，四边形是菱形，对角线与相交于点O，，，于点E，则的长为．11．菱形的一个锐角为，边长为20厘米，则此菱形较长的对角线的长等于厘米．12．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，．将边沿着过点O的一条直线翻折，点C的对应点为E，点B的对应点为F，连接，如果点E落在线段上，那么的面积为．三、解答题13．如图，矩形的对角线，相交于点，，．求证：四边形是菱形．

14．如图，在中，两条对角线交于点O，且平分．

(1)求证：四边形是菱形；(2)若，，求四边形的周长．15．如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C．(1)作∠ABF的平分线交AE于点D（尺规作图，保留痕迹，不写作法）；(2)根据（1）中作图，连接CD，求证：四边形ABCD是菱形．16．如图在四边形中，，，过点A作，垂足