八年级数学下册 23.4 三角形的中位线与重心（原卷版）

第第页23.4三角形的中位线与重心23.4引入：在研究四边形时，通常会把它转化为三角形的问题，并利用三角形来研究四边形的有关问题.现在我们学习了平行四边形，反过来，也可以利用平行四边形来研究三角形的有关问题.一、三角形的中位线1.三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线.如图23-4-1,在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，于是线段DE就是△ABC的一条中位线.每一个三角形有三条中位线.2.三角形的中位线定理三角形的中位线定理三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.定理证明如图23-4-1,已知：在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点.求证：DE//BC,且DE=BC如图23-4-2,延长DE到点F,使得EF=DE,连接FC.因为AE=EC,∠AED=∠CEF,所以△ADE≌△CFE.由此推出AD=CF,∠A=∠ECF,所以AB//CF,即BD//CF.又因为AD=DB,AD=CF,所以DB=CF.由平行四边形的判定定理2,得四边形BCFD是一个平行四边形，所以DF//BC,且DF=BC.又因为DE=DF所以DE//BC,且DE=DF重心问题：任意一个三角形的三条角平分线相交于一点，三条边的垂直平分线也相交于一点.试问：任意一个三角形的三条中线是否也相交于一点?它又有怎样的性质呢?1.三角形的重心：如图23-4-4,已知：在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的中线，BD和CE交于点O,连接AO并延长交边BC于点F.求证：AF是边BC上的中线.如图23-4-5,延长AF到点G,使OG=AO,分别连接BG、CG.∵EB=EA,OG=AO,∴EO//BG(三角形的中位线定理).∴OC//BG.同理，可得OB//CG.∴四边形BGCO是一个平行四边形.∴BF=FC(平行四边形的对角线互相平分),∴AF是边BC上的中线.本题的结论表明：三角形的三条中线交于一点，此交点叫作三角形的重心.2.三角形重心的性质三角形重心定理三角形的重心到一个顶点的距离等于它到该顶点对边中点的距离的两倍.定理证明如图23-4-6,已知：在△ABC中，AF、BD、CE分别是边BC、AC、AB上的中线，并交于点O.求证：AO=2OF.如图23-4-7,延长AF到点G,使OG=AO,分别连接BG、CG.∵EB=EA,OG=AO,∴EO//BG(三角形的中位线定理).∴OC//BG.同理，可得OB//CG.∴四边形BGCO是一个平行四边形.∴OG=2OF.又∵OG=AO,∴AO=2OF.题型1：三角形中位线性质的简单应用1．如图，在中，D，E分别是边的中点．若，则（

）．A．2 B．3 C．4 D．52．如图，是的中位线，若，则的长为（

）．A．2 B．4 C．5 D．83．如图，在中，是的中位线，，则的长是（

）A．4 B．5 C．6 D．84．如图，、、分别是的、、边的中点，，则的度数为．题型2：根据三角形中位线性质求周长5．如图，在中，分别是边的中点．若的周长为40，则的周长为．6．如图，在中，已知，点分别是的中点，则四边形的周长为．7．如图，已知在中，，D，E，F分别是三边的中点，，，则的周长是．

题型3：三角形中位线在平行四边形中的应用8．如图，在中，对角线与相交于点，且．若点是边的中点，，则的长为9．如图，平行四边形的对角线，相交于点O，点E是边的中点，若的周长为，则的周长为．

10．如图，点分别是的边的中点，连接，过点作交的延长线于点，若，则的长为．11．如图，在中，对角线相交于点为的四等分点，为的中点．若，则的长是．12．如图，在中，，，，点分别平分线段，则的长为．题型4：三角形中位线性质的综合应用13．如图，在四边形中，对角线，，，若点为的中点，点为的中点，连接，则的长为．14．如图，在中，，，平分，于点，的延长线交于点，为的中点，则长为．题型5：三角形的重心15．在一次飞行器的展览中需要将一块三角形匀质的机翼薄板顶在一个圆锥形的塔尖上（如图），使其能够在塔尖上保持平衡，这个塔尖应该放在三角形薄板的（

）的交点处A．三条角平分线 B．三条中线C．三条高 D．三条边的垂直平分线16．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形的顶点上．三角形匀质薄板放在如图所示的位置，则三角形匀质薄板的重心是（

）A．点 B．点 C．点 D．点17．如图，在中，点E为边中点，于D，平分，则的重心一定在（

）A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上18．对一个形状规则的匀质长方形薄板，其重心位置在（

）A．长方形的任意一个顶点处B．长方形两条对角线的交点处C．长方形的一条边上D．长方形的外部题型6：三角形重心性质的应用19．如图，中，是边上的中线，是重心，如果，那么线段．20．如图，中，，I为重心，则．21．已知中，，，若为重心，则22．直角三角形斜边长为30，则这个三角形重心到直角顶点的距离为．题型7：三角形重心性质在直角三角形的应用23．一个直角三角形的重心到直角顶点的距离为6，那么这个直角三角形的斜边长是．24．如图，在等腰直角中，中线，相交于点G，若，则长为．题型8：三角形重心性质有关的面积问题25．如图，已知：G是的重心，，那么．26．如图，点G是的重心，连接并延长交于点D，连接，则．27．如图，点是的重心，若的面积是12，则的面积是（

）A．6 B．4 C．3 D．2题型9：解答证明题28．如图，在中，，分别是边，的中点，过点作，且，连接．求证：．

29．如图，在中，点，，分别是边，，的中点．求证：四边形为平行四边形．30．如图，在中，已知，平分，E为的中点．(1)求的长；(2)求证：．31．如图，在中，、分别是边、上的中线，与相交于点，、分别是、的中点，四边形是什么四边形？与的长度有什么关系？32．如图，在中，是一条中位线，连接，过点D作的平行线交的延长线于点F．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，求的长．33．如图，等边的边长是4，D，E分别为，的中点，延长至点F，使，连接，．(1)求证：．(2)求的长．34．如图，是的重心，且，，，求中边上的高．

35．【探究课题】三角形重心性质的探究．【课本重现】三角形三条中线的交点叫作这个三角形的重心．反之，连接三角形的任一顶点与重心，将该线段延长并与顶点的对边相交，所得交点即为这条对边的中点．如图①，取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平状态．【提出问题】探究图①中，的值是多少？吴老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下2个任务，请同学们通过完成以下任务解决提出的问题；并完成相关拓展应用．【解决问题】任务1：的三条中线，，交于O点，若的面积为m，则的面积为．任务2：在任务1的条件下，求的值．【拓展应用】（1）如图②，在中，点O是的重心．连接，并延长，分别交，于点D，E．若，，，求四边形的面积．（2）已知的中线，中线，则面积的最大值为．36．【问题初探】（1）如图1，在中，，且，点是的中点，点为对角线上的点，且，连接线段．若，求的长．【类比拓展】（2）如图2，中，平分，于，．求证：；【学以致用】（3）如图3，在，，点在上，，、分别是、的中点，连结并延长，与的延长线交于点，连结，若，，，求的长．一、单选题1．如图在中，点点分别是边的中点，则的值为（

）A． B． C． D．2．如图，在中，点O是三角形的重心，则（）A． B． C． D．3．如果等边三角形的边长为，那么等边三角形的中位线长为(

)A． B． C． D．4．在中，，，，点，，分别为边，，的中点，则的周长为（

）A． B． C． D．5．如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为点E，F是BC的中点，若BD＝16，则EF的长为（）A．32 B．16 C．8 D．46．如图，在中，，点是的重心，，则的长为（

）A．8 B．6 C．4 D．2二、填空题7．如图，A、B两点位于一个池塘的两端，冬冬想用绳子测量A、B两点间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个办法：先在地上取一个可以直接到达A、B的点C，找到AC，BC的中点D、E，并且测得DE的长为15m，则A、B两点间的距离为8．将菱形四边中点顺次连结，形成的四边形是．9．如图，点是的重心，交于点交于点．已知的面积为，则的面积为10．如图，在中，，，，、分别是、的中点，连结、交于点，则．11．如图，在与中，点，，分别是，，的中点，若的面积等于，则的面积为

12．如图，ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O．点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为．13．如图，在中，，分别是和的中点，连接，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点，若，则的长为．14．已知为边延长线上一点，为的中点，联结并延长交于点，则．三、解答题15．如图，在中，点分别是边的中点，，求的度数．16．如图，中，，点D，E分别是的中点，点F在的延长线上，且．求证：．17．已知，如图在△ABC中，点D、E、F分别是BC、CA、AB边上的中点．求证：（1）四边形AFDE是平行四边形；（2）周长等于AB+AC．

18．如图，在中，是边上的中线，，，交的延长线于点，，．

(1)求的长；(2)求证：垂直平分．19．已知在中，，为中点，为边的中线且，连接、．

(1)求证：；(2)若，求的周长．20．如图所示，分别是四边形各边中点，连接，则四边形为________形．在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性．（1）当四边形满足________条件时，四边形是菱形．（2）当四边形满足________条件时，四边形是矩形．（3）当四边形满足________条件时，四边形是正方形．21．如图1，在中，点D为的中点，连接，若，求的取值范围时学生分析，决定延长到E，使，连接，可得到，进而在中得到的