八年级数学下册 24.2 两点间的距离公式（解析版）

第第页24.2两点间的距离公式补知识点:24.1.3物体位置的坐标表示在实际生活中，我们还经常需要建立合适的平面直角坐标系，用坐标来描述物体的位置.图24-1-13是学校与欢欢家位置的示意图，图中小方格的边长是100m.请在图中建立平面直角坐标系，并写出学校与欢欢家的坐标.某游乐园的游览简图如图24-1-14所示，请建立一个平面直角坐标系，并用坐标表示各个主题园的位置.①建系：如图24-1-15,现以“幻方桥”所在位置为原点，分别以正东、正北方向为x轴、y轴正方向，规定简图中小方格的边长代表一个单位长度，建立平面直角坐标系.②描点:“幻方桥”的坐标为(0,0),“冒险屋”的坐标为(9,3),“藏宝林”的坐标为(8,8),“寒暑院”的坐标为(-5,5),“乐游园”的坐标为(-7,-3).讨论：你还有其他建立平面直角坐标系的方法吗?两点间的距离公式对于平面直角坐标系中的两点A(x₁,y₁)、B(x₂,y2),如何计算这两点间的距离呢?1.先分析特殊情形：当AB平行于x轴或y轴时，易得，①当AB平行于x轴时，；②当AB平行于y轴时，；当A、B两点其中一点为原点时（即A为原点或B为原点）③当A为原点时，当B为为原点时，由③可知，勾股定理在几何与平面直角坐标系中长度的有关运算中起着重要的桥梁作用，而如何构建直角三角形是我们需要考虑的问题，显然，在平面直角坐标系中任意一点分别向x轴与y轴作垂线，可以构建直角三角形，而且便于用坐标运算表示长度，那么即回到情形①②。2.再分析一般情形如图24-2-1,过点A作平行于y轴的直线，过点B作平行于x轴的直线，两直线相交于点C.所以点C的坐标是(x₁,y₂),AC=|y₁-y₂|,BC=|x₁—x₂|.因为x轴、y轴互相垂直，所以∠ACB=90°.在Rt△ABC中，因为AB²=AC²+BC²,所以两点间的距离公式对于平面直角坐标系中的两点A(x1,y₁)、B(x₂,y2),其距离为两点间的距离公式的应用例：在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点A、B、C的坐标分别为(-1,4)、(-4,-2)、(2,-5).(1)△ABC的三条边长分别为多少?(2)试判断△ABC的形状.解：(1)因为点A、B、C的坐标分别为(-1,4)、(-4,-2)、(2,-5),由两点间的距离公式，可得因为AB=,BC=,所以AB=BC.所以△ABC是等腰三角形.由AB²+BC²=45+45=90,AC²=90,可得AB²+BC²=AC²,所以△ABC是直角三角形.所以△ABC是等腰直角三角形.题型1：求两点间的距离1．在直角坐标系中，已知点、，则线段的长度是（

）．A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】本题考查的是两点之间的距离公式，根据直角坐标系中两点间的距离等于横坐标差的平方加上纵坐标差的平方，再开算术平方根解答即可【详解】解：将A、B两点坐标代入带距离公式中有，所以答案选B【点睛】本题的关键是掌握两点间距离公式2．点（3,-1）到原点的距离为（

）A． B．3 C．1 D．【答案】D【分析】直接利用两点间的距离公式计算即可．【详解】解：点（3，-1）到原点的距离=．故选D．【点睛】本题考查了两点间的距离公式：设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB=.3．已知直角坐标平面内的两点分别为A（﹣3，1）、B（1，﹣2），那么A、B两点间的距离等于．【答案】5．【分析】根据两点间的距离公式进行计算，即A（x，y）和B（a，b），则AB=【详解】A.B两点间的距离为：AB===5,故答案为5,故答案是：5.【点睛】本题考查了勾股定理，两点间的距离，解题的关键是掌握两点间的距离公式．4．在平面直角坐标系中，已、、，则的三边长、、的大小关系是（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查的是两点之间的距离公式，根据直角坐标系中两点间的距离等于横坐标差的平方加上纵坐标差的平方，再开算术平方根即可解出a、b、c的值，在进行比较即可【详解】根据，将A、B两点坐标代入可得，即c=将A、C两点坐标代入可得，即b=将B、C两点坐标代入可得，即a=所以c>a>b，选D【点睛】本题的关键是利用两点间距离公式求出a，b，c的值，在进行比较题型2：根据两点间的距离求坐标或参数5．在x轴上，且到原点的距离为2的点的坐标是（）A．（2，0） B．（-2，0） C．（2，0）或（-2，0） D．（0，2）【答案】C【分析】找到纵坐标为0，且横坐绝对值标为2的坐标即可．【详解】∵点在x轴上，∴点的纵坐标为0，∵点到原点的距离为2，∴点的横坐标为±2，∴所求的坐标是（2，0）或（-2，0），故选C6．若A(8，4)和点B(5，)间的距离是5，则＝．【答案】8或0【分析】根据两点的距离公式解答即可.【详解】根据两点的距离公式得（8-5）2+（k-4）2=52，解得k=8或0，故答案为：8或0.【点睛】此题考查直角坐标系中点与点间距离的计算公式，勾股定理，正确掌握计算公式是解题的关键.7．若点A（x，0）与B（2，0）的距离为5，则x=．【答案】-3或7.【详解】试题解析：∵点A（x，0）与B（2，0）的距离为5，∴AB==5，解得x=-3或x=7．考点：两点间的距离公式．题型3：两点间的距离公式的应用8．已知三个顶点的坐标为，，，则三角形的形状为（）A．等腰三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【分析】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，两点之间的距离公式的运用，先分别计算，再利用勾股定理的逆定理求解即可．【详解】解：∵，，，∴，，，∴，∴为直角三角形，故选C9．已知一个三角形各顶点坐标为、、，则此三角形为．【答案】等腰三角形【分析】本题考查的是两点间的距离，根据两点间距离公式，分别求出AB、AC、BC的值即可得出答案【详解】解：因为AB=AC，所以此三角形时等腰三角形【点睛】本题的关键是运用两点间距离公式分别求出AB、AC、BC的值10．已知A(2，5)，B(-3，-5)，C(-1、-1)，则这三点的位置关系是（）A．是直角三角形的顶点 B．在同一条直线上C．是等边三角形的顶点 D．以上都不对【答案】B【分析】利用两点的距离公式，可得AB=5，AC=3，BC=2，因为AB=AC+BC可得点A、点B、点C在同一条直线上【详解】∵A(2，5)，B(-3，-5)，C(-1、-1)，∴AB===5，AC===3，BC===2，∴AB=AC+BC,∴点A、点B、点C在同一条直线上.故选：B【点睛】此题考查了两点间的距离公式，掌握公式是解答此题的关键.题型4：几何问题11．已知点A、B都在轴上（点A在点B的左边），点A(-3，0)，AB=6，则点Ｂ的坐标为．【答案】(3，0)或(-9，0)【分析】数轴上两点间的距离即是两点间横坐标之间的距离，据此解题即可．【详解】xB=3或-9故答案为：3或-9【点睛】本题考查两点间的距离、数轴上两点间的距离等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．12．点P在第三象限内，P到X轴的距离与到y轴的距离之比为，到原点的距离为，则点P的坐标为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】试题分析：设Ｐ点坐标为,因为P到X轴的距离与到y轴的距离之比为,所以，又因为P到原点的距离为，所以，即，因为点P在第三象限内，所以所以点P的坐标为.故选Ｃ．考点：１．平面直角坐标系；２.勾股定理．13．已知点、、，若点在轴上，且，则点坐标为．【答案】或【分析】根据两点间距离公式得到，由于C在x轴上，则b=0，然后根据勾股定理得到，在解一元二次方程即可【详解】解：因为∠ACB=90°，C点在x轴上，所以即，整理得，解得所以点C坐标为（-4,0）或（1,0）【点睛】本题的关键是掌握两点间距离公式和勾股定理14．在平面直角坐标系中，坐标轴上到点的距离等于10的点共有个．【答案】3【分析】本题考查的是两点间距离公式，利用两点间距离公式，进行分类讨论：设一点为Q（x，0）或（y，0），根据两点间距离公式得到方程，分别解方程即可确定Q点坐标【详解】解：设这一点为Q，坐标轴上点Q到点P的距离等于10，若点Q在x轴上，设Q（x，0）则，解得x=0或x=-12，此时Q点坐标为（0,0），（-12,0）；若点Q在y轴上，设Q（0，y）则，解得y=0或y=16，此时Q点坐标为（0,0），（0,16）所以坐标轴上到点P（-6,8）的距离等于10的点有（0,0），（-12,0），（0,16），故答案为3【点睛】本题的关键是掌握两点间的距离公式，进行分类讨论题型5：满足条件的个数问题15．在平面直角坐标系中，已知点、，点在坐标轴上，且，写出满足条件的所有点的坐标．【答案】，，，【分析】本题考查了勾股定理与两点间距离公式，需要分类讨论：①当点C位于x轴上时，根据线段间的和差关系即可求出点C坐标；②当点C在y轴上时，根据两点间距离公式和勾股定理构成方程式，解答即可【详解】解：①当点C位于x轴上时，设点C坐标为（x，0），则，解得x=4或x=-4；②当点C在y轴上时，由勾股定理得，解得y=±3综上所述，满足条件的所有点C的坐标为（4,0）（-4,0）（0,3）（0，-3）【点睛】本题的关键是掌握两点间距离公式和勾股定理16．在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标都是整数的点称为格点，则到坐标原点O的距离为10的格点共有（

）个．A．4 B．6 C．8 D．12【答案】D【详解】试题分析：根据格点的定义可知：到坐标原点O的距离为10的格点在以点O为圆心，半径是10的圆上，所以此圆与坐标轴的4个交点符合题意，又，所以在第一象限内有点（6，8）和（8，6）两个，根据对称轴可知：其它三个象限内也各有2个点，所以到坐标原点O的距离为10的格点共有12个，故选D．考点：1．勾股数2．点的坐标．题型6：最值问题17．代数式的最小值为．【答案】5【分析】把两个根号里进行变形，数轴结合（图见详解）原代数式可以看做点C到点A和点B距离之和，利用对称得到最小值即可【详解】可以看作点C（x，0）到点A（1,1）B（4,3）的距离之和，如下图，做A关于x轴的对称点A’（1，-1），可得【点睛】本题的关键是数形结合，利用对称得到距离和最小18．已知、、，在内求一点．使最小，则点的坐标是．【答案】【分析】本题考查的是两点间距离公式和对完全平方公式的理解与掌握，设点P（x，y），由两点间距离公式，推出，整理后得到，根据最小值即可求出答案【详解】解：设点P（x，y），则由两点间距离公式有因为要使上式的值最小，所以需要x-1=0，y+1=0，所以x=1,y=-1，即点P坐标为（1，-1）【点睛】本题的关键是根据两点间距离公式推出题型7：解答题19．已知点是轴上的一点，它与点之间的距离是15，求点的坐标．【答案】或【分析】本题考查的是两点间的距离，根据两点间距离公式，可以构造方程式，解答即可得出答案【详解】设，∵是轴上的一点，它与点之间的距离是15，∴，解得或．∴或．【点睛】本题的关键是掌握两点间距离公式20．在平面直角坐标平面内，已知点在轴上，它到点和点的距离相等，求点的坐标．【答案】【分析】本题考查的是两点间距离，利用两点间距离公式可以得到方程式，解方程式即可得到答案【详解】设点的坐标为．根据题意，得，∴．即．解得．所以点的坐标是．【点睛】本题的关键是掌握两点间距离公式21．已知A(，)，B(4，)，C(1，2)，判定ABC的形状．【答案】ABC是等腰直角三角形，见解析【分析】利用两点间距离公式，分别计算AB、AC、BC的长，再根据勾股定理逆定理判断三条边的关系即可解题．【详解】利用两点的距离公式，可得AB=，AC=，BC=，所以AC=BC，AB2=AC2+BC2所以△ABC是直角三角形，综上所述，△ABC是等腰直角三角形．【点睛】本题考查两点间距离公式、勾股定理及逆定理、等腰直角三角形的判定，是常见考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．22．点在轴上，、，如果是直角三角形，求点的坐标．【答案】点的坐标为或【分析】本题考查的是两点距离与勾股定理，根据A、B坐标构造直角三角形，运用勾股定理与两点间距离公式，分类讨论即可求出点P坐标【详解】设点的坐标为，分两种情况：①当点为直角顶点时，点在轴正半轴，作轴于，轴于，轴于，如图所示：由勾股定理，得，即，解得，∴点的坐标为．②当点为直角顶点时，点在轴负半轴，作轴于，轴于，如图所示：由勾股定理，得，即，解得，∴点的坐标为．综上所述，如果是直角三角形，那么点的坐标为或．【点睛】本题的关键是分类讨论点P的情况，并灵活运用勾股定理和两点间距离公式23．在下面的平面直角坐标系中先描出、、，然后顺次连接三点，判断的形状，并且求其面积．【答案】【分析】本题考查的是两点之间距离和三角形的面积，利用两点距离公式求出AB、AC、BC的值即可判定形状，利用三角形面积公式即可求出面积【详解】∵、、，∴，，，∴，．∴为等腰直角三角形．∴．【点睛】本题的关键是掌握两点间距离公式24．如图，有两条互相垂直的公路，A厂离公路的距离为2千米，离公路的距离为5千米；B厂离公路的距离为11千米，离公路的距离为4千米；现在要在公路上建造一仓库P，使A厂到P仓库的距离与B厂到P仓库的距离相等，求仓库P的位置．【答案】仓库P在公路上，且在公路的右侧，离公路的距离为6千米处.【分析】以直线建立直角坐标系，根据题述可得A厂，B厂所在点的坐标，再设仓库P所在点的坐标为(x,0)，根据“A厂到P仓库的距离与B厂到P仓库的距离相等”列出方程，求解，根据方程的解可得出仓库P的位置．【详解】解：为两条互相垂直的公路，以建立平面直角坐标系，如下图，根据题意可知,设P(x,0)，则整理得：，解得．故仓库P在公路上，且在公路的右侧，离公路的距离为6千米处．【点睛】本题考查两点之间的距离公式．能建立合适的直角坐标系，并根据“A厂到P仓库的距离与B厂到P仓库的距离相等”列出方程是解决此题的关键．25．在平面直角坐标系中，为原点．（1）点的坐标为，求线段的长；（2）点的坐标为，点的坐标为，求线段的长．【答案】（1）5（2）5【分析】（1）本题考查的是直角坐标系中两点间的距离，根据两点间距离公式解答即可；（2）在坐标系中构造直角三角形，运用勾股定理即可求出BC【详解】（1）；（2）如图，，，则由勾股定理，得．【点睛】本题的关键是掌握两点间距离公式和勾股定理一、单选题1．在平面直角坐标系中，点P（﹣x，2x）到原点O的距离等于5，则x的值是（）A．±1 B．1 C． D．±【答案】D【分析】根据两点间的距离公式列出关于x的方程，求出x的值即可．【详解】解：∵点P（﹣x，2x）到原点O的距离等于5，∴x2+4x2=25，解得x=±．故选：D．【点评】本题考查的是两点间的距离公式，熟记两点间的距离公式是解答此题的关键．2．在平面直角坐标系中，点A的坐标是，若点P在坐标轴上，且是等腰三角形，则点P的坐标不可能是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查的是等腰三角形的定义，勾股定理的应用，二次根式的化简，将四个选项中的点的坐标分别代入逐一判断即可得出结论．【详解】解：当时，，，∴，∴是等腰三角形，故选项A不符合题意；当时，，∴是等腰三角形，故选项D不符合题意；当时，，∴是等腰三角形，故选项C不符合题意；当时无法得出是等腰三角形，故选项B符合题意，故选：B．3．P1（x1，y1），P2（x2，y2）是平面直角坐标系中的任意两点，我们把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|叫做P1，P2两点间的“直角距离”，记作d（P1，P2）．比如：点P（2，﹣4），Q（1，0），则d（P，Q）=|2﹣1|+|﹣4﹣0|=5，已知Q（2，1），动点P（x，y）满足d（P，Q）=3，且x、y均为整数，则满足条件的点P有（）个．A．4 B．8 C．10 D．12【答案】D【分析】由条件可得到|x﹣2|+|y﹣1|=3，分四种情况：①x﹣2=±3，y﹣1=0，②x﹣2=±2，y﹣1=±1，③x﹣2=±1，y﹣1=±2，④x﹣2=0，y﹣1=±3，进行讨论即可求解．【详解】解：依题意有：|x﹣2|+|y﹣1|=3，①x﹣2=±3，y﹣1=0，解得，；②x﹣2=±2，y﹣1=±1，解得，，，；③x﹣2=±1，y﹣1=±2，解得，，，；④x﹣2=0，y﹣1=±3，解得，．故满足条件的点P有12个．故选：D．【点睛】本题为新概念题目，考查了观察与实验能力，理解题目中所给新定义是解题的关键，注意分类讨论思想的应用．二、填空题4．已知直角坐标平面内的两点分别为A（﹣3，1）、B（1，﹣2），那么A、B两点间的距离等于．【答案】5．【分析】根据两点间的距离公式进行计算，即A（x，y）和B（a，b），则AB=【详解】A.B两点间的距离为：AB===5,故答案为5,故答案是：5.【点睛】本题考查了勾股定理，两点间的距离，解题的关键是掌握两点间的距离公式．5．在平面直角坐标系中，坐标轴上到点A（3，4）的距离等于5的点有个．【答案】3【详解】解：点A的坐标是（3，4），因而OA=5，坐标轴上到点A（3，4）的距离等于5的点就是以点A为圆心，以5为半径的圆与坐标轴的交点，圆与坐标轴的交点是原点，另外与两正半轴有两个交点，共有3的点．所以坐标轴上到点A（3，4）的距离等于5的点有3个．故答案是：3．【点睛】正确确定满足条件的点是解决本题的关键．6．一个机器人从点出发，向正东方向走3米到点，再向正北方向走6米到达点，再向正西方向走9米到达点，再向正南方向走12米到达点，再向正东方向走15米，达到点．按如此规律走下去，若机器人走到点时，离起点的距离米．【答案】【分析】根据机器人行走规律，每换一个方向，行走距离增加3米，行走路线为正东-正北-正西-正南，可以得到A7点坐标为（-12,12），再根据两点间距离公式即可求出答案【详解】解：已点O为原点，建立平面直角坐标系，根据题意可知，机器人从A5向正北方向走18米到达点A6，所