八年级数学下册 23.3 矩形、菱形与正方形（第1课时）（解析版）

第第页23.3矩形、菱形与正方形（第1课时）23.3导入：在本节中，我们将研究几类特殊的四边形——矩形、菱形与正方形.在小学阶段，我们已经了解过长方形与正方形，其中长方形就是我们将要介绍的矩形.矩形及其性质1.矩形的定义定义四个内角都是直角的四边形叫作矩形.生活中有很多矩形的实例，如黑板、教科书、地砖，它们的边框都可以看作矩形.如图23-3-2,在矩形ABCD中，由矩形的定义，可知∠A=∠B=∠C=∠D=90°.所以∠A+∠B=180°,∠A+∠D=180°,所以AD//BC,AB//CD,即矩形ABCD的两组对边平行.根据平行四边形的定义，可知矩形必然是平行四边形.所以，矩形是一种特殊的平行四边形.矩形的性质①从对称的角度分析矩形：a.矩形是中心对称图形，其对称中心是两条对角线的交点；b.矩形也是轴对称图形，其对称轴是每组对边的中点连接的线段所在的直线（两条直线）。②矩形具有平行四边形的所有性质：简述为对边分别平行且相等；对角相等；对角线相互平分。③定义性质：矩形的四个内角都是直角④定理矩形的两条对角线相等定理证明如图23-3-3,已知：四边形ABCD是一个矩形，AC、BD是它的对角线.求证：AC=BD.因为矩形ABCD是一个平行四边形，由平行四边形的性质定理1,得AB=DC.又因为∠ABC=∠DCB=90°,BC=CB,所以△ABC≌△DCB.所以AC=BD.矩形的判定问题：由于矩形是四个内角均为直角的平行四边形，那么对于平行四边形而言，有几个角是直角就能保证它是一个矩形呢?1.定理1有一个内角是直角的平行四边形是矩形.定理证明如图23-3-5,已知：在平行四边形ABCD中∠A=90°.求证：平行四边形ABCD是一个矩形.因为四边形ABCD是一个平行四边形，由平行四边形的性质定理2,得∠A=∠C,∠B=∠D.由多边形的内角和定理，得∠A+∠B+∠C+∠D=360°,又因为∠A=90°,所以∠C=90°,2∠B=180°.所以∠A=∠B=∠C=∠D=90°.由矩形的定义，得平行四边形ABCD是一个矩形.引入：如果一个平行四边形是矩形，那么它的对角线相等.这个命题的逆命题也是真命题.由此，又得到矩形的一个判定定理：2.定理2对角线相等的平行四边形是矩形.定理证明如图23-3-6,已知：在平行四边形ABCD中，AC=BD.求证：平行四边形ABCD是一个矩形.因为四边形ABCD是一个平行四边形，由平行四边形的性质定理1,得AB=DC.又因为AC=BD,BC=CB,所以△ABC≌△DCB.所以∠ABC=∠DCB.由平行四边形的定义，知AB//DC,进而∠ABC+∠DCB=180°.所以∠ABC=90°.由矩形的判定定理1,得平行四边形ABCD是一个矩形.题型1：矩形的性质的辨析1．下列图形性质中，矩形不一定具有的是（

）A．对角线互相平分且相等 B．四个角相等C．对角线互相垂直 D．是轴对称图形【答案】C【分析】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．根据矩形的性质分析，进行作答，即可求解．【详解】解：A.对角线互相平分且相等，是矩形的性质，故该选项不符合题意；B.四个角相等，是矩形的性质，故该选项不符合题意；C.对角线互相垂直，不是矩形的性质，故该选项符合题意；D.是轴对称图形，是矩形的性质，故该选项不符合题意；故选：C；2．下列结论中，矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（

）A．对边平行且相等 B．对角线互相平分C．对角线相等 D．对角相等【答案】C【分析】本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．如，矩形的对角线相等．矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等．【详解】解：A.对边平行且相等，B.对角线互相平分，D.对角相等，均是矩形和平行四边形都具有的性质．C.对角线相等是矩形具有，而平行四边形不一定具有的性质．故选：C．3．下列关于矩形的说法，正确的是（

）A．矩形的对角线互相垂直 B．矩形的对角线平分一组对角C．矩形的邻边一定不相等 D．矩形的邻边互相垂直【答案】D【详解】此题考查了矩形的性质，根据矩形的性质判断即可．掌握矩形的性质是解题的关键．【分析】A．矩形的对角线不一定互相垂直，故此选项说法错误，不符合题意；B．矩形的对角线不一定平分一组对角，故此选项说法错误，不符合题意；C．当矩形为正方形时，矩形的邻边相等，故此选项说法错误，不符合题意；D．矩形的邻边互相垂直，故此选项说法正确，符合题意；故选：D．题型2：根据矩形的性质求角度Ⅰ4．如图，已知矩形，对角线，交于点，下列说法不正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．根据矩形的对边相等且平行，对角线相等且互相平分即可判断．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，，，∴A、C、D正确，不符合题意，对角线不一定垂直，错误，符合题意；故选：B．5．如图，矩形ABCD的对角线交于点O．若∠BAO=55°，则∠AOD等于()A．110° B．115° C．120° D．125°【答案】A【分析】由矩形的对角线互相平分得，OA=OB，再由三角形的外角性质得到∠AOD等于∠BAO和∠ABO之和即可求解.【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OB，∠BAO=∠ABO=55°，∠AOD=∠BAO+∠ABO=55°+55°=110°.故答案为A【点睛】本题考查了矩形的性质及外角的性质，熟练利用外角的性质求角度是解题的关键.6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB=30°，则∠AOB的大小为（

）A．30° B．60° C．90° D．120°【答案】B【分析】根据矩形的性质，即可求解．【详解】解：∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴OB=OC，∴∠OBC=∠ACB=30°，∴∠AOB=∠OBC+∠ACB=30°+30°=60°．故选B【点睛】本题主要考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．7．如图，在矩形中，、交于点，，则大小是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查矩形中求角度，涉及矩形性质、等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用等知识，熟练掌握相关几何性质与判定是解决问题的关键．先由矩形性质得到，再由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，即可求解．【详解】解：在矩形中，，，故选：B．题型3：根据矩形的性质求角度Ⅱ8．如图，直线，矩形的顶点A、D分别在直线b、a上，若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了矩形的性质，平行线的性质．根据平行线的性质得出，结合矩形的性质即可求解．【详解】解：，，∵四边形是矩形，，，故选：B．9．如图，已知在矩形中，于点，，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查矩形的性质，等边对等角，根据矩形的性质，得到，等边对等角得到，三角形的内角和定理，求出的度数，角的和差关系求出的度数即可．【详解】解：∵矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∴；故选A．10．如图，延长矩形的边至点，使，连接，若，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了矩形的性质，等边对等角，三角形外角性质，直角三角形两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合矩形的性质得，根据等边对等角，直角三角形两个锐角互余，得，再运用三角形外角性质，进行列式计算，即可作答．【详解】解：连接，交于点，如图所示：∵四边形是矩形∴，∴，∴，∵，，∴，，∴，∵，∴，故选：A．11．如图，在矩形中，对角线相交于点，于点，若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查矩形的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和，熟练掌握矩形的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和是解题的关键；由题意易得，则有，然后问题可求解．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，∵，，∴，∴；故选A．12．在矩形中，对角线、相交于点，的角平分线交于点，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查矩形的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，理解矩形的性质是解题的关键．先根据矩形的性质，结合角平分线的定义求出，利用等腰三角形的性质求出，即可求出答案．【详解】解：在矩形中，，，∵平分，∴，∵，∴，∴，故选：B．题型4：根据矩形的性质求长度Ⅰ13．线段为矩形的对角线，若，则的长为．【答案】6【分析】本题考查矩形的性质，根据矩形的对角线相等，即可得出结果．【详解】解：∵线段为矩形的对角线，，∴；故答案为：6．14．如图，矩形中，对角线，相交于点O，且，则的长为．【答案】2【分析】本题主要考查矩形的性质，由矩形的对角线相等且互相平分，所以．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，（矩形的对角线相等且互相平分），∴．故答案为：2．15．如图，矩形的对角线，相交于点，，，则的长是．【答案】5【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，掌握矩形的性质，勾股定理是关键．根据矩形的性质得到，由勾股定理得到，由矩形的性质得到即可求解．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，∴，∴，故答案为：5．16．如图所示，矩形的两条对角线相交于点，则矩形的对角线的长是．【答案】4【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，判断出是等边三角形是解决本题的关键．由矩形的性质可知矩形对角线相等且互相平分，即，由可知是等边三角形，由此可求解对角线的长．【详解】解：在矩形中，，又∵，∴是等边三角形，∴，∴，则矩形的对角线的长是4．故答案为：4．17．矩形的两条对角线的夹角为，较短的边长为，则矩形的对角线长为．【答案】【分析】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定.先画出图形可得，再根据矩形的性质得是等边三角形，可得，进而得出答案.【详解】解：如图所示，，∵四边形是矩形，∴，∴是等边三角形，∴，∴.故答案为：18．矩形的对角线与相交于点，若，，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了利用矩形的性质求线段长，利用矩形对角线相等且互相平分的性质，结合勾股定理求解即可．【详解】解：如下图：∵四边形是矩形，∴，，，∴∴故选：A．题型5：根据矩形的性质求长度Ⅱ19．如图，在矩形中，点E在上，且平分．若，则．【答案】【分析】本题主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理．根据矩形的性质以及角平分线的定义可得，从而得到，再证得是等腰直角三角形，即可求解．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴．故答案为：20．如图，在矩形中，点、分别在边，上，且，，，，则的长是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理解三角形，解决本题的关键是设出未知数使用勾股定理建立方程．连接，设，则有，先由勾股定理求解出，再表示出，，再由勾股定理求解x的值，即可求解的长．【详解】解：连接，如图，设，则有，在中，，在中，，在中，，∵，即，在中，，即，解得，∴．故选：C．21．如图，在矩形中，点在边上，，连接，若，，则的长为（）A．1 B．5 C．2 D．【答案】D【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，勾股定理，是解题的关键，勾股定理求出的长，进而得到的长，推出的长，进而求出的长，再利用勾股定理求出的长即可．【详解】解：∵矩形，∴，，，∴，∴，∴，∴，∴；故选D.22．如图，在矩形中，，，对角线和交于点，过点作垂直于，交于点，则的长为（

）A．3 B．4 C．5 D．2【答案】C【分析】本题主要考查了矩形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理等知识，连接，由矩形的性质得出，，，，再由线段垂直平分线得出，设，则，再利用勾股定理求解即可．【详解】解：如解图，连接，∵四边形是矩形，，，∴，，，，∵，∴是线段的垂直平分线，∴，设，则，由勾股定理得，，即，解得．故选：C．23．如图，点是矩形的边上的一个动点，矩形的两条边，那么点到矩形的两条对角线的距离和等于（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理求线段长的运用，如图所示，连接，根据矩形的性质，勾股定理得到，，，，根据，即可求解．【详解】解：如图所示，连接，∵四边形是矩形，∴，∴，，∴，，∵，∴，故选：B．题型6：根据矩形的性质求面积24．如图，矩形的周长为，对角线相交于点O，若比的周长多2，则该矩形的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了矩形的性质，由题意得：，根据比的周长多2，得；根据矩形的周长为，得；即可求解；【详解】解：由题意得：，∵比的周长多2，∴，即；∵矩形的周长为，∴；∴，∴该矩形的面积为：，故选：A25．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，过点A作，点E恰好为的中点，，则矩形的面积为．【答案】【分析】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质，以及勾股定理．熟练掌握矩形的对角线相等且平分，是解题的关键．先证明是等边三角形，求出，进而求出，利用即可得解．【详解】解：∵四边形为矩形，∴，∵，点E恰好为的中点，∴，∴是等边三角形，∴∴，，∴矩形的面积为；故答案为：．26．如图，矩形的对角线、相交于点，点为的中点，连接，若，则的面积为（

）A．3 B．6 C．1.5 D．2【答案】A【分析】此题考查了矩形的性质，三角形中线的性质，首先求出矩形的面积为，得到，进而求解即可．【详解】∵矩形，，∴矩形的面积为，∴，∵点为的中点，∴．故选：A．27．如图，矩形中，对角线与相交于点O，过点C作，垂足为点E．若，．则矩形的面积为（

）A．24 B．12 C．10 D．8【答案】B【分析】本题考查了矩形的性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．先根据矩形对角线的性质得到，由，根据即可求解．【详解】解：∵矩形，，∴，∵，∴．故选：B．题型7：折叠问题28．如图，将矩形沿折叠，点B落在边上的点F处．若，，则的长度为（

）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】C【分析】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握折叠的性质．根据矩形的性质得出，，，根据折叠得出，，，根据勾股定理求出，设，则，，根据勾股定理列出方程，解方程即可．【详解】解：∵四边形为矩形，∴，，，∴，根据折叠可知：，，，∴，设，则，，根据勾股定理得：，即，解得：，∴．故选：C．29．如图，在矩形中，，，点E为的中点，将沿折叠，使点B落在矩形内点F处，连接，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查翻折变换性质和矩形性质，三角形面积公式，勾股定理．根据题意连接，根据三角形面积公式求出，得到，根据直角三角形判定得到，再根据勾股定理即可得到本题答案．【详解】解：连接交于点，∵四边形是矩形∴∵，点E为的中点，∴，∵，∴，∵将沿折叠，使点B落在矩形内点F处，∴，即，∴，∴，∴，∵，∴，∴∵∴，∴，故选：D．30．如图把一张矩形纸片沿对角线翻折，点的对应点为，与相交于点，则下列结论一定正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查翻折变换（折叠问题）、矩形的性质，熟练掌握翻折的性质是解答本题的关键．由翻折可得，由可得，推出即可求解．【详解】解：由翻折可得，∵四边形为矩形，∴，∴，∴，∴，故选项D不符合题意；矩形，，，，，故选项A不符合题意；根据现有条件无法证明选项BC；故选：D．题型8：矩形的判定31．下列条件中，能判定平行四边形是矩形的是（

）A．对角线互相平分B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．一组邻边相等【答案】C【分析】本题考查了矩形的判定，根据对角线相等的平行四边形是矩形，或者有一个角是直角的平行四边形是矩形，进行分析，即可作答．【详解】解：依题意，对角线相等的平行四边形是矩形，或者有一个角是直角的平行四边形是矩形，故选：C32．下列说法中，不正确的是（

）A．有一个角是直角的四边形是矩形 B．有一组邻角相等的平行四边形是矩形C．有一组对角互补的平行四边形是矩形 D．有三个角是直角的四边形是矩形【答案】A【分析】本题考查了矩形的判定，掌握矩形的判定方法是解题的关键；根据矩形的几种判定方法进行判定即可．【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，原说法错误，符合题意；B、由于平行四边形的邻角互补，当一组邻角相等时，这两个角为直角，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可得出结论，原说法正确，不符合题意；C、根据平行四边形的对角相等及互补，得对角相等且为直角，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可得出结论，原说法正确，不符合题意；D、有三个角是直角的四边形是矩形，原说法正确，不符合题意；故选：A．33．如图，在中，对角线相交于点O．添加下列条件不能判定为矩形的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据平行四边形的性质，矩形的判定方法即可一一判断即可．本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．【详解】解：四边形是平行四边形，，是矩形，故A错误；C正确；四边形是平行四边形，，，，，是矩形，故B正确；四边形是平行四边形，，是矩形，故D正确；故选：A．题型9：添加一个条件成为矩形34．在中，连接，再添加一个条件，可以判定为矩形的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了矩形的判定定理和平行四边形的性质，熟练掌握“有一个角是直角的平行四边形是矩形”是解题的关键．根据矩形的判定定理，结合平行四边形的性质，逐一分析各选项是否能判定平行四边形为矩形．【详解】解：选项A：∵，四边形是平行四边形，∴平行四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形），不能判定为矩形；选项B：∵，四边形是平行四边形，∴平行四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）；选项C：∵，四边形是平行四边形，∴平行四边形是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形），不能判定为矩形；选项D：∵平行四边形中本身就有（平行四边形对角相等），∴此条件不能判定为矩形．故选：B．35．如图，要使平行四边形成为矩形，需要增加的一个条件可以是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了矩形的判定定理和平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形等）是解题的关键．根据矩形的判定定理，逐一分析每个选项，判断哪个条件能使平行四边形成为矩形．【详解】解：选项A：∵平行四边形本身就有的性质，∴此条件不能使平行四边形变为矩形，该选项错误；选项B：∵，平行四边形中邻边相等时是菱形，不是矩形的判定条件，∴此条件不能使平行四边形变为矩形，该选项错误；选项C：∵平行四边形本身就有的性质，∴此条件不能使平行四边形变为矩形，该选项错误；选项D：∵矩形的判定定理之一是“对角线相等的平行四边形是矩形”，平行四边形中，∴平行四边形是矩形，该选项正确；故选：D．36．如图，要使平行四边形成为矩形，需添加的条件是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查矩形的判定定理，需根据所给选项逐一分析是否能使平行四边形成为矩形．【详解】解：选项A：当时，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可知平行四边形是菱形，不是矩形，所以该选项错误．选项B：当时，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可知平行四边形是菱形，不是矩形，所以该选项错误．选项C：根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，由可得，平行四边形是矩形，所以该选项正确．选项D：因为四边形是平行四边形，所以，根据平行线的性质可得，又因为，所以，再根据等角对等边可知，根据菱形的判定定理，一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以平行四边形是菱形，所以该选项错误．故选：C．题型10：矩形的判定与性质综合37．如图，在中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，根据矩形的判定得到四边形是矩形，由矩形的性质求出，由角的和差关系求出，再根据等边对等角求出即可．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，∵，∴，∴四边形是矩形，∴，∵，∴，∴故选：A．38．如图，在平行四边形中，，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查勾股定理的逆定理，矩形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．由，，，根据勾股定理逆定理可得，证明四边形是矩形，再由矩形的对角线相等可求出．【详解】解：，，，，，四边形是平行四边形，四边形是矩形，．故选：．39．如图，在四边形中，，，，四边形对角线交于点O，，，四边形的面积为（

）A．60 B．90 C．120 D．150【答案】C【分析】此题考查了矩形的判定，勾股定理等知识，首先证明出四边形是矩形，然后利用勾股定理求出，然后利用矩形面积公式求解即可．【详解】∵，，∴四边形是平行四边形又∵∴四边形是矩形∵∴∴∴四边形的面积为．故选：C．40．如图，在中，，P为边上一动点，于点E，于点F，则的最小值为（

）A．5 B．4 C． D．3【答案】C【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、矩形的判定及性质，根据矩形的性质得到是解题的关键．根据勾股定理的逆定理可以证明为直角三角形，根据三个角都是直角的四边形是矩形，根据矩形的对角线相等，得，则的最小值即为的最小值，根据垂线段最短，时，的值最小，由此即可得出结论．【详解】连接，如图，∵，∴，∴为直角三角形，，∵于点E，于点F，∴，∴四边形为矩形，∴，当的值最小时，的值最小，当时，的值最小，此时，∴的最小值为，故选：C．题型11：解答证明题41．如图，在矩形中，点E，F分别在边和上，且．求证：．【答案】见详解【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．根据矩形的性质，证，即可求证．【详解】证明：四边形是矩形，，又，，．42．如图，在中，，为边的中点，以，为邻边作，连接，，求证：四边形是矩形．【答案】见解析【分析】由等腰三角形的三线合一性质得出，，，由平行四边形的性质得出，，得出，，证出四边形是平行四边形，即可得出结论．【详解】证明：，为边的中点，，，，四边形是平行四边形，，，，，四边形是平行四边形，又，四边形是矩形．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定；熟练掌握等腰三角形的性质和平行四边形的判定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．43．如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作的垂线，垂足为．已知，求的度数．【答案】的度数为【分析】本题主要考查了矩形的性质，等边对等角，直角三角形的两个锐角互余，掌握矩形的性质是关键．根据矩形的性质得到，进而，根据直角三角形的两个锐角互余和等腰三角形的性质可得，由此即可求解．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴的度数为．44．如图，在中，，为边上的中线，点E为中点，过点A作，交的延长线于点F，连接．求证：四边形为矩形．【答案】见详解【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一，平行四边形的判定与性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，先结合点E为中点，，证明，再根据，为边上的中线，得出，，证明四边形为平行四边形，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，得出四边形为矩形．【详解】解：∵点E为中点，∴，∵，∴∵，∴，∴，∵，为边上的中线，∴，，∴，，∵，∴四边形为平行四边形，∵，∴四边形为矩形．45．如图，在四边形中，，．对角线、相交于点O，．(1)求证：四边形是矩形；(2)若，，求四边形的面积．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明它的对角线相等即可得出平行四边形是矩形．（2）先利用矩形的性质得出，，从而可得，再利用含度角的直角三角形的性质求得，从而可求得四边形的面积．【详解】（1）证明：，，四边形是平行四边形，，，，，平行四边形ABCD是矩形．（2）解：在矩形中，，，则，，，，．【点睛】本题考查了是矩形的判定和性质，含度角的直角三角形，勾股定理，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．46．如图，四边形是矩形，对角线、相交于点O，，交的延长线于点E．(1)求证：；(2)若，，求四边形的面积．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．（1）通过证明四边形是平行四边形，可得；（2）由直角三角形的性质可求，，由四边形的面积平行四边形的面积的面积即可求解．【详解】（1）证明：四边形是矩形，，且．又，四边形是平行四边形，，；（2）解：在矩形中，，∵，，由勾股定理，得，平行四边形的面积，的面积，∴四边形的面积平行四边形的面积的面积．47．如图，在四边形中，对角线与相交于点，点是、的中点，点在四边形外，连接，且，．(1)求证：四边形是矩形；(2)若，，求矩形的面积【答案】(1)见解析(2)【分析】此题主要考查了矩形的性质和判定、等腰三角形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（1）首先根据为和的中点，得出四边形是平行四边形，在中，结合，得到，可证出结论．（2）根据矩形性质求出，求出，根据直角三角形的性质求出即可．【详解】（1）证明：∵是、的中点，∴，∴四边形是平行四边形，∵，∴，∵，∴，又∵四边形是平行四边形，∴平行四边形是矩形．（2）解：∵四边形是矩形，∴，∵，，∵四边形是矩形，，，，．48．在长方形中，．(1)如图1，P为边上一点，将沿直线翻折至的位置，其中点是点的对称点，当点落在边上时，求的长．(2)如图2，点是边上一动点，过点作交边于点，将沿直线翻折得，连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的长：(3)如图3，点是射线上的一个动点，将沿翻折，其中点的对称点为，当三点在同一直线上时，请直接写出的长．【答案】(1)(2)或(3)2或8【分析】（1）由翻折可得，再利用勾股定理解答即可；（2）分和两种情况，分别画出图形，利用翻折的性质和勾股定理求解即可；（3）分点M在线段上和点M在的延长线上两种情况，分别画出图形，利用翻折的性质和勾股定理求解即可．【详解】（1）解：如图1∶四边形是矩形，，由翻折变换的性质可知∶，，，设，则在中，，解得：．（2）解：如图2-1中，当，过点作于点．，，，，，，，，，，，，，∴；如图中，当时，∵，∴，设，则，在中，∵，∴，解得：，∴．综上所述，的长为或．（3）解：如图中，当点在线段上时，四边形是矩形，，，，，，，，．如图3-2中，当点在的延长线上时，同法可证，，，．综上所述，满足条件的的长为2或8．【点睛】本题主要考查了矩形的性质、翻折的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识点，灵活运用分类讨论思想是解题的关键．一、单选题1．下列性质中，矩形一定具有的是（

）A．四边相等 B．对角线垂直 C．邻边相等 D．对角线相等【答案】D【分析】根据矩形的边的特征，对角线的特征，来判断即可．【详解】矩形的对边平行且相等，但是邻边不一定相等，故本选项不符合题意；矩形的对角线相等但不一定垂直，故本选项符合题意；矩形的邻边不一定相等，故本选项不符合题意；矩形的对角线相等，故本选项符合题意；故选：D【点睛】本题主要考查了矩形的性质，熟记矩形的性质是解决问题的关键．2．如图，在矩形中，两条对角线与相交于点，，则的长为（

）A．4 B．8 C． D．【答案】D【分析】利用矩形的性质可知对角线互相平分且，再利用勾股定理求解即可．【详解】解：在矩形中，故选D．【点睛】本题主要考查矩形的性质及勾股定理，熟练掌握矩形的性质及勾股定理求直角边是解决本题的关键．3．矩形的对角线交于点O，且，的周长为23，则矩形的两条对角线的和是（

）A．18 B．28 C．36 D．46【答案】C【分析】根据矩形对角线互相平分，对边相等可得，，，再由的周长为23可得，然后可得答案．【详解】解：四边形是矩形，，，，的周长为23，，，故选：C．【点睛】此题主要考查了矩形的性质，解题的关键是掌握矩形是特殊的平行四边形，平行四边形对角线互相平分，对边相等．4．如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，若△AOB的面积为4，则矩形ABCD的面积为（

）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】D【分析】因为矩形的对角线互相平分且相等，所以BO=DO=AO=CO，在△ABO和△ADO中，因为底BO=DO，高相同，所以S△ABO=S△ADO，同理可得S△ABO=S△ADO=S△BCO=S△DCO，所以矩形ABCD面积=4S△ABO．【详解】则由题意可得：BO=DO=AO=CO则在△ABO和△ADO中，∵BO=DO，高相同∴S△ABO=S△ADO同理可得S△ABO=S△ADO=S△BCO=S△DCO∴S矩形ABCD=4S△AOB=4×4=16故选D【点睛】本题考查了矩形，熟练运用矩形的性质是解题的关键．5．已知四边形的对角线相交于点，则下列条件中不能判定它是矩形的是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】本题考查的是矩形的判定，熟记判定方法是解本题的关键．矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）有三个角是直角的四边形是矩形．（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．据此判断即可．【详解】解：如图，∵，∴四边形是平行四边形，又，∴平行四边形是矩形，故A不符合题意；∵，根据“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”可以判定平行四边形是矩形，故B不符合题意；∵，∴，但不一定与相等，无法判定四边形是矩形，故C符合题意；∵，∴，∴四边形是矩形，故D不符合题意；故选：C．6．如图，在矩形中，点在上，当是等边三角形时，为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．由矩形得到，继而得到，而是等边三角形，因此得到．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，∴，∵是等边三角形，∴，∴，故选：C．二、填空题7．如图，在矩形中，，则的长是．【答案】3【分析】矩形的对角线相等且相互平分，据此即可作答．【详解】∵在矩形中，，∴，∴，故答案为：3．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，掌握矩形的对角线相等且相互平分，是解答本题的关键．8．如图，要使成为矩形，应添加的条件是（只填一个）．【答案】（或，答案不唯一）【分析】本题主要考查了矩形的知识，熟练掌握矩形的判定定理是解决本题的关键．【详解】∵有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，∴可以添加条件(或其余三个内角中的一个为)．又∵对角线相等的平行四边形是矩形，∴也可以添加条件(答案不唯一)．故答案为：（或，答案不唯一）．9．如图，矩形中，直线垂直平分，与，分别交于点，若，，则矩形的对角线的长为．

【答案】【分析】连接，在中，利用勾股定理求出，再在中，利用勾股定理求出即可．【详解】解：如图，连接．

直线垂直平分，，四边形是矩形，，，，，；故答案为：．【点睛】本题考查线段的垂直平分线的性质，矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．10．如图，矩形中于，若，则度．【答案】【分析】根据矩形的性质首先求出∠DCE，∠ECB的度数．然后利用三角形内角和定理求解即可.【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠DCB=90°，∵∠DCE=3∠ECB，∴∠DCE=×90°=67.5°，∠ECB=22.5°，∴∠EBC=∠ACB=90°－∠ECB=67.5°，∴∠ACE=∠ACB－∠ECB=67.5°－22.5°=45°.故答案为45.【点睛】本题考查的是矩形的性质以及三角形内角和定理的有关知识.本题属于基础题，难度一般，应该根据图形来理解.11．如图，、是矩形的两条对角线，E是的延长线上一点，连接，若，，则的度数是°．【答案】/度【分析】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的顶角和底角的关系是解题的关键．根据矩形的性质得，，由平行线性质得出，再结合已知条件得，进而得出，由此即可解题．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，，∴，又∵，∴，∴．∴．故答案为：．12．如图，矩形中，交于点O，，，点M在边上，且，点P是上的动点，连接，当是等腰三角形时，的长为．【答案】5或或【分析】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形中位线的性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线，分情况讨论是解题关键．过点作于点，结合矩形的性质易得为等腰三角形，可得，进而可知为的中位线，可得，利用勾股定理可解得，若是等腰三角形，可分，和三种情况，分别求解即可．【详解】解：如下图，过点作于点，∵四边形为矩形，，，∴，，，∵，∴，∴为的中位线，∴，∵，∴，∴，∵是等腰三角形，当时，可有；当时，则有，此时；当时，设，则有，在中，可有，∴，解得．综上所述，的长为5或或．故答案为：5或或．三、解答题13．如图，在平行四边形中，过点D作于点F，点E在边上，，连接．求证：四边形是矩形．【答案】见解析【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质，掌握相关定