2026-2027学年数学浙教版八年级上册同步练习 2.3　等腰三角形的性质定理1及等边三角形的性质

2026-2027学年数学浙教版八年级上册同步练习第2章特殊三角形2.3等腰三角形的性质定理1及等边三角形的性质选择题每小题3分1.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，则∠ACD的度数为()A.70° B.100° C.110° D.140°2.如图，AB=AC=AD。若AD∥BC，∠C=80°，则∠D的度数为()A.30° B.40° C.50° D.60°3.如图，∠ABC=∠DCB，给出下列条件：①AB=DC，②OB=OC，③∠A=∠D，④∠ACB=∠DBC，从中添加一个条件后，能证明△ABC≌△DCB的是()A.①②B.③④C.①②③D.①②③④4.(3分)若等腰三角形的一个底角的度数为40°，则它的顶角的度数为°。

5.(3分)如图，在△ABC中，以点A为圆心，线段AB的长为半径画弧，交BC于点D，连结AD。若∠ABD=55°，则∠ADC=°。

6.(3分)如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，交AC于点D。写出图中相等的角。

7.(8分)如图，已知线段a和∠1，用直尺和圆规作等腰三角形ABC，使AB=AC=a，∠B=∠1(保留作图痕迹，不写作法)。8.(8分)如图，△ABC是等边三角形，点D，E在直线BC上，DB=EC。求证：∠D=∠E。9.(8分)如图，在△ABC中，AB=AC，点E，F在边BC上，BE=CF，点D在AF的延长线上，AD=AC。若∠BAE=30°，求∠ADC的度数。10.(3分)定义：等腰三角形的顶角与其中一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”。若在等腰三角形ABC中，∠A=80°，则它的特征值k为。

11.(3分)【数学文化】“三等分角”是古希腊三大几何问题之一，借助如图1的三等分角仪可以三等分角。图2是这个三等分角仪的示意图，有公共端点P的两条线段PA，PB，可以绕点P转动，点C固定，点D，E分别可以在PA，PB的槽中滑动，且CE=DE=CP。若∠DEB=87°，则∠APB的度数为°。

12.(8分)如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于点P。(1)(4分)若∠A=35°，求∠BPC的度数。(2)(4分)若AB=5cm，BC=3cm，求△PBC的周长。13.(8分)如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BC，AC边上，其中BD=CE，连结AD，BE，两者相交于点P。(1)(4分)求证：AD=BE。(2)(4分)求∠APE的度数。14.(10分)[应用意识]如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形，那么这种分割叫做等腰分割，并称这条线段为这个三角形的等腰分割线。如图1，当△ABD和△ACD为等腰三角形时，AD为△ABC的等腰分割线。(1)(5分)如图2，在△ABC中，∠B=2∠C，线段AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E。求证：AE是△ABC的一条等腰分割线。(2)(5分)如图3，在△ABC中，∠A=120°，∠B=20°，∠C=40°，请你用两种不同的方法完成△ABC的等腰分割，并在图中标注底角的度数。第2课时等腰三角形的性质定理2分值：71分选择题每小题3分1.如图，在△ABC中，AC=BC，CD⊥AB于点D，给出下列结论：①CD平分∠ACB；②CD=AB；③∠A=∠B；④AD=BD。其中正确的是()A.②③ B.①④C.①③④ D.②③④2.如图，AD，CE均为△ABC的角平分线。若AB=AC，∠CAD=20°，则∠ACE的度数为()A.20° B.35° C.40° D.70°3.如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC的中点，连结DE，AE，AE恰好垂直于DE，延长DE，交AB的延长线于点F。若AB=5，CD=2，则AD的长为()A.3 B.4 C.7 D.94.(3分)如图，已知线段AB，使用直尺和圆规作得直线l，交AB于点D，点C在直线l上，若∠ACB=110°，则∠ACD的度数为°。

5.(3分)如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上。若∠EBC=45°，则∠ACE的度数为°。

6.(8分)如图，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的中线，E为AC上一点，且AE=AD。若∠BAD=50°，求∠CDE的度数。7.(8分)如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，点E在BD上，连结AD，AE，AE=BE。(1)(4分)若∠B=40°，求∠DAE的度数。(2)(4分)若CA=CE，求∠B的度数。8.(8分)如图，在△ABC中，AB=AC，AD为△ABC的角平分线。以点A圆心，AD长为半径画弧，与AB，AC分别相交于点E，F，连结DE，DF。(1)(4分)求证：△ADE≌△ADF。(2)(4分)若∠BAC=80°，求∠BDE的度数。9.如图，已知△ABC为等边三角形，D为BC上一动点，E为△ABC外一点，AD=AE，∠DAE=60°，连结CE。若AB=4，当四边形ADCE的周长取最小值时，BD的长为()A.1 B.2 C.3 D.410.(3分)如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，BF⊥AC于点F，交AD于点E。若AF=BF，BD=2，则AE=。

11.(8分)如图，已知∠α和线段a，用直尺和圆规作一个等腰三角形，使它的顶角等于∠α，底边上的高线等于a。12.(8分)如图，在等边三角形ABC中，D为AC边的中点，E为BC延长线上一点，CE=CD，求∠BDE的度数。13.(8分)如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，E是BA延长线上一点，AE=AF，F是AC上一点，连结EF并延长，交BC于点G。(1)(4分)若∠ABC=50°，求∠AEF的度数。(2)(4分)求证：AD∥EG。14.[模型观念]如图，在等边三角形ABC中，AD，CE是△ABC的两条中线，AD=5。若P是AD上一动点，则PB＋PE的最小值为()A.2.5 B.5 C.7.5 D.10答案解析选择题每小题3分1.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，则∠ACD的度数为(C)A.70° B.100° C.110° D.140°2.如图，AB=AC=AD。若AD∥BC，∠C=80°，则∠D的度数为(B)A.30° B.40° C.50° D.60°【解析】∵AB=AC=AD，∴∠ABC=∠C，∠D=∠ABD。∵AD∥BC，∴∠D=∠CBD，∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC=12∠C3.如图，∠ABC=∠DCB，给出下列条件：①AB=DC，②OB=OC，③∠A=∠D，④∠ACB=∠DBC，从中添加一个条件后，能证明△ABC≌△DCB的是(D)A.①②B.③④C.①②③D.①②③④【解析】由AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=CB，得△ABC≌△DCB(SAS)，①符合题意。由OB=OC，得∠OBC=∠OCB，又因为∠ABC=∠DCB，所以∠ABO=∠DCO。又因为∠AOB=∠DOC，OB=OC，所以△ABO≌△DCO(ASA)，所以AB=DC，同①得△ABC≌△DCB，②符合题意。由∠A=∠D，∠ABC=∠DCB，BC=CB，得△ABC≌△DCB(AAS)，③符合题意。由∠ACB=∠DBC，∠ABC=∠DCB，BC=CB，得△ABC≌△DCB(ASA)，④符合题意。综上所述，能证明△ABC≌△DCB的是①②③④。4.(3分)若等腰三角形的一个底角的度数为40°，则它的顶角的度数为100°。

5.(3分)如图，在△ABC中，以点A为圆心，线段AB的长为半径画弧，交BC于点D，连结AD。若∠ABD=55°，则∠ADC=125°。

6.(3分)如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，交AC于点D。写出图中相等的角∠A=∠ABD=∠DBC，∠ABC=∠C=∠BDC。

【解析】∵AB=AC，∴∠ABC=∠C。∵∠A＋∠ABC＋∠C=180°，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°。∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠ABD=36°=∠A，∴∠BDC=180°－∠C－∠CBD=180°－72°－36°=72°，∴∠BDC=∠C=∠ABC。7.(8分)如图，已知线段a和∠1，用直尺和圆规作等腰三角形ABC，使AB=AC=a，∠B=∠1(保留作图痕迹，不写作法)。解：如答图，△ABC即为所作。第7题答图8.(8分)如图，△ABC是等边三角形，点D，E在直线BC上，DB=EC。求证：∠D=∠E。证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠ABC=∠ACB=60°，∴∠ABD=∠ACE=120°。在△ABD和△ACE中，∵AB∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴∠D=∠E。9.(8分)如图，在△ABC中，AB=AC，点E，F在边BC上，BE=CF，点D在AF的延长线上，AD=AC。若∠BAE=30°，求∠ADC的度数。解：∵AB=AC，∴∠B=∠ACF。在△ABE和△ACF中，∵AB∴△ABE≌△ACF(SAS)，∴∠CAF=∠BAE=30°。∵AD=AC，∴∠ADC=∠ACD，∴∠ADC=180°－10.(3分)定义：等腰三角形的顶角与其中一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”。若在等腰三角形ABC中，∠A=80°，则它的特征值k为

85或14【解析】分两种情况讨论：①当∠A为顶角时，等腰三角形两底角的度数均为180°－此时特征值k=80°②当∠A为底角时，顶角的度数为180°－80°－80°=20°，此时特征值k=20°综上所述，这个等腰三角形的特征值k为85或111.(3分)【数学文化】“三等分角”是古希腊三大几何问题之一，借助如图1的三等分角仪可以三等分角。图2是这个三等分角仪的示意图，有公共端点P的两条线段PA，PB，可以绕点P转动，点C固定，点D，E分别可以在PA，PB的槽中滑动，且CE=DE=CP。若∠DEB=87°，则∠APB的度数为29°。

【解析】如答图标所示注角。第11题答图因为PC=CE=DE，所以∠1=∠P，∠2=∠3，所以∠2=2∠P，所以∠DEB=∠3＋∠P=2∠P＋∠P=3∠P，所以3∠P=87°，所以∠P=29°，即∠APB=29°。12.(8分)如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于点P。(1)(4分)若∠A=35°，求∠BPC的度数。(2)(4分)若AB=5cm，BC=3cm，求△PBC的周长。解：(1)∵AB的垂直平分线交AC于点P，∴AP=BP，∴∠A=∠ABP=35°，∴∠BPC=∠A＋∠ABP=35°＋35°=70°。(2)△PBC的周长=BP＋PC＋BC=AP＋PC＋BC=AC＋BC=AB＋BC=5＋3=8(cm)。13.(8分)如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BC，AC边上，其中BD=CE，连结AD，BE，两者相交于点P。(1)(4分)求证：AD=BE。(2)(4分)求∠APE的度数。解：(1)∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∠ABC=∠BAC=∠C=60°。在△ABD和△BCE中，∵AB∴△ABD≌△BCE(SAS)，∴AD=BE。(2)∵△ABD≌△BCE，∴∠BAD=∠CBE。又∵∠ABP＋∠CBE=∠ABD=60°，∴∠ABP＋∠BAD=60°，∴∠APE=∠ABP＋∠BAD=60°。14.(10分)[应用意识]如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形，那么这种分割叫做等腰分割，并称这条线段为这个三角形的等腰分割线。如图1，当△ABD和△ACD为等腰三角形时，AD为△ABC的等腰分割线。(1)(5分)如图2，在△ABC中，∠B=2∠C，线段AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E。求证：AE是△ABC的一条等腰分割线。(2)(5分)如图3，在△ABC中，∠A=120°，∠B=20°，∠C=40°，请你用两种不同的方法完成△ABC的等腰分割，并在图中标注底角的度数。解：(1)∵ED垂直平分AC，∴AE=CE，∴∠C=∠CAE，△ACE为等腰三角形，∴∠AEB=∠C＋∠CAE=2∠C。又∵∠B=2∠C，∴∠AEB=∠B，∴AE=AB，∴△AEB为等腰三角形，∴AE是△ABC的一条等腰分割线。(2)分情况讨论：①当AC是△ACD的底时，此时∠DAC=∠C=40°，∠BAD=∠BDA=∠DAC＋∠C=80°，如答图1；第14题答图1②当AC是△ACD的腰时，此时∠ADC=∠C=40°，∠BAD=∠B=20°，如答图2。第14题答图2

第2课时等腰三角形的性质定理2分值：71分选择题每小题3分1.如图，在△ABC中，AC=BC，CD⊥AB于点D，给出下列结论：①CD平分∠ACB；②CD=AB；③∠A=∠B；④AD=BD。其中正确的是(C)A.②③ B.①④C.①③④ D.②③④2.如图，AD，CE均为△ABC的角平分线。若AB=AC，∠CAD=20°，则∠ACE的度数为(B)A.20° B.35° C.40° D.70°3.如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC的中点，连结DE，AE，AE恰好垂直于DE，延长DE，交AB的延长线于点F。若AB=5，CD=2，则AD的长为(C)A.3 B.4 C.7 D.9【解析】∵E为BC的中点，∴BE=EC。∵AB∥CD，∴∠F=∠CDE。在△BEF与△CED中，∵∠∴△BEF≌CED(AAS)，∴EF=DE，BF=CD=2，∴AF=AB＋BF=7。∵AE⊥DE，EF=DE，∴AF=AD=7。4.(3分)如图，已知线段AB，使用直尺和圆规作得直线l，交AB于点D，点C在直线l上，若∠ACB=110°，则∠ACD的度数为55°。

5.(3分)如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上。若∠EBC=45°，则∠ACE的度数为15°。

【解析】∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴∠ACB=60°，BD=CD，∴AD是BC的垂直平分线。又∵点E在线段AD上，∴BE=CE，∴∠ECB=∠EBC=45°，∴∠ACE=∠ACB－∠ECB=15°。6.(8分)如图，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的中线，E为AC上一点，且AE=AD。若∠BAD=50°，求∠CDE的度数。解：∵AB=AC，AD为BC边上的中线，∴∠ADC=90°，∠CAD=∠BAD=50°。又∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED=180°－∴∠CDE=∠ADC－∠ADE=25°。7.(8分)如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，点E在BD上，连结AD，AE，AE=BE。(1)(4分)若∠B=40°，求∠DAE的度数。(2)(4分)若CA=CE，求∠B的度数。解：(1)∵AB=AC，D是BC的中点，∴∠C=∠B=40°，∠BAD=∠CAD，∴∠BAC=180°－40°－40°=100°，∴∠BAD=12∠BAC=50°∵AE=BE，∴∠BAE=∠B=40°，∴∠DAE=∠BAD－∠BAE=10°。(2)∵CA=CE，∴∠CAE=∠CEA。由(1)得，∠B=∠BAE，∠B=∠C，∴∠CAE=∠CEA=∠B＋∠BAE=2∠B。∵∠BAC＋∠B＋∠C=180°，∴∠BAE＋∠CAE＋∠B＋∠C=5∠B=180°，∴∠B=36°。8.(8分)如图，在△ABC中，AB=AC，AD为△ABC的角平分线。以点A圆心，AD长为半径画弧，与AB，AC分别相交于点E，F，连结DE，DF。(1)(4分)求证：△ADE≌△ADF。(2)(4分)若∠BAC=80°，求∠BDE的度数。解：(1)∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠CAD。由作图知AE=AF。在△ADE和△ADF中，∵AE∴△ADE≌△ADF(SAS)。(2)∵∠BAC=80°，AD为△ABC的角平分线，∴∠EAD=12∠BAC=40°由作图知AE=AD，∴∠AED=∠ADE，∴∠ADE=12×(180°－40°)=70°∵AB=AC，AD为△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，∴∠BDE=90°－∠ADE=20°。9.如图，已知△ABC为等边三角形，D为BC上一动点，E为△ABC外一点，AD=AE，∠DAE=60°，连结CE。若AB=4，当四边形ADCE的周长取最小值时，BD的长为(B)A.1 B.2 C.3 D.4【解析】∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°。又∵∠DAE=60°，∴∠BAD=∠CAE。在△ABD和△ACE中，∵AB∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴BD=CE。∵△ABC是等边三角形，∴BC=AC=AB=4，∴四边形ADCE的周长=CE＋DC＋AD＋AE=BD＋DC＋2AD=4＋2AD。当AD⊥BC时，AD的值最小，此时四边形ADCE的周长取最小值。又∵AB=AC，∴BD=12BC=210.(3分)如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，BF⊥AC于点F，交AD于点E。若AF=BF，BD=2，则AE=4。

【解析】∵BF⊥AC，∴∠BFC=∠AFE=90°，∴∠CBF＋∠C=180°－∠BFC=90°。∵AB=AC，D是BC的中点，∴BC=2BD=4，AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴∠EAF＋∠C=180°－∠ADC=90°，∴∠EAF=∠CBF。在△AEF和△BCF中，∵∠∴△AEF≌△BCF(ASA)，∴AE=BC=4。11.(8分)如图，已知∠α和线段a，用直尺和圆规作一个等腰三角形，使它的顶角等于∠α，