河北省石家庄市2025-2026学年高一数学下学期期中测试【含答案】

河北石家庄市2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．已知向量，，若，则（

）A． B． C． D．3．已知某平面图形用斜二测画法画出的直观图是边长为1的正方形，则原图形的面积为（

）A． B． C． D．4．若在复平面内对应的点位于第二象限，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．5．函数的最小正周期为（

）A．4π B．2π C．π D．6．如图，在中，，，若，则（

）A． B． C． D．7．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，2小时后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是（

）A．海里 B．海里 C．海里 D．海里8．已知四面体的4个面为全等的等腰三角形，且，A，B，C，D四点在同一个球面上，则该球的表面积等于（

）A． B． C． D．二、多选题9．下列计算正确的是（

）A． B．C． D．10．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，以下结论正确的是（

）A．若，则B．在锐角△ABC中，不等式恒成立C．若，，且△ABC只有一解，则b的取值范围是D．若，则11．如图，在正方体中，M是BD的中点，N是线段上一动点，则下列说法正确的有（）A．三棱锥的体积随着点N的位置的改变而随之变化．B．无论点N在何处，始终有平面成立．C．直线MN与平面ABCD所成角的正切值的取值范围为．D．平面BDN截得正方体的截面可能是三角形或四边形．三、填空题12．给出下列命题：①已知集合或，则集合A的真子集个数是4；②“”是“”的必要不充分条件；③“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件；④设，则“”是“”的必要不充分条件.其中所有正确命题的序号是______.13．中国的古建筑榫卯咬合、斗拱层叠，不用一钉一铆，却撑起千年不倒的殿宇廊檐．攒尖是中国古建筑中屋顶常见的一种结构形式，它可以看作是正三棱柱和不含下底面的正四棱台的组合体，如图．已知图中正四棱台上底、下底的长度分别为米，米，侧棱长为5米，正三棱柱各棱长均相等，则该结构的体积为______立方米．14．在中，角所对的边分别是，已知，.若存在最大值，则正数的取值范围是__________.四、解答题15．（1）计算：.（2）已知.求的值.16．已知，，与的夹角为.(1)若与共线，求实数的值；(2)求的值；(3)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.17．已知是关于的方程的一个根，其中，．(1)求的值；(2)设复数满足是纯虚数，求实数的值．18．已知的内角的对边分别为，且，且的面积为．(1)求；(2)若，求的值．19．如图，在四棱锥中，平面，底面为梯形，，平面平面，且，.(1)若平面与平面相交于直线，求证：；(2)求与所成的角；(3)求二面角的余弦值．参考答案1．B【详解】由题知，所以．2．C【详解】由得，解得，所以，.3．D【详解】由直观图可得如下平面图形：则，，，所以.故选：D4．A【详解】在复平面内对应的点为在第二象限，所以，解得.故选：A.5．C【详解】，所以.6．D【详解】在中，，，又，，，，，.故选：D.7．A【详解】由题设可得如下示意图，且，即，由图知：，则，又，所以，则海里.故选：A8．C【详解】依题意可知，．如图，将四面体ABCD放入长方体中，

设长方体的共顶点的三条棱的长分别为x，y，z，将四面体补形为长方体模型，则解得

四面体ABCD的外接球也就是该长方体的外接球，其半径为，故所求表面积为，故选:C．9．ACD【详解】因为，故A正确；因为，故B错误；因为，故C正确；，故D正确.10．ABD【详解】对于A，，A正确；对于B，在锐角△ABC中，，而正弦函数在上单调递增，因此，即，B正确；对于C，由及正弦定理，得，而△ABC只有一解，因此或且，解得或，C错误；对于D，由，得，而，则，D正确.11．BCD【详解】A选项，在点N的位置移动时，点N到平面的距离为定值，等于正方体的棱长，且直角面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，不会随着点N的位置的改变而变化，A错误；B选项，平面ACN即为平面AC，而正方体中必有平面；得到B正确；C选项，取的中点，连接，则⊥，过点作⊥于点，则，故⊥平面，所以即为直线MN与平面所成角，设大小为，设正方体的棱长为2，则，设，，若，则，由勾股定理得，则，当时，取得最大值，最大值为，当时，取得最小值，最小值为1，故，若，此时平面，此时夹角为0，，若，则，由勾股定理得，则，显然，，，此时，综上，，直线MN与平面所成角的正切值的取值范围为，C正确；D选项，当为的中点时，平面截得正方体的截面为正，当时，延长交于点，连接，则即为平面BDN截得正方体的截面，当时，延长交于点，在平面上，过点作平行于，交于点，连接，则四边形即为平面BDN截得正方体的截面，故平面截得正方体的截面可能是三角形或四边形，D正确.12．③④【详解】①，，故真子集个数为个，故①错误；②由，可得或，故“”是“”的充分不必要条件，故②错误；③由开口向上且对称轴为，只需即可保证原方程有一个正根和一个负根，故“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，故③正确；④当，时，不成立；当时，且，故“”是“”的必要不充分条件，故④正确.故答案为：③④.13．70【详解】图中正四棱台如下图，的中点为,的中点为，连接，过作于，则,，故图中正四棱台的体积为：立方米，图中正三棱柱的体积为：立方米，所以该结构的体积为：立方米14．【详解】由及正弦定理，得，由余弦定理，得，而，则，由正弦定理，得，因此，其中，而，要使存在最大值，则有解，即，因此，解得，所以正数的取值范围为.15．（1）；（2）4解：（1）.（2）由，原式16．(1)(2)(3)【详解】（1）因为与共线，所以存在实数使得，所以，解得，所以；（2）因为，，与的夹角为，所以，所以，则；（3）向量与的夹角是锐角，可得，且与不同向共线，即为，即有，解得，由与共线，可得，解得，当时，两者同向共线，则实数的取值范围为.17．(1)(2)（1）解：是关于的方程的一个根，是方程的另外一个根，，解得，；（2）解：，又是纯虚数，，解得．18．(1)(2)（1）解：因为，由余弦定理，可得，又因为的面积为，可得，可得，两式相除，可得，因为，所以.（2）解：由（1）可得，可得，由余弦定理得，即，可得，所以.19．(1)证明见解析(2)(3)【详解】（1）因为，平面，平面，所以平面，因为平面，平面平面，故.（2）过点在平面内作，垂足为点，如图所示：因为平面平面，平面平面，平面，，故平面，因为平面，所以，因为平面，平面，所以，因为，、平面，所以平面，因为平面，所以，因为，故