湖北省襄阳市2025-2026学年高三数学上学期测试题12月1日（一）【含答案】

第I卷（选择题）一、单选题1.（）A.1 B.2 C. D.5【答案】C【解析】【分析】由题意首先化简，然后计算其模即可.【详解】由题意可得，则.故选：C.2.已知变量x和变量y的一组成对样本数据为，其中，其回归直线方程为，当增加两个样本数据和后，重新得到的回归直线方程斜率为3，则在新的回归直线方程的估计下，样本数据所对应的残差为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先计算新的数据的平均值，后得到经验回归方程，再结合残差概念计算即可.【详解】∵，∴增加两个样本点后的平均数为；∵，∴，∴增加两个样本点后y的平均数为，∴，解得，∴新的经验回归方程为，则当时，，∴样本点的残差为故选：B.3.我们可以把看作每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作每天的“落后”率都是，一年后是．可以计算得到，一年后的“进步”是“落后”的倍．如果每天的“进步”率和“落后”率都是，大约经过（）天后，“进步”是“落后”的10000倍．（，）A.17 B.18 C.21 D.23【答案】D【解析】【分析】设经过x天“进步”的值是“落后”的10000倍，则，再结合对数公式，即可求解.【详解】设经过x天“进步”的值是“落后”的10000倍，则,两边取对数可得,所以故大约经过23天，“进步”的值是“落后”的10000倍．故选：D．4.若函数的图象上存在关于原点对称的点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由隐对称点的定义可知函数的图象上存在关于原点对称的点，由函数奇偶性的定义可将问题转化为方程的零点问题，再结合基本不等式即可求解.【详解】设的图象与函数的图象关于原点对称，令，则，所以，所以，因为，又，所以函数的图象上存在关于原点对称的点等价于与在上有交点，即方程有零点，则，又，当且仅当，即等号成立，所以.故选：D.5.二面角的平面角为60°，A，B是棱l上的两点，AC，BD分别在半平面α，β内，，且AB=AC=1，BD=2，则CD的长为（）A. B.C. D.2【答案】D【解析】【分析】利用二面角、空间向量的数量积运算、空间向量的模、夹角与距离求解问题【详解】∵二面角的平面角为60°，是棱l上的两点，AC、BD分别在半平面α、β内，，，，，，故选：D.6.在中，角的对边分别为，已知，则的形状是（）A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】【分析】先用二倍角公式化简，结合正弦定理和三角形内角和定理化简判断三角形形状；【详解】化简得：，，根据正弦定理整理可得，因为即，所以或，可得或或,所以等腰三角形或直角三角形．故选：D．7.已知数列中，，，，若对于任意的，，不等式恒成立，则实数t的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】构造常数列，求出，得出，继而求解对任意的恒成立的问题，构造函数，解，即可.【详解】因，则，则，即，因，则，故数列是各项为的常数列，则，即，则，因对于任意的，，不等式恒成立，则，即对任意的恒成立，令，，则，，即，得或，故实数t的取值范围为.故选：B8.已知函数在上有且仅有3个极值点，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数求出导函数，进而求出极值点，分时讨论极值点的个数，列式计算求参.【详解】因为，所以，且为奇函数，，因为函数在上有且仅有3个极值点，所以函数在上有且仅有3个零点，即得在上有且仅有1个零点，当时，时，，所以上无零点，不合题意；当时，时，令，，若，则单调递增，，时，恒成立，所以在上无零点，不合题意；若，则，，令，则时，，即单调递增，故函数在即上存在唯一零点，满足题意.综上所述，.故选：B.二、多选题9.如图，中，，，与交于点，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根据向量三角形法则逐项计算判断即可．【详解】解：为了判断下面有关结论，先引入三点共线向量形式的充要条件，设三点共线，O为线外一点，则，即与前系数和为1，证：三点共线，，，．，故A错；三点共线，，三点共线，，，解得，，∴F为BE的中点，，故B对；，，，故C对；取AB中点G，BC中点H，如下图，则三点共线，，故D对．故选：BCD．10.对于正项数列，定义为数列的“匀称值”.已知数列的“匀称值”为，的前项和为，则下列关于数列的描述正确的有（）A.数列为递增数列 B.数列为等差数列C. D.记，当且仅当n=3时取最大值【答案】ABC【解析】【分析】由新定义可得，利用该递推关系求出数列的通项公式，然后逐一核对四个选项得答案．【详解】由已知可得，所以，所以时，，得时，，即时，，当时，，满足．所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，故B正确，该等差数列是递增数列，所以A正确，所以，所以故，故C正确．，假设是最大项，则有，因此数列有最大项为，故D不正确，故选：ABC．11.已知曲线，则下列结论正确的是（）A.随着增大而减小B.曲线的横坐标取值范围为C.曲线与直线相交，且交点在第二象限D.是曲线上任意一点，则的取值范围为【答案】AD【解析】【分析】首先对、分类讨论分别得到曲线方程，画出曲线图形，数形结合判断A、B，由双曲线的渐近线与的关系判断C，由点到直线的距离公式得到，即点到直线的距离的倍，求出直线与曲线相切时的值，再由两平行线将的距离公式求出的最大值，即可判断D.【详解】因为曲线，当，时，则曲线为椭圆的一部分；当，时，则曲线为双曲线的一部分，且双曲线的渐近线为；当，时，则曲线为双曲线的一部分，且双曲线的渐近线为；可得曲线的图形如下所示：由图可知随着增大而减小，故A正确；曲线的横坐标取值范围为，故B错误；因为，所以曲线与直线相交，且交点在第四象限，故C错误；因为，即点到直线的距离的倍，当直线与曲线相切时，由，消去整理得，则，解得（舍去）或，又与的距离，所以，所以的取值范围为，故D正确；故选：AD【点睛】关键点点睛：本题关键是分析出曲线的图形，D选项的关键是转化为点到直线的距离.第II卷（非选择题）三、填空题12.已知，，则的最小值为______．【答案】【解析】【分析】借助基本不等式计算即可得.【详解】，当且仅当，即时等号成立.

故答案为：.13.如图，平行六面体的底面是正方形，，则___________．【答案】2【解析】【分析】利用空间向量的基底运算，即可求解.【详解】设．，，.故答案为：14.在平面直角坐标系中，起点为坐标原点的向量满足，且，（）．若存在向量、，对于任意实数，不等式成立，则实数的最大值为___________．【答案】【解析】【分析】由转化为求的最小值，转化为求的最大值，再由梯形中位线转化为求的最大值得解.【详解】设，，则点、在单位圆上，点、在直线上，的夹角为．如图所示．根据、的任意性，即求点、到直线距离之和的最小值，即（点、分别是点、在直线上的射影点）；同时根据的存在性，问题转化为求的最大值．设的中点为，设点、在直线上射影点分别为、，则，当且仅当点、、依次在一条直线上时，等号成立．所以，即所求实数的最大值是．故答案为：【点睛】关键点睛：把向量模长最值转化为点到直线的距离.四、解答题15.在数学模拟考试中共有10道选择题，每题5分，满分50分.每题都有4个选项，其中有且只有一个选项是正确的，每题答对得5分，不答或答错得0分.某考生前7道题已经选了正确答案，第8，9两道题只能排除两个选项是错误的，第10道题因不会而乱猜.（1）求该学生选择题得45分的概率；（2）设该学生得分值为随机变量，求的分布列和期望.【答案】（1）（2）见解析，【解析】【分析】（1）设该考生答对第8，9，10道题的事件分别是，，，根据题意可得，，该学生得45分事件为，利用相互独立事件的概率乘法公式即可求解.（2）根据题意可得：随机变量可以取35，40，45，50，再分别求出其发生的概率，进而求出的分布列和期望.【详解】解：（1）设该考生答对第8，9，10道题的事件分别是，，，那么，，该学生得45分即在第8，9，10道题中答对两道题，事件为，那么.（2）随机变量可以取35，40，45，50，，，，.随机变量的分布列是35404550所以.【点睛】本题考查了相互独立事件的概率乘法公式，离散型随机变量的分布列、数学期望，属于中档题.16.如图，在四棱锥中，平面，，，，，E为的中点，点F在线段上，且．（1）求证：平面；（2）求平面和平面的夹角的余弦值；（3）设点G在线段上，且，判断直线是否在平面内？请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）直线在平面内，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质有，再由线面垂直的判定证明结论；（2）构建合适的空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，应用向量法求夹角余弦值即可；（3）根据（2）得到，应用空间向量数量积的坐标运算得到，即可得结论.【小问1详解】因为平面，平面，则，又，都平面内，所以平面；【小问2详解】在平面内过点作的垂线交于点，平面，平面，则，构建如下图示的空间直角坐标系，则，因为为的中点，所以，故，所以，，设平面的一个法向量为，则，取则，平面的一个法向量为，则，所以平面和平面的夹角的余弦值；【小问3详解】直线在平面内，理由如下：因为点在上，且，，所以，，由（2）知平面的一个法向量为，所以，所以直线在平面内.17.已知数列满足，，数列满足.（1）求和的通项公式；（2）将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的，之间插入项，从而构成一个新数列，设的前项和为，求（请用数字作答）.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）构造等比数列可求，利用通项与和的关系可求；（2）根据新数列的特点，分析前100项的构成，分别求和可得答案.【小问1详解】对于数列，由可得，又，所以，所以数列是首项为4，公比为2的等比数列，故，得.对于数列，设，则当时，，得，时验证成立，故.【小问2详解】新数列结构为：后插1项，后插3项，后插项，到为止总项数为.当时，到共项，和为，插入的到和为，故.第92到100项为后插的前9项，即到，和为，故.18.建立如图所示的坐标系．矩形中，分别是矩形四条边的中点，直线上的动点满足，直线与的交点为．（1）证明点在一个确定的椭圆上，并求此椭圆的方程；（2）当时，过点的直线（与轴不重合）与（1）中的椭圆交于两点，过点作直线的垂线，垂足为点．设直线与轴交于点，求面积的最大值．【答案】（1）证明见解析，；（2）【解析】【分析】（1）利用动直线方程消去参数，即可得交点轨迹方程；（2）利用直线与椭圆联立方程组，借助动直线求出过的定点，再研究面积最大值.【小问1详解】由题意可知：由可得，当时，直线的方程为：，又由，所以，可得，所以直线的方程为：，上面两直线方程相乘可得：所以可得点这个椭圆上；【小问2详解】当时，点，设直线的方程为：，与椭圆联立，消得：，设交点，则可得，依题意，，直线方程为：，令，得点的横坐标为：，代入可得：，因此直线过定点，所以，当且仅当时等号成立，所以的面积最大值为.19.设函数.（1）求曲线在处的切线方程；（2）若对任意，都有，求的最大值；（3）已知数列满足：①；②均大于0，.设，求证：.附：.【答案】（1）（2）（3）证明过程见解析【解析】【分析】（1）求出，求导，得到，由导数的几何意义得到切线方程；（2）利用端点效应，得到，再证明时，在上恒成立，得到答案；（3）在，设，所以，，故，故为等差数列，故，故，，由（2）知，，，故，求出，所以.【小问1详解】，，，故，故曲线在处的切线方程为；【小问2详解