湖北术北六校2025-2026学年高三数学上学期期中试题【含答案】

2025-2026学年上学期期中考试高三数学试题时间：120分钟分值：150分注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.一.单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求解分式不等式，结合指数函数的值域再求交集即可.【详解】，，故选：D.2.在中，已知，，则的面积为（）A. B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据平面向量的数量积和模的坐标表示求出，，，再由三角形的面积公式求解即得.【详解】由，，则，，，，因，故，则，所以的面积为.故选：A.3.已知实数a，b，c，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分条件和必要条件定义判断.【详解】若，当时，无论，为何值，成立，此时无法判断，的大小，则充分条件不成立，若，两边同乘以大于等于零的数，根据不等式的性质可知，则必要性成立，故选：.4.任意一个复数都可以表示成三角形式，即.法国数学家棣莫弗创立的棣莫弗定理是：设两个复数，，则，已知复数，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】将化为三角形式，根据棣莫弗定理可求得的值，即可求得答案.分析】由题意可得，故，所以，故选：C.5.已知向量，满足，，，则在方向上的投影向量是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用投影向量的定义，结合向量的运算求解即可.【详解】由于，，，所以，解得，则在方向上的投影向量为.故选：D6.已知数列是等差数列，公差为，前项和为，且，，则使得的的最小值为（）A.4048 B.4049 C.4050 D.4051【答案】B【解析】【分析】由，得到，继而推出，再结合，得到，，再结合求和公式即可判断.【详解】由，，得，则，所以，由和得，结合，，故使得的的最小值为4049.故选：B7.已知函数，若的图象在长度为的任意闭区间上与直线最少有3个交点，最多有4个交点，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】令，解出后利用正弦函数性质可得相邻交点的最小距离和最大距离，再结合题意计算即可得.【详解】令，则，所以，或，，则，或，，所以相邻交点最小的距离为，最大距离为，由的图象在长度为的任意闭区间上与直线最少有3个交点，最多有4个交点，故相邻四个交点之间的最大距离不大于，相邻五个交点之间的最小距离大于，又两个周期T的距离内最多个交点，所以，且，所以.故选：D8.已知，，其中，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】构造函数，利用导数分析其单调性.解法一：构造，通过分析的单调性得到，进而结合在的单调性，即可得解.解法二：通过两式相减引入变量，将表示为关于的函数，再构造函数，利用导数分析其单调性即可得解.【详解】令，则，故当时，，单调递增，当时，，单调递减，因为，，所以，又，不妨设.解法一：记，，设，，则在上恒成立，所以在上单调递减，所以，，则，又因为，，且在上单调递减，所以，则，所以.解法二：由，，两式相减，可得，令，则，，，所以.令，，则，令，则在上恒成立，所以在上单调递增，因为在上恒成立，所以在上单调递增，则，即，所以.故选：C.二.多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.若为复数，则下列选项一定正确的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】通过反例可说明BD错误；设，，根据复数和运算与共轭复数的定义可知A正确；根据复数乘法、共轭复数定义和模长运算可求得C正确.【详解】对于A，设，，则，；，，A正确；对于B，若，则，，则，B错误；对于C，设，则，，，C正确；对于D，若，，则，，，D错误.故选：AC.10.中，角，，所对的边分别为，，且，下列说法正确的是（）A. B.若且有唯一解，则C.若，则 D.若，则面积最大值为【答案】ACD【解析】【分析】利用正弦定理边角互化及正弦两角和差公式化简可计算出，即可判断A，根据正弦定理和解三角形知识即可判断B，根据和差角公式求解，可判断C，根据余弦定理和三角形的面积公式求解，可判断D.【详解】由，则，则，由于，所以，，，故A正确；由正弦定理得，即，又有唯一解，所以或，故B错误；由，则，，则，即，,所以，则，所以，故C正确；若，则由余弦定理得，所以有，即，当且仅当时取等号，的面积为，故D正确.故选：ACD.11.数列满足，且，数列的前项和为，从的前项中任取两项，它们的和为奇数的概率为，数列的前项积为，则（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【详解】当时，可求出，由可得，两式相减可得，从而得到的奇数项和偶数项均为等差数列，由等差数列的通项公式可判断A；分别对的奇数项和偶数项求和可判断B（或相邻两项求和也可）；由古典概型的概率计算公式可判断C（或直接计算也可）；由数列放缩可判断D.【分析】对于A，当时，，又，，又，，，的奇数项所成的数列是首项为，公差为的等差数列，偶数项所成的数列是首项为4，公差为2的等差数列，，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，当，时，，又，，故D正确.故选：ACD.三.填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知，为锐角，，，则_____.【答案】【解析】【分析】由和两角和的正切公式即可求解.【详解】因为，为锐角，所以，，所以，所以.因为，所以，，因为，所以，，所以..，故答案为：13.已知函数，过点可作曲线的3条切线，则实数a的取值范围为___.【答案】【解析】【分析】构造新函数，利用导数求得其单调性和极值，作出函数图像，数形结合，进而求得实数的取值范围.【详解】设点为曲线上一点，则又，则，则曲线在点处的切线方程为，又切线过点，则，即令，则，则时，单调递减；时，单调递增；时，单调递减，则时取得极小值，时取得极大值，又，当时，恒成立，时，，又由题意得方程有3个根，则与图像有3个交点，则.则曲线有三条过点的切线时实数的取值范围为.故答案为：.14.已知数列共有项，其中项为1，项为0.若数列满足对任意，，，…，中的1的个数不少于0的个数，则称数列为“规范数列”.当，时，“规范数列”的个数为______，记表示数列是“规范数列”的概率，则的最小值为______.【答案】①.5②.【解析】【分析】根据定义列出当，条件下的所有“规范数列”，由此可得第一空结论，结合组合数定义确定有个1，2个0，，时数列的个数，再求其中“规范数列”的个数，结合古典概型概率公式求结论.【详解】（1）当，时，满足要求的“规范数列”有1，1，1，0，0，0； 1，1，0，1，0，0； 1，1，0，0，1，0； 1，0，1，1，0，0； 1，0，1，0，1，0；所以当，时，“规范数列”的个数为5.（2），，，时，具有“规范数列”数列特征的数列的个数为，当，，时，由已知数列共有项，其中项为1，2项为0，所以满足条件的数列的个数为，若数列为“规范数列”，则第一项为1，若第一项为1，第二项为1时，“规范数列”个数为，当第一项为1，第二项为0，第三项必然为1，此时“规范数列”个数为，所以.故，因为函数在上单调递增，所以当时，取最小值，.故答案为：5；.四.解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知锐角的内角，，的对边分别是，，，若，且（1）求；（2）求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，结合及，求出，即可得出的取值.（2）由正弦定理将表示为角的正弦形式，利用三角恒等变换将转化为一个三角函数的形式，再根据锐角三角形的条件确定角的范围，进而求出三角函数的值域，即可求得的取值范围.【小问1详解】因为，所以，所以，又因为，所以，而是锐角三角形，则，所以.【小问2详解】由正弦定理可得，则，所以，又是锐角三角形，则，，所以，所以，所以，所以，即的取值范围是.16.已知函数，，是的两个极值点，且.（1）求的解析式；（2）求在上的单调递增区间；（3）若在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2），（3）【解析】【分析】（1）由辅助角公式和周期公式即可求解；（2）由正弦函数的单调性通过整体代换即可求解；（3）求得在上的值域，再由在上恒成立，构造不等求解即可.【小问1详解】，由，是的两个极值点，且得的最小正周期，所以，解得，所以.【小问2详解】当时，，而在单调递增，在上单调递减，在上单调递增，由解得，由解得，所以在上的单调增区间为，；【小问3详解】因为，所以，故，所以，因为在上恒成立，即在上恒成立，所以，解得.所以满足题意的实数的取值范围为.17.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若函数有两个极值点，求实数的取值范围.【答案】（1）答案详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）求出函数定义域和导数，然后分和两种情况讨论，分析在上导数符号的变化，即可得出函数的单调区间；（2）运用转化法，结合导数的性质和数形结合思想进行求解即可.【小问1详解】函数的定义域为，.①当时，由，知函数在内单调递增；②当时，由，即得；由，即得.所以，函数在内单调递增，在内单调递减.因此，当时，在内单调递增；当时，在内单调递增；在内单调递减；【小问2详解】函数的定义域为，，因为函数有两个极值点，所以方程有两个不相等的正实数根，即，设函数，当时，单调递减，当时，单调递增，即函数的最大值为：，由，由，因此函数的图象如下图所示：要想方程有两个不相等的正实数根，只需函数的图象有两个交点，即，实数的取值范围.【点睛】方法点睛：函数的极值个数可以转化为函数导函数零点个数问题，进而转化为两个函数图象的交点个数问题，利用导数和数形结合思想进行求解即可.18.在中，，，为边的中点.（1）求证：；（2）求中线的取值范围；（3）当取得最大值时，求的面积.【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）由正、余弦二倍角公式得到，进而得到，可求证；（2）设，由余弦定理得到，得到，即可求解；（3）由余弦定理和基本不等式得到的最小值为，得到的最大值为，再结合三角形面积公式即可求解.【小问1详解】，，，即，整理得，，，，即.【小问2详解】设，在中，，，由余弦定理知，，在中，，，由余弦定理知，，，整理得，在三角形中，两边之和大于第三边，，，，【小问3详解】在中，，当且仅当，即时等号成立，的最小值为，，，的最大值为；此时不妨设，则，又，为边的中点，则，，，为边的中点，，又，则是边长为2的正三角形，.19.已知函数.（1）若对任意的，，求实数的取值范围；（2）设，（i）对任意正整数，证明：函数有唯一的零点；（ii）证明：.【答案】（1）（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析【解析】【分析】（1）由得，记，利用导数研究单调性求最大值即可求解；（2）（i）由，利用导数研究单调性结合零点存在性定理即可得证；（ii）先构造函数由导数证明不等式,进而利用该不等式以及，结合对数的运算性质即可求解.【小问1详解】由可得，记，则，当时，，