小学奥数之巧求周长讲解及练习

小学奥数之巧求周长讲解及练习周长，作为平面图形一周的长度，是小学数学中的基础概念。对于规则图形，如长方形、正方形，我们可以直接套用公式求解。然而，在奥数题目中，我们常常会遇到一些形状不规则的图形，它们的周长计算无法直接使用公式，这就需要我们运用一些巧妙的方法来解决。掌握这些“巧求”技巧，不仅能帮助我们快速准确地解题，更能培养我们的空间想象力和逻辑思维能力。一、基础回顾：规则图形的周长在探讨巧求周长之前，我们先简要回顾一下规则图形的周长公式，这是我们解决复杂问题的基础：*长方形周长=(长+宽)×2*正方形周长=边长×4这些公式是经过无数次实践验证的真理，也是我们进行图形转化的最终落脚点。二、巧求周长的常用技巧（一）平移法：化不规则为规则许多不规则图形，通过巧妙地平移其中的一些线段，可以将其转化为我们熟悉的长方形或正方形，从而利用公式轻松求出周长。这是巧求周长中最常用也最有效的方法之一。方法解读：观察图形，将那些“横七竖八”、“凸凹不平”的线段，按照水平或垂直方向进行平移，使其与图形的外围对齐，最终构成一个规则的长方形或正方形。需要注意的是，平移时线段的长度不变，只是位置发生改变，因此图形的周长也不会改变。例题解析：请看下面这个图形（假设这是一个由若干个边长为1厘米的小正方形拼成的图形，它的轮廓是一个“凹”字形，或者类似台阶的形状）。我们如何求它的周长呢？思路：我们可以将图形中凹进去的部分或者凸出来的短边进行平移。比如，将水平方向上较短的横线向上或向下平移，将垂直方向上较短的竖线向左或向右平移，使得整个图形转化为一个大的长方形。此时，原图形的周长就等于这个转化后长方形的周长。需要注意的是，在平移过程中，我们只移动线段的位置，不改变其长度，也不增加或减少线段的数量。关键：找到可以平移的线段，准确判断平移后长方形的长和宽（或正方形的边长）。（二）标向法：按方向累加对于一些复杂的、由多条线段首尾相连组成的不规则图形，我们还可以采用“标向法”来求解周长。这种方法的核心思想是将图形的边按方向进行分类累加。方法解读：我们可以规定一个正方向，比如向右和向上为正方向，向左和向下为负方向（或者只考虑绝对值）。然后，沿着图形的轮廓行走一周，记录下每一段线段的方向和长度。最后，将所有水平方向（左右方向）的线段长度绝对值相加，得到总水平长度；将所有垂直方向（上下方向）的线段长度绝对值相加，得到总垂直长度。图形的周长就等于（总水平长度+总垂直长度）。例题解析：一个图形的轮廓是一个复杂的多边形，我们沿着它的边缘走一圈，记录各段的方向和长度如下（单位：厘米）：向右5，向上3，向左2，向上2，向左3，向下5。求该图形的周长。思路：首先，分离出水平方向的线段（左右方向）：向右5，向左2，向左3。水平方向总长度=5+2+3=10（厘米）（取绝对值相加）。然后，分离出垂直方向的线段（上下方向）：向上3，向上2，向下5。垂直方向总长度=3+2+5=10（厘米）（取绝对值相加）。周长=（水平总长度+垂直总长度）=10+10=20（厘米）。关键：准确无误地记录每段线段的方向和长度，确保不遗漏、不重复。（三）拼接与切割：关注“重合边”当涉及到多个图形的拼接或一个图形被切割成多个图形时，周长的计算需要特别注意“重合边”的问题。方法解读：*拼接：两个或多个图形拼接在一起时，它们重合的部分（即拼接边）不再是新图形周长的一部分。因此，新图形的周长等于原来所有图形周长之和减去两倍的重合边长（因为每个重合边在原来的两个图形中各计算了一次）。*切割：一个图形被切割后，周长会增加。增加的部分等于切割线长度的两倍（因为切割一刀会产生两条新的边）。例题解析：将两个边长为3厘米的正方形拼成一个长方形，这个长方形的周长是多少？思路：原来一个正方形的周长是3×4=12厘米，两个正方形的周长和是12×2=24厘米。拼成一个长方形后，两个正方形各有一条边重合在一起，这条重合边的长度是3厘米。因此，长方形的周长=24-2×3=24-6=18厘米。当然，我们也可以直接求出拼成后长方形的长为3×2=6厘米，宽为3厘米，周长为(6+3)×2=18厘米，两种方法结果一致。关键：明确拼接或切割后，周长是增加了还是减少了，以及变化的具体数值。三、巩固练习掌握了上述方法，我们来尝试解决以下几个问题，检验一下学习成果吧！练习1：一个不规则图形如图所示（请自行想象或简单绘制：一个大的长方形，在它的右上角挖去一个小的正方形，小正方形的一条边与大长方形的右边和上边重合）。已知大长方形的长是8厘米，宽是5厘米，挖去的小正方形的边长是2厘米。求这个不规则图形的周长。练习2：下面是一个零件的平面图形轮廓，它是由若干段线段组成的。请你用标向法求出它的周长（单位：厘米）。假设我们沿轮廓顺时针行走，各段记录如下：右4，上3，左2，上1，左2，下4，右1，下1。练习3：用三个完全一样的正方形拼成一个长方形，已知每个正方形的边长是4厘米，求拼成的长方形的周长。四、参考答案与提示练习1：提示：使用平移法。将挖去小正方形后形成的凹口处的两条边（即小正方形的左边和下边）分别向上和向右平移，可发现原图形的周长与原来大长方形的周长相等。答案：(8+5)×2=26厘米。练习2：提示：分离水平方向和垂直方向的线段，分别累加其长度绝对值。水平方向：右4，左2，左2，右1→4+2+2+1=9垂直方向：上3，上1，下4，下1→3+1+4+1=9周长：9+9=18厘米。答案：18厘米。练习3：提示：三个正方形拼成长方形，只能一字排开。长方形的长为4×3=12厘米，宽为4厘米。或用拼接法思想：三个正方形周长和为4×4×3=48厘米，拼接时有两处重合，共减少4×2×2=16厘米（每处重合减少4×2=8厘米）。答案：(12+4)×2=32厘米或48-16=32厘米。五、总结巧求周长的核心在于“巧”，即通过观察、分析图形的特点，运用平移、标向、拼接