2《全等三角形》全章讲义及测验基础与拔高

引言几何学是数学的重要分支，它以直观的图形和严谨的逻辑推理，为我们展现了空间关系的奇妙。在平面几何的学习旅程中，“全等三角形”无疑是一座关键的里程碑。它不仅是对三角形性质的深化理解，更是后续学习相似三角形、四边形乃至圆的基础。掌握全等三角形的概念、判定与性质，能够有效提升我们的逻辑推理能力和空间想象能力，为解决复杂几何问题铺平道路。本讲义旨在系统梳理全等三角形的核心知识，并通过基础与拔高两个层面的例题及测验，帮助同学们扎实掌握这部分内容，真正做到融会贯通，学以致用。一、全等三角形的概念与表示1.1全等形与全等三角形我们把能够完全重合的两个图形叫做全等形。顾名思义，全等三角形就是能够完全重合的两个三角形。这里的“完全重合”意味着它们的形状和大小都完全相同，即对应边相等，对应角相等。1.2对应顶点、对应边、对应角当两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。在表示两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上，这样可以清晰地看出对应关系。例如，若△ABC与△DEF全等，且点A与点D、点B与点E、点C与点F是对应顶点，则记作△ABC≌△DEF，读作“三角形ABC全等于三角形DEF”。注意：找准对应顶点、对应边、对应角是解决全等三角形问题的前提。通常可以通过观察图形的位置、角度大小或边的长度来确定对应关系。二、全等三角形的判定方法判定两个三角形全等，是本章的核心内容。我们并非一定要知道所有的边和角都对应相等才能判定全等，以下是经过严格证明的判定公理和定理：2.1“边边边”（SSS）判定公理内容：三边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。理解：如果两个三角形的三条边长度分别对应相等，那么这两个三角形的形状和大小就完全确定了，因此它们必然全等。这就像用三根固定长度的木棒首尾相连搭成的三角形，其形状是唯一确定的。2.2“边角边”（SAS）判定公理内容：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。理解：这里的“夹”字非常关键，指的是两条已知边所形成的那个角。如果这个夹角对应相等，且两条边也对应相等，那么这两个三角形全等。需要特别注意的是，“边边角”（SSA）不能作为判定两个三角形全等的依据，因为在这种情况下，可能会出现两个不同的三角形都满足条件。2.3“角边角”（ASA）判定公理内容：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。理解：如果两个三角形有两个角对应相等，并且这两个角所夹的那条边也对应相等，那么这两个三角形全等。这个公理体现了“两角定形状，夹边定大小”的思想。2.4“角角边”（AAS）判定定理内容：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）。理解：由三角形内角和定理可知，三角形的三个内角和为180°。因此，如果两个角对应相等，那么第三个角也必然对应相等。所以，“角角边”（AAS）可以看作是“角边角”（ASA）的一个推论。只要知道两个角和任意一条对应边相等（无论是夹边还是对边），即可判定三角形全等。2.5“斜边、直角边”（HL）判定公理（仅适用于直角三角形）内容：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）。理解：对于直角三角形而言，除了上述一般三角形的判定方法外，还有其特殊的判定方法。因为直角三角形已经有一个直角（90°）相等，所以只要斜边和一条直角边对应相等，即可判定全等。这是直角三角形全等判定的一个简便方法。重要提示：*在运用这些判定方法时，一定要注意“对应”二字，即相等的边或角必须是两个三角形中相对应的部分。*要根据题目所给条件，灵活选择最简便、最直接的判定方法。三、全等三角形的性质如果两个三角形全等，那么它们具有以下性质：1.对应边相等：全等三角形的对应边长度相等。2.对应角相等：全等三角形的对应角大小相等。3.对应中线相等：全等三角形对应边上的中线相等。4.对应高相等：全等三角形对应边上的高相等。5.对应角平分线相等：全等三角形对应角的角平分线相等。6.周长相等：全等三角形的周长相等。7.面积相等：全等三角形的面积相等。核心应用：全等三角形的性质是我们证明线段相等、角相等的重要依据。在复杂的几何问题中，常常通过证明两个三角形全等，将未知的线段或角的关系转化为已知的对应关系。四、全等三角形的应用与证明思路4.1证明线段相等或角相等当要证明两条线段相等或两个角相等时，若它们分别属于两个不同的三角形，可以考虑证明这两个三角形全等，然后利用全等三角形的对应边相等或对应角相等的性质得出结论。基本思路：*观察要证的线段或角在哪两个可能全等的三角形中。*分析已知条件，看看这两个三角形中已有哪些边或角对应相等。*根据已知条件和图形的隐含条件（如公共边、公共角、对顶角相等、平行线的性质等），选择合适的判定方法证明这两个三角形全等。*由全等三角形的性质得出要证的结论。4.2辅助线的添加在一些复杂的几何证明题中，直接证明两个三角形全等可能条件不足，这时就需要添加辅助线，构造出全等三角形。常见的辅助线添加方法有：*倍长中线法：当遇到三角形中线时，常将中线延长一倍，构造全等三角形。*截长补短法：当要证明一条线段等于另两条线段之和或之差时，常采用截长法（在长线段上截取一段等于其中一条短线段）或补短法（将其中一条短线段延长，使其等于长线段）。*作高法：构造直角三角形，利用HL或其他直角三角形的性质。*平移或旋转：通过平移或旋转图形的一部分，使分散的条件集中，构造全等三角形。温馨提示：辅助线的添加是几何证明的难点，需要通过大量练习，积累经验，体会辅助线添加的“因题而异”和“巧妙性”。五、典型例题分析基础篇例1：已知：如图，点A、F、C、D在同一直线上，AB=DE，BC=EF，AF=DC。求证：△ABC≌△DEF。分析：要证△ABC≌△DEF，已知AB=DE，BC=EF，即已有两组对应边相等。第三组边AC和DF是否相等呢？由AF=DC，根据等式的性质，两边同时加上FC，可得AF+FC=DC+FC，即AC=DF。因此，可以利用SSS判定全等。证明：∵AF=DC（已知）∴AF+FC=DC+FC（等式的性质）即AC=DF在△ABC和△DEF中，AB=DE（已知）BC=EF（已知）AC=DF（已证）∴△ABC≌△DEF（SSS）例2：已知：如图，AB=AD，AC=AE，∠BAC=∠DAE。求证：BC=DE。分析：要证BC=DE，观察到BC和DE分别是△ABC和△ADE的边。已知AB=AD，AC=AE，且∠BAC=∠DAE（这是AB与AC的夹角，AD与AE的夹角），因此可以先证△ABC≌△ADE（SAS），再利用全等三角形对应边相等得出BC=DE。证明：在△ABC和△ADE中，AB=AD（已知）∠BAC=∠DAE（已知）AC=AE（已知）∴△ABC≌△ADE（SAS）∴BC=DE（全等三角形的对应边相等）拔高篇例3：已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。求证：DE=DF。分析：要证DE=DF，DE和DF分别是△BDE和△CDF的边，也可看作是点D到AB、AC的距离。已知AB=AC，D是BC中点，易知∠B=∠C，BD=CD。又DE⊥AB，DF⊥AC，所以∠DEB=∠DFC=90°。因此，可证△BDE≌△CDF（AAS），从而DE=DF。或者，连接AD，利用等腰三角形“三线合一”的性质，AD是∠BAC的平分线，再由角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等）直接得出DE=DF。证法一（利用全等三角形）：∵AB=AC（已知）∴∠B=∠C（等边对等角）∵D是BC的中点（已知）∴BD=CD（中点的定义）∵DE⊥AB，DF⊥AC（已知）∴∠DEB=∠DFC=90°（垂直的定义）在△BDE和△CDF中，∠DEB=∠DFC（已证）∠B=∠C（已证）BD=CD（已证）∴△BDE≌△CDF（AAS）∴DE=DF（全等三角形的对应边相等）证法二（利用角平分线性质，需先证AD平分∠BAC）：连接AD。∵AB=AC，D是BC的中点（已知）∴AD平分∠BAC（等腰三角形底边上的中线平分顶角）∵DE⊥AB，DF⊥AC（已知）∴DE=DF（角平分线上的点到角的两边的距离相等）例4：已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在AB上，AE⊥CD于E，BF⊥CD交CD的延长线于F。求证：AE=EF+BF。分析：要证AE=EF+BF，即证AE-EF=BF。观察图形，AE、EF、BF分别在Rt△AEC和Rt△CFB中。已知AC=BC，∠ACB=90°，AE⊥CD，BF⊥CD，可得∠AEC=∠CFB=90°。能否证明△AEC≌△CFB呢？若能，则AE=CF，EC=BF。而CF=EF+EC=EF+BF，所以AE=EF+BF。关键在于证明∠CAE=∠BCF。因为∠ACB=90°，所以∠ACE+∠BCF=90°。又AE⊥CD，所以∠ACE+∠CAE=90°，故∠CAE=∠BCF（同角的余角相等）。证明：∵∠ACB=90°（已知）∴∠ACE+∠BCF=90°（平角的定义）∵AE⊥CD，BF⊥CD（已知）∴∠AEC=∠CFB=90°（垂直的定义）∴∠ACE+∠CAE=90°（直角三角形两锐角互余）∴∠CAE=∠BCF（同角的余角相等）在△AEC和△CFB中，∠AEC=∠CFB（已证）∠CAE=∠BCF（已证）AC=BC（已知）∴△AEC≌△CFB（AAS）∴AE=CF，EC=BF（全等三角形的对应边相等）∵CF=EF+EC（线段的和差关系）∴CF=EF+BF（等量代换）∴AE=EF+BF（等量代换）六、全章测验A卷（基础篇，满分100分）一、选择题（每小题3分，共15分）1.下列图形中，是全等形的是（）A.两个周长相等的等腰三角形B.两个面积相等的长方形C.两个边长相等的正方形D.两个含30°角的直角三角形2.已知△ABC≌△DEF，∠A=50°，∠B=60°，则∠F的度数为（）A.50°B.60°C.70°D.80°3.下列条件中，不能判定△ABC≌△DEF的是（）A.AB=DE，BC=EF，AC=DFB.∠A=∠D，∠B=∠E，AC=DFC.AB=DE，∠A=∠D，BC=EFD.∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F4.如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带（）去。A.第①块B.第②块C.第③块D.带①和②块（注：此处原题应有图，①块仅含一个角，②块含两个角和夹边，③块含一个角和部分边）5.在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，下列条件中不能判定它们全等的是（）A.AC=A'C'，BC=B'C'B.AC=A'C'，∠A=∠A'C.AB=A'B'，AC=A'C'D.AB=A'B'，∠A=∠B'二、填空题（每小题4分，共20分）6.已知△ABC≌△FED，若AB=5，BC=7，AC=8，则FD=______。7.如图，△ABC≌△ADC，∠B=70°，则∠D=______。8.如图，点B、E、C、F在同一直线上，AB∥DE，AB=DE，BE=CF。欲证△ABC≌△DEF，可先根据______证得BC=EF，再根据______证得∠B=∠DEF，最后利用______判定全等。9.已知，如图，AD是△ABC的中线，延长AD至E，使DE=AD，连接BE，则△ADC≌△______，理由是______。10.在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=8cm，BD=5cm，那么点D到直线AB的距离是______cm。三、解答题（共65分）11.（10分）已知：如图，AB=AD，BC=DC。求证：∠B=∠D。12.（12分）已知：如图，点E、F在AC上，AD∥BC，AD=CB，AE=CF。求证：DF=BE。13.（13分）已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD=BC。求证：AD∥BC。14.（15分）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC上，且AD=AE。求证：∠BDC=∠