素养导向的初中数学单元起始课教学设计：二次函数的概念建构与初探

素养导向的初中数学单元起始课教学设计：二次函数的概念建构与初探

  一、指导思想与理论依据

  本教学设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心素养为导向，立足于发展学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模和模型观念。设计过程深刻融合“理解为先”（UbD）的教学设计理念，强调对核心概念（大观念）的持久性理解。具体理论支撑如下：其一，建构主义学习理论：知识不是被动接受的，而是学习者在一定的情境下，借助教师和学习伙伴的帮助，利用必要的学习资料，通过意义建构的方式获得的。因此，教学设计需创设有助于学生意义建构的真实、复杂且富有挑战性的问题情境。其二，概念形成理论：数学概念的掌握需经历从具体实例的感知、共性特征的辨析、本质属性的抽象、到符号化定义及初步应用的过程。本课将严格遵循“背景引入—实例分析—归纳特征—形成定义—辨析深化—初步应用”的认知路径，引导学生在活动中自主建构二次函数的概念。其三，单元整体教学思想：本课是“二次函数”单元的起始课和种子课，承担着孕育单元核心观念、搭建知识结构框架、激发后续探究兴趣的关键使命。教学设计将放眼整个单元，明确本课在知识结构中的“根”的地位，着力揭示二次函数与已学知识的联系（特别是与一次函数、方程、不等式的关联），并为后续研究图象、性质和应用埋下伏笔、提出驱动性问题。

  二、教学内容分析

  二次函数是初中阶段所研究的最后一个，也是最为复杂和重要的一类基本初等函数。它不仅是初中代数内容的集大成者，更是连接初等数学与高等数学的关键纽带，在数学内部及物理学、经济学、工程技术等众多领域有着极其广泛的应用。从代数体系看，二次函数是多项式函数的特例，其解析式是整式、方程、不等式等知识的综合体现；从函数体系看，它丰富和完善了学生对函数变量间依赖关系的认知，其图象——抛物线——的几何特性（开口、顶点、对称轴）与代数表达式（一般式、顶点式）之间的相互转化，集中体现了数形结合思想的强大威力。本课的核心内容是二次函数的概念，即抽象概括形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数关系。其教学难点在于，如何引导学生从诸多具体问题情境中，剥离非本质属性（如实际背景、具体数据），抽取出两个变量间的特殊对应规律：自变量的最高次数为2。教学重点应置于概念的形成过程及对其结构特征的深度理解上，而非单纯记忆定义。本课的学习将为学生开启一扇研究复杂变量关系的大门，其蕴含的数学思想方法（建模、分类、数形结合）将对学生的高中乃至大学数学学习产生深远影响。

  三、学习者分析

  本课教学对象为九年级下学期学生。他们的认知发展处于形式运算阶段初期，具备一定的抽象逻辑思维能力，但仍需具体经验和直观材料的支撑。在知识储备上，学生已经系统学习了一次函数（包括正比例函数）和反比例函数，掌握了函数的基本概念（变量、自变量、因变量、定义域、值域等）、三种基本表示方法，并积累了研究函数的一般经验（从定义到图象到性质到应用）。在能力基础上，学生具备从具体问题中寻找数量关系、列代数式或方程的基本技能，但将实际关系抽象为函数模型，特别是当关系中含有自变量的二次项时，仍存在认知障碍。主要潜在困难可能包括：第一，对“二次”这一代数结构特征的敏感性不足，容易与已学的一次函数、分式函数混淆；第二，从具体情境中识别二次函数关系时，受表面文字干扰，难以准确建立两个变量间的直接代数关系；第三，对形式定义中“a≠0”这一条件的必要性与深层含义理解不深刻，容易忽视。此外，经过近三年的初中数学学习，学生已初步分化，教学设计需考虑层次性，通过开放性问题设计和阶梯式任务，让不同水平的学生都能参与概念建构过程，并获得相应发展。

  四、学习目标

  基于以上分析，设定如下可观测、可评价的学习目标：

  1.经历从现实世界和数学内部提炼具体实例的过程，通过归纳、抽象其共同特征，能准确说出二次函数的定义，并能用规范的数学符号语言（y=ax²+bx+c，a≠0）进行表达。

  2.能准确辨析给定函数解析式是否为二次函数，并能说明判断依据，特别是对系数a≠0的条件有清晰认识；能根据简单条件，求出二次函数中待定系数的值或取值范围。

  3.能在教师提供的或自创的实际问题情境中，识别变量间存在的二次函数关系，并尝试建立初步的函数模型，体会二次函数是描述现实世界某些变化规律的一种有效数学模型。

  4.在概念形成与辨析的活动中，体会从特殊到一般、归纳类比、抽象概括等数学思想方法，感受数学的抽象美与简洁美，增强学习新知识的信心和探究复杂问题的欲望。

  五、教学重点与难点

  教学重点：二次函数概念的形成过程及其形式化定义。

  教学难点：从具体问题情境中抽象出二次函数关系；深刻理解二次函数解析式的结构特征，特别是对二次项系数a≠0的理解。

  六、教学策略与方法

  主要采用“情境—问题”驱动式教学法，辅以启发式讲授、合作探究、变式训练。具体策略包括：第一，创设多维度情境链。提供涵盖几何图形（面积、长度变化）、物理运动（自由落体）、经济生活（利润优化）等不同领域的现实情境，同时设计从已学函数通过运算、变换产生新关系的数学内部情境，形成丰富的概念原型，为归纳抽象提供充足素材。第二，设计阶梯式问题串。围绕核心认知路径，设计层层递进、环环相扣的问题，引导学生观察、比较、归纳、质疑、表达。例如：“这些问题中涉及哪些变量？”“变量间存在怎样的依赖关系？”“你能用解析式表示这种关系吗？”“这些解析式在结构上有什么共同点和不同点？”“能否用一个统一的式子来概括？”第三，组织结构化探究活动。以小组合作形式对提供的实例进行加工处理，鼓励学生用文字、表格、解析式等多种方式表达关系，并在全班交流、争辩中逐步逼近概念本质。第四，实施精准性变式训练。在概念辨析和应用环节，设计正例、反例、特例（如缺少一次项或常数项）、含参系数等多种变式，帮助学生多角度理解概念的内涵与外延，深化对“a≠0”等关键条件的认识。

  七、教学资源与工具

  1.多媒体课件（用于呈现情境、问题、动画演示、课堂练习等）。

  2.几何画板或类似动态数学软件（动态演示正方形面积随边长变化、抛物线轨迹生成等，增强直观）。

  3.学习任务单（包含情境素材、探究活动记录表、课堂练习与反思区）。

  4.实物投影或同屏技术（实时展示学生探究成果，便于交流点评）。

  八、教学过程设计

  （一）创设情境，感知概念存在的广泛性（预计用时：8分钟）

  教师活动1：呈现一组精心设计的情境图片与简短文字描述，并配以引导性语言。“同学们，函数是描述变化世界中数量关系的利器。我们已经掌握了一次函数、反比例函数这两类重要的模型。今天，让我们一起走进一个更为广阔、变化更为丰富的世界。请看以下几个场景。”

  情境1（几何变化）：动态演示一个正方形的边长由小到大连续变化的过程。提问：“若正方形的边长为xcm，其面积ycm²如何随x的变化而变化？y与x之间有怎样的关系？”

  情境2（物理运动）：播放一段小球自由下落的视频（忽略空气阻力）。给出物理公式：物体自由下落时，下落距离h（米）与时间t（秒）之间的关系近似为h=5t²。提问：“这里，h是t的函数吗？它和我们学过的函数类型一样吗？”

  情境3（经济生活）：某超市销售一种商品，若每天售价降低x元，则每天可多售出2x件。已知原售价为20元/件，原销售量为100件/天。提问：“设降价后每天的销售总收入为y元，你能写出y与x之间的关系式吗？”

  情境4（数学内部）：已知矩形的周长为20cm，设它的一边长为xcm，面积为ycm²。提问：“y与x的函数关系是什么？”

  情境5（运算生成）：已知两个变量x和y，满足y=(x+1)(x-2)-(x-3)²。提问：“你能化简这个关系式吗？化简后，y是x的什么函数？”

  学生活动1：独立思考或与邻座简单交流，尝试用语言描述每个情境中的变量关系，并尽可能写出解析式。预计学生能顺利完成情境1（y=x²）、情境2（h=5t²，已给出）、情境4（y=x(10-x)=-x²+10x）。情境3和情境5可能需要教师稍作点拨：情境3中，降价后单价为(20-x)元，销量为(100+2x)件，故y=(20-x)(100+2x)；情境5需展开并合并同类项，得到y=-x+7，这是一个一次函数——这个“意外”结果旨在制造认知冲突，引发学生思考：并非所有看似复杂的关系都是新函数。

  设计意图：通过跨领域的丰富实例，让学生直观感受存在一类新的变量关系，它普遍存在于现实与数学中，激发学习必要性。情境5作为“干扰项”，促使学生关注关系的代数结构本质，而非表面形式，为后续归纳特征做好铺垫。此环节重在感知与初步表达，不急于给出定义。

  （二）合作探究，归纳抽象共同结构特征（预计用时：15分钟）

  教师活动2：将上述五个情境（包含学生写出的解析式）以及补充的两个解析式（如y=-2x²+3,y=πR²，S=½gt²等）整合成一张“探究学习单”。提出核心探究任务：“请以小组为单位，仔细观察、分析这些函数关系式（包括我们写出的和老师补充的）。完成以下任务：1.将它们进行分类，并说明分类标准。2.聚焦你认为是‘新类型’的那一类，找出它们在解析式结构上的共同特征。3.尝试用一个最一般的形式来表示这类函数。”

  学生活动2：小组合作，展开深度讨论。他们可能首先按“是否学过”进行分类，将y=x²,h=5t²,y=-x²+10x,y=(20-x)(100+2x),y=-2x²+3,y=πR²等归为新类型，而y=-x+7是一次函数。在分析共同特征时，学生会经历从具体到抽象的思维爬坡：最初可能描述为“有平方”、“x的最高次数是2”、“有x²项”等。教师应巡视指导，引导学生用规范的数学语言进行表述，并追问：“这些式子中，自变量的最高次数一定是2吗？系数有什么要求？常数项呢？”促使学生意识到，关键在于自变量的最高次数为2，且二次项系数不能为零（如y=πR²中，π是常数系数；y=(20-x)(100+2x)需展开后才能清晰看出最高次项）。

  教师活动3：组织全班交流分享。邀请不同小组汇报他们的发现。通过追问和不同意见的交锋，逐步引导学生达成共识：“这类函数，关系式都是关于自变量的整式，并且自变量的最高次数是2。”教师进一步引导：“那么，如何用一个统一的数学式子来概括所有这些具体情况呢？”学生可能会提出y=ax²+bx+c的形式。教师追问：“这里的a、b、c可以是任意数吗？有什么限制？”通过讨论y=x²（a=1,b=0,c=0），y=-2x²+3（a=-2,b=0,c=3），y=-x²+10x（a=-1,b=10,c=0）等例子，学生认识到a、b、c是常数，但a不能为0（若a=0，则最高次数不是2，退化为一次函数或常数函数）。b和c可以为0。

  设计意图：这是概念建构的核心环节。通过小组合作探究，让学生亲身经历从大量具体实例中观察、比较、分类、归纳、抽象出本质属性的全过程。这不仅是知识的获得，更是数学抽象素养和归纳推理能力的培养。教师的角色是引导者、促进者和“关键问题”的抛出者，确保学生的思维朝着正确的方向深化。将定义权交给学生，让他们尝试概括，极大地增强了学习的主动性和成就感。

  （三）形成定义，规范表述与符号化（预计用时：5分钟）

  教师活动4：在学生充分探究和表达的基础上，进行精炼总结。“同学们归纳得非常到位。我们把形如y=ax²+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的函数称为二次函数。其中，x是自变量，y是x的函数。a叫做二次项系数，b叫做一次项系数，c叫做常数项。”同时，将定义进行板书，并强调定义的几个要点：1.等号左边是函数y，右边是关于自变量x的整式；2.自变量的最高次数是2；3.a≠0是保证“二次”的关键。

  教师活动5：进一步阐释定义的普遍性。“这里，自变量不一定用x，函数值不一定用y。比如我们情境中的h=5t²，这里自变量是t，h是t的函数，a=5,b=0,c=0。S=πR²，自变量是R，S是R的函数，a=π,b=0,c=0。所以，定义的本质是关注变量间对应关系的代数结构。”

  学生活动3：聆听、理解，并跟着教师的引导复述定义的关键点。在教师的指导下，将之前情境中的例子用规范的二次函数定义进行“翻译”和确认。

  设计意图：在学生自主建构的基础上，进行规范的定义表述和符号化，这是将感性认识理性化、模糊认识清晰化的必要步骤。明确专业术语（二次项系数等），并强调定义中字母的普遍意义，避免学生形成“x、y是固定字母”的狭隘理解，提升概念的抽象层次和迁移能力。

  （四）辨析深化，理解内涵与外延（预计用时：10分钟）

  教师活动6：设计一组辨析性问题，采用“判断并说明理由”的形式，组织学生进行独立思考后抢答或小组互议。

  判断下列函数是否为二次函数。若是，指出其中的二次项系数、一次项系数和常数项；若不是，请说明理由。

  （1）y=3x²-2x+1

  （2）y=x²+1/x（x≠0）

  （3）y=(x-2)²-x²

  （4）y=√2x²

  （5）y=ax²+3x+c（a,c为常数）

  （6）y=(m²+1)x²-2x（m为常数）

  （7）y=(k-1)x²+kx+1（k为常数）

  （8）圆的面积S与它的周长C之间的关系。

  学生活动4：积极思考、辨析、表达。在辨析过程中，将深化对以下要点的理解：（1）必须是整式函数（如（2）不是，因为含分式1/x）。（2）化简后看最高次数。如（3）需要展开化简：(x-2)²-x²=-4x+4，是一次函数。（4）系数可以是无理数（如√2）。（5）强调二次项系数a必须明确不为零，此处若a是常数但未说明非零，则不一定。（6）m²+1恒大于等于1，必定满足a≠0，所以是。（7）需要对参数k进行讨论：当k-1≠0，即k≠1时是二次函数；当k=1时，变为y=x+1，是一次函数。此题为难点，旨在渗透分类讨论思想，深刻理解a≠0的条件。（8）需要建立关系：由C=2πr得r=C/(2π)，代入S=πr²，得S=π[C/(2π)]²=C²/(4π)，故S是C的二次函数。

  教师活动7：针对学生辨析中的疑难问题，特别是（5）（7）（8），进行深入点拨和讲解。总结辨析的关键：一看是否为整式；二看化简整理后自变量的最高次数是否为2；三看最高次项系数是否可能为零（含参数时需讨论）。

  设计意图：概念的理解需要在辨析中深化。通过设计正例、反例、特例、含参变式以及需要建模的综合性问题，从不同角度冲击学生的认知，促使他们全面、深刻地理解二次函数定义的内涵（结构特征）和外延（适用范围）。特别是含参数问题的讨论，将学生的思维从具体数字引向对系数本质的把握，提升了思维的严谨性和深刻性。

  （五）简单应用，建立初步模型观念（预计用时：7分钟）

  教师活动8：回到或创设新的简单应用情境，引导学生用刚学的概念去识别和建立模型。

  应用1：如图，用总长为60米的篱笆围成矩形场地。设矩形的一边长为x米，面积为y平方米。（1）求y与x的函数关系式，并判断它是否为二次函数。（2）指出其中的二次项系数、一次项系数和常数项。（3）若矩形的另一边长用l表示，写出l与x的关系，它是二次函数吗？

  应用2：某工厂第一年的产值为100万元，预计以后每年产值的增长率都为x（0<x<1）。设第三年的产值为y万元。（1）写出y关于x的函数关系式。（2）这是二次函数吗？为什么？

  学生活动5：独立或同桌协作完成应用问题。应用1：y=x(30-x)=-x²+30x，是二次函数，a=-1,b=30,c=0。l=30-x，是一次函数。应用2：第二年产值：100(1+x)；第三年产值：y=100(1+x)²=100x²+200x+100，是二次函数，a=100,b=200,c=100。

  教师活动9：点评学生解答，并总结：“从这些应用中我们看到，二次函数可以有效地刻画面积优化、增长率等常见的现实问题模型。建立函数模型的关键是：分析清楚问题中的变量，寻找等量关系，并用代数式表示出来。”

  设计意图：将抽象的概念返回到具体情境中，完成“具体—抽象—具体”的认识循环。通过解决简单的建模问题，让学生初步体会二次函数的应用价值，巩固对概念的理解，并锻炼将实际问题数学化的能力（即初步的数学建模素养）。两个应用由易到难，应用2涉及连续增长，需要学生有清晰的逻辑步骤。

  （六）回顾联系，展望单元学习全景（预计用时：5分钟）

  教师活动10：引导学生回顾本节课的探索历程，并构建知识框架图。“同学们，今天我们共同经历了二次函数概念的诞生过程。让我们回顾一下：我们从丰富的现实和数学例子出发（指板书或课件上的情境），通过比较、归纳，抽象出了它们的共同特征——自变量的最高次数为2，从而得到了二次函数的定义y=ax²+bx+c（a≠0）。随后我们通过辨析深化了对它的认识，并尝试用它去解决简单的问题。”

  教师活动11：建立知识联系，展望后续学习。“那么，二次函数和我们之前学过的一次函数、方程等知识有什么联系呢？比如，y=ax²+bx+c中，若a=0，它就变成了一次函数。这体现了知识间的联系与发展。而我们今天学习的概念，就像一颗种子。”此时，在黑板中央写下“二次函数”作为核心词，并绘制思维导图分支：“今天，我们认识了它的‘代数面容’（解析式）。接下来，我们将要研究它的‘几何形象’（图象——抛物线），探究它的性质（增减性、最值、对称性），并利用它去解决更复杂的实际问题（如最值问题、抛物线形问题）。这将是接下来几节课我们要共同探索的精彩内容。”

  学生活动6：跟随教师的引导，回顾学习路径，梳理知识要点，理解本课在单元中的“起始”地位，并对后续学习内容产生期待和好奇。

  设计意图：课堂小结不是简单复述定义，而是对整个概念建构过程的反思与梳理，帮助学生形成完整的认知闭环。更重要的是，将本课置于单元整体框架中，阐明其承上（与一次函数、方程的联系）启下（引出图象、性质、应用）的作用，为学生勾勒出清晰的学习路线图，激发持续探究的内驱力，体现单元整体教学的连贯性。

  九、板书设计

  （黑板左侧）

  一、情境与关系（实例区）

  1.正方形面积：y=x²

  2.自由落体：h=5t²

  3.销售问题：y=(20-x)(100+2x)=-2x²+30x+2000

  4.矩形面积：y=x(10-x)=-x²+10x

  5.运算结果：y=(x+1)(x-2)-(x-3)²=-x+7（一次函数）

  （黑板中央）

  二、归纳与抽象（核心定义区）

  共同特征：关于自变量的整式，自变量的最高次数是2。

  二次函数的定义：

  形如y=ax²+bx+c（a,b,c为常数，且a≠0）

  的函数叫做二次函数。

  其中，x是自变量，y是x的函数。

  a：二次项系数

  b：一次项系数

  c：常数项

  （黑板右侧）

  三、辨析与深化（要点区）

  判断关键：

  1.整式？

  2.化简后最高次数=2？

  3.二次项系数a≠0（含参需讨论）！

  四、联系与展望（结构区）

  （以“二次函数”为中心，画出箭头指向）

  代数定义（本课）→图象（抛物线）→性质→应用

  联系：当a=0时，变为一次函数。

  十、作业设计（分层）

  【基础巩固层】（全体学生必做）

  1.课本相关练习：完成教材中关于二次函数概念辨析的基础练习题。

  2.列举发现：请从你的生活、学习或阅读中，再找出1-2个可能蕴含二次函数关系的实例，并简要说明变量间的关系（不需写出精确解析式）。

  3.辨析练习：判断下列函数是否为二次函数，并说明理由。

  (1)y=1-3x²

  (2)y=x(x-1)

  (3)y=1/x²+x

  (4)y=(x+1)²-(x-1)²

  (5)y=(a²+1)x²+x（a为常数）

  【能力提升层】（学有余力学生选做）

  4.参数探究：已知函数y=(m²-m)x^{m²-3m+2}+(m-2)x+m。

  （1）当m为何值时，这个函数是二次函数？

  （2）当m为何值时，这个函数是一次函数？

  5.简单建模：某网店销售一种商品，进价为每件40元。调查发现，若售价为每件60元，每天可售出100件；售价每降低1元，每天可多售出10件。设每件商品降价x元（0≤x≤20），每天的销售总利润为y元（利润=售价-进价）。

  （1）求y与x之间的函数关系式。

  （2）判断y是否为x的二次函数，若是，指出各项系数。

  【拓展思考层】（兴趣浓厚学生选做）

  6.回顾我们学过的“一次函数”，它的图象是一条直线。请你猜想一下，“二次函数”y=x²的图象可能会是什么