2026初升高数学暑假衔接1套（人教版）5.6 函数y＝Asin(ωx＋φ)（教师版）

5.6函数y＝Asin(ωx＋φ)

【知识梳理】

知识点一简谐运动的有关概念

振幅周期频率相位初相

y＝Asin(ωx＋φ)

2π1ω

(A>0，ω>0)，x≥0AT＝f＝＝ωx＋φφ

ωT2π

知识点二用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个特征点

π3π

0－φ－φπ－φ－φ2π－φ

x22

ωωω

ωω

π3π

ωx＋φ0π2π

22

y＝Asin(ωx＋φ)0A0－A0

知识点三A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响

1．φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R图象的影响

2．ω(ω>0)对y＝sin(ωx＋φ)图象的影响

3．A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响

知识点四函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径

【基础自测】

ππ

ωx＋π，0

1．已知ω>0，函数f(x)＝cos3的一条对称轴为x＝，一个对称中心为12，则ω有()

3

A．最小值2B．最大值2

C．最小值1D．最大值1

【答案】A

ππT2π

【详解】由题意知－≥，故T＝≤π，ω≥2.

3124ω

π

2．将函数fxcos2x的图象向左平移个单位后得到函数gx的图象，则gx具有性质()

4

A．最小正周期为4π

π

B．图象关于直线x对称

2

3π

C．图象关于点,0对称

8

π

D．在0,上单调递减

4

【答案】D

ππ

gxcos2xcos2xsin2x

【详解】由题意可得42，

2π

gxTπ

所以的最小正周期2，故A错误；

π

gsinπ0π

gxx

因为2，所以的图象不关于直线2对称，故B错误；

3π3π23π

gsin,0

gx

因为842，所以的图象不关于点8对称，故C错误；

πππ

x0,2x0,0,

gx

因为4时，2，所以在4上单调递减，故D正确.

故选：D

π

2x－π1

3．将曲线C1：y＝2cos6上的点向右平移个单位长度，再将各点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，

62

得到曲线C2，则C2的方程为()

π

4x－

A．y＝2sin4xB．y＝2sin3

π

x－

C．y＝2sinxD．y＝2sin3

【答案】A

π

2x－π

【详解】将曲线C1：y＝2cos6上的点向右平移个单位长度，可得y＝2sin2x的图象，再将各点横坐

6

1

标缩短为原来的，纵坐标不变，可得曲线C2：y＝2sin4x，故选A.

2

π

2x－

4．要得到y＝cos4的图象，只要将y＝sin2x的图象()

ππ

A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度

88

ππ

C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度

44

【答案】A

π

πππx－π

－2x2x－x－28－

【详解】y＝sin2x＝cos2＝cos2＝cos24＝cos4.

π

x－π

28－

若设f(x)＝sin2x＝cos4，

ππ

x＋2x－

则f8＝cos4，

所以向左平移π个单位长度．

8

5．函数fx的部分图象如图所示，则fx可能是()

ππ

A．fx2sin2xB．fx2sin2x

36

ππ

C．fx2sin4xD．fx2sin4x

63

【答案】A

11π5π2π

【详解】由图象可知：A2，且T2π，所以2，不妨设：fx2sin2x，

1212T

5π5π5πππ

将,2代入得：2sin2，即2kπ，kZ，解得：2kπ，kZ，当k0时，

126623

π

，故A正确，其他选项均不合要求.

3

故选：A

【例题详解】

一、平移变换

例1(1)将函数fxsinx的图象向右平移个单位，可以得到（）

2

A．ysinx的图象B．ycosx的图象C．ysinx的图象D．ycosx的图象

【答案】D

【分析】利用相位变化和诱导公式直接得到答案.

【详解】将函数fxsinx的图象向右平移个单位得到ysinxcosx的图像

22

故选：D

(2)要得到函数y2sin2x3的图象，只需将函数y2sin2x的图象（）

3

A．向左平移3个单位长度B．向左平移个单位长度

2

3

C．向右平移3个单位长度D．向右平移个单位长度

2

【答案】B

【分析】利用相位变化直接求解.

3

【详解】因为y2sin2x32sin2x，所以要得到函数y2sin2x3的图象，只需将函数y2sin2x

2

3

的图象向左平移个单位长度．

2

对照四个选项，选B.

故选：B

ππ

(3)将函数f(x)tan(2x)的图象向右平移s(s0)个单位长度，所得图象经过点(,3)，则s可能的取值是

32

______．（写出满足条件的一个值即可）

k

【答案】（满足s，(kZ)即可）

662

【分析】由题可先将平移后的函数解析式求出，再将点(,3)代入函数解析式，即可进行求解．

2

【详解】函数f(x)tan(2x)的图象向右平移s(s0)个单位长度，

3

得到函数解析式g(x)tan(2x2s)，又因为平移后的图象经过点(,3)，

32

2

所以得到3tan(2s)，所以2sk，

333

k

解得s，(kZ)，不妨令k0，则s，

626

故答案为：．（答案不唯一）

6

跟踪训练1(1)要得到ycos2x的图象，只要将ysin2x的图象（）

A．向左平移个单位B．向右平移个单位

88

C．向左平移个单位D．向右平移个单位

44

【答案】C

【分析】利用诱导公式将ysin2x变形为ycos2x，从而根据三角函数的图象变换即可求解.

4

【详解】解：因为ysin2xcos2xcos2x，

24

所以要得到ycos2x的图象，只要将ysin2x的图象向左平移个单位，

4

故选：C.

π

(2)将函数ysin2x的图象向左平移(0)个单位长度后，所得图象经过点,1，则的最小值为（）

2

ππ3π11π

A．B．C．D．

124412

【答案】C

π

【分析】利用三角函数图象平移规律得到函数ysin2(x)的图象，由所得图象经过点,1和的范围

2

可得答案.

【详解】将函数ysin2x的图象向左平移(0)个单位长度后，

π

得到函数ysin2(x)的图象，由所得图象经过点,1，可得sinπ21，

2

ππ3π

则π22kπ，kZ，则kπ，kZ，又0，所以的最小值为．

244

故选：C．

二、伸缩变换

1

例2(1)将函数ysinx的图像上各点的纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，则所得图像对应的函数为

3

（）

11

A．y3sinxB．ysinxC．ysin3xD．ysinx

33

【答案】B

【解析】根据图像的变换原则即可得到结果

11

【详解】由题,将函数ysinx的图像上各点的纵坐标缩短到原来的,横坐标不变,即得到ysinx,

33

故选：B

【点睛】本题考查三角函数图像变换,属于基础题

(2)函数ycosx图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为ycosx，则

的值为________．

【答案】1

2

【解析】直接由函数图象的周期变化求得的值．

【详解】解：把函数ycosx图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，

1

所得图象对应的函数解析式为ycosx，

2

的值为1．

2

故答案为：1

2

【点睛】本题考查了yAsin(x)型函数的周期变化，属于基础题．

跟踪训练2(1)将曲线y2sin4x上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到的曲线的

5

对称中心为（）

kk

A．,0kZB．,0kZ

210210

C．k,0kZD．k,0kZ

1010

【答案】A

【解析】由图像变换原则可得新曲线为y2sin2x,令2xkkZ求解即可

55

【详解】将曲线y2sin4x上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍后得到曲线y2sin2x,

55

k

令2xkkZ,得xkZ

5102

故选：A

【点睛】本题考查三角函数的图像变换,考查正弦型函数的对称中心

1

(2)将y＝sin2x的图像上的所有点的纵坐标都变为原来的倍，得到____________的图像.

2

1

【答案】ysin2x

2

【分析】根据正弦型函数的图像变换的性质进行求解即可.

11

【详解】将y＝sin2x的图像上的所有点的纵坐标都变为原来的倍，得到ysin2x的图像，

22

1

故答案为：ysin2x

2

【点睛】本题考查了正弦型函数图像的变换性质的应用，属于基础题.

三、图象的综合变换

例3(1)已知函数f(x)2sinx，为了得到函数g(x)2sin2x的图象，只需（）

3

A．先将函数f(x)图象上点的横坐标变为原来的2倍，再向右平移个单位

6

1

B．先将函数f(x)图象上点的横坐标变为原来的，再向右平移个单位

26

1

C．先将函数f(x)图象向右平移个单位，再将点的横坐标变为原来的

62

D．先将函数f(x)图象向右平移个单位，再将点的横坐标变为原来的2倍

3

【答案】B

【分析】直接利用三角函数图像变换可得.

1

【详解】对于A：先将函数f(x)图象上点的横坐标变为原来的2倍，得到y2sinx，故A错误；

2

1

对于B：先将函数f(x)图象上点的横坐标变为原来的，得到y2sin2x，再右移个单位，得到

26

y2sin2x，即为y2sin2x，故B正确；

63

1

对于C:先将函数f(x)图象向右平移个单位，得到y2sinx，再将点的横坐标变为原来的，得到

662

y2sin2x，故C错误；

6

对于D:先将函数f(x)图象向右平移个单位，得到y2sinx，再将点的横坐标变为原来的2倍，得

33

1

到y2sinx，故D错误；

26

【点睛】：

关于三角函数图像平移伸缩变换：先平移的话，如果平移a个单位长度那么相位就会改变ωa；而先伸缩势

必会改变ω大小，这时再平移要使相位改变值仍为ωa，那么平移长度不等于a.

3

(2)已知函数fxcos2x，先将fx的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再

4

向左平移个单位长度，得到gx的图象，则gx的解析式为（）

4

A．gxsinxB．gxsinx

C．gxcosxD．gxcos4x

4

【答案】A

【分析】利用三角函数的伸缩变换和平移变换求解.

3

【详解】解：先将fx的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到ycosx的

4

图象，

3

再向左平移个单位长度，则gxcosxsinx，

444

故选：A．

(3)将函数yfx的图象上所有点向右平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的

6

2倍（纵坐标不变），得到函数ysinx的图象，则fx（）

x2

A．sin2xB．sinC．sin2xD．sin2x

32633

【答案】D

【分析】由题意可知将ysinx图象上所有点横坐标缩短为原来的一半，再向左平移个单位长度可得

6

yfx的图象，从而可求出yfx的解析式.

【详解】因为函数yfx的图象上所有点向右平移个单位长度，

6

再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），

得到函数ysinx的图象，

所以将ysinx图象上所有点横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，

得ysin2x，再向左平移个单位长度可得

6

ππ

fxsin2xsin2x的图象，

63

故选：D.

π

2x－

(4)说明y＝－2sin6＋1的图象是由y＝sinx的图象经过怎样变换得到的．

各点的纵坐标伸长到原来的2倍

【详解】方法一先伸缩后平移y＝sinx的图象――――――――――――→y＝－2sinx的图象

且关于x轴作对称变换

1ππ

各点的横坐标缩短到原来的向右平移个单位长度2x－

――――――――――――2→y＝－2sin2x的图象―――――12――――→y＝－2sin6的图象

向上平移个单位长度

―――――1――――→

π

2x－

y＝－2sin6＋1的图象．

方法二先平移后伸缩

向右平移π个单位长度π

各点的纵坐标伸长到原来的2倍x－

y＝sinx的图象―――――――――――――→y＝－2sinx的图象――――6――――→y＝－2sin6的图象

且关于x轴作对称变换

ππ

各点的横坐标缩短到2x－向上平移1个单位长度2x－

――――――――→y＝－2sin6的图象―――――――――→y＝－2sin6＋1的图象．

原来的1

2

跟踪训练3(1)要得到函数ysinxcosx的图象，只需将函数y2cos2x的图象上所有的点（）

A．先向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）

8

1

B．先向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）

82

C．先向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）

4

1

D．先向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）

42

【答案】A

【分析】利用两角和的余弦公式化简为y2cosx，再由函数yAcosx的图象变换规律得出

4

结论．

【详解】ysinxcosx2cosx，

4

将函数y2cos2x的图象上所有的点向右平移个单位长度得到y2cos2x2cos2x，再

884

把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍得到y2cosx，

4

故选：A.

π2π

(2)为了得到函数ysin(2x)的图象，可以将函数ycos2x的图象（）

33

ππ

A．向左平移个单位B．向左平移个单位

24

ππ

C．向右平移个单位D．向右平移个单位

24

【答案】B

【分析】先将两个三角的名字根据诱导公式化为相同，然后再平移即可.

2ππππ

【详解】ycos2xcos2xsin2x

3626

ππππ

将函数向左平移个单位得：ysin2xsin(2x).

4463

故选：B

(3)把函数yfx图像上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单

6

位长度，得到函数y2sinx的图像，则f0（）

6

A．1B．3C．－1D．3

【答案】D

【分析】由题意，将函数y2sinx的图像，向右平移个单位长度，再把所得曲线图像上所有点的

66

1

横坐标缩小到原来的倍，纵坐标不变，即可得yf(x)的图像，即可得yf(x)解析式，由此可得答案.

2

【详解】解：由题意，将函数y2sinx的图像，向右平移个单位长度，得

66

y2sinx2sinx，

663

1

再把所得曲线图像上所有点的横坐标缩小到原来的倍，纵坐标不变，得y2sin2x，

23

yf(x)解析式为fx2sin2x，

3

则f02sin02sin3，

33

故选：D

四、由图象求三角函数的解析式

例4(1)函数yAsinωxφ（0，）的部分图象如图所示，则（）

2

A．y2sinxB．y2sin2xC．y2sinxD．y2sin2x

6633

【答案】B

【分析】根据图象可求出周期T以及A，从而求出，再根据图象过,2即可求解.

3

2

【详解】观察图象知，A＝2，函数周期T2[()]，则2，y2sin2x，

36T

又函数图象过(,2)，则22k，k∈Z，而，有k0，，

33226

所以y2sin2x.

6

故选：B

(2)已知函数fx2sin(x)(0,||)的部分图像如图所示，则________．

【答案】

6

【分析】根据函数的周期求出T,的值，再根据五点法求出即得解.

6

T52

【详解】解：由知，T,2，由五点法可知，

212122

202kkZ，即2kkZ，又||，所以

1266

故答案为：

6

跟踪训练4(1)若如图所对应的是某个函数的一部分图象，则此函数解析式为（）

333π3

A．ysin(3xπ)B．ysin3x

22232

3π33π3

C．ysin3xD．ysin3x

232222

【答案】A

π

【分析】设出函数表达式，根据其图像，依次求出A,k,，计算可得函数图像过点,3，代入函数表

2

达式可得π，进而得到答案.

【详解】设函数为yAsinxk，

033303

由函数图像可知k，A，

2222

π2π2π

函数周期为Tπ，所以3，

33T

33

所以ysin3x，

22

π1π12πππ

当xT时，函数取得最大值3，即函数过,3，

3434322

3π3

所以3sin3，

222

ππ

解得32kπ,kZ即2kππ,kZ，k0时，π，

22

33

所以ysin(3xπ).

22

故选：A.

π6

(2)已知函数fxAsinx（A0，0，0π）的部分图象如图所示.若f，则

625

sin2cos2的值为（）

22

3434

A．B．C．-D．

5555

【答案】C

【分析】根据题意，结合图像性质求出解析式，再根据诱导公式与二倍角公式，即可求解.

252

【详解】根据题意，结合图像易知，A2，T4，因此2，

312T

224

因为函数图像过点,2，所以f2sin2，

333

4

即2k，kZ，由0π，解得，故fx2sin2x.

3266

π663

又因为f，所以2sin2cos，即cos，

6253655

3

因此sin2cos2cos.

225

故选：C.

五、三角函数性质的综合问题

例5(1)已知函数fxsin2x0,0的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）

2

A．fx的图象关于点,0对称

3

B．fx的图象向右平移个单位后得到ysin2x的图象

6

3

C．fx在区间0,的最小值为

22

D．fx为偶函数

6

【答案】D

【分析】先由函数图象求出函数解析式，然后再逐个分析判断

1

【详解】因为fx的图象过点0,，

2

1

所以sin，

2

因为0，所以，

26

2

因为fx的图象过点,1，

3

43

所以由五点作图法可知，得1，

362

所以fxsin2x，

6

2

对于A，因为fsinsin1，所以x为fx的图象的一条对称轴，所以A

33623

错误，

对于B，fx的图象向右平移个单位后，得ysin2xsin2x，所以B错误，

6666

51

对于C，当x0,时，2x,，所以sin2x1，所以fx在区间0,的最小值

26662