教学材料《工程测试技术》-第2章

由于对所有被测信号来讲，都有一个共同的参数――时间，因此，所有被测量都有与时间相关的特性。按照不同的信号有不同的时间相关的特性，将工程测试信号分类如下。(1)按信号随时间变化的确定性与否分类(2)按信号幅值随时间变化的连续性分类2.1信号的分类下一页返回2.1.1确定性信号确定性信号是随时间有规律地变化，可用数学关系式或图表确切地描述其相互关系。例如，图2.1所示的用橡皮筋悬挂的重物(可视为一单自由度无阻尼振动系统)的振动位移信号x(t)就是一个确定性信号(见图2.1)，因为x(t)可以用明确的数学关系式写出，即式中，X0为初始幅值；k为橡皮筋的弹簧刚度；m为重物质量；t为时间；

为初相位角。1.周期信号和非周期信号确定性信号可分为周期信号和非周期信号。按一定时间间隔T周而复始出现的信号称为周期信号；否则称为非周期信号。2.1信号的分类上一页下一页返回周期信号的数学表达式为

式中，T为信号的周期；n=±1，±2，…；T=2π/ω=1/f，ω=2πf，ω为角频率，f为频率。2.谐波信号与一般周期信号单一频率的正弦或余弦信号，称为简单周期信号，也称为谐波信号。其角频率为ω=，周期为T=2π/ω。除谐波信号以外的周期信号都称为一般的周期信号，图2.2所示的是周期为T0的三角波和方波信号。3.周期信号与准周期信号由多个乃至无穷多个单一频率的谐波成分叠加而成，叠加后仍存在公共周期的信号，称为复杂周期信号或一般周期信号，如2.1信号的分类上一页下一页返回式中，x(t)由两个周期信号x1(t)，x2(t)叠加而成，周期分别为T1=1/3，T2=1/2，叠加后信号的周期为T1

，T2的最小公约数1，即最小公共周期为1。图2.3就是这两分量合成的信号的波形，其中二次谐波分量有不同的相对幅值。在非周期信号中，由多个频率成分叠加，但叠加后不存在公共周期的信号称为准周期信号，如

x(t)由两个信号x1(t)，x2(t)叠加而成，两信号的频率比为无理数，即两频率没有公约数，则叠加后信号无公共周期，如图2.4所示。这种信号往往出现于通信、振动系统，应用于机械转子振动分析、齿轮噪声分析及语音分析等。2.1信号的分类上一页下一页返回4.瞬态信号除准周期信号之外的非周期信号，是一些在有限时间段内存在，或随着时间的推移而幅值衰减至零的信号，称为瞬变非周期信号，又称为瞬态信号。如图2.5(a)所示的按指数衰减振动信号，表示为

，以及图2.5(b)、(c)所示的各种波形(矩形、三角形、梯形)的单个脉冲信号等。2.1.2随机信号无法用明确的数学关系式表达的信号称为非确定性信号，又称为随机信号。它随时间的变化没有确定的规律。每次观测的结果都不尽相同，任一次观测值只是在其变动范围中可能产生的结果之一，具有随机性。但其值的变动服从统计规律，可用统计数学的方法指出在某一时刻此信号取得某一个值的概率。在工程测试中，随机信号大量存在，如切削材质不均匀工件时的切削力信号、环境噪声信号、汽车行驶时的振动信号等。2.1信号的分类上一页下一页返回1.样本函数、样本记录与随机过程对随机信号按时间历程所作的各次长时间的观测记录称为样本函数，记作xi(t)，如图2.6所示。而在有限区间内的样本函数称为样本记录。在同等试验条件下，全部样本函数的集合(总体)就是随机过程，记作｛x(t)｝即

随机过程的各种平均值(均值、方差、均方值和均方根值)是反映随机过程的特征参数，这些参数是按集合(总体)平均来计算的。集合平均的计算不是沿某个样本的时间轴进行，而是在集合中某时刻ti对所有的样本函数的观测值进行求和取平均的方法。而单个样本的时间历程进行平均的计算称为时间平均。如随机过程中t1时刻的集合均值和均方值定义为2.1信号的分类上一页下一页返回式中，N为观测次数。与集合平均不同，在计算随机过程对某个统计参数时，仅利用随机过程{x(t)}中第i个样本函数xi(t)，当观测时间T→∞时，对所有观测值进行运算再取其平均的方法，称为时间平均。如用时间平均求取随机过程的均值和均方值为

2.平稳随机过程与非平稳随机过程随机过程中，其统计特征参数不随时间而变化的过程是平稳随机过程；反之称为非平稳随机过程。在平稳随机过程中，如果任何样本的时间平均统计特征等于集合平均统计特征，则该过程就是各态历经随机过程。在工程上遇到的很多随机信号具有各态历经性。2.1信号的分类上一页下一页返回有的信号虽然不见得是各态历经过程，但也可以当做各态历经随机过程来处理。实际测试工作中常把随机信号按各态历经随机过程来处理，即用有限长度样本记录的分析、观察来推断、估计被测对象的整个随机过程。也就是说，在实际工作中，常以一个或几个样本记录来推断整个随机过程，以时间平均估计集合平均。2.1.3连续时间信号和离散时间信号根据信号幅值随时间变化的连续性，可把信号分为连续时间信号和离散时间信号。若信号在某一段时间内连续取值，称此信号为时间的连续信号。模拟信号属于时间连续信号，如图2.7(a)所示。若信号在某一段时间t只在一些确定的时刻取值，称此信号为时间的离散信号，如图2.7(b)所示。

2.1信号的分类上一页返回

信号作为一定物理现象的表示，它包含着丰富的信息，为了从中提取某种有用的信息，需要对信号进行必要的分析与处理。所谓“信号分析”就是采取各种物理的或数学的方法提取有用信息的过程。为了实现这个过程，从数学角度来讲，需要对测试信号进行各种不同变量域的数学描述，以研究信号的构成或特征参数的估计。所以讨论信号的描述，在某种程度上是讨论与“信号分析”有关的数学模式及其图像。通常以两种变量域来描述信号，即时间域与频域。对应的信号分析有时域分析、频域分析。图2.3和图2.5是把时间看做独立变量画出来的。这是最普遍和熟悉的形式。波形的情况被显示在示波器的屏幕上或者在纸带记录仪的纸带上。第二类图是频谱图，其中频率作为独立变量，而每个频率分量的幅值作为纵坐标。比如，图2.3和图2.4所示的图的频谱画在图2.8(a)和图2.8(b)中。2.2测试信号的描述方法下一页返回信号的时域描述直观反映信号瞬时值随时间变化的情况，而信号的频域描述则反映信号的频率组成及幅值、相角的大小。为了解决不同问题，往往需要掌握信号不同方面的特征，因而可采用不同的描述方法。值得指出的是，对同一被分析信号，可以根据不同的分析目的，在不同的分析域进行分析，从不同的角度观察和描述信号，提取信号不同的特征参数。从本质上看，信号的各种描述方法仅是从不同的角度认识同一事物。在不同域的分析，并不改变同一信号的实质，而且信号的描述可以在不同的分析域之间相互转换，如傅里叶可以从时域变换到频域，而傅里叶反变换可以从频域变换到时域。本节简单介绍信号的时域分析和频域分析。2.2测试信号的描述方法上一页返回

直接观测或记录的信号一般是随时间变化的物理量，即以时间为自变量的信号表达，称之为信号的时域描述。时域描述只能反映信号的幅值随时间变化的特征。信号的时域分析就是求取信号在时域中的特征参数及信号在不同时刻的相似性和关联性。通常描述确定性信号的时域特征的参数有峰值、峰－峰值、均值、方差和均方值等。1.峰值xF与峰－峰值xF－F峰值xF用于描述信号城x(t)在时域中出现的最大瞬时幅值，是指波形上与零线的最大偏离值(见图2.9)，即

xF=|x(t)|max

峰－峰值xF－F是信号在一个周期内最大幅值与最小幅值之差。它表示信号的动态范围，即信号大小的分布区间。2.3确定性信号的时域分析下一页返回2.均值μx与绝对均值μ｜x｜信号的均值μx是指信号在记录时间T内，信号的幅值对时间的平均，即式中，对于周期信号，T为周期；对于非周期信号，T为记录时间。μx表示了信号的固定分量(也称直流分量)的大小。周期信号全波整流后的均值称为信号的绝对均值μ｜x｜，即3.有效值xrms有效值是信号的均方根值xrms，即

2.3确定性信号的时域分析上一页下一页返回它记录了信号经历的时间历程，反映了信号的功率大小。4.平均功率Pav有效值的平方为信号的均方值，也就是信号的平均功率Pav，即

2.3确定性信号的时域分析上一页返回将信号的时域描述变换为频域分析的数学方法是傅里叶分析。傅里叶分析是经典数学的一个分支。频谱分析的目的是把复杂的时间信号经傅里叶变换分解为若干单一的谐波分量来研究，以获得信号的频率结构以及各谐波分量的幅值和相位信息。1.周期信号的三角函数展开式满足狄利克雷(Dirichlet)条件的周期信号x(t)，都可以展开为傅里叶级数。傅里叶级数的三角函数表达式为式中，a0为信号的常值分量，也叫直流分量，是此函数在一个周期内的平均值；an为第n次谐波分量的余弦项的幅值；bn为第n次谐波分量的正弦项的幅值。a0，an和bn都是信号x(t)的函数，2.4确定性信号的频谱分析----周期信号下一页返回分别表示为式中，T0为信号的周期；ω0为信号的基波圆频，即角频率，ω0=2π/T0，n=1，2，3，…为正整数。式中，信号x(t)的幅值An和初相位角θn分别为2.4确定性信号的频谱分析----周期信号上一页下一页返回An为n次谐波的幅值θn为n次谐波的相位角周期信号是由有限多个或无限多个的简谐信号叠加而成。或者说，一般周期信号可以分解为一个常值分量a0和多个成谐波关系的正弦分量之和。这一结论对于工程测试非常重要，非常便于获得测试信号的频谱—每一个谐波就是一个频率成分，还有幅值和相位的信息。在周期信号的三角频谱中，由于n为整数，则相邻频率的间隔△ω=ω0=2π/T0或△f=f0=1/T，即各频率成分都是ω0或f0的整数倍。通常把ω0或f0称为基频，其对应的信号称为基波，而把nω0(n=2，3，...)或nf0(n=2，3，...)的倍频成分Ancos(nω0t+jn)或Ancos(2πnf0t+θn)称为n次谐波。

2.4确定性信号的频谱分析----周期信号上一页下一页返回2.三角频谱图以频率为横坐标，以各次谐波的幅值和相位作为纵坐标分别作图，可以得到该信号的幅频图和相频图。它们统称为信号的三角频谱图。基波(n=1)或n次谐波在频谱图中对应一根谱线。在周期信号的频谱图中，谱线是离散的。三角频谱中的角频率ω或频率f从0～＋∞，谱线总是在横坐标的一边，因而三角频谱也称为“单边谱”，其频谱图也称为单边频谱图。利用函数的奇偶性，可使周期函数(信号)的傅里叶三角函数展开式有较大的简化。(1)如果周期函数x(t)是奇函数，即x(t)=－x(－t)，这样傅里叶系数的常值分量a0=0，余弦分量幅值an=0，则傅里叶级数

(2)如果周期函数x(t)是偶函数，即x(t)=x(－t)，这样傅里叶系数的正弦分量幅值bn=0，则傅里叶级数

2.4确定性信号的频谱分析----周期信号上一页下一页返回常见周期信号的频谱具有下列特点。(1)离散性。在三角频谱中，频谱是由一根根离散谱线组成，每根谱线代表一个谐波成分，谱线的高度代表该谐波成分的幅值或相位的大小。(2)谐波性。每条谱线只有在其基频的整数倍nω0。或nf0上，不存在非整数的频率分量。(3)收敛性。谐波幅值总体随谐波次数的增高而减小，按各自不同的规律收敛。一般在信号的频谱分析中没有必要取那些次数过高的谐波分量。因为在测量系统中，常常要对被测信号进行各种处理，如放大、滤波等。而任何一种放大器的通频带的宽度都是有限的，信号中高次谐波的频率如果超过了放大器的截止频率，这些高次谐波就得不到放大，从而引起失真，造成测量误差。2.4确定性信号的频谱分析----周期信号上一页下一页返回因此一个高次谐波幅值衰减得快的信号和一个高次谐波衰减得慢的信号通过同一个放大器时，前一个信号失真小而后一个信号失真大，或者反过来说，为了使二者失真程度相同，高次谐波幅值衰减慢的信号要求放大器有较宽的通频带，而对高次谐波幅值衰减快的信号，放大器的通频带可以较窄。可见，分析信号的频率结构对动态测量是非常重要的。3.周期信号的指数形式的傅里叶级数展开及双边频谱图复指数函数具有以下特点。(1)它的导数与它自身成比例。(2)它的儿何意义特别简明，代表复平面上的一个旋转矢量。(3)线性定常系统对复指数输人量的响应也是一个复指数函数。由于以上特点，复指数函数在某些场合下运算和分析非常简便。傅里叶级数也可以写成指数的形式，2.4确定性信号的频谱分析----周期信号上一页下一页返回这就是周期信号的傅里叶级数的复指数形式的表达式。

Cn的模规定了x(t)的n阶谐波的幅值大小，而Cn的相位则规定了n阶谐波的初始相位。在一般情祝下，Cn是复数，可以写成式中，2.4确定性信号的频谱分析----周期信号上一页下一页返回式中，CnR为复数Cn在实轴Re上的投影，称为复数Cn的实部；Cn1为复数Cn在虚轴Im上的投影，称为复数Cn的虚部。Cn与C-n共扼，即

，且jn=－j－n。周期信号Cn的实部CnR和虚部Cn1随ω或f的变化关系分别称为信号的实频谱和虚频谱，用CnR-ω或CnR-f和Cn1－ω或Cn1－f表示；｜Cn｜和jn随ω或f的变化关系分别称为信号的幅频谱和相频谱，用｜Cn｜－ω或｜Cn｜－f和｜jn｜－ω或｜jn｜－f表示；周期信号的实频谱、虚频谱、幅频谱和相频谱统称为周期信号的频谱。4.傅里叶级数的复指数与三角函数展开的关系即双边频谱的幅值｜Cn｜是单边频谱幅值An的一半。jn=arctan(－bn/an)2.4确定性信号的频谱分析----周期信号上一页下一页返回信号的函数与复指数函数展开的关系，如表2.1所示。复频谱具有以下特点。(1)幅频谱对称于纵坐标，即信号谐波幅值是频率的偶函数。(2)相频谱对称于坐标原点，即信号谐波的相角是频率的奇数倍。(3)复频谱与单边谱比较，对应于某一角频率nω0，单边谱只有一条谱线，而双边谱在±nω0处各有一条谱线，因而谱线增加了一倍，但谱线高度却减少了一半，即｜Cn｜=An/2。2.4确定性信号的频谱分析----周期信号上一页返回非周期信号包括准周期信号和瞬变信号。准周期信号是由没有公共周期的周期信号组成的，它的频谱是离散谱。瞬态信号具有瞬变性，如锤子敲击力的变化、电路电压在开关由开一断时的变化、汽车启动时的速度变化过程以及各种波形(矩形、三角形、梯形)的单个脉冲等信号均属于瞬态信号，如图2.13所示。获得周期信号频谱的方法是利用傅里叶级数，而获得非周期信号频谱的方法则是傅里叶变换。可以将瞬态信号看成是周期为T0→∞的周期信号。因此可以从周期信号的角度来理解非周期信号并推导其频谱。周期为T0的信号x(t)的频谱是离散频谱，相邻谐波之间的频率间隔为△ω=ω0=2π/T0。对于瞬态信号，T0→∞时，ω0=△ω→0，这样谱线无限密集以至离散频谱最终变为连续谱，所以瞬态信号的频谱是连续的。2.5确定性信号的频谱分析----非周期信号下一页返回因此非周期信号可认为是无限个频率极其接近的频率成分的合成。这时，瞬态信号的频域描述已不能用傅里叶级数展开，而要用傅里叶变换来描述。式中，X(jω)称为信号x(t)的傅里叶积分变换或简称傅里叶变换(FourierTransform，FT)。显然即X(jω)为单位频宽上的谐波幅值，具有“密度”的含义，故把X(jω)称为瞬态信号的“频谱密度函数”，或简称“频谱函数”。2.5确定性信号的频谱分析----非周期信号上一页下一页返回当T0→∞时，ω0=2π/T0=dω，离散频率nω0→连续变量ω，求和Σ→积分。则称x(t)为X(jω)的傅里叶逆变换或反变换(InverseFourierTransform，IFT)。

式中，ReX(jf)为｜X(jf)｜的实部，ImX(jf)为X(jf)的虚部，｜X(jf)｜为信号x(t)的连续幅频谱；j(jf)为信号x(t)的连续相频谱。

2.5确定性信号的频谱分析----非周期信号上一页下一页返回需要注意的是，非周期信号的幅值谱｜X(jf)｜是连续的，而周期信号的幅值谱是离散的。并且｜X(jf)｜的量纲是单位频宽上的幅值，即X(jω)是x(t)的频谱密度函数。而周期信号的幅值谱｜Cn｜的量纲与其幅值一致。2.5确定性信号的频谱分析----非周期信号上一页返回

傅里叶变换将一个信号的时域描述和频域描述彼此联系起来。因此要熟悉、了解傅里叶变换的主要性质，以便帮助我们了解信号在一个域中的变化而引起在另一个域中产生什么样的变化，利用这些性质还可以减少很多不必要的计算并有利于求信号的频谱。下面仅介绍工程测试中涉及的几个常用的性质，用双箭头

表示x(t)约和X(jf)存在傅里叶变换关系。1.线性叠加性若信号x(t)和y(t)的傅里叶变换分别为X(jf)和Y(jf)，则ax(t)+by(t)的傅里叶变换为

对于有限项的和，上述结果也是正确的。2.6傅里叶变幻的主要性质下一页返回2.对称性若

，则

3.时间尺度改变特性(相似定理)在时域信号x(t)幅值不变的情况下，若

，则对于实常数k，有

表达了信号的时域表示与其频谱之间在时间尺度展缩方面的内在关系，即时域波形的压缩将对应着频谱图形的扩展，且信号的持续时间与其占有的频带成反比。信号持续时间压缩k倍(k>1)，则其频宽扩展k倍，幅值为原来的1/k，反之亦然。2.6傅里叶变幻的主要性质上一页下一页返回4.时移、频移特性若

，在时域中信号沿时间轴平移一常值t0，则(时移)

时移特性表明，如果信号在时域中延迟了时间t0，则其幅频谱不会改变，而相频谱中各次谐波的相移一2πft0与频率成正比，即信号在时域内的延时对应于它的频谱在频域内的相位滞后，即在时域的移动引起频域的相移。在频域中信号沿频率轴平移一常值f0，则(频移)

频移特性为2.6傅里叶变幻的主要性质上一页下一页返回频域特性表明，如果频谱函数在频率坐标上平移了f0，则其代表的信号波形将与频率为f0的正、余弦信号相乘，即进行了调制。5.卷积特性(乘积定理)对于任意两个函数x1(t)和x2(t)，它们的卷积定义为记作x1(t)*x2(t)若

则2.6傅里叶变幻的主要性质上一页下一页返回两个时域函数卷积的傅里叶变换等于两者傅里叶变换的乘积；而两个时域函数乘积的傅里叶变换等于两者傅里叶变换的卷积。它们分别称为信号时域和频域卷积特性。

2.6傅里叶变幻的主要性质上一页返回1.单位脉冲函数(δ函数)及其频谱1)δ函数的定义在ε时间内激发矩形脉冲Sε(t)或三角脉冲、双边指数脉冲、钟形脉冲、如图2.19所示)所包含的面积为1，当ε→0时，Sε(t)的极限称为单位脉冲函数，记作δ(t)，即

图2.20显示了矩形脉冲到δ函数的转化关系。从函数极限的角度看从面积角度看

2.7几种典型信号的频谱下一页返回当ε→0时，面积为1的脉冲函数Sε(t)即为δ(t)。由于现实中的信号的持续时间不可能为零，因此，δ函数是一个理想函数，也是一种广义函数，是一种物理不可实现的信号。当ε→0时，δ函数在原点的幅值为无穷大，但其包含的面积为1，表示信号的能量是有限的。2)δ函数的性质①筛选特性。如果δ函数与某一连续信号x(t)相乘，则其乘积仅在t=0处有值x(0)δ(0)，其余各点(t≠0)的乘积均为零，即同样，对于时延t0的δ函数δ(t一t0)，只有在t=t0处其乘积不等于零，即

2.7几种典型信号的频谱上一页下一页返回②卷积特性。在两个函数的卷积运算过程中，若有一个函数为单位脉冲函数δ(t)，则卷积运算是一种最简单的卷积积分，即3)δ函数的频谱将δ(t)进行傅里叶变换，考虑δ函数的筛选特性，则其逆变换为可见，时域的单位脉冲函数具有无限宽广的频谱，且在所有的频段上都是等强度的。这种信号是理想的白噪声。2.7几种典型信号的频谱上一页下一页返回2.一般周期信号的频谱一个周期为T0的信号x(t)可用傅里叶级数的复指数形式来表示。利用傅里叶变换同样可以获得信号x(t)的频谱。表明，一般周期信号的频谱是一个以f0(周期信号的基频)为间隔的脉冲序列，每个脉冲的强度由系数Cn确定。根据上述对正、余弦信号和一般周期信号的傅里叶变换分析可知，傅里叶变换不仅适用于非周期信号，同时也适用于周期信号。

2.7几种典型信号的频谱上一页下一页返回3.正、余弦信号的频谱傅里叶变换要满足狄利克雷(Dirichlet)和函数在无限区间上绝对可积的条件，而正、余弦信号不满足后者，因此，在进行傅里叶变换时，必须引入δ(t)函数。上述两式的傅里叶变换为2.7几种典型信号的频谱上一页下一页返回其双边幅频谱如图2.25所示，比较图2.25(a)和图2.12(d)可知，它们的结果是一样的，即利用傅里叶级数的复指数展开的方法和利用傅里叶变换的方法获得的双边幅频谱是相同的。4.周期单位脉冲序列的频谱等间隔的周期单位脉冲序列也称为梳状函数或采样函数，如图2.26(a)所示，表示为式中：Ts为周期；n为整数，n=0，士1，士2，士3，…；g(t)为周期函数，根据有2.7几种典型信号的频谱上一页下一页返回式中，fs=1/Ts，同时根据δ函数的筛选特性可得因此，周期单位脉冲序列g(t)的频谱G(jf)为可见，周期单位脉冲序列的频谱也是一个周期脉冲序列，其强度和频率间隔均为fs。。2.7几种典型信号的频谱上一页返回在某随机过程的单个样本函数中取若干样本记录，用该样本记录的时间平均统计特征来估计整个随机过程。因此，在实际工作中减少对某随机过程的观测时间后，也可以获得该随机过程的特征信息。描述各态历经随机过程的主要特征参数有以下4个。(1)均值μx、均方值ψ2x、方差σ2x。(2)概率密度函数。(3)自相关函数。(4)功率谱密度函数。在实际的信号分析中，往往还需要描述两个或两个以上各态历经随机信号之间的相互依赖程度，通过下面的联合统计特性参数来描述。(1)联合概率密度函数。(2)互相关函数。(3)互谱密度函数。2.8随机信号的分析与处理下一页返回2.8.1各态历经随机过程的统计特征参数1)均值μx式中，x(t)为总体{x(t)｝中的一个样本函数；T为观测时间。均值表示信号的直流分量。2)方差σ2x

方差σ2x策描述随机信号的波动分量(交流分量)，它是x(t)偏离均值μx的平方的均值。方差的正平方根叫做标准差，是随机数据分析的重要参数。2.8随机信号的分析与处理上一页下一页返回3)均方值ψ2x

均方值反映了随机信号的强度，即平均功率。其计算公式为4)均方根值它是随机信号的平均能量(功率)的一种表达。对均方值开根号，就是均方根值，也称为有效值。2.8.2概率密度函数概率密度函数反映了信号在某一范围内幅值出现的概率，提供了随机信号沿幅域分布的信息，它是随机信号的主要特征参数之一。2.8随机信号的分析与处理上一页下一页返回如图2.28所示，信号x(t)的幅值落在[x，x+△x]区间内的所有时间总和为Tx，则

当样本函数x(t)的分析时间T趋于无穷大时，Tx/T的比值就是幅值落在[x，x+△x]区间内的概率，即定义随机信号的概率密度函数p(x)所求p(x)劝是信号x(t)的幅值X的函数。2.8随机信号的分析与处理上一页下一页返回概率密度函数恒为正实数。概率密度曲线p(x)与x之间的面积为1，表示该随机信号的幅值落在无穷区间内的总概率为100%。利用概率密度函数的定义和性质，可定义出概率分布函数信号x(t)的取值落在区间(x1

，x2)内的概率为在工程实际中，信号的概率密度分析主要应用于以下几个方面。(1)概率密度函数的计算与试验数据可以用于机械零、部件疲劳寿命的估计和疲劳试验，也可作为产品设计的依据。(2)判别信号的性质。(3)概率密度函数可用于机器的故障诊断。2.8随机信号的分析与处理上一页下一页返回2.8.3相关的概念在测试结果的分析中，相关分析法是一个非常重要的概念。描述相关概念的相关函数，有着许多重要的性质，这些重要的性质使得相关函数在测试工程技术中得到了广泛应用，形成了专门的相关分析的研究和应用领域。1.相关的概念所谓相关，是指变量之间的线性关系。对于确定性信号来说，两个变量之间可以用函数关系来描述，两者之间一一对应，并为确定的数值。而对于两个随机变量之间就不能用函数关系来表达，也不具有确定的数学关系。但如果两个随机变量之间具有某种内在的物理联系，那么，通过大量的统计还是可以发现它们之间存在着某种虽然不精确但却具有相应的表征其特性的对应关系。2.8随机信号的分析与处理上一页下一页返回2.相关系数与相关函数对于两变量x，y之间的相关程度可以采用相关系数ρxy表示，相关系数定义为式中，E为数学期；μx，μy，分别为随机变量x(t)和y(t)的均值，μx=E[x(t)]，μy=E[y(t)]；σx，σy分别为随机变量斌x(t)和y(t)的标准差，且根据柯西一许瓦兹不等式2.8随机信号的分析与处理上一页下一页返回故知｜ρxy｜≤1。当｜ρxy｜=1时，所有的数据都落在[y(t)－μy]的直线上，说明x(t)，y(t)两变量是理想的线性关系。ρxy=－1时也是理想的线性相关，只不过直线的斜率为负值。当｜ρxy｜=0，则说明两个变量之间完全无关。为了表达随机变量x(t)和y(t)之间是否存在着一定的线性关系，还可以采用变量x(t)和y(t)在不同时刻的乘积平均来描述，称为相关函数，用Rxy(τ))来表示，即式中，τ∈(－∞，∞)，是与时间变量t无关的连续时间变量，称为“时间延迟”，简称“时延”。所以，相关函数是时间延迟τ的函数。2.8随机信号的分析与处理上一页下一页返回设y(t＋τ)是y(t)时延τ后的样本，对于x(t)和y(t＋τ)的相关系数ρx(t)y(t＋τ)，简写为ρxy(τ)，相关系数和相关函数的关系为2.8.4自相关函数及其应用1.自相关函数的定义若x(t)=y(t)，则y(t＋τ)→x(t＋τ)，则得到x(t)的自相关函数Rx(τ)为得x(t)的自相关系数2.8随机信号的分析与处理上一页下一页返回图2.31所示为x(t)和x(t＋τ)的波形。对于有限时间序列的自相关函数，用式进行估计，即2.自相关函数的性质(1)Rx(τ)为实偶函数，即Rx(τ)=Rx(－τ)。即Rx(τ)=Rx(－τ)，又因为x(t)为实函数，所以自相关函数Rx(τ)为实偶函数。2.8随机信号的分析与处理上一页下一页返回(2)时延τ值不同，Rx(τ)不同。当τ=0时，Rx(τ)的值最大，并等于信号的均方值ψ2x。则这说明随机变量x(t)约与其本身在同一时刻的记录样本完全成线性关系，是完全相关的，其自相关系数为1。(3)Rx(τ)值的范围为得2.8随机信号的分析与处理上一页下一页返回同时，由式｜ρxy｜≤1得

(4)当τ→∞时，x(t}和x(t＋τ)之间不存在内在联系，彼此无关，即

如果均值μx=0，则Rx(τ)→0。根据以上性质，自相关函数Rx(T)的可能图形如图2.32所示。(5)当信号x(t)为周期函数时，自相关函数Rx(t)也是同频率的周期函数。若周期函数为

，则其自相关函数为2.8随机信号的分析与处理上一页下一页返回3.自相关函数的应用1)鉴别信号类型从表2.4所示的4种典型信号的自相关函数可以看到，自相关函数是鉴别信号类型的一个非常有效的手段。特别是当信号中含有周期成分时，其自相关函数在：很大时都不衰减，并具有明显的周期性。不包含周期成分的随机信号，当：稍大时自相关函数就将趋于零。宽带随机噪声的自相关函数很快衰减到零，窄带随机噪声的自相关函数则有较慢的衰减特征。2.8随机信号的分析与处理上一页下一页返回2.8.5互相关函数及其应用1.互相关函数的定义若x(t)，和y(t)为两个不同的信号x(t)和y(t)，则把Rxy(t)称为函数x(t)与y(t)的互相关函数，即相应的互相关系数为对于有限序列的互相关函数，进行估计，即2.8随机信号的分析与处理上一页下一页返回2.互相关函数的’性质

(1)互相关函数是可正、可负的实函数。因为x(t)和y(t)均为实函数，Rxy(t)应当为实函数。在t=0时，由于x(t)和y(t)可正、可负，故Rxy(t)的值可正、可负。(2)互相关函数是非奇函数、非偶函数，而且Rxy(t)=Ryx(－t)。对于平稳随机过程，在t时刻从样本采样计算的互相关函数应与t－t时刻从样本采样计算的互相关函数一致，即表明，互相关函数不是偶函数，也不是奇函数，Rxy(t)=Ryx(－t)在图形上对称于纵坐标轴，如图2.35所示。2.8随机信号的分析与处理上一页下一页返回(3)

Rxy(t)的峰值不在t=0处。Rxy(t)的峰值偏离原点的位置t0反映了两信号时移的大小，相关程度最高，如图2.36所示。在t0时，Rxy(t)出现最大值，它反映x(t)和y(t)之间主传输通道的滞后时间。(4)互相关函数的取值范围

结合|ρxy

|≤1，可得互相关函数的取值范围是

(5)两个统计独立的随机信号，当均值为零时，则Rxy(t)=0。将随机信号x(t)和y(t)表示为其均值和波动分量之和的形式，即

则2.8随机信号的分析与处理上一页下一页返回因为信号x(t)和y(t)是统计独立的随机信号，所以故(6)两个不同频率的周期信号的互相关函数为零。由于周期信号可以用谐波信号合成，故取两个周期信号中的两个不同频率的谐波成分

进行相关分析，则2.8随机信号的分析与处理上一页下一页返回

(7)两个不同频率正、余弦函数不相关。证明同上。(8)周期信号与随机信号的互相关函数为零。由于随机信号y(t+t)在时间t→t+t内并无确定的关系，它的取值显然与任何周期函数x(t)无关，因此，Rxy(t)=0。2.8随机信号的分析与处理上一页下一页返回3.典型信号间的互相关函数的曲线图形对图2.37所示的儿种典型信号的互相关函数的结果进行观察和分析可以得到以下儿点。(1)图2.37(a)所示是同频率的谐波信号间的互相关函数曲线。谐波1的频率f1=150Hz，谐波2的频率f2=150Hz，两者的相位不同。相关以后的函数频率f12=150Hz，这表明同频率的正弦波与正弦波相关，仍旧得到同频率的正弦波，同时保留了相位差j。(2)图2.37(b)所示是当一个f1=150Hz的正弦波与基波频率为50Hz的方波做相关时，相关图形仍旧是正弦波。这是因为，通过傅里叶变换可知，方波是由1，3，5，…无穷次谐波叠加构成，当基波频率为50Hz，其3次谐波频率为150