第2章 一元二次方程（全章题型归纳）（试题版）

2/2第2章一元二次方程（举一反三讲义）全章题型归纳【新教材苏科版】题型归纳题型归纳TOC\o"1-3"\h\u【夯实基础】 1【题型1定义与一般形式辨析】 1【题型2直接开平方法求解】 2【题型3配方法步骤演练】 2【题型4公式法求根运算】 3【题型5因式分解法应用】 4【题型6根的判别式的应用】 4【题型7根与系数的关系】 5【题型8根据实际问题列方程】 5【进阶拔高】 6【题型9含参方程根的讨论】 6【题型10整数根与有理根问题】 7【题型11根据方程根的情况求解】 7【题型12方程与几何图形结合（动点）】 8【题型13分式方程转化为整式方程】 9【题型14双根号方程的求解】 10【题型15根的代数式化简求值】 10【创新思辨】 11【题型16高次方程降次与换元】 11【题型17构造一元二次方程求解】 11【题型18含绝对值的一元二次方程】 12【题型19函数与一元二次方程综合】 12【题型20存在性与探索性问题】 13【夯实基础】【题型1定义与一般形式辨析】【例1】（25-26八年级下·山东东营·月考）将一元二次方程x2=4x-1+2化成一般形式后，一次项系数为____．【变式1-1】（25-26九年级上·辽宁鞍山·月考）若关于x的方程2xm-2+3x+5=0是一元二次方程，则m【变式1-2】（24-25八年级下·浙江宁波·期中）关于x的方程ax+m+22+b=0的解是x1=-3，x2=6（a，m，b【变式1-3】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）对于关于x的方程ax①若a-b+c=0，则方程ax2+bx+c=0②当a=0时，方程ax③若c是方程ax2+bx+c=0④一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0有两个相等的实根其中正确的是（

）A．①③ B．②④ C．①③④ D．④【题型2直接开平方法求解】【例2】（25-26八年级下·安徽亳州·月考）已知方程x+12=9的两个根为x1，x2，且x【变式2-1】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如果关于x的方程x-92=m+3可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（A．m>0 B．m≥0 C．m>-3 D．m≥-3【变式2-2】（25-26九年级上·广西钦州·期末）下列一元二次方程中，没有实数根的是（

）A．x2=0 BC．x2+1=0 D【变式2-3】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）对任意有理数a、b，定义关于“⊕”的一种运算如下：a⊕b=2a-b2，例如：5⊕2=2×5-22=6，-3⊕4=2×-3【题型3配方法步骤演练】【例3】（25-26八年级下·安徽阜阳·期中）用配方法解方程x2+8x+3=0时，若将方程变形为x+p2=q【变式3-1】（2026·上海静安·二模）当a是任意有理数时，下列代数式的值一定为正数的是（

）A．a2 B．a2+a C．a【变式3-2】（25-26九年级上·山东济宁·阶段检测）古希腊数学家丢番图在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解．在欧几里得的《几何原本》中，形如x2+ax=b2（a>0，b>0）的方程的图解法是：如图，以a2和b为两直角边作Rt【变式3-3】（25-26八年级下·浙江·期中）我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，运用“出入相补（以盈补虚）”原理，即通过图形割补求解一元二次方程x2+6x=27，如图1：在边长为x的正方形的四条边向外作边长为x和32的长方形，再把它补充成一个边长为x+3的大正方形，得到大正方形的面积为x+32=x2+6x+9=27+9=36（因为x2+6x=27）．所以大正方形的边长为x+3=6，得到x=3．聪明的小明也用图形割补法解关于x的方程x2+ax-b=0时，构造了类似的图形，如图2，已知大正方形ABCD面积为64，小正方形【题型4公式法求根运算】【例4】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）一元二次方程12x2A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间【变式4-1】（25-26八年级下·安徽淮南·月考）下列一元二次方程的根可以根据x=-3±32A．2x2+3x+1=0C．3x2+x-2=0【变式4-2】（25-26八年级上·福建福州·期末）解方程：x2【变式4-3】（25-26八年级下·安徽淮南·月考）定义新运算：对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号maxa,b表示a、b中的较大值，如：max1,3=3（1）max23（2）若maxx,-x=x2-2x-1【题型5因式分解法应用】【例5】（25-26八年级下·山东东营·期中）三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程x2-6x+8=0的解，则这个三角形的周长是（A．15 B．13 C．11或8 D．11和13【变式5-1】（25-26八年级下·山东威海·期中）已知关于x的一元二次方程m-2x2+x+m2+m-6=0的一个根为【变式5-2】（25-26八年级下·浙江·期中）对于任意实数a，b，c有a,b*c=ab-c，其中等式右边是通常的乘法和减法运算．例如，1,2(1)求关于x的一元二次方程x,x-1*2=0(2)若关于x的一元二次方程x,kx*【变式5-3】（25-26八年级下·山东青岛·期中）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根,我们就称这两个方程为“牵手方程”,例如方程x2=4和x2-2x=0有且仅有一个相同的实数根x=2,所以这两个方程为“牵手方程”．若方程x2+2x-3=0和x-3x+m=0为【题型6根的判别式的应用】【例6】（2026·河北·二模）下列一元二次方程，没有实数根的是（

）A．3x2-5x=0 B．2x2-4x+7=0【变式6-1】（2026·河南新乡·一模）若x=-1是方程x2-3x+m=0的一个根，则此方程的根的情况是（A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．有一个实数根 D．m<0时，没有实数根【变式6-2】（2026·山东青岛·一模）已知关于x的一元二次方程x2+m+nx+mn=0，其中m、【变式6-3】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知关于x的一元二次方程x2-x+m=0有两个实数根a和(1)求实数m的取值范围．(2)若a=2b，求m的值．(3)若3a2+b2【题型7根与系数的关系】【例7】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的一元二次方程x2+2k-1x+k2=0的两个不相等的实数根x1，【变式7-1】（2026·天津和平·二模）若x1，x2是方程x2A．x1+x2=20 B．x1【变式7-2】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）若m，n是方程x2+2x-2026=0的两个实数根，则代数式m2A．-2 B．2024 C．2026 D．2028【变式7-3】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）对于关于x的代数式ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0），若存在实数m，使得当x=m时，代数式的值也等于m，则称m为这个代数式的“不动值”．例如：对于关于x的代数式x2，当x=0时，代数式的值等于0；当x=1时，代数式的值等于1，我们就称0和1都是这个代数式的(1)下列x的取值：①x=-1，②x=0，③x=1，④x=2；其中是关于x的代数式x2-2的“不动值”是(2)判断关于x的代数式3x2-x+1是否存在“不动值”，若存在，请求出代数式的“(3)若关于x的代数式x2-3x+c有两个“不动值”，且一个“不动值”是另一个“不动值”的3倍，求【题型8根据实际问题列方程】【例8】（25-26九年级下·重庆开州·期中）随着环保意识的增强和技术的进步，电动汽车逐渐成为消费者的新宠，某品牌电动车今年1月份的销量为2000辆，由于国补政策的连月升温，3月份的销量比1月份增加了1000辆．设每个月销量的平均增长率为x，则下列方程正确的是（

）A．2000(1-x)2=1000C．2000(1+x)2=2000+1000【变式8-1】（2026·重庆秀山·一模）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样的一个问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中长与宽和为60步，问长比宽多多少步？若设长比宽多x步，则可列方程为__________．【变式8-2】（25-26八年级下·安徽合肥·月考）2025年11月，世界首座千米级双层斜拉一悬索协作体系公铁大桥——安徽铜陵长江三桥正式通车．铜陵长江三桥是《长江干线过江通道布局规划（2020—2035年）》中规划的过江通道之一，是安徽省重大基础设施建设项目，如图，某摄影爱好者拍摄一张长为12cm、宽为8cm的大桥全景照，现要在照片四周镶一条等宽的边，制成一幅面积为192cm2的挂图．设照片四周所镶边的宽为xcm，则所列方程正确的是（A．(8+x)(12+x)=192 B．(8-x)(12-x)=192C．(8+2x)(12+2x)=192 D．(8-2x)(12-2x)=192【变式8-3】（2026·山西晋城·一模）某家电商铺售卖符合1级能效标准的节能台灯，每盏台灯的进价为40元，当售价定为每盏50元时，每天可售出500盏台灯．经市场调研发现，该台灯每盏售价每上涨1元，每天的销售量就会减少10盏．若设此款台灯每盏上涨x元（x为正整数），且该商铺每天销售该台灯的总利润为8000元，则下列所列方程正确的是（

）A．50+xB．50+x-40C．50+x-40D．50+x-40【进阶拔高】【题型9含参方程根的讨论】【例9】（25-26八年级下·广西崇左·期中）定义：若一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0满足b=a+c，则称该方程为(1)下列方程属于“和谐方程”的是；（填序号）①3x2+4x+1=0；②x(2)求证：和谐方程总有实数根；(3)已知一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0为和谐方程，若该方程有两个相等的实数根，求【变式9-1】（25-26八年级下·浙江金华·月考）已知关于x的一元二次方程x2-mx+14m2-1=0【变式9-2】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）已知a，b是关于x的一元二次方程x2-2tx+t2-2t+4=0的两个实数根，则A．11 B．20 C．28 D．36【变式9-3】（2026·四川乐山·一模）关于x的方程ax2-4x+2=0有4个A．a<2 B．a>2 C．1≤a≤2 D．0<a<2【题型10整数根与有理根问题】【例10】（25-26八年级下·浙江宁波·期中）设m满足不等式m≤40，且关于x的一元二次方程(x-2)2+(a-m)2=2mx+【变式10-1】设m是整数,关于x的方程mx2-（m-1）x+1=0有有理根，则方程的根为（）A．x1=12,x2C．x1=−1,x2=【变式10-2】已知关于x的方程mx(1)若方程的两根之和为整数，求m的值；(2)若方程的根为有理根，求整数m的值．【变式10-3】（25-26九年级上·江苏盐城·月考）已知关于x的方程m-1x(1)求证：无论常数m取何值，方程总有实数根；(2)当整数m取何值时，方程有两个整数根？【题型11根据方程根的情况求解】【例11】（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）新定义：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．如方程x2-6x+8=0是“倍根方程”．若关于x的一元二次方程x-2ax-b=0a≠0A．12或25 B．-12或-25 C．12【变式11-1】如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程x2+x=0的两个根是x1=0，x2=-1，则方程x2+x=0是“邻根方程”．若关于x的方程【变式11-2】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(1)已知关于x的方程x2+3x+c=0是常数根一元二次方程，求(2)如果关于x的方程x2+5mx+m+1=0是常数根一元二次方程，求(3)若关于x的常数根一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0中不含零根，求证：关于【变式11-3】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）定义：已知x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两个实数根，若x1①方程x2+9x+14=0是“特根方程②若关于x的一元二次方程2x2+k+7x+k2+3=0是“特根方程”，且方程的两根x1、x③若关于x的一元二次方程x2+2-mx-2m=0是“特根方程这三个结论中判断正确的是（）A．① B．①② C．①③ D．①②③【题型12方程与几何图形结合（动点）】【例12】（25-26八年级上·海南三亚·期末）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=16cm，BC=12cm，AC=20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B的方向运动，且速度为1cm/s，点Q从点B开始沿B→C→A的方向运动，且速度为2cm/s，P(1)BP=________cm（用含t的代数式表示）；(2)点Q在边BC上运动时．当△PQB是等腰三角形时，求出此时t的值．(3)点Q在边CA上运动时，当△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形时，求出此时t的值．(4)点Q在运动过程中，通过计算说明PQ能否把△ABC的周长平分？【变式12-1】（24-25八年级下·广西百色·期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=30°，BC=5cm，点E从A点出发，沿射线AB运动，速度为2cm/s，点F从点C出发，沿线段CA运动，速度为1cm/s，连接EF．E、F两点同时出发，当点F到达点A时，点E【变式12-2】（2026·湖南长沙·一模）如图1，将Rt△EFG与正方形ABCD按如图所示的方式摆放，边FG在直线BC上，∠EGF=90°，EG=FG=10cm，AB=16cm，Rt△EFG以2cm/s的速度沿着BC方向运动，初始时点G与点B重合，当点F与点C重合时停止运动，在运动过程中，当Rt△EFG与正方形A．10 B．20 C．1或10 D．2或20【变式12-3】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图，在长方形ABCD中，AB=6cm，AD=14cm，动点P从D点出发，以1cm/s的速度沿着DA向A点运动，同时动点Q从B点出发以2cms的速度沿BC向C点运动，若其中一个动点到达终点，另一动点也同时停止．运动时间为t，将四边形PDCQ以直线PQ为轴进行翻折，得到四边形PDA．t=3 B．t=72 C．t=10【题型13分式方程转化为整式方程】【例13】（25-26八年级上·上海杨浦·期末）将方程xx2+4x+3【变式13-1】（25-26八年级上·广西崇左·月考）用换元法解方程8x2+2xx2A．3y2-11y+8=0C．8y2-11y+3=0【变式13-2】（25-26八年级上·山东青岛·期末）解分式方程：(1)6(2)3【变式13-3】对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号Max{a,b}表示a、b中的较大值，如：Max{2,4}=4，按照这个规定，方程Maxx,-x=2x+1A．1-2 B．2-2 C．1+2或1-2 D【题型14双根号方程的求解】【例14】（24-25八年级下·上海闵行·期末）无理方程x2-4x+3=【变式14-1】方程x-3⋅x-5＝0的解是【变式14-2】解方程：2x-4-【变式14-3】x+2-【题型15根的代数式化简求值】【例15】已知a是方程x2-2021x+1=0的一个根，则a【变式15-1】（25-26九年级上·江苏扬州·月考）若a是一元二次方程2x2=6x-4的根，则代数式A．2021 B．2022 C．2023 D．2024【变式15-2】（25-26九年级下·山东东营·期中）已知m，n是一元二次方程x2+2x-2029=0的两个实数根，则代数式m2A．2025 B．2026 C．2024 D．2021【变式15-3】已知a，b是一元二次方程x2+x﹣1＝0的两根，则3a2﹣b+2a2【创新思辨】【题型16高次方程降次与换元】【例16】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知实数x满足x4-4x2-12=0A．7 B．4 C．7或-1 D．-5或3【变式16-1】（25-26八年级上·浙江宁波·自主招生）已知关于x的方程x4-9x2A．1 B．2 C．3 D．4【变式16-2】（25-26八年级下·安徽淮北·月考）解下列方程：2y-34【变式16-3】（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）解方程：a2【题型17构造一元二次方程求解】【例17】阅读下面的例题．解方程x2解：原方程化为x2令y=x，原方程化成y2-y-2=0，解得y当x=2时，x=±2；当x∴原方程的解是x1=2，请模仿上面的方法解方程：x-12【变式17-1】（25-26九年级上·河北保定·期中）x2【变式17-2】（24-25九年级上·河南信阳·月考）阅读下面的材料，解答问题，材料：解含绝对值的方程：x2解：分两种情况：①当x≥0时，原方程化为：x2-3x-10=0解得x1②当x<0时，原方程化为x2+3x-10=0综上所述，原方程的解是______请参照上述方法解方程：x2【变式17-3】（25-26九年级上·重庆万州·月考）解下列方程：(1)x2(2)x2【题型18含绝对值的一元二次方程】【例18】（25-26八年级下·安徽安庆·期中）定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0有两个实数根x1，x2x1<x2（1）直接写出方程x2-2x-8=0的根序点P的坐标为（2）若关于x的一元二次方程1mx2+2x-3=0m≠0有根序点，且该根序点在直线y=x+2【变式18-1】在平面直角坐标系中，将直线y=-2x+2关于平行于y轴的一条直线对称后得到直线AB，若直线AB恰好过点6，2，则直线AB的表达式为【变式18-2】直线l：y=kx+b(k、b为常数)分别与x轴、y轴交于点A3，0、B0，3，动点（1）当a=______时，有且仅有一个满足条件的m的值，使得点P在直线l上；（2）若有且仅有两个符合条件的m的值，使得点P到直线l的距离为1，则a的取值范围是______．【变式18-3】（24-25八年级下·浙江金华·月考）已知关于x的方程12x2-a+2bx+2=0有两个相等实数根．若在直角坐标系中，点P在直线l:y=-x+13上，点A．232 B．23 C．4【题型19函数与一元二次方程综合】【例19】（24-25八年级上·上海·期中）若方程x2+bx+1=0与方程x2-x-b=0至少有一个相等的实数根，那么实数【变式19-1】假设方程x2+2x-k=0至少有一个整数解，那么A．8 B．15 C．24 D．30 E．48【变式19-2】（25-26九年级上·四川南充·期末）已知关于x的二次方程ax(1)若方程有两个实数根，求满足条件a的最小整数值；(2)若方程至少有一整数根，求正整数a的值．【变式19-3】（2025·江苏扬州·二模）定义：我们把一个整数a平方后得到的数a2称为完全平方数．例如：32=9，0(1)如果一个完全平方数a2满足61≤a2≤120，则满足条件a(2)n是正整数，如果n-20和n+21都是完全平方数，求n的值；(3)如果关于x的一元二次方程ax2+2【题型20存在性与探索性问题】【例20】（25-26九年级上·四川·期末）任意给定一个矩形A，若存在另一个矩形B的周长和面积分别是矩形A周长和面积的一半，则称矩形B是矩形A的“减半矩形”．已知某矩形的周长为36，面积为16，则它的减半矩形的长和宽分别为________；原矩形的两边长分别为m和2，若存在另一个矩形是它的“减半矩形”，则m满足的取值范围是_________．【变式20-1】（25-26九年级上·四川成都·月考）已知y是关于x的函数，若该函数的图象经过点Pt,t，则称点P为函数图象上的“圆满点”，例如：直线y=2x-1上存在“圆满点”P1,1．若函数y=m-2x2-3x+m的图象上存在唯一“【变式20-2】数学家对一元二次方程经过漫长的探索．我国数学家赵爽在他的著作《勾股圆方图注》对x2(1)用x1一元二次方程xx40①x②③561(2)数学家韦达对规律进行归纳；对于ax2+bx+c=0a≠0，若b2