2026年北京市中考数学试卷附答案

2026年北京市中考数学试卷一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。1．（2分）下列图形中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．（2分）如图，三角尺的直角顶点在直线l上．若∠1＝48°，则∠2的大小为（）A．30° B．42° C．45° D．48°3．（2分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A．a＞b B．﹣a＞b C．|a|＝﹣a D．ab＞04．（2分）一个不透明的袋子中仅有5个球，其中有1个白球、1个黄球，其余都是红球，这5个球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是（）A．13 B．23 C．155．（2分）方程组x+y=43x−2y=7A．x=3y=1 B．x=3y=−1 C．x=5y=16．（2分）再生水利用提升工程是北京市“十五五”时期美丽北京建设的重大工程之一．北京市一家在建的再生水厂建成后每天能够供应2×105t高品质再生水．若一年按365天计，则该再生水厂建成后，一年能够供应的高品质再生水的总量用科学记数法表示应为（）A．0.73×108t B．7.3×107t C．7.3×1010t D．730×105t7．（2分）如图，点B在射线AM上．在射线BM上截取BC＝BA，分别以A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧相交于点D．连接BD，CD，则∠BDC的大小为（）A．30° B．45° C．60° D．90°8．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点A（1，0），B（1，t）（t＞0）．若点C不与点A重合，且以B，O，C为顶点的三角形与△AOB全等，则称C为B的“友好点”．给出下面四个结论：①对于所有的点B，在y轴上都有B的“友好点”；②能够找到点B，使得在x轴上有B的“友好点”；③对于所有的点B，在第一象限内都有B的“友好点”；④能够找到点B，使得在第四象限内有B的“友好点”．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）若代数式2x−2有意义，则实数x的取值范围是10．（2分）分解因式：x3﹣49x＝．11．（2分）在凸五边形ABCDE中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，∠D＝∠E，则∠D＝°．12．（2分）某学校共有2000名学生．为了解这些学生放假期间每周体育活动时间（单位：h）的情况，从中随机抽取了100名学生进行调查，数据整理如下：每周体育活动时间x＜88≤x＜1010≤x＜1212≤x＜14x≥14学生人数37552411学校建议，每周体育活动时间小于10h的学生应适当增加体育活动时间．根据以上信息，估计该学校2000名学生中应适当增加体育活动时间的学生人数是．13．（2分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝x2+4x+4的图象经过点（m，y1）和（m+1，y2），若m＞0，则y1y2（填“＞”“＝”或“＜”）．14．（2分）如图，▱ABCD的两条对角线相交于点O．已知▱ABCD的面积为24，BD的长为8，当AO的长为时，▱ABCD是菱形．15．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正半轴上的点P作x轴的平行线，分别交函数y=4x（x＞0）和y=−3x（x＜0）的图象于点A，B．过点B作x轴的垂线，垂足为C，连接AC交y轴于点Q，则16．（2分）如图所示，公路旁自西向东依次有A1，A2，…，A6共6处住宅和一所学校．每个工作日早上，每处住宅各有1名学生需乘同一辆校车前往该学校．校车仅在设于某一处住宅处的车站停车一次，每名学生需从自家住宅沿公路步行至该车站乘车，6名学生都上车后，校车沿公路向东行驶至学校．已知每名学生在相邻两处住宅间的步行时间均为2.5min，校车在相邻两处住宅间的行驶时间均为1min，校车从A6处至学校的行驶时间为20min．一名学生的理想通勤时间是指该学生从自家住宅至车站的步行时间与校车从车站至学校的行驶时间之和（不考虑其他因素）．（1）若车站设在A2处，则住在A6处的学生的理想通勤时间为min；（2）若当车站设在Ak处时这6名学生的理想通勤时间之和最小，则k＝．三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20题6分，第21题5分，第22题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）计算：|−3|−18．（5分）解不等式组：3(x+1)＞x−33x−419．（5分）已知x﹣2y﹣5＝0，求代数式2(x+y)−6yx20．（6分）如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，D，E分别为AB，BC的中点，BC＝2BF，AE∥BF．（1）求证：四边形ABFE是平行四边形；（2）若AB＝2，AC＝3，求四边形DBFE的面积．21．（5分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（﹣2，﹣1）和（1，5）．（1）求k，b的值；（2）当﹣2＜x＜1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值小于函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．22．（6分）在一次机器人跑步比赛中，自主导航机器人（以下称A类机器人）与遥控机器人（以下称B类机器人）在同一赛道比赛，统一排名．为鼓励自主导航技术研发，主办方制定了以下计算完赛成绩的规则：•A类机器人的完赛成绩为从起点跑到终点的时间（包含途中维护时间）；•B类机器人的完赛成绩为从起点跑到终点的时间（包含途中维护时间）的1.2倍．已知比赛中，一台A类机器人全程保持匀速，途中没有维护，完赛成绩为60min；一台B类机器人起跑后，前25min保持匀速，速度是这台A类机器人的1.1倍，之后原地维护10min，维护后匀速跑至终点，速度比维护前增加了70m/min，完赛成绩为72min．求这台A类机器人的速度和此次比赛从起点到终点的路程．23．（5分）若干名学生参加编程比赛．比赛共8轮，每轮有3道题，每人每轮的得分为该轮答对题目的数量（得分为整数）．已知甲、乙两名学生8轮得分的情况如下：根据以上信息，回答下列问题：（1）甲8轮得分的平均数为，乙8轮得分的平均数为；（2）记甲、乙8轮得分的方差分别为s甲2和s乙2，则s（3）如果丙8轮得分的中位数为2.5，那么丙8轮得分的平均数是不是一定大于乙8轮得分的平均数？若是，请说明理由；若不是，请举出反例．24．（6分）如图，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，AC为⊙O的直径，过点B作AC的垂线，垂足为E，交⊙O于点D，连接OP，CD．（1）求证：∠ACD＝∠POA；（2）连接PC交BD于点F．若CE＝2，tan∠ACD=2，求BF25．（5分）在一定温度下，向一定量溶剂里加入某种溶质，当溶质不能继续溶解时，所得到的溶液叫作这种溶质的饱和溶液．固体的溶解度表示在一定温度下，某固态物质在100g溶剂里达到饱和状态时所溶解的质量．小云通过查阅资料，得到了溶剂为水时物质甲（硝酸钾）在不同温度下的溶解度数据和溶剂为水时物质乙（硝酸钠）的溶解度曲线，如下所示：温度℃01020304050607080甲的溶解度g13.320.931.645.863.985.5110138169（1）根据表中数据，在图中画出0℃∼80℃范围内甲的溶解度曲线；（2）当温度为℃（精确到个位）时，甲和乙的溶解度相同，均为ng．在该温度下，将ng乙加入100g水中，充分搅拌使其全部溶解后，将温度降至10℃，此时会有g（精确到个位）乙从水中析出；（3）当温度为10℃时，小云将100g甲加入到装有100g水的1号杯中，将100g乙加入到装有100g水的2号杯中，充分搅拌后，发现两种物质均不能全部溶解．为使两种物质均能全部溶解，小云考虑了以下两种方案：方案一：将温度提升至T℃，充分搅拌后使两种物质均能全部溶解；方案二：保持温度不变，向1号杯中再加入m1g水，向2号杯中再加入m2g水，充分搅拌后使两种物质均能全部溶解．①方案一中，T的最小值为（精确到个位）；②方案二中，m1+m2的最小值为（精确到个位）．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点(0，1−aa)，对称轴为（1）求b的值，并用含a的式子表示c；（2）已知M是抛物线C1上的点，M的横坐标为t，抛物线C2的顶点为M，且可以由抛物线C1平移得到（特别地，当M是C1的顶点时，C2即为C1）．若无论t为何值，抛物线C2都不经过点O，求a的取值范围．27．（7分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜60°），过AC的中点D作AC的垂线l，交AB于点E．点M在DE的延长线上，∠ABM＝30°．（1）如图1，α＝30°，求证：AB＝2DM；（2）如图2，点N在ED的延长线上，∠ABN＝30°．连接AM，AN，直接写出∠MAN的大小，并证明．28．（7分）对于不共线的三点A，B，C，连接AB，AC，并作劣弧BC，使得BC所在圆的圆心在过点A且与BC平行的直线上，称由AB，AC和BC组成的图形为单弧三角形，记作△A−BC，其中BC所在圆的圆心称为△A−在平面直角坐标系xOy中，（1）如图1，点A（﹣2，﹣1），B（﹣3，1），C（1，1）．直接写出△A−BC的弧心的坐标及BC（2）如图2，点D(−23，2)，E(2，0)．当△D−EF的弧心为O（3）已知点M（1，0）．对于平面内的点N，存在点P，Q满足△P−MN和△Q−MN的弧心均为O，△PMN和△QMN都不是钝角三角形，且PQ＝1．记N的横坐标为t，直接写出

题号12345678答案CBCDABAB9．【答案】x≠2．【解答】解：∵代数式2x−2∴x﹣2≠0，解得：x≠2，故答案为：x≠2．10．【答案】x（x+7）（x﹣7）【解答】解：原式＝x（x2﹣49）＝x（x+7）（x﹣7），故答案为：x（x+7）（x﹣7）11．【答案】135．【解答】解：∵五边形ABCDE的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝540°，而∠A＝∠B＝∠C＝90°，∠D＝∠E，∴∠D＝∠E=540°−90°×3故答案为：135．12．【答案】200人．【解答】解：估计该学校2000名学生中应适当增加体育活动时间的学生人数是2000×3+7故答案为：200人．13．【答案】＜．【解答】解：对函数解析式配方得y＝x2+4x+4＝（x+2）2，∵a＝1＞0，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣2，∴当x＞﹣2时，y随x的增大而增大，∵m＞0，∴m+1＞m＞0＞﹣2，∴y1＜y2，故答案为：＜．14．【答案】3．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形，∵菱形ABCD的面积=12AC•BD＝24，∴AC＝6，∴OA=12∴当AO的长为3时，▱ABCD是菱形．故答案为：3．15．【答案】43【解答】解：由题意，∵点A在函数y=4x（∴可设A（m，4m）（m＞0），则AP＝m∵AB∥x轴，B在y=−3x（∴B（−34m，4m），则OC∵AB∥OC，∴△APQ∽△COQ．∴PQOQ故答案为：4316．【答案】（1）34；（2）5．【解答】解：（1）根据题意得：A6到A2之间有6﹣2＝4个相邻住宅间隔，∴住在A6处的学生的理想通勤时间为2.5×4+1×4+20＝34min，故答案为：34；（2）车站设在Ak处（k＝1，2，3，4，5，6），学生从Ak处总步行时间和为2.5（|1﹣k|+|2﹣k|+|3﹣k|+|4﹣k|+|5﹣k|+|6﹣k|）．校车从Ak处到学校的行驶时间为（6﹣k）×1+20＝26﹣k，∴6名学生的校车行驶时间和为6×（26﹣k）＝156﹣6k，总时间和为2.5（|1﹣k|+|2﹣k|+|3﹣k|+|4﹣k|+|5﹣k|+|6﹣k|）+156﹣6k，k＝1时，总时间和为2.5×（0+1+2+3+4+5）+150＝2.5×15+150＝187.5；k＝2时，总时间和为2.5×（1+0+1+2+3+4）+144＝2.5×11+144＝171.5；k＝3时，总时间和为2.5×（2+1+0+1+2+3）+138＝2.5×9+138＝160.5；k＝4时，总时间和为2.5×（3+2+1+0+1+2）+132＝2.5×9+132＝154.5；k＝5时，总时间和为2.5×（4+3+2+1+0+1）+126＝2.5×11+126＝153.5；k＝6时，总时间和为2.5×（5+4+3+2+1+0）+120＝2.5×15+120＝157.5；∵187.5＞171.5＞160.5＞157.5＞154.5＞153.5，∴k＝5时，总时间和最小，故答案为：5．三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20题6分，第21题5分，第22题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．【答案】3+【解答】解：原式=3−32=3−32+=318．【答案】﹣3＜x＜2．【解答】解：解第一个不等式得：x＞﹣3，解第一个不等式得：x＜2，故原不等式组的解集为﹣3＜x＜2．19．【答案】25【解答】解：已知x﹣2y﹣5＝0，则x﹣2y＝5，原式==2(x−2y)=2=220．【答案】（1）∵∠CAB＝90°，E为BC的中点，∴BC＝2AE，∵BC＝2BF，∴AE＝BF，∵AE∥BF，∴四边形ABFE是平行四边形；（2）94【解答】（1）证明：∵∠CAB＝90°，E为BC的中点，∴BC＝2AE，∵BC＝2BF，∴AE＝BF，∵AE∥BF，∴四边形ABFE是平行四边形；（2）解：∵D是AB的中点，AB＝2，∴BD=12∵D，E分别为AB，BC的中点，AC＝3，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=12AC=32，∴∠EDB＝∠CAB＝90°，∴DE⊥AB，由（1）可知，四边形ABFE是平行四边形，∴AB∥EF，EF＝AB＝2，∴四边形DBFE是梯形，∴四边形DBFE的面积=12（BD+EF）•DE=121．【答案】（1）k=2b=3（2）12≤【解答】解：（1）由题意，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（﹣2，﹣1）和（1，5），∴−2k+b=−1k+b=5∴k=2b=3（2）由（1）函数y＝kx+b为y＝2x+3，在同一坐标系中作出y＝mx与y＝2x+3的图象如下：∵当x＝﹣2时，y＝2×（﹣2）+3＝﹣1，令y＝m×（﹣2）＝﹣1，则m=1当x＝1时，y＝2×1+3＝5，令y＝m×1＝5，则m＝5，∴当﹣2＜x＜1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值小于函数y＝kx+b的值，结合图象可得，12≤22．【答案】这台A类机器人的速度为350m/min，此次比赛从起点到终点的路程为21000m．【解答】解：设这台A类机器人的速度为xm/min，则此次比赛从起点到终点的路程为60xm，根据题意得：25×1.1x+（721.2−25﹣10）（1.1x+70）＝60解得：x＝350，∴60x＝60×350＝21000（m）．答：这台A类机器人的速度为350m/min，此次比赛从起点到终点的路程为21000m．23．【答案】（1）2；2；（2）＞；（3）不是，理由如下：当丙8轮的得分分别为0，0，0，2，3，3，3，3时，丙8轮得分的中位数为2.5，但平均数为1.75，小于乙8轮得分的平均数．【解答】解：（1）甲8轮得分的平均数为：0×1+1×2+2×1+3×48乙8轮得分的平均数为：2+3+2+2+2+2+0+38故答案为：2；2；（2）s=1=10＝1.25；s乙=1=6＝0.75；∵1.25＞0.75，∴s甲故答案为：＞；（3）不是，理由如下：当丙8轮的得分分别为0，0，0，2，3，3，3，3时，丙8轮得分的中位数为2.5，但平均数为1.75，小于乙8轮得分的平均数．24．【答案】证明：（1）∵PA、PB是圆O的切线，∴PA＝PB．又∵OA＝OB，OP＝OP，∴△OAP≌△OBP（SSS），∴∠AOP=∠BOP=1∵AC是直径，BD⊥AC，∴弧AB＝弧AD，∴∠AOB＝∠AOD．∴∠ACD=1∴∠ACD＝∠POA；（2）2．【解答】证明：（1）连接OB，如图，∵PA、PB是圆O的切线，∴PA＝PB．又∵OA＝OB，OP＝OP，∴△OAP≌△OBP（SSS），∴∠AOP=∠BOP=1∵AC是直径，BD⊥AC，∴弧AB＝弧AD，∴∠AOB＝∠AOD．∴∠ACD=1∴∠ACD＝∠POA；解：（2）在Rt△CED中，∠CED＝90°，CE＝2，tan∠ACD=2∴DE＝CE•tan∠ACD=22∵AC⊥BD，∴BE=DE=22∵PA是圆O的切线，∴PA⊥AC，即∠PAC＝90°．在Rt△OAP中，tan∠AOP=PA∵∠ACD＝∠AOP，∴PAOA即PA=2设OA＝R，则AC＝2R，PA=2R在Rt△PAC中，tan∠PCA=PA在Rt△CEF中，∠CEF＝90°，∴EF=CE⋅tan∠PCA=2×2∴BF=BE−EF=22答：BF的长为2．25．【答案】（1）；（2）70；58；（3）①57；②403．【解答】解：（1）如图，（2）由函数图象可知，当温度约为70℃（精确到个位）时，甲和乙的溶解度相同；此时溶解度n≈138g，降温到10℃乙溶解度约为80g，因此析出乙的质量为138﹣80＝58（g）；故答案为：70；58；（3）①要让100g溶质完全溶解在100g水中，溶解度需要至少达到100g．对甲来说，溶解度达到100g的温度约为57℃，对乙来说，溶解度达到100g的温度约为35℃，因此T的最小值为57℃；故答案为：57；②10℃时甲溶解度约为20.9g，设溶解100g甲需要的水的总质量为x，由20.9g100g解得：x≈478g，因此需要加水478﹣100＝378（g），即m1＝378；10℃时乙溶解度约为80g，同理得溶解100g乙需要的水的总质量为125g，因此需要加水125﹣100＝25（g），即m2＝25；∴最终m1+m2＝378+25＝403．故答案为：403．26．【答案】（1）b＝﹣2，c=1−a（2）a＜12且【解答】解：（1）∵抛物线C1：y=ax∴c=1−a∵抛物线C1的对称轴为x=1∴−b∴b＝﹣2；（2）设点M（t，y1），∵M是抛物线C1上的点，∴y1由题意，抛物线C2设抛物线C2与y轴交于点N（0，y2），则y2∵无论t为何值，抛物线C2都不经过点O，∴无论t为何值，都有y2≠0，∴关于t的方程2at∴Δ＜0，即4−8a⋅1−a4﹣8（1﹣a）＜0，化简得：8a﹣4＜0，解得：a＜1∴a＜1∴a＜127．【答案】（1）∵l⊥AC，∴∠ADE＝90°，∵∠BAC＝α＝30°，∠ABM＝30°，∴∠BAC＝∠ABM，∴AC∥MB，，∴∠BME＝∠ADE＝90°，∴AE＝2DE，BE＝2EM，∴AB＝AE+BE＝2DE+2EM＝2DM；（2）∠MAN的大小为60°，证明：如图，过点A分别作BM，BN的垂线，分别交BM，BN的延长线于点P，Q，在Rt△ABP中，∠ABM＝30°，∴AP=1∵D是AC的中点，∴AD=1∵AB＝AC，∴AD＝AP，∵∠ADM＝90°＝∠P，又∵AM是Rt△ADM和Rt△APM的公共边，∴Rt△ADM≌Rt△APM（HL），∴∠DAM＝∠PAM，∵∠ABN＝∠ABM＝30°，∴AD＝AQ，∵∠ADN＝90°＝∠Q，∴Rt△ADN≌Rt△AQN（HL），∴∠DAN＝∠QAN，∵∠PAQ+∠Q+∠QBP+∠P＝360°，∴∠PAQ＝120°，即2∠DAM+2∠DAN＝120°，∴∠MAN＝∠DAM+∠DAN＝60°．【解答】（1）证明：∵l⊥AC，∴∠ADE＝90°，∵∠BAC＝α＝30°，∠ABM＝30°，∴∠BAC＝∠ABM，∴AC∥MB，，∴∠BME＝∠ADE＝90°，∴AE＝2DE，BE＝2EM，∴AB＝AE+BE＝2DE+2EM＝2DM；（2）解：∠MAN的大小为60°，证明：如图，过点A分别作BM，BN的垂线，分别交BM，BN的延长线于点P，Q，在Rt△ABP中，∠ABM＝30°，∴AP=1∵D是AC的中点，∴AD=1∵AB＝AC，∴AD＝AP，∵∠ADM＝90°＝∠P，又∵AM是Rt△ADM和Rt△APM的公共边，∴Rt△ADM≌Rt△APM（HL），∴∠DAM＝∠PAM，∵∠ABN＝∠ABM＝30°，∴AD＝AQ，∵∠ADN＝90°＝∠Q，∴Rt△ADN≌Rt△AQN（HL），∴∠DAN＝∠QAN，∵∠PAQ+∠Q+∠QBP+∠P＝360°，∴∠PAQ＝120°，即2∠DAM+2∠DAN＝120°，∴∠MAN＝∠DAM+∠DAN＝60°．28．【答案】（1）（﹣1，﹣1），2π（2）点F的坐标为(−1，3（3）−1【解答】解：（1）由题意可知：弧心在过点A且与BC平行的直线上，且弧心是BC所在圆的圆心，∴弧心到B、C距离相等，即在BC的垂直平分线上，∵B（﹣3，1），C（1，1），BC为水平线