专项素养综合全练　平行线拐点模型

专项素养综合全练(八)平行线拐点模型类型一“铅笔”型1.(2024江苏淮安期末)如图,AB∥CD,若∠E=55°,则∠B+∠D

等于

(

)

A.125°

B.180°

C.250°

D.305°D解析过点E作EF∥AB,如图.

因为AB∥CD,所以EF∥AB∥CD,所以∠B+∠BEF=180°,∠D

+∠FED=180°,所以∠B+∠BEF+∠D+∠FED=360°,即∠B+

∠BED+∠D=360°,又因为∠BED=55°,所以∠B+∠D=360°-55°=305°.模型解读题目条件中含有“一组平行线+平行线外凸拐

点”时,考虑“铅笔”模型解题.模型结论:如图,若AB∥CD,则∠B+∠BOD+∠D=360°.

2.(新考向·规律探究试题)(2024江苏南通通州月考)观察图形,

已知a∥b,在图①中,可得∠1+∠2=

°,则按照图形规

律,∠1+∠2+∠P1+…+∠Pn=

°.

180180(n+1)解析在题图①中,因为a∥b,所以∠1+∠2=180°.如图,过点P1作P1C∥a,

所以∠1+∠3=180°,因为a∥b,所以P1C∥b,所以∠4+∠2=180°,所以∠1+∠3+∠4+∠2=2×180°=∠1+∠AP1B+∠2;如图,过点P1作P1C∥a,过点P2作P2D∥b,所以∠1+∠3=180°,∠2+∠6=180°,因为a∥b,所以P1C∥P2D,

所以∠4+∠5=180°,所以∠1+∠3+∠4+∠5+∠6+∠2=3×180

°=∠1+∠AP1P2+∠P1P2B+∠2;……所以∠1+∠2+∠P1+…+∠Pn=180(n+1)°.故答案为180;180(n+1).类型二“锯齿”型3.(2023吉林榆树期末)如图,AB∥CD,则下列关于∠1、∠2、

∠3的关系描述中,一定成立的是

(

)A.∠1+∠2+∠3=180°B.∠1+∠2+∠3=360°C.∠1+∠3=2∠2D.∠1+∠3=∠2D解析

如图,过点E作EF∥AB,因为AB∥CD,所以EF∥AB∥

CD,所以∠AEF=∠1,∠CEF=∠3,因为∠2=∠AEF+∠CEF,

所以∠2=∠1+∠3.故选D.

模型解读题目条件中含有“一组平行线+平行线内凹拐

点”时,考虑用“锯齿”模型解题.模型结论:①1个拐点时如图,已知AB∥CD,O是平行线间的内凹拐点,则∠BOD=∠B

+∠D.

②2个拐点时如图,已知AB∥CD,O1,O2是平行线间的内凹拐点,则∠O1+∠O2=∠B+∠D+180°.

③n个拐点时(图略)已知AB∥CD,O1,O2,O3,…,On是平行线间的内凹拐点,则∠O1+

∠O2+∠O3+…+∠On=∠B+∠D+(n-1)×180°.4.如图,AB∥EF,∠C=90°,∠D=90°,则选项中关系式正确的是

(

)A.∠α=∠βB.∠α+∠β=90°C.∠α+∠β=45°D.∠α+∠β=60°A解析如图,延长BC交EF于H,因为∠BCD=90°,∠D=90°,所

以∠BCD=∠D,所以BH∥DE,所以∠β=∠BHE,因为AB∥EF,

所以∠α=∠BHE,所以∠α=∠β.故选A.

类型三“骨折”型5.(2024江苏无锡惠山月考)如图,AB∥CD,∠C=30°,∠E=20°,

则∠A的度数是

(

)A.10°

B.50°C.40°

D.45°B解析因为∠C=30°,∠E=20°,所以∠COE=180°-30°-20°=130°,所以∠DOE=180°-130°=50°,因为AB∥CD,所以∠A=∠DOE=50°,故选B.模型解读

“骨折”模型需满足的条件:如图,AB∥CD,点P

在直线BC左侧,在直线AB与直线CD外部.结论:∠P=∠DCP-

∠ABP.证明的方法与前两种模型类似,这边不再重复证明,可

以作任意一边的平行线为辅助线,也可以利用平行线的性质

与三角形的内角和来进行证明.

6.(2023黑龙江哈尔滨六十九中期中)如图,AB∥CD∥EF,则

下列各式中,正确的是

(

)A.∠1+∠2+∠3=180°B.∠1+∠2=180°+∠3C.∠1+∠3=180°+∠2D.∠2+∠3=180°+∠1D解析因为AB∥CD∥EF,所以∠2+∠BDC=180°,∠3=∠CDE,又因为∠BDC=∠CDE-∠1,所以∠2+∠3-∠1=180°,即∠2+∠3=180°+∠1.故选D.类型四“鹰嘴”型7.(2024江苏南京期末)如图所示,AB∥CD,EC⊥CD.若∠BEC

=30°,则∠B的度数为

(

)A.100°

B.110°C.120°

D.130°C解析如图,过点E作EG∥AB,

因为AB∥CD,所以EG∥AB∥CD,因为EC⊥CD,所以EC⊥EG,所以∠GEC=90°,因为∠BEC=30°,所以∠GEB=90°-30°=60°,因为EG∥AB,所以∠B+∠GEB=180°,所以∠B=180°-60°=120°.故选C.模型解读类似“鹰嘴”模型的平行线求角度问题解题方

法通常是过“鹰嘴”的嘴尖作平行于两条平行线的直线,然

后根据平行线的相关性质完成角度的计算.如图,已知直线AB∥CD,探究∠A、∠P、∠C的数量关系.可得∠P=∠C-∠A.

8.(2023重庆九十五中期末)如图,AB∥CD,∠ABE=125°,∠C=

30°,则∠α=

(

)A.70°

B.75°C.80°

D.85°D解析如图,作EF