2025-2026学年上海市宝山区吴淞中学高二（下）期中数学试卷（含答案）

2025-2026学年上海市宝山区吴淞中学高二（下）期中数学试卷一、填空题1．已知集合，2，3，4，，，3，6，，则．2．1和3的等差中项是．3．不等式的解是．4．双曲线的渐近线方程是．5．已知圆锥的高为4，底面半径为3，则圆锥的侧面积为．6．已知，则的最小值是．7．设随机变量服从正态分布，若，则．8．若的二项展开式中，第5项为常数项，则．9．已知函数，则曲线在点，处的切线方程为．10．已知、为互斥事件，且（A），（B），则．11．已知为虚数单位，若复数和复数满足，，的最大值为．12．已知球的半径为2，是球的一条直径，点是球面上一个定点，且．设点是球面上异于、、的动点，若点满足，则点运动所形成的曲线周长为．二、选择题13．已知，，，则向量与向量的夹角为（）A． B． C． D．14．设，，下列各项中，能推出的一项是（）A．，且 B．，且 C．，且 D．，且15．已知点，，点在曲线上，则△的面积（）A．有最大值，但没有最小值 B．没有最大值，但有最小值 C．既有最大值，也有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值16．若有穷整数列，，，，满足：，，，2，，，且，则称具有性质，则正确的是（）A．存在具有性质的 B．不存在具有性质的 C．若具有性质，则，，，中至少有两项相同 D．对于任意正整数，对任意具有性质的，有，，，中任意两项均不相同三、解答题17．记等差数列的前项和为，，．（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和．18．如图，在三棱柱中，平面，，，，分别为棱，的中点．（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的大小．19．有两个罐子，罐中放有3个白球和2个黑球，罐中放有5个白球．（1）若从罐不放回地摸2个球，求恰好摸到一个白球一个黑球的概率；（2）若从罐不放回地摸2个球，求第二次摸到白球的概率；（3）现在从两个罐子各摸一个球并交换，这样交换2次后，记罐中黑球的个数为，求的分布列和期望．20．（18分）已知双曲线的右顶点为，左焦点为，过点且斜率为2的直线与双曲线的左支交于，两点，为双曲线右支上的一动点；（1）求双曲线的实轴长与离心率；（2）求△面积的最小值；（3）设直线与双曲线交于，两点，且．证明：直线过定点；21．（18分）若对于函数和，存在常数，对任意实数，使成立，则称函数是函数的“控制函数”（已知和定义域均为．（1）证明：函数是函数的“控制函数”；（2）若函数是函数的“控制函数”，求的取值范围；（3）若，其中且，函数为定义在上的偶函数，函数是函数的“控制函数”，当时，求证“”的充要条件是“为常值函数”．

参考答案一、填空题1．，．2．2．3．（或．4．．5．6．．7．0.8．8．8．9．．10．0.2．11．．12．．二、选择题13．．14．．15．．16．．三、解答题17．解：（1）设等差数列的公差为，由题可得，解得，，则；（2）由题可得，则，且，所以数列是以4为首项，公比为16的等比数列，所以．19．解：（1）根据古典概率公式可得，；（2）由全概率公式可得，；（3）的取值为0，1，2，则，，，则的分布列为：期望．20．解：（1）由题意，得，，，所以双曲线的实轴长，离心率；（2）由（1）知，直线的方程为，设，，，，由，消去得，，设平行于直线且与双曲线的右支相切的切线方程为，切点为，．联立，消去，得，令△，得，解得，当时，直线与双曲线的左支相切，不符合题意，因此，，，．因此点到直线的距离，所以△的面积的最小值为．（3）证明：由（1）知，设，的坐标分别为，，，．当直线的斜率为0时，，，则，当时，，解得，则，中一个点与重合，此时不成立，所以直线的斜率不为0；设直线的方程为，联立方程，消去后整理，得，则，，，由，得，所以，即，化简，得解得或2．当时，直线过点，不合题意；当时，直线的方程为，所以直线过定点．21．解：（1）证明：由于函数，，因此，，那么导函数，，故，即恒成立，因此是函数的“控制函数”．（2）由于函数，，那么导函数，，由于是函数的“控制函数”，所以对任意的，，那么，令，那么导函数，且，故当时，，当时，，即在上严格单调递增，在上严格单调递减，所以，所以，若是的“控制函数”，则实数．（3）证明：必要性：若存在常数使得恒成立，因此，因此，由于为偶函数，那么，所以，得到，那么可得，得，那么函数，所以导函数，因为，所以导函数，当时，恒成立，故“”是“为常值函数”必要条